Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2015-2016 - Trường THPT Tam Quan

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> TRƯỜNG THPT TAM QUAN<br /> <br /> ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016.<br /> <br /> TỔ TOÁN<br /> <br /> MÔN: TOÁN – KHỐI 11<br /> Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề).<br /> <br /> Bài 1: a) Cho tan<br /> <br /> b<br /> a<br /> ba<br /> 3sin a<br />  4 tan . Chứng minh: tan<br /> <br /> .<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 5  3cos a<br /> 1<br /> 1<br /> 4<br /> <br /> <br /> .<br /> 0<br /> 0<br /> cos 290<br /> 3 sin 250<br /> 3<br /> <br /> b) Chứng minh :<br /> <br /> c) sin 8 x  cos8 x <br /> <br /> 1<br /> 7<br /> 35<br /> cos8 x  cos 4 x <br /> .<br /> 64<br /> 16<br /> 64<br /> <br /> Bài 2: a) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:<br /> 2m sin x  cos x  m  1 . ( m là tham số)<br /> b)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  5  2cos 2 x.sin 2 x<br /> Bài 3 Giải các phương trình sau:<br /> a) sin 6 x  3sin 2 x cos x  cos6 x  1<br /> b) 12 cos x  5sin x <br /> <br /> c)<br /> <br /> 5<br /> 8  0.<br /> 12 cos x  5sin x  14<br /> <br /> 1  cot2 x.tan x<br /> 1<br />  1  6(1  sin 2 2 x ) ;<br /> 2<br /> cos x<br /> 2<br /> <br /> Bài 4: Tìm các giá trị  để phương trình:<br /> (cos   3sin   3)x 2  ( 3 cos   3sin   2)x  sin   cos   3  0 có nghiệm x<br /> <br /> =1.<br /> <br /> <br /> Bài 5: a).Trong mặt phẳng 0xy ,cho vectơ v =(-2;1), đường thẳng d có phương trình 2x<br /> –3y +3 =0 . Hãy xác định phương trình của d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ<br /> <br /> v.<br /> b) Trong mặt phẳng 0xy , cho đường tròn ( C) co phương trình :<br /> <br /> x  y  2x  4y  4  0 .Tìm ảnh của ( C) qua phép tịnh tiến theo vec tơ v =(-2;5).<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> ĐÁP ÁN<br /> b<br /> a<br /> tan  tan<br /> ba<br /> a<br /> b<br /> 2<br /> 2  3t<br /> <br /> Bài 1: a) Đặt tan = t thì tan = 4t ,do đó : tan<br /> a<br /> b 1  4t 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 1  tan tan<br /> 2<br /> 2<br /> 2t<br /> ba<br /> 3sin a<br /> 1  t 2  3t . Từ đó suy ra điều phải chứng<br /> <br /> <br /> Mặt khác : tan<br /> 1  t 2 1  4t 2<br /> 2<br /> 5  3cos a<br /> 53<br /> 1 t2<br /> minh.<br /> 3<br /> <br /> b)VT =<br /> <br /> =<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> 0<br /> 0<br /> 0<br /> cos 70<br /> sin 20<br /> 3 sin 70<br /> 3 cos 200<br /> <br />  3<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> cos 200  sin 200 <br /> 2<br /> 2<br /> 3 cos 200  sin 200<br /> 4sin 400<br /> 4<br /> <br />  <br /> =<br /> ( đpcm).<br /> <br /> 0<br /> 0<br /> 0<br /> 3 sin 20 cos 20<br /> 3<br /> 3 sin 40<br /> 3<br /> 0<br /> sin 40<br /> 2<br /> <br /> c) VT = (sin 4 x  cos 4 x)2  2sin 4 x cos 4 x = (1  2 sin 2 x cos 2 x) 2  2 sin 4 x cos 4 x<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 4<br /> <br /> 4<br /> <br /> = 1  4 sin x cos x  2 sin x cos x = 1 <br /> <br /> =<br /> <br /> 1  cos 4 x 1  1  cos 4 x <br />  <br />  =….<br /> 2<br /> 8<br /> 2<br /> <br /> <br /> 1<br /> 7<br /> 35<br /> cos 8 x  cos 4 x <br /> 64<br /> 16<br /> 64<br /> <br /> m  0<br /> Bài 2: a) Pt có nghiệm  4m  1  (m  1)  3m  2m  0  <br /> 2<br /> m <br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1<br /> 9<br /> 1<br /> 3 2<br /> b) 5  2 cos 2 x sin 2 x  5  sin 2 2 x <br />  5  sin 2 2 x  5 <br />  y 5.<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 3 2<br /> <br />  ymax  5 khi x  k<br /> ; ymin <br /> khi x  k<br /> 2<br /> 2<br /> 4<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> Bài 3: a) sin 6 x  3sin 2 x cos x  cos6 x  1 <br /> (sin 2 x  cos 2 x)3  3sin 2 x cos 2 x (sin 2 x  cos 2 x )  3sin 2 x cos x  1<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br />  3sin x cos x  3sin x cos x  0 giải phương trình này ta được nghiệm x <br /> <br /> k<br /> .<br /> 2<br /> <br /> 5<br /> y<br /> <br /> b)Đặt y = 12cosx +5 sinx + 14 ,ta có phương trình y   6  0 giải phương trình này ta<br /> được y =1vày =5. Do đó : 12 cos x  5sin x <br /> 12 cos x  5sin x  14  1<br />  <br /> 12 cos x  5sin x  14  5<br /> <br /> 5<br /> 8  0<br /> 12 cos x  5sin x  14<br /> <br /> 12 cos x  5sin x  13 (1)<br />  <br />  12 cos x  5sin x  9 (2)<br /> 12<br />  9<br /> và<br />   k2 với cos  <br /> 13<br />  13 <br /> <br /> Giải (1) và (2) ta được : x      k2 ; x    arccos  <br /> sin  <br /> <br /> 5<br /> .<br /> 13<br /> <br /> c)ĐK: x  k<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> ;<br /> <br /> cos x<br /> 1  cot2x.tan x<br /> 1<br />  1  6  3sin 2 2 x<br />  1  6(1  sin 2 2 x ) <br /> 2<br /> 2<br /> sin 2 x.sin x.cos x<br /> cos x<br /> 2<br /> <br /> 2<br />  5  3sin 2 2 x  3t 2  5t  2  0 (t  sin 2 2 x )<br /> sin 2 2 x<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x   4  k 2<br />  sin 2 2x  1<br /> <br /> cos2 2x  0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />   x  k<br /> 2<br /> 1<br /> 2<br /> sin 2x <br /> <br /> 4<br /> 2<br /> cos 4x    cos <br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> 3<br /> <br /> <br /> x     k <br /> <br /> 4<br /> 2<br /> <br /> <br /> Bài 4: x= 1 là nghiệm của phương trình đã cho khi và chỉ khi ta có đẳng thức<br /> 3 cos   sin   2<br /> <br /> hay<br /> <br /> 3<br /> 1<br /> <br /> cos   sin   1 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi    k2 .<br /> 2<br /> 2<br /> 6<br /> <br /> <br /> Bài 5: a) Lấy M(0;1) thuộc d .Khi đó M '  Tv (M)  (2;2)  d ' . Vì d’ song song với d nên d’<br /> <br /> có phương trình dạng : 2x-3y + C = 0 .Thay toạ độ M’vào pt d’ ta được C =10 . Vậy<br /> phương trình d’ : 2x –3y +10 =0.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> <br /> b) Đường tròn ( C) có tâm I (1;-2) ,R= 3.Gọi I '  Tv (I)  (1;3) và ( C’) là ảnh của ( C) qua<br /> <br /> <br /> <br /> phép tịnh tiến theo vectơ v thì ( C’) có tâm I’ bán kính R’= 3 có pt : (x  1)2  (y  3) 2  9<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU<br /> -<br /> <br /> Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên<br /> môn cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.<br /> Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt<br /> giải cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.<br /> Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh<br /> kiến thức và tối ưu kết quả học tập.<br /> <br /> CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ<br /> -<br /> <br /> Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám<br /> sát, hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.<br /> Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung<br /> thời gian tốt nhất để học.<br /> Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):<br /> <br /> + Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần<br /> lý thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo<br /> viên cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các<br /> bạn cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.<br /> + Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học<br /> này Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài<br /> các em thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở<br /> rộng thêm các dạng toán mới.<br /> <br /> HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM<br /> -<br /> <br /> Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy<br /> chọn cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là<br /> chúng bắt đầu học Online trực tiếp như ở lớp.<br /> Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ<br /> động thời gian học tập của mình.<br /> Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời<br /> gian ngắn nhất.<br /> Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề<br /> nhanh hơn - hiệu quả hơn.<br /> Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán<br /> trên toàn quốc.<br /> Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá<br /> trình học.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />