Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT An Giang

ebooktoan.com<br /> SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO<br /> <br /> AN GIANG<br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH<br /> Năm học 2012 – 2013<br /> Môn : TOÁN (vòng 1)<br /> Lớp : 12<br /> Thời gian làm bài : 180 phút<br /> (Không kể thời gian phát đề)<br /> <br /> SBD : ………… PHÒNG :……<br /> …………<br /> Bài 1: (3,0điểm).<br /> Cho hàm số<br /> <br /> ( m là tham số)<br /> <br /> Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu lần lượt là<br /> đồng thời tam giác<br /> cân tại với<br /> .<br /> <br /> và<br /> <br /> Bài 2: (3,0 điểm)<br /> Giải phương trình :<br /> <br /> Bài 3: (3,0 điểm)<br /> Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:<br /> <br /> Bài 4: (4,0 điểm)<br /> Tìm số các nghiệm nguyên dương của phương trình:<br /> <br /> Trong số các nghiệm này có bao nhiêu nghiệm<br /> một khác nhau.<br /> <br /> trong đó<br /> <br /> đôi<br /> <br /> Bài 5 : (3,0 điểm)<br /> Tìm tọa độ các đỉnh của một hình thang cân ABCD biết rằng CD=2AB, phương trình<br /> hai đường chéo<br /> , các tọa độ hai điểm A, B đều<br /> dương và hình thang có diện tích bằng 36.<br /> Bài 6: (4,0 điểm)<br /> Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, góc hợp bởi đường cao SH của hình<br /> chóp và mặt bên bằng , cho a cố định, thay đổi. Tìm để thể tích khối chóp S.ABCD là<br /> lớn nhất.<br /> (Cho biết:<br /> <br /> )<br /> -----Hết-----<br /> <br /> ebooktoan.com<br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> <br /> AN GIANG<br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 12<br /> Năm học 2012 – 2013<br /> <br /> MÔN TOÁN VÒNG 1<br /> <br /> A.ĐÁP ÁN<br /> <br /> Bài 1<br /> <br /> <br /> Đ<br /> <br />  Để hàm số có hai điểm cực trị thì<br /> thiên sau<br /> <br /> 0<br /> <br /> và ta có bảng biến<br /> 3,0<br /> điểm<br /> <br /> 0<br /> <br />  Ta có hai điểm cực đại và cực tiểu là<br />  Tam giác ABC cân tại C(-4;-2) ta được<br /> <br /> ạ<br /> <br />  Vậy<br /> <br /> thỏa đề<br /> <br /> Giải phương trình<br /> <br />  Nhận xét: Nếu viết phương trình trên lại là<br /> Bài 2<br /> <br /> thì phương trình có nghiệm khi<br /> do vế phải dương<br />  Đặt<br /> phương trình trở thành<br /> <br /> 3,0<br /> điểm<br /> <br /> ebooktoan.com<br /> <br />  Lại đặt<br /> <br /> phương trình trở<br /> <br /> thành<br /> ạ<br />  Với<br /> <br /> vậy<br /> <br /> là nghiệm của<br /> <br /> phương trình<br /> <br /> Vậy phương trình có hai nghiệm<br /> Cách khác:<br /> + Nhận xét<br /> không là nghiệm của phương trình<br /> + Nếu<br /> phương trình trên viết lại là :<br /> <br /> So với điều kiện phương trình có hai nghiệm<br /> <br />  TXĐ:<br />  Đặt<br /> <br /> Bài 3<br /> Vậy<br />  Xét hàm số<br /> <br /> 3,0<br /> điểm<br /> <br /> ebooktoan.com<br /> Vậy<br /> <br />  Mỗi bộ ba số nguyên dương<br /> ứng với bộ<br /> ố<br /> <br /> thỏa mãn<br /> <br /> ố<br /> <br /> tương<br /> <br /> ố<br /> <br /> trong đó có đúng 2012 số1 và 2 số 0.<br /> Như vậy số bộ ba số cần tìm chính là số các cách sắp xếp hai chữ số 0 và<br /> 2012 chữ số 1 vào 2013 vị trí sao cho hai số 0 không đứng cạnh nhau và<br /> không được đứng đầu và đứng cuối.<br />  Để sắp xếp các số như trên ta thực hiện<br /> * Sắp xếp 2012 chữ số 1 có 1 cách sắp xếp<br /> * Sắp xếp số 0 đầu tiên vào giữa 2012 số1 có 2011 cách sắp xếp (trừ đi vị trí<br /> đầu và cuối).<br /> * Sắp xếp số 0 thứ hai vào giữa 2013 số trên có 2010 cách sắp xếp ( không<br /> sắp đầu và cuối và không sắp bên trái, bên phải số 0 vừa sắp)<br /> Bài 4 * Vì hai số 0 có thể đổi chổ cho nhau nên có<br /> <br /> các bộ số cần tìm.<br /> <br /> Ta có nhận xét 2012 không chia hết cho 3 nên phương trình không có ba<br /> nghiệm bằng nhau.<br />  Ta đếm các nghiệm<br /> trong đó<br /> .<br /> Để có nghiệm loại này ta thấy mỗi cặp<br /> có duy nhất một số nguyên<br /> với<br /> để chọn nghiệm loại này ta thực hiện<br /> * Chọn một số nguyên thuộc<br /> vào hai vị trí<br /> có 1005 cách<br /> chọn.<br /> * Số còn lại là<br /> có đúng một cách chọn.<br /> Vậy có 1005 bộ ba số<br /> trong đó<br /> .<br /> * Vì vai trò<br /> đỗi chổ cho nhau nên có 3.1005 các nghiệm có hai số<br /> giống nhau<br /> Vậy có<br /> các bộ nghiệm<br /> trong<br /> đó<br /> <br /> đôi một khác nhau.<br /> <br /> 4,0<br /> điểm<br /> <br /> ebooktoan.com<br /> * Gọi M là giao điểm hai đường chéo hình thang, tọa độ M là nghiệm của hệ 3,0<br /> điểm<br /> * Ta có nhận xét hai đường thẳng<br /> vuông góc<br /> nhau.<br /> CD=2AB suy ra hình thang cân có hai đáy là AB;<br /> CD<br /> * Vậy diện tích hình thang cân ABCD là:<br /> * Ta lại có<br /> Vậy<br /> <br /> Bài 5<br /> <br /> Vậy tọa độ điểm A là<br /> Với<br /> do<br /> <br /> (loại)<br /> <br /> *<br /> Ta lại có<br /> Vậy tọa độ B là<br /> (loại)<br /> Với<br /> do<br /> Vậy tọa độ các đỉnh của hình thang là<br /> <br /> .<br /> <br /> * Do hình chóp đều nên H là giao điểm của AC và<br /> BD<br /> Gọi M là trung điểm của CD dể thấy CD (SHM)<br /> nên (SHM) (SCD) hay SM là hình chiếu của SH<br /> lên mặt phẳng (SCD) vậy<br /> ớ<br /> * Đặt<br /> <br /> Bài 6<br /> <br /> Đặt<br /> <br /> ớ<br /> <br /> 4,0<br /> điểm<br /> <br /> A<br /> <br /> D<br /> M<br /> <br /> H<br /> <br /> B<br /> <br /> * Tam giác SHM vuông tại H ta được<br /> <br /> *<br /> <br /> S<br /> <br /> C<br /> <br />