intTypePromotion=3

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2013-2014 - Sở GD&ĐT Quảng Nam

Chia sẻ: Hương Nắng Mai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

0
77
lượt xem
10
download

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2013-2014 - Sở GD&ĐT Quảng Nam

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2013-2014 - Sở GD&ĐT Quảng Nam" để tự bồi dưỡng thêm kiến thức môn Toán các bạn học sinh 12 nhé. Nội dung đề thi bám sát khung chương trình học cấp phổ thông theo quy định của Bộ GD&ĐT. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2013-2014 - Sở GD&ĐT Quảng Nam

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> NĂM HỌC 2013 – 2014<br /> MÔN: TOÁN – LỚP 12<br /> Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)<br /> <br /> Câu 1 (5,0 điểm).<br /> a) Giải phương trình:<br /> <br /> 3x  2  x  1  2x 2  x  3 .<br /> <br /> 8 8<br />  3<br /> x  3x 2  13x  15  3 <br /> <br /> y<br /> y<br /> b) Giải hệ phương trình: <br />  2<br /> 2 2<br />  y  4  5y (x  2x  2)<br /> <br /> (x, y  ) .<br /> <br /> Câu 2 (4,0 điểm).<br /> <br /> 2014<br /> <br />  u1  2013<br /> a) Cho dãy số (un) xác định bởi: <br /> 2<br />  2u<br />  n 1  u n  2u n , n  *<br /> Đặt Sn <br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> . Tính: limSn .<br /> <br /> ...<br /> u1  2 u 2  2<br /> un  2<br /> <br /> b) Tìm tất cả các hàm số f liên tục trên<br /> <br /> thỏa mãn:<br /> <br /> f(3x – y + ) = 3f(x) – f(y),  x, y <br /> trong đó  là số thực cho trước.<br /> Câu 3 (5,0 điểm).<br /> a) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1. Gọi M là điểm bất kỳ nằm trong mặt phẳng<br /> chứa tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:<br /> <br /> T  MA.h a  MB.h b  MC.h c<br /> (với ha, hb, hc lần lượt là độ dài các đường cao vẽ từ A, B, C).<br /> b) Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi. Gọi H và G lần lượt là<br /> trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC. Gọi E là điểm đối xứng với H qua G. Tìm tập hợp<br /> các điểm A, biết rằng điểm E thuộc đường thẳng BC.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> Câu 4 (3,0 điểm).<br /> a) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c sao cho:<br /> a + 2b = c và a3 + 8b3 = c2 .<br /> b) Cho đa thức f(x) có bậc n > 1, có các hệ số đều là các số nguyên và thỏa mãn điều kiện<br /> f(a + b) = a.b, với a, b là hai số nguyên cho trước (a, b khác 0).<br /> Chứng minh rằng f(a) chia hết cho b và f(b) chia hết cho a.<br /> Câu 5 (3,0 điểm).<br /> Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = 8.<br /> Chứng minh rằng với mọi k <br /> k<br /> <br /> *, ta có:<br /> k<br /> <br /> a2<br /> <br /> k1<br /> <br /> (a  b)(a2  b2)(a4  b4)...(a2<br /> <br /> k1<br /> <br />  b2<br /> <br /> k<br /> <br /> b2<br /> <br /> <br /> <br /> k1<br /> <br /> ) (b  c)(b2  c2)(b4  c4)...(b2<br /> <br /> k1<br /> <br />  c2<br /> <br /> <br /> <br /> c2<br /> <br /> k1<br /> <br /> ) (c  a)(c2  a2)(c4  a4)...(c2<br /> <br /> k1<br /> <br />  a2<br /> <br /> <br /> )<br /> <br /> 3<br /> 2k1<br /> <br /> .<br /> <br /> ------------- Hết -------------<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> HƯỚNG DẪN CHẤM<br /> Câu 1.<br /> <br /> 5.0<br /> <br /> + Điều kiện: x  2 (*). Khi đó:<br /> 3<br /> <br /> (1) <br /> <br /> a) u1 <br /> <br /> Với mọi k  N*, ta có :<br /> <br /> 2x  3<br />  (2x  3)(x  1)<br /> 3x  2  x  1<br /> <br /> 2014<br /> , 2u n 1  u 2  2u n , n  N *<br /> n<br /> 2013<br /> <br /> = 1  2  1  1<br /> uk<br /> <br /> 2u k 1<br /> <br /> uk<br /> <br /> u1<br /> <br /> 1<br /> < 1 và x + 1 ><br /> 3x  2  x  1<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 2<br /> u n 1  (u n<br /> <br /> u k 1<br /> <br /> ><br /> <br /> 1.CM:<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br />  2u n ) / 2  1, n  N*<br /> <br />  un > 1,  n  N*<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2.0<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br />  Sn  1/ u1  1/ u n 1<br /> <br /> (2)  x = 3/2 (thỏa (*))<br /> 2<br /> nên<br /> 3<br /> <br /> 4.0<br /> <br /> 1<br /> uk<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> u k  2 u k (u k  2) u k u k (u k  2)<br /> <br /> 1.0<br /> <br /> (2)<br />  2x  3  0<br /> <br /> <br /> 1<br /> <br />  x  1 (3)<br />  3x  2  x  1<br /> <br /> <br /> Vì x <br /> <br /> 2.5<br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 3x  2  x  1  2x 2  x  3<br /> <br /> a) Giải PT:<br /> (1)<br /> <br /> Câu 2.<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> Ta có: u n 1  u n  u 2 / 2  0, n  N*<br /> n<br /> <br />  (3) vô nghiệm<br /> 0.2<br /> 5<br /> <br />  (un) tăng<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x =<br /> 3/2.<br /> <br />  2a=a2 + 2a  a = 0. Mâu thuẫn với<br /> a≥1<br /> <br /> 0.5<br /> Giả sử (un) bị chặn trên thì (un) tồn tại<br /> giới hạn hữu hạn: limun = a (a ≥ 1).<br /> <br />  limun = +  lim(1/ u n 1 )  0 .<br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> Vậy: lim Sn  1/ u1  2013 / 2014 .<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> b)<br /> <br /> Giải<br /> <br /> hệ<br /> <br /> PT<br /> <br /> 8 8<br />  3<br /> 2<br /> x  3x  13x  15  3  y<br /> y<br /> <br />  2<br /> 2 2<br />  y  4  5y (x  2x  2)<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> (I):<br /> 2.5<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> 0.2 b) f(3x – y + ) = 3f(x) – f(y), x,yR 2.0<br /> 5 (1)<br /> <br /> + Điều kiện: y ≠ 0 (*). Khi đó:<br /> <br /> <br /> <br /> 2 4<br /> 2<br /> (x  1)(x  2x  15)   2  4 <br /> <br /> y y<br /> <br /> <br /> <br /> (I)  <br /> 1  4  5[(x  1) 2  1]<br />  y2<br /> <br /> <br /> Đặt a = x + 1, b  2 (b ≠ 0), hệ trên trở<br /> <br /> Trong (1), thay x  y  3x ' y ' ta được:<br /> 2<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> y<br /> <br />  3x ' y '  ,<br /> f (3x ' y ' )  2f <br /> <br />  2 <br /> <br /> <br /> <br /> x’, y’R<br /> <br />  3x  y  ,<br /> f (3x  y  )  2f <br /> <br />  2 <br /> <br /> x, yR (2)<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> thành:<br /> Từ (1) và (2) suy ra:<br /> <br /> <br /> <br /> a(a 2  16)  b b 2  4<br /> <br /> <br /> 1  b2  5(a 2  1)<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  f  3 x  1 y   3 f  x   1 f  y  ,x,yR (3)<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> ý<br /> <br />  21a3 – 5a2b – 4ab2 = 0<br /> hoặc<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> + Thay<br /> <br /> (3) <br /> <br /> 2<br /> <br /> vào (1) được b = 9 và tìm<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> vào (1) được :<br /> <br />  g  3 x   3 g x  , g   1 y    1 g  y<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 31<br />  b2  4 (vô nghiệm).<br /> 49<br /> <br /> Kết luận đúng.<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 1  3<br /> 1<br /> 3<br /> g  x  y   g  x   g  y  ,x,yR<br /> 2  2<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 2 <br /> <br /> + Thay<br /> <br /> x,yR<br /> <br /> Đặt g(x) = f(x) – f(0), ta có: g(0) = 0<br /> và:<br /> <br /> được hai nghiệm (–2 ; 2/3), (0 ; – 2/3).<br /> 4b<br /> a<br /> 7<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 1 <br /> 3<br /> f  x  y   f (0) =<br /> 2 <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> 1<br /> [f  x   f (0)]  [f  y   f (0)] ,<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 4b<br /> a<br /> 7<br /> <br /> + Thay a = 0 vào (1) được b2 = 4 và tìm<br /> được hai nghiệm (–1 ; –1), (–1 ; 1).<br /> b<br /> a<br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> f(0) = 3f(0)/2–f(0)/2  f(0) = b, b tùy<br /> <br />  a3 – b3 = (b2 – 5a2)(4a – b)<br /> <br />  a = 0 hoặc<br /> <br /> 2<br /> <br /> Thay x = 0, y = 0 vào (3) ta được:<br /> <br /> a 3  b3  16a  4b<br /> <br />  <br /> 2<br /> 2<br /> b  5a  4 (1)<br /> <br /> <br /> b<br /> a<br /> 3<br /> <br /> 2 <br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 2<br /> <br />  2 <br /> <br /> 2<br /> <br /> ,x,yR<br /> <br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 1 <br /> 3<br /> 3 <br />  1 <br /> g  x  y   g  x   g   y  ,x,yR<br /> 2 <br /> 2<br /> 2 <br />  2 <br /> <br /> g(x+y) = g(x) + g(y),x,yR<br /> Vì g liên tục trên R nên:<br /> g(x) = ax, xR, với g(1) = a (a tùy<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> ý)<br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br />  f(x) = ax + b, xR (4) (với a, b tùy<br /> ý)<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> Thay (4) vào (1) ta được: b = a<br /> Vậy f(x) = ax + a, với a tùy ý.<br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> Câu 3.<br /> <br /> 5.0<br /> <br /> Câu 4.<br /> <br /> 3.0<br /> <br /> a) T  MA.h a  MB.h b  MC.h c<br /> <br /> 3.0<br /> <br /> a) a + 2b = c (1), a3 + 8b3 = c2 (2)<br /> <br /> 2.0<br /> <br /> (2)  (a + 2b)(a2 – 2ab + 4b2) = c2 (3)<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> Ta có:<br /> <br /> ha <br /> <br /> 2S 2<br /> 2S 2<br /> 2S 2<br />  , hb <br />  , hc <br /> <br /> a a<br /> b b<br /> c c<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br />  T  2  MA.GA  MB.GB  MA.GC <br /> <br /> <br />  a.GA<br /> <br /> b.GB<br /> <br /> c.GC <br /> <br /> (2)  a2 – 2ab + 4b2 = (a + 2b)<br /> 0.2<br /> 5<br /> <br />  MA.GA MB.GB MA.GC <br />  3<br /> <br /> <br /> <br /> b.mc<br /> c.mc <br />  a.m a<br /> <br />  a.ma <br /> <br /> 2<br /> <br /> a b c<br /> <br /> Tương tự<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2 3<br /> <br /> b.m b <br /> <br /> a 2  b2  c2<br /> 2 3<br /> <br /> , c.m c <br /> <br />  4b2 – 2(a + 1)b + a2 – a = 0 (4)<br /> <br /> (4) có nghiệm  ’ ≥ 0<br />  3a2 – 6a  1  3(a – 1)2  4<br /> <br /> 6 3<br /> 2<br /> <br /> a  b2  c 2<br /> <br /> 2 3<br /> <br /> (MA.GA  MB.GB  MC.GC) (1)<br /> <br /> Đẳng thức xảy ra  a = b = c.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br />  a = 1 hoặc a = 2 (vì a  N*)<br /> <br /> a 2  b2  c2<br /> <br /> + a = 1  b = 1, c = 3<br /> T<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> ’ = (a + 1)2 – 4(a2 – a) = –3a2 + 6a + 1<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> a.ma  a 2b 2  2c 2  a 2 <br /> 3a 2 (2b 2  2c 2  a 2 )<br /> 2<br /> 2 3<br /> 2<br /> <br /> Từ (1) và (3) suy ra:<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> + a = 2  b = 1, c = 4<br /> 0.2<br /> <br /> Vậy (a;b;c) =(1;1;3) hoặc (a;b;c) =(2;1;4)<br /> <br /> 0.2<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản