Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2013-2014 - Sở GD&ĐT Quảng Nam

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> NĂM HỌC 2013 – 2014<br /> MÔN: TOÁN – LỚP 12<br /> Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)<br /> <br /> Câu 1 (5,0 điểm).<br /> a) Giải phương trình:<br /> <br /> 3x  2  x  1  2x 2  x  3 .<br /> <br /> 8 8<br />  3<br /> x  3x 2  13x  15  3 <br /> <br /> y<br /> y<br /> b) Giải hệ phương trình: <br />  2<br /> 2 2<br />  y  4  5y (x  2x  2)<br /> <br /> (x, y  ) .<br /> <br /> Câu 2 (4,0 điểm).<br /> <br /> 2014<br /> <br />  u1  2013<br /> a) Cho dãy số (un) xác định bởi: <br /> 2<br />  2u<br />  n 1  u n  2u n , n  *<br /> Đặt Sn <br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> . Tính: limSn .<br /> <br /> ...<br /> u1  2 u 2  2<br /> un  2<br /> <br /> b) Tìm tất cả các hàm số f liên tục trên<br /> <br /> thỏa mãn:<br /> <br /> f(3x – y + ) = 3f(x) – f(y),  x, y <br /> trong đó  là số thực cho trước.<br /> Câu 3 (5,0 điểm).<br /> a) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1. Gọi M là điểm bất kỳ nằm trong mặt phẳng<br /> chứa tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:<br /> <br /> T  MA.h a  MB.h b  MC.h c<br /> (với ha, hb, hc lần lượt là độ dài các đường cao vẽ từ A, B, C).<br /> b) Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi. Gọi H và G lần lượt là<br /> trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC. Gọi E là điểm đối xứng với H qua G. Tìm tập hợp<br /> các điểm A, biết rằng điểm E thuộc đường thẳng BC.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> Câu 4 (3,0 điểm).<br /> a) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c sao cho:<br /> a + 2b = c và a3 + 8b3 = c2 .<br /> b) Cho đa thức f(x) có bậc n > 1, có các hệ số đều là các số nguyên và thỏa mãn điều kiện<br /> f(a + b) = a.b, với a, b là hai số nguyên cho trước (a, b khác 0).<br /> Chứng minh rằng f(a) chia hết cho b và f(b) chia hết cho a.<br /> Câu 5 (3,0 điểm).<br /> Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = 8.<br /> Chứng minh rằng với mọi k <br /> k<br /> <br /> *, ta có:<br /> k<br /> <br /> a2<br /> <br /> k1<br /> <br /> (a  b)(a2  b2)(a4  b4)...(a2<br /> <br /> k1<br /> <br />  b2<br /> <br /> k<br /> <br /> b2<br /> <br /> <br /> <br /> k1<br /> <br /> ) (b  c)(b2  c2)(b4  c4)...(b2<br /> <br /> k1<br /> <br />  c2<br /> <br /> <br /> <br /> c2<br /> <br /> k1<br /> <br /> ) (c  a)(c2  a2)(c4  a4)...(c2<br /> <br /> k1<br /> <br />  a2<br /> <br /> <br /> )<br /> <br /> 3<br /> 2k1<br /> <br /> .<br /> <br /> ------------- Hết -------------<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> HƯỚNG DẪN CHẤM<br /> Câu 1.<br /> <br /> 5.0<br /> <br /> + Điều kiện: x  2 (*). Khi đó:<br /> 3<br /> <br /> (1) <br /> <br /> a) u1 <br /> <br /> Với mọi k  N*, ta có :<br /> <br /> 2x  3<br />  (2x  3)(x  1)<br /> 3x  2  x  1<br /> <br /> 2014<br /> , 2u n 1  u 2  2u n , n  N *<br /> n<br /> 2013<br /> <br /> = 1  2  1  1<br /> uk<br /> <br /> 2u k 1<br /> <br /> uk<br /> <br /> u1<br /> <br /> 1<br /> < 1 và x + 1 ><br /> 3x  2  x  1<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 2<br /> u n 1  (u n<br /> <br /> u k 1<br /> <br /> ><br /> <br /> 1.CM:<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br />  2u n ) / 2  1, n  N*<br /> <br />  un > 1,  n  N*<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2.0<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br />  Sn  1/ u1  1/ u n 1<br /> <br /> (2)  x = 3/2 (thỏa (*))<br /> 2<br /> nên<br /> 3<br /> <br /> 4.0<br /> <br /> 1<br /> uk<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> u k  2 u k (u k  2) u k u k (u k  2)<br /> <br /> 1.0<br /> <br /> (2)<br />  2x  3  0<br /> <br /> <br /> 1<br /> <br />  x  1 (3)<br />  3x  2  x  1<br /> <br /> <br /> Vì x <br /> <br /> 2.5<br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 3x  2  x  1  2x 2  x  3<br /> <br /> a) Giải PT:<br /> (1)<br /> <br /> Câu 2.<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> Ta có: u n 1  u n  u 2 / 2  0, n  N*<br /> n<br /> <br />  (3) vô nghiệm<br /> 0.2<br /> 5<br /> <br />  (un) tăng<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x =<br /> 3/2.<br /> <br />  2a=a2 + 2a  a = 0. Mâu thuẫn với<br /> a≥1<br /> <br /> 0.5<br /> Giả sử (un) bị chặn trên thì (un) tồn tại<br /> giới hạn hữu hạn: limun = a (a ≥ 1).<br /> <br />  limun = +  lim(1/ u n 1 )  0 .<br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> Vậy: lim Sn  1/ u1  2013 / 2014 .<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> b)<br /> <br /> Giải<br /> <br /> hệ<br /> <br /> PT<br /> <br /> 8 8<br />  3<br /> 2<br /> x  3x  13x  15  3  y<br /> y<br /> <br />  2<br /> 2 2<br />  y  4  5y (x  2x  2)<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> (I):<br /> 2.5<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> 0.2 b) f(3x – y + ) = 3f(x) – f(y), x,yR 2.0<br /> 5 (1)<br /> <br /> + Điều kiện: y ≠ 0 (*). Khi đó:<br /> <br /> <br /> <br /> 2 4<br /> 2<br /> (x  1)(x  2x  15)   2  4 <br /> <br /> y y<br /> <br /> <br /> <br /> (I)  <br /> 1  4  5[(x  1) 2  1]<br />  y2<br /> <br /> <br /> Đặt a = x + 1, b  2 (b ≠ 0), hệ trên trở<br /> <br /> Trong (1), thay x  y  3x ' y ' ta được:<br /> 2<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> y<br /> <br />  3x ' y '  ,<br /> f (3x ' y ' )  2f <br /> <br />  2 <br /> <br /> <br /> <br /> x’, y’R<br /> <br />  3x  y  ,<br /> f (3x  y  )  2f <br /> <br />  2 <br /> <br /> x, yR (2)<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> thành:<br /> Từ (1) và (2) suy ra:<br /> <br /> <br /> <br /> a(a 2  16)  b b 2  4<br /> <br /> <br /> 1  b2  5(a 2  1)<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  f  3 x  1 y   3 f  x   1 f  y  ,x,yR (3)<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> ý<br /> <br />  21a3 – 5a2b – 4ab2 = 0<br /> hoặc<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> + Thay<br /> <br /> (3) <br /> <br /> 2<br /> <br /> vào (1) được b = 9 và tìm<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> vào (1) được :<br /> <br />  g  3 x   3 g x  , g   1 y    1 g  y<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 31<br />  b2  4 (vô nghiệm).<br /> 49<br /> <br /> Kết luận đúng.<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 1  3<br /> 1<br /> 3<br /> g  x  y   g  x   g  y  ,x,yR<br /> 2  2<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 2 <br /> <br /> + Thay<br /> <br /> x,yR<br /> <br /> Đặt g(x) = f(x) – f(0), ta có: g(0) = 0<br /> và:<br /> <br /> được hai nghiệm (–2 ; 2/3), (0 ; – 2/3).<br /> 4b<br /> a<br /> 7<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 1 <br /> 3<br /> f  x  y   f (0) =<br /> 2 <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> 1<br /> [f  x   f (0)]  [f  y   f (0)] ,<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 4b<br /> a<br /> 7<br /> <br /> + Thay a = 0 vào (1) được b2 = 4 và tìm<br /> được hai nghiệm (–1 ; –1), (–1 ; 1).<br /> b<br /> a<br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> f(0) = 3f(0)/2–f(0)/2  f(0) = b, b tùy<br /> <br />  a3 – b3 = (b2 – 5a2)(4a – b)<br /> <br />  a = 0 hoặc<br /> <br /> 2<br /> <br /> Thay x = 0, y = 0 vào (3) ta được:<br /> <br /> a 3  b3  16a  4b<br /> <br />  <br /> 2<br /> 2<br /> b  5a  4 (1)<br /> <br /> <br /> b<br /> a<br /> 3<br /> <br /> 2 <br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 2<br /> <br />  2 <br /> <br /> 2<br /> <br /> ,x,yR<br /> <br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 1 <br /> 3<br /> 3 <br />  1 <br /> g  x  y   g  x   g   y  ,x,yR<br /> 2 <br /> 2<br /> 2 <br />  2 <br /> <br /> g(x+y) = g(x) + g(y),x,yR<br /> Vì g liên tục trên R nên:<br /> g(x) = ax, xR, với g(1) = a (a tùy<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> ý)<br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br />  f(x) = ax + b, xR (4) (với a, b tùy<br /> ý)<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> Thay (4) vào (1) ta được: b = a<br /> Vậy f(x) = ax + a, với a tùy ý.<br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> Câu 3.<br /> <br /> 5.0<br /> <br /> Câu 4.<br /> <br /> 3.0<br /> <br /> a) T  MA.h a  MB.h b  MC.h c<br /> <br /> 3.0<br /> <br /> a) a + 2b = c (1), a3 + 8b3 = c2 (2)<br /> <br /> 2.0<br /> <br /> (2)  (a + 2b)(a2 – 2ab + 4b2) = c2 (3)<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> Ta có:<br /> <br /> ha <br /> <br /> 2S 2<br /> 2S 2<br /> 2S 2<br />  , hb <br />  , hc <br /> <br /> a a<br /> b b<br /> c c<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br />  T  2  MA.GA  MB.GB  MA.GC <br /> <br /> <br />  a.GA<br /> <br /> b.GB<br /> <br /> c.GC <br /> <br /> (2)  a2 – 2ab + 4b2 = (a + 2b)<br /> 0.2<br /> 5<br /> <br />  MA.GA MB.GB MA.GC <br />  3<br /> <br /> <br /> <br /> b.mc<br /> c.mc <br />  a.m a<br /> <br />  a.ma <br /> <br /> 2<br /> <br /> a b c<br /> <br /> Tương tự<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2 3<br /> <br /> b.m b <br /> <br /> a 2  b2  c2<br /> 2 3<br /> <br /> , c.m c <br /> <br />  4b2 – 2(a + 1)b + a2 – a = 0 (4)<br /> <br /> (4) có nghiệm  ’ ≥ 0<br />  3a2 – 6a  1  3(a – 1)2  4<br /> <br /> 6 3<br /> 2<br /> <br /> a  b2  c 2<br /> <br /> 2 3<br /> <br /> (MA.GA  MB.GB  MC.GC) (1)<br /> <br /> Đẳng thức xảy ra  a = b = c.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br />  a = 1 hoặc a = 2 (vì a  N*)<br /> <br /> a 2  b2  c2<br /> <br /> + a = 1  b = 1, c = 3<br /> T<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> ’ = (a + 1)2 – 4(a2 – a) = –3a2 + 6a + 1<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> a.ma  a 2b 2  2c 2  a 2 <br /> 3a 2 (2b 2  2c 2  a 2 )<br /> 2<br /> 2 3<br /> 2<br /> <br /> Từ (1) và (3) suy ra:<br /> <br /> 0.2<br /> 5<br /> <br /> + a = 2  b = 1, c = 4<br /> 0.2<br /> <br /> Vậy (a;b;c) =(1;1;3) hoặc (a;b;c) =(2;1;4)<br /> <br /> 0.2<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />