Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2013-2014 - Trường THPT Thái Thuận

S GD&ðT B C GIANG<br /> <br /> TRƯ NG THPT THÁI THU N<br /> <br /> ð THI CH N HSG C P TRƯ NG<br /> NĂM H C 2013 – 2014<br /> <br /> Môn thi: Toán l p 12<br /> Th i gian làm bài: 180 phút<br /> x−2<br /> có ñ th (C).<br /> x +1<br /> 1) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th (C) c a hàm s .<br /> <br /> Câu I (4 ñi m). Cho hàm s y =<br /> <br /> 2) Ch ng minh r ng ñư ng th ng ( ∆) : 2x + y + m = 0 luôn c t ñ th (C) t i hai<br /> ñi m phân bi t A và B thu c hai nhánh c a ñ th . Xác ñ nh m sao cho AB ng n nh t.<br /> <br /> Câu II (4 ñi m).<br /> 1) Gi i phương trình:<br /> 5π<br /> π<br /> π 5x<br /> 9x<br /> sin( + 3x) + cos( − 7x) = 2sin 2 ( + ) − 2cos 2<br /> .<br /> 2<br /> 2<br /> 4 2<br /> 2<br />  xy + x + y = x 2 − 2y 2<br /> <br /> 2) Gi i h phương trình: <br /> ( x, y ∈ ℝ ) .<br />  x − 1 + 2y − 3 = 3<br /> <br /> n<br /> <br /> 3<br /> <br /> Câu III (2 ñi m). Tìm h s c a s h ng ch a x trong khai tri n  2x 2 +  .<br /> x<br /> <br /> Trong ñó n ∈ ℕ và th a mãn: log 4 (n − 3) + log 5 (n + 6) = 4 .<br /> Câu IV (2 ñi m). Tìm m ñ b t phương trình: m.4 x + ( m − 1) .2 x + 2 + m − 1 > 0<br /> ñúng ∀x ∈ ℝ .<br /> Câu V (6 ñi m).<br /> 1) Cho hình chóp S. ABC có góc ((SBC), (ACB)) = 600, ABC và SBC là các tam<br /> 8<br /> <br /> giác ñ u c nh a. (Hình chi u c a S n m<br /> <br /> mi n trong tam giác ABC)<br /> <br /> a. Tính theo a th tích kh i chóp S.ABC và kho ng cách t B ñ n m t ph ng (SAC).<br /> b. Xác ñ nh tâm m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC.<br /> 2) Trong m t ph ng Oxy cho ñi m A(2;–3), B(3;–2), ∆ABC có di n tích b ng<br /> <br /> 3<br /> ;<br /> 2<br /> <br /> tr ng tâm G c a ∆ABC thu c ñư ng th ng (d): 3x – y – 8 = 0. Tìm t a ñ ñi m C và<br /> bán kính ñư ng tròn n i ti p ∆ ABC.<br /> <br /> Câu VI (2 ñi m). Cho ba s th c dương a, b, c th a:<br /> a3<br /> b3<br /> c3<br /> +<br /> +<br /> =1<br /> a 2 + ab + b 2 b 2 + bc + c2 c2 + ca + a 2<br /> Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c S = a + b + c .<br /> ------------------ H t -------------------Thí sinh không ñư c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm.<br /> H và tên thí sinh: ……………………………; S báo danh: …………………..<br /> <br /> ðÁP ÁN CH N HSG TOÁN 12 – 2014<br /> Câu<br /> ðáp án<br /> H c sinh t gi i<br /> I<br /> 1<br /> (4<br /> 2 Pthñgñ chung: 2x 2 + (3 + m)x + m − 2 = 0 v i x ≠ −1<br /> ñi m<br /> Cm pt có 2 nghi m pb tm: x1 < −1 < x 2 ⇔ x1 x 2 + x1 + x 2 + 1 < 0 ⇔ −3 < 0 ñúng v i m i m.<br /> )<br /> GS A(x1 ; −2x1 − m), B(x 2 ; −2x 2 − m)<br /> 5<br /> Có AB2 = 5(x1 − x 2 ) 2 = 5  (x1 + x 2 ) 2 − 4x1x 2  =  (m − 1) 2 + 24  ≥ 30<br /> <br />  4<br /> <br /> Suy ra ABmin = 30 khi m = 1<br /> Câu 1<br /> 5π<br /> π<br /> π 5x<br /> 9x<br /> sin( + 3x) + cos( − 7x) = 2sin 2 ( + ) − 2 cos 2<br /> II<br /> 2<br /> 2<br /> 4 2<br /> 2<br /> (4<br /> ⇔ ( cos 3x + cos 9x ) + ( sin 7x − sin 5x ) = 0<br /> ñi m<br /> ⇔ 2 cos 6x ( cos 3x + sin x ) = 0<br /> )<br /> π kπ<br /> <br />  x = 12 + 6<br /> <br /> cos 6x = 0<br /> π<br /> ⇔<br /> ⇔  x = + mπ<br /> <br /> cos 3x = cos( π + x)<br /> 4<br /> <br /> <br /> 2<br />  x = − π + nπ<br /> <br /> 8 2<br /> <br /> ðKXð: x ≥ 1; y ≥<br /> <br /> k, m, n ∈ Ζ<br /> <br /> 0.5<br /> 0.25<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 0.25<br /> 0.25<br /> <br /> 3<br /> 2<br /> <br /> (xy + x 2 ) + x + y = 2x 2 − 2y 2<br /> <br /> H phương trình tương ñương: <br />  x − 1 + 2y − 3 = 3<br /> <br /> <br />   x + y = 0 ( loai )<br /> ( x + y )(1 − x + 2y ) = 0<br /> <br /> <br /> ⇔<br /> ⇔ 1 − x + 2y = 0<br />  x − 1 + 2y − 3 = 3<br /> <br /> <br />  x − 1 + 2y − 3 = 3<br /> 2y = x − 1<br /> <br /> ⇔<br />  x − 1 + x − 4 = 3 ( *)<br /> <br /> x ≥ 4<br /> <br /> PT ( *) ⇔ <br /> 2<br /> 2x − 5 + 2 x − 5x + 4 = 9<br /> <br /> <br /> x ≥ 4<br /> 4 ≤ x ≤ 7<br /> <br /> 4 ≤ x ≤ 7<br /> ⇔ x = 5 ( TM )<br /> ⇔ 2<br /> ⇔ 2<br /> 2 ⇔ <br /> x = 5<br />  x − 5x + 4 = 7 − x<br />  x − 5x + 4 = ( 7 − x )<br /> <br /> <br /> V i x = 5 ⇒ y = 2 . KL<br /> <br /> Câu<br /> III<br /> (2<br /> ñi m<br /> )<br /> <br /> 0.5<br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> KL<br /> 2<br /> <br /> ði m<br /> 2.0<br /> 0.25<br /> 0.5<br /> 0.25<br /> <br /> Phương trình: log 4 (n − 3) + log 5 ( n + 6) = 4 có nghi m duy nh t n = 19. (Vì VT là hàm s<br /> ñ ng bi n nên ñ th c t ñư ng th ng y = 4 t i m t ñi m duy nh t).<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> 0.25<br /> 0.25<br /> <br /> 0.5<br /> 0.25<br /> 1.0<br /> <br /> n<br /> <br /> 19<br />  2 3<br /> k 19− k k 38−3k<br />  2x +  = ∑ C19 2 3 x<br /> x  k =0<br /> <br /> <br /> 0.5<br /> 0.25<br /> <br /> T gt suy ra 38 − 3k = 8 ⇔ k = 10<br /> KL: C10 29310<br /> 19<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> 1<br /> <br /> ð t t = 2 x > 0 thì m.4 x + ( m − 1) .2 x + 2 + m − 1 > 0 ñúng ∀x ∈ ℝ<br /> m.t 2 + 4 ( m − 1) .t + ( m − 1) > 0, ∀t > 0 ⇔ m ( t 2 + 4t + 1) > 4t + 1, ∀t > 0<br /> <br /> Câu<br /> IV<br /> (2<br /> ñi m<br /> )<br /> <br /> ⇔ g(t) =<br /> <br /> [ 0; +∞ )<br /> <br /> 4t + 1 < m, ∀t > 0 . Ta có g′ ( t ) = −4t 2 − 2t < 0 nên g ( t ) ngh ch bi n trên<br /> t + 4t + 1<br /> ( t 2 + 4t + 1) 2<br /> 2<br /> <br /> suy ra ycbt ⇔ Max g ( t ) = g ( 0 ) = 1 ≤ m<br /> <br /> 0.5<br /> 0.5<br /> <br /> t≥0<br /> <br /> Câu 1 G i M là trung ñi m c a BC và O là hình chi u c a S<br /> V<br /> a lên AM. CM SO ⊥ mp(ABC)<br /> (6<br /> SM =AM = a 3 ; AMS = 600 và<br /> ñi m<br /> 2<br /> )<br /> ⇒ d(S; BAC) = SO = 3a<br /> 4<br /> G i VSABC- là th tích c a kh i chóp S.ABC<br /> 3<br /> ⇒ VS.ABC = 1 S∆ABC .SO = a 3 (ñvtt)<br /> 3<br /> 16<br /> 1S<br /> M t khác, VS.ABC = ∆SAC .d(B;SAC)<br /> 3<br /> ∆SAC cân t i C có CS =CA =a; SA = a 3<br /> 2<br /> A<br /> 2<br /> a 13 3<br /> ⇒ S∆SAC =<br /> 16<br /> 3VS.ABC<br /> = 3a (ñvñd).<br /> V y: d(B; SAC) =<br /> S∆SAC<br /> 13<br /> 1 Tam giác SAM ñ u suy ra O là trung ñi m c a AM<br /> b G i G là tr ng tâm c a tg ABC, suy ra G là tâm<br /> ñư ng tròn ngo i ti p tg ABC.<br /> Trong (SAM) d ng ñư ng th ng (d) qua G và song<br /> song v i SO suy ra d ⊥ (ABC) .<br /> D ng trung tr c c a SA trong (SAM) c t (d) t i I.<br /> CM I là tâm m t c u<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0.5<br /> 0.5<br /> <br /> G i C(a; b) , (AB): x –y –5 =0 ⇒ d(C; AB) =<br /> <br /> a−b−5<br /> 2<br /> <br /> (<br /> <br /> =<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> S<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> N<br /> <br /> I<br /> O<br /> <br /> C<br /> 0.5<br /> <br /> G<br /> <br /> M<br /> <br /> B<br /> <br /> 0.5<br /> 0.5<br /> 0.5<br /> <br /> 2S∆ABC<br /> AB<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> )<br /> <br />  a − b = 8(1)<br /> ;<br /> Tr ng tâm G a + 5 ; b − 5 ∈ (d) ⇒ 3a –b =4 (3)<br /> ⇒ a−b−5 =3⇔ <br /> 3<br /> 3<br />  a − b = 2(2)<br /> 3<br /> T (1), (3) ⇒ C(–2; 10) ⇒ r = S =<br /> p<br /> 2 + 65 + 89<br /> 3<br /> .<br /> T (2), (3) ⇒ C(1; –1) ⇒ r = S =<br /> p<br /> 2 +2 5<br /> Câu<br /> a3<br /> 2a − b<br /> CM: 2<br /> ≥<br /> (1) ⇔ 3a3 ≥ (2a – b)(a2 + ab + b2)<br /> VI<br /> 2<br /> a + ab + b<br /> 3<br /> (2<br /> ⇔ a3 + b3 – a2b – ab2 ≥ 0<br /> ñi m<br /> ⇔ (a + b)(a – b)2 ≥ 0. (h/n)<br /> )<br /> b3<br /> 2b − c<br /> c3<br /> 2c − a<br /> ≥<br /> (2) , 2<br /> ≥<br /> (3)<br /> Tương t : 2<br /> 2<br /> 2<br /> b + bc + c<br /> 3<br /> c + ac + a<br /> 3<br /> C ng v theo v c a ba bñt (1), (2) và (3) ta ñư c:<br /> a3<br /> b3<br /> c3<br /> a+b+c<br /> + 2<br /> + 2<br /> ≥<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> a + ab + b b + bc + c c + ca + a<br /> 3<br /> V y: S ≤ 3 ⇒ maxS = 3 khi a = b = c = 1<br /> Lưu ý khi ch m bài: Trên ñây ch là sơ lư c ñáp án, bài làm c a HS ph i ñư c trình bày t m . M<br /> gi i khác, n u ñúng v n cho ñi m tương ñương như trên.<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> 0.5<br /> 0.5<br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> i cách<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU<br /> -<br /> <br /> Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên môn<br /> cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.<br /> Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt giải<br /> cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.<br /> Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh<br /> kiến thức và tối ưu kết quả học tập.<br /> <br /> -<br /> <br /> CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ<br /> -<br /> <br /> Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám sát,<br /> hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.<br /> Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung<br /> thời gian tốt nhất để học.<br /> Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):<br /> <br /> + Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần lý<br /> thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo viên<br /> cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các bạn<br /> cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.<br /> + Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học này<br /> Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài các em<br /> thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở rộng thêm<br /> các dạng toán mới.<br /> <br /> HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM<br /> -<br /> <br /> -<br /> <br /> Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy chọn<br /> cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là chúng bắt<br /> đầu học Online trực tiếp như ở lớp.<br /> Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ động<br /> thời gian học tập của mình.<br /> Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời gian<br /> ngắn nhất.<br /> Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề<br /> nhanh hơn - hiệu quả hơn.<br /> Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán trên<br /> toàn quốc.<br /> Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá<br /> trình học.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br />