SỞ GD&ðT BẮC GIANG TRƯỜNG THPT THÁI THUẬN

ðỀ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán lớp 12 Thời gian làm bài: 180 phút

y

=

có ñồ thị (C).

Câu I (4 ñiểm). Cho hàm số

− x 2 + x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số.

2) Chứng minh rằng ñường thẳng (

∆

) : 2x

+ +

y m 0

= luôn cắt ñồ thị (C) tại hai

ñiểm phân biệt A và B thuộc hai nhánh của ñồ thị. Xác ñịnh m sao cho AB ngắn nhất.

Câu II (4 ñiểm). 1) Giải phương trình:

2

.

sin(

+

3x)

+

cos(

2 7x) 2sin (

=

+

) 2cos

−

−

π 5 2

5x 2

9x 2

2

π 4 2

π 2 + + = x

y

x

−

2y

xy

x, y

∈

2) Giải hệ phương trình:

(

ℝ . )

x 1

− +

2y 3 3 − =

   

n

2

.

2x

+

8x trong khai triển

Câu III (2 ñiểm). Tìm hệ số của số hạng chứa

  

Trong ñó n ∈ ℕ và thỏa mãn:

log (n 3)

−

+

= .

4

5

x

+ x 2

)

(

+ log (n 6) 4 Câu IV (2 ñiểm). Tìm m ñể bất phương trình:

   +

3 x − > m 1 0

m.4

+

− m 1 .2

ñúng x∀ ∈ ℝ .

Câu V (6 ñiểm). 1) Cho hình chóp S. ABC có góc ((SBC), (ACB)) = 600, ABC và SBC là các tam

giác ñều cạnh a. (Hình chiếu của S nằm ở miền trong tam giác ABC)

a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ B ñến mặt phẳng (SAC).

b. Xác ñịnh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

;

2) Trong mặt phẳng Oxy cho ñiểm A(2;–3), B(3;–2), ∆ABC có diện tích bằng

3 2

trọng tâm G của ∆ABC thuộc ñường thẳng (d): 3x – y – 8 = 0. Tìm tọa ñộ ñiểm C và bán kính ñường tròn nội tiếp ∆ ABC.

Câu VI (2 ñiểm). Cho ba số thực dương a, b, c thỏa: 3

3

3

1

+

+

=

2

2

2

2

2

2

a

b bc

b

c

c

a

c ca

a + ab b

+

+

+

+

+

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S a b c

= + + .

------------------ Hết --------------------

Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ……………………………; Số báo danh: …………………..

ðÁP ÁN CHỌN HSG TOÁN 12 – 2014 ðáp án

1 2 Pthñgñ chung: Học sinh tự giải 22x + +

+ <

1 0

1≠ − + + x

x

⇔ − < ñúng với mọi m.

3 0

x x 1

2

1

2

GS

A(x ; 2x m), B(x ; 2x m)

−

−

−

1 −

1

1

2

2

2

2

2

2

Có

=

− (m 1)

+

24

≥

30

AB

=

5(x

−

=

+

−

x ) 2

1

1

x ) 2

4x x 1

2

 

 

 5 (x 

 

5 4

Cm pt có 2 nghiệm pb tm: − = với x + (3 m)x m 2 0 ⇔ < − < x Câu I (4 ñiểm ) 1 x 2

Suy ra

khi m = 1

=

30

ðiểm 2.0 0.25 0.5 0.25 0.5 0.5

2

2 2sin (

minAB π 5 2

1 + sin( 3x) + cos( = − 7x) + ) 2 cos − 5x 2 9x 2

)

( 2 cos 6x cos 3x sin x

0 ⇔ + π 4 = π 2 ( sin 7x sin 5x −

) +

)

0 ⇔ = Câu II (4 ñiểm ) cos 3x cos 9x + (

x = + k π 6 cos 6x 0 = m k, m, n + π ∈ Ζ π 12 π 4 = + cos 3x cos( x)  ⇔   π 2

KL

π 8 π n 2     x ⇔ =    = − + x  0.5 0.25 0.5 0.5 0.25

≥ x 1; y

3 ≥ 2

2

2

2 ðKXð:

2 (xy x ) x y

x y

+ =

+ + = + − 2x 2y Hệ phương trình tương ñương: x 1 3 − +

)(

)

0

2y 3 − = ) x y 1 x 2y − + + = 0

( 0 loai 1 x 2y − +

=

(  ⇔  

x 1

− +

2y 3

− =

3

2y

= −

x 1

x 1

x 4

3

− +

− =

( ) *

 ⇔  

4

PT ( )*

2

−

5x 4

+ =

9

≥ x ⇔  − + 2x 5 2 x 

4

≤ ≤ x

7

≥

4

x

≤ ≤ x

7

⇔

⇔

⇔

⇔ = x

( 5 TM

)

2

2

5

x

5x 4

−

+ =

7 x −

(

)2

4   = x

    

− 5

    Với x

7 x 5x 4 x + = − = ⇒ = . KL 2 y

x 1 2y 3 3 − + − =        ⇔   

6)

3)

−

+

+

=

4

có nghiệm duy nhất n = 19. (Vì VT là hàm số

log ( 4

log ( 5

n

n

19

2

− 19 k k

− 38 3k

=

+

2x

3 x

k C 2 19

  

n Phương trình: ñồng biến nên ñồ thị cắt ñường thẳng y = 4 tại một ñiểm duy nhất).

= ⇔ =

k 10

8

10

Câu III (2 ñiểm )

3  ∑  x  k 0 = Từ gt suy ra 38 3k − 9 10 KL: 19C 2 3

1

0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 1.0 0.5 0.25 0.25

x

+ x 2

x

)

m.4 (

( > thì + = 0 2 t ) ) ( + − + 4 m 1 .t m 1

− > ñúng x∀ ∈ ℝ + − m 1 .2 m 1 0 ) ( 2 + 4t 1 + − > ∀ > ⇔ 0 m t 0,

4t 1,

>

t

+ ∀ > t 0

2

⇔

( ) g t

=

< ∀ >

m,

t

0

. Ta có

nên

( ) ′ g t

=

<

0

nghịch biến trên

( )g t

2

2

− 2

4t 1 + + + 4t 1

t

ðặt 2 m.t

4t +

− 2t ) + 4t 1

( t 1 m

= ≤

( ) Max g t

=

( ) g 0

0; +∞ suy ra ycbt ⇔

)

[

Câu IV (2 ñiểm ) 0.5 0.5 0.5 0.5

và

;

t 0 ≥ Gọi M là trung ñiểm của BC và O là hình chiếu của S lên AM. CM SO ⊥ mp(ABC) (cid:1) 0 SM =AM = a 3 AMS 60= 2

S

1 a

⇒ d(S; BAC) = SO = 3a 4 Gọi VSABC- là thể tích của khối chóp S.ABC

3

a

3

(ñvtt)

=

.SO

⇒ VS.ABC =

∆

ABC

1 S 3

16

N

.d(B;SAC)

Mặt khác, VS.ABC =

SAC

I

1 S 3 ∆ ∆SAC cân tại C có CS =CA =a; SA = a 3 2

A

2

a

⇒

=

S ∆

SAC

Câu V (6 ñiểm )

13 3 16

O

G

S.ABC

M

(ñvñd).

Vậy: d(B; SAC) =

=

3V S

3a 13

∆

SAC

B

0.5 0.5 0.5 C 0.5

.

⊥

1 b

Tam giác SAM ñều suy ra O là trung ñiểm của AM Gọi G là trọng tâm của tg ABC, suy ra G là tâm ñường tròn ngoại tiếp tg ABC. Trong (SAM) dựng ñường thẳng (d) qua G và song song với SO suy ra d (ABC) Dựng trung trực của SA trong (SAM) cắt (d) tại I. CM I là tâm mặt cầu

0.5 0.5 0.5 0.5

− − a b 5

ABC

=

Gọi C(a; b) , (AB): x –y –5 =0 ⇒ d(C; AB) =

2S ∆ AB

2

∈ (d) ⇒ 3a –b =4 (3)

⇒

2

a 5 b 5 ;

)

; Trọng tâm G (

+ 3

− 3

− = − − = ⇔  − = 3 a b 5 Từ (1), (3) ⇒ C(–2; 10) ⇒ r = =

+

=

.

Từ (2), (3) ⇒ C(1; –1) ⇒ =

89 3 65 2

a b 8(1) a b 2(2) S p S p

+ 3 + 2 2 5

3

2

CM:

≥

(1) ⇔ 3a3 ≥ (2a – b)(a2 + ab + b2)

2

2

a

a ab b +

a b − 3

+

r

3

3

⇔ a3 + b3 – a2b – ab2 ≥ 0 ⇔ (a + b)(a – b)2 ≥ 0. (h/n) 2

(2) ,

≥

≥

(3)

Tương tự:

2

2

2

2

b bc

b

c

c

c ac a +

b c − 2 3

+

+

+

c a − 3 Cộng vế theo vế của ba bñt (1), (2) và (3) ta ñược:

3

3

3

+

+

≥

2

2

2

2

2

2

Câu VI (2 ñiểm )

b bc

b

c

c

a ab b +

c ca a +

+

+

+

a b c + + 3

a + Vậy: S ≤ 3 ⇒ maxS = 3 khi a = b = c = 1

2

0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5

Lưu ý khi chấm bài: Trên ñây chỉ là sơ lược ñáp án, bài làm của HS phải ñược trình bày tỉ mỉ. Mọi cách giải khác, nếu ñúng vẫn cho ñiểm tương ñương như trên.

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU

- Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên môn

cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.

- Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt giải

cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.

- Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh

kiến thức và tối ưu kết quả học tập.

-

CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ

- Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám sát,

hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.

- Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung

thời gian tốt nhất để học.

- Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):

+ Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần lý thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo viên cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các bạn cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.

+ Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học này Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài các em thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở rộng thêm các dạng toán mới.

HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM

-

Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy chọn cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là chúng bắt đầu học Online trực tiếp như ở lớp.

- Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ động

thời gian học tập của mình.

- Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời gian

ngắn nhất.

- Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề

nhanh hơn - hiệu quả hơn.

- Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán trên

toàn quốc.

- Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá

trình học.

Trang | 1

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807