Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Phú Yên
lượt xem 4
download
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Phú Yên là tài liệu thực sự hữu ích cho các em học sinh nằm trong đội tuyển học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh. Đề thi có hướng dẫn giải chi tiết, hi vọng giúp các em ôn tập và củng cố kiến thức, đạt điểm cao trong kì thi quan trọng này. Mời các em tham khảo.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Phú Yên
- SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH TỈNH PHÚ YÊN LỚP 9 THCS, NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 30/3/2021 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ----------- Câu 1.(5,00 điểm) a) Chứng minh rằng: 3 5 2 13 3 5 2 13 1 . b) Biết đa thức x 4 4 x 3 6 px 2 4qx r chia hết cho đa thức x3 3x 2 9 x 3 . Tính giá trị biểu thức p q r . Câu 2.( 3,50 điểm) Giải hệ phương trình: xy 5 2 2 x y xy 5 2 x y xy 10 4. xy Câu 3.(2,50 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 x 2 5 y 2 13 . Câu 4.(3,00 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau ở D. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của DA với (O) và DA với BC; H là giao điểm của OD với BC. a) Chứng minh tam giác OAH đồng dạng với tam giác ODA. b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt (O) tại K (khác A). Chứng minh rằng E, H, K thẳng hàng. Câu 5.(3,00 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 1 1 1 P x 3 y 3 với x 0, y 0, 2 2 xy x y x xy y Câu 6.( 3,00 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, có H là trực tâm, (I) là đường tròn nội tiếp. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (I) với BC, CA, AB. Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên EF. a) Chứng minh rằng FKB EKC . b) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của HB, HC với EF. Chứng minh đẳng thức: EK.FP = FK .EQ. c) Chứng minh rằng KD là phân giác của HKI . ---------Hết--------- Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:………………………………………;Số báo danh:…………………….....… Chữ kí giám thị 1:……….………………..;Chữ kí giám thị 2:………..………………………... 2. Đáp án và thang điểm
- CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 1 5,00 đ a) Chứng minh rằng: A 3 5 2 13 3 5 2 13 1 . 2,50 đ Ta thấy: A3 10 9 3 5 2 13 3 5 2 13 10 9 A 1,00 đ A 1 A2 A 10 0 . 0,50 đ 2 1 39 1,00 đ Vì A2 A 10 A 0 nên suy ra A 1 0 A 1. 2 4 b) Biết đa thức x 4 4 x 3 6 px 2 4qx r chia hết cho đa thức 2,50 đ x3 3 x 2 9 x 3 . Tính giá trị biểu thức Q p q r . Giả sử x 4 4 x 3 6 px 2 4qx r x a x3 3x 2 9 x 3 0,50 đ x 4 a 3 x3 3a 9 x 2 9a 3 x 3a. 0,50 đ 4 a 3 a 1 6 p 3a 9 p 2 Đồng nhất các hệ số cùng bậc hai vế, ta được: 1,00 đ 4 q 9 a 3 q 3 r 3a r 3. Suy ra p q r 15. 0,50 đ xy 5 2 2 x y xy 5 2 Giải hệ phương trình: 3,50 đ 2 x y xy 10 4. xy Điều kiện xy 0, 2 x y xy 0 . 0,25 đ Đặt u xy, v 2 x y xy u , v 0 , hệ phương trình đã cho trở thành 0,50 đ u 5 2 v 5 (1) v 10 4 (2). u 10 4u 10 Từ (2) v 4 hay v . Thay vào (1) ta được 0,50 đ u u u 5u 5 u 2 10u 25 0 u 5 0 u 5 v 2. 2 1,00 đ 2 4u 10 xy 5 xy 5 0,50 đ Ta được hệ phương trình: 2 x y xy 2 2 x y 7 x 1 x 7 2 x 5 2 x 7 x 5 0 2 y 5 5. y 7 2 x y 7 2 x x 0,50 đ 2 y 2
- 5 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là 1;5 , ; 2 . 0,25 đ 2 3 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 x 2 5 y 2 13 (*) 2,50 đ Ta có: (*) 2( x 2 1) 5(3 y 2 ) . 0,50 đ Do (2, 5) 1 nên x 1 5 và 3 y 2 . 2 2 0,50 đ Đặt x 1 5k ,3 y 2l , ta có: 10k 10l k l k , l . 2 2 0,50 đ 1 k x 5k 1 0 2 5 Do đó: 2 k l 1. 0,50 đ y 3 2l 0 l 3 2 Vậy x 2, y 1 . 0,50 đ Phương trình có các nghiệm nguyên: (-2 ;-1), (-2 ;1), (2 ;-1) và (2 ;1). 4 3,00 đ a) Chứng minh ∆OAH ∆ODA 1,00 đ Theo tính chất tiếp tuyến thì BC OD . A K 0,25 đ Áp dụng HTL vào tam giác vuông OCD, với CH là đường cao ta có: OC 2 OH .OD OA2 OH .OD 0,50 đ O OA OD OH OA ∆OAH ∆ODA . B F H C 0,25 đ b) Chứng minh rằng E, H, K thẳng hàng 2,00 đ E Từ câu a) ta có ∆OAH ∆ODA OAD OHA OEA (1) OAEH nội tiếp 1,00 đ EAO EHD OAD (2). D OHA Từ (1) và (2) EHD (3). Dễ thấy ∆ABH=∆KCH (c.g.c) HA = HK hay AKH cân tại H (4). Vì OH BC, AK//BC OH AK (5). 0,50 đ Từ (4) và (5) suy ra OH là phân giác OHK AHK hay OHA (6). EHD Kết hợp (3) và (6) suy ra OHK ; 0,50 đ OHK Suy ra EHO EHO EHD 1800 , hay 3 điểm E, H, K thẳng hàng. 1 1 1 1 1 1 5 Tìm GTLN của biểu thức: P x 3 y 3 với x 0, y 0, 3,00 đ xy x y x2 xy y2 1 1 1 1 1 1 x y x xy y (do x 0, y 0 ). 2 2 Giả thiết: 0,50 đ xy x y x2 xy y 2 Do đó: P x3 y 3 x y x 2 xy y 2 x y . 2 0,50 đ x y 2 Để ý rằng x y x xy y x y 3 xy và 2 2 2 xy 0,50 đ 4
- 3 Suy ra x y x y x y x y x y 4 0 2 2 0,50 đ 4 Hay 0 x y 4 0 x y 16. 2 0,50 đ Vậy Max P = 16. Dấu đẳng thức xảy ra khi x y 2. 0,50 đ 6 3,00 đ EKC a) Chứng minh FKB A 1,00 đ Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của B, C lên EF. N E Khi đó: P K BFM AFE AEF CEN Q M F 0,50 đ BFM CEN I BM BF BD H CN CE CD B C D Mặt khác, BM//DK//CN nên theo định lí Thales ta có: BD MK BM MK EKC . 0,50 đ BMK CNK (c.g.c) FKB CD NK CN NK b) Chứng minh đẳng thức: EK.FP = FK .EQ. 1,00 đ CEQ Dễ chứng minh được BFP , FBP ECQ (cùng phụ BAC ). FB FP 0,50 đ Do đó BFP CEQ (g.g) (1) EC EQ EKC Theo a) FKB . Kết hợp với BFK CEK BFK CEK (g.g); FB FK 0,25 đ suy ra (2) EC EK FP FK Từ (1) và (2) suy ra EK .FP FK .EQ (đpcm). 0,25 đ EQ EK c) Chứng minh KD là phân giác của HKI 1,00 đ FP FK FP FK KP EK FK EK FK EF Theo b): (3) 0,25 đ EQ EK EQ EK KQ QK PK QK PK QP HPQ Hơn nữa, do IE//HP, IF//HQ, IE=IF nên IEF IFE HQP . 0,25 đ Do đó IEF HQP (g.g). IE EF Ta có IEF HQP (4) 0,25 đ HQ QP EK IE HKQ Từ (3) và (4) ta có IKE HKQ (c.g.c) IKE QK HQ 0,25 đ Suy ra IKD 900 IKE 900 HKQ HKD , hay KD là phân giác . IKH
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Bộ 10 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp tỉnh có đáp án
60 p | 427 | 38
-
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp thành phố năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Hà Nội
10 p | 42 | 4
-
Để thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp quốc gia năm 2020 có đáp án - Trường THPT Lê Quý Đôn, Đống Đa
7 p | 45 | 4
-
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Bình Định
1 p | 126 | 4
-
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2019-2020 có đáp án - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh
8 p | 56 | 4
-
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp trường năm 2019-2020 có đáp án - Sở GD&ĐT Bắc Ninh
6 p | 14 | 3
-
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp quốc gia năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Khánh Hòa
1 p | 44 | 3
-
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp thành phố năm 2020-2021 - Trường THPT Chu Văn An, Hà Nội
2 p | 37 | 3
-
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp trường năm 2019-2020 - Trường THPT Tiên Du số 1, Bắc Ninh
6 p | 45 | 2
-
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Khánh Hòa
1 p | 29 | 2
-
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Hưng Yên
2 p | 60 | 2
-
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Hải Dương
8 p | 33 | 2
-
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2019-2020 có đáp án - Sở GD&ĐT Bình Phước
10 p | 34 | 2
-
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2019-2020 có đáp án - Sở GD&ĐT Bình Định
1 p | 83 | 2
-
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp thành phố năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Hà Nội
8 p | 63 | 2
-
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp thành phố năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Đà Nẵng
32 p | 32 | 2
-
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp quốc gia năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT An Giang
2 p | 53 | 2
-
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2020-2021 - Trường THCS chuyên Nguyễn Du, Đăk Lắk (Vòng 1)
1 p | 66 | 2
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn