Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Quảng Bình

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

68
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn học sinh đang chuẩn bị bước vào kì thi học sinh giỏi cấp huyện có thêm tài liệu ôn tập, TaiLieu.VN giới thiệu đến các bạn Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Quảng Bình để ôn tập nắm vững kiến thức môn học. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Quảng Bình

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 Khóa ngày 08 tháng 12 năm 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN LỚP 9 THCS SỐ BÁO DANH:…………… Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề gồm có 01 trang và 05 câu Câu 1 (2,0 điểm).  x+2 11 + x   3 x + 2 + 1 1  a. Rút gọn biểu thức A =  + : −   x+2 +3 7− x   x−3 x+2 +2 x+2 (với x > −2 và x ≠ 7) b. Giải phương trình x + 4 x − 4 + x − 4 x − 4 = 4. Câu 2 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( d ) : y =ax + b (a ≠ 0) đi qua điểm A(1;4) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại B và C (khác O ). a. Viết phương trình đường thẳng ( d ) sao cho biểu thức OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ nhất. OB.OC b. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức P = . BC Câu 3 (3,0 điểm). BC 2a (a > 0) và A thay đổi sao cho Trong mặt phẳng, cho hai điểm B, C cố định với = tam giác ABC vuông tại A . Gọi M là trung điểm của BC , đường thẳng đi qua A vuông góc với AM cắt các đường phân giác của các góc AMB và  AMC lần lượt tại P và Q. Gọi D là giao điểm của MP với AB và E là giao điểm của MQ với AC. . a. Giả sử AC = 2 AB , tính số đo góc BQC 3 PD  MP  b. Chứng minh rằng =  . QE  MQ  c. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACQ và ABP theo a. Câu 4 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 2.  ( ) +( ) +( ) c −1  2 2 2 a+b b+c c+a a −1 b −1 Chứng minh rằng + + ≤ 4 . a+ b b+ c c+ a  b c a     Câu 5 (2,0 điểm). a. Số nguyên dương n được gọi là số điều hòa nếu tổng các bình phương của các ước dương của nó (kể cả 1 và n ) bằng ( n + 3) . Chứng minh rằng nếu pq (với p, q là các số nguyên tố khác 2 nhau) là số điều hòa thì pq + 2 là số chính phương. b. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( x, y ) thỏa mãn x 3 + y 3 = x 2 + y 2 + 42 xy. -------------HẾT------------
SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 Khóa ngày 08 tháng 12 năm 2020 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: TOÁN LỚP 9 THCS Đáp án này gồm có 05 trang YÊU CẦU CHUNG * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi câu. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng. * Trong mỗi câu, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. Ở câu 4 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0. * Điểm thành phần của mỗi câu nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm. * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng câu. * Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các câu. Câu Nội dung a. Rút gọn biểu thức  x+2 11 + x   3 x + 2 + 1 1  A=  + : −   x+2 +3 7− x   x−3 x+2 +2 x+2 2,0 1 điểm (với x > −2 và x ≠ 7) b. Giải phương trình x+4 x−4 + x−4 x−4 =4. Đặt x + 2 = t (t > 0, t ≠ 3) ⇒ x = t 2 − 2 0,25 Khi đó  t t 2 + 9   3t + 1 1   t (3 − t ) + t 2 + 9   3t + 1 − t + 3  0,25 A= + : 2   2 − =  2  :  t 2 − 3t   t + 3 9 − t   t − 3t t   9 − t    1a 3(t + 3) t (t − 3) −3t = . 0,25 (3 − t )(3 + t) 2(t + 2) 2(t + 2) −3 x + 2 Vậy A = 0,25 2( x + 2 + 2) Điều kiện: x ≥ 4 Ta có x+4 x−4 + x−4 x−4 =4. ⇔ x−4+4 x−4 +4 + x−4−4 x−4 +4 =4 0,5 2 2 ⇔ ( x − 4 + 2) + ( x − 4 − 2) =4 1b ⇔ x−4 +2 + x−4 −2 =4 Nhận xét x−4 +2 + x−4 −2 ≥ x−4 +2+2− x−4 =4 Đẳng thức xảy ra khi 0,25 ( x − 4 + 2)(2 − x − 4) ≥ 0 ⇔ 2 − x − 4 ≥ 0 (Do x − 4 + 2 > 0) ⇔ x−4 ≤ 2⇔ x≤8 Đáp án Toán 9 năm học 2020-2021 Page 1
Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là 4 ≤ x ≤ 8 0,25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : y =ax + b (a ≠ 0) đi qua điểm A(1; 4) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại B và C (khác O ). a. Viết phương trình đường thẳng ( d ) sao cho biểu thức OA + OB + OC 2,0 2 đạt giá trị nhỏ nhất. điểm OB.OC b. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức P = . BC Do ( d ) đi qua điểm A nên a + b = 4 ⇒ ( d ) : y = ax + 4 − a a − 4 a−4   >0 0,25 Ta có B  ;0  , C (0; 4 − a ) theo bài ra thì  a ⇒a 0 a−4 OB= , OC= 4 − a a 0,25 2a Ta có OA + OB + OC nhỏ nhất khi OB + OC nhỏ nhất (vì OA không đổi) a−4 −4 −4 OB + OC = +4−a = 5+ + (−a) ≥ 5 + 2 .(− a ) ≥ 9 a a a OA + OB + OC nhỏ nhất bằng 9 + 17 khi và chỉ khi 0,25 −4 − a = ⇔ a =−2 (do a < 0) a Vậy phương trình đường thằng ( d ) là: y =−2 x + 6 . 0,25 Theo câu a với a < 0 đường thằng ( d ) cắt tia Ox, Oy lần lượt tại B và C (khác O ) và đi qua điểm A(1;4) ⇒ OA =17 y C A 4 H 0,25 d O 1 B x 2b Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng ( d ) , ta có BC 2 1 1 1 1 1 0,25 2 2 = 2 + 2 = 2 ≥ 2 = OB .OC OB OC OH OA 17 OB.OC ⇒=P ≤ 17 0,25 BC Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi H ≡ A , hay d ⊥ OA 0,25 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 17. BC 2a (a > 0) và Trong mặt phẳng, cho hai điểm B, C cố định với= 3,0 3 A thay đổi sao cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi M là trung điểm của điểm Đáp án Toán 9 năm học 2020-2021 Page 2
BC ; đường thẳng qua A vuông góc AM cắt các đường phân giác các góc AMB và   AMC lần lượt tại P, Q. Gọi D là giao điểm của MP với AB và E là giao điểm của MQ với AC. . a. Giả sử AC = 2 AB , tính số đo góc BQC 3 PD  MP  b. Chứng minh rằng =  . QE  MQ  c. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACQ và ABP theo a. Q A 0,25 P E D 3a B C H M Ta có MA = MC và ME là phân giác của góc  AMC nên ME là đường trung  = 900 0,25 trực của đoạn AC ⇒ QA = QC và QEC vì MQ là đường trung trực của đoạn AC và AM ⊥ AQ nên MC ⊥ QC 0,25 Xét hai tam giác vuông ABC và ECQ có   (cùng phụ góc QCE ACB = EQC  ) và AB = EC (vì 2 EC = 2 AB ) = AC 0,5 ⇒ ∆ABC = ∆ECQ ⇒ CQ = CB hay tam giác BCQ vuông cân tại C, do đó  = 450 BQC AMB và  Ta có MP, MQ là các đường phân giác của các góc  AMC nên MP ⊥ MQ 0,25 Tương tự chứng minh câu a ta được AD ⊥ MP, AE ⊥ MQ Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông APM với đường cao AD ta có PD.PM = PA2 (1) 3b Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông AQM với đường cao AE 0,25 ta có QE.QM = QA2 (2) PD QM .PA2 Từ (1) và (2) suy ra = (3) QE PM .QA2 Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông MPQ với đường cao MA 0,25 Ta có PA.PQ = PM 2 (4) và QA.QP = QM 2 (5) Đáp án Toán 9 năm học 2020-2021 Page 3
PA PM 2 Từ (4) và (5) suy ra = (6) QA QM 2 3 PD  MP  Từ (3) và (6) suy ra =  ( ĐPCM ) 0,25 QE  MQ  Vì MQ là trung trực của đoạn AC và MP là trung trực của đoạn AB 0,25 suy = ra CQ QA = , BP AP và BCQP là hình thang vuông Do đó S BCQP= ( BP + CQ ) .BC PQ.BC BC 2 = ≥ = 2a 2 (*) 0,25 2 2 2 AH .BC AM .BC 3c Kẻ AH vuông góc BC thì S ABC = ≤ = a 2 (**) 2 2 Từ (*) và (**) suy ra S ABP + S ACQ= S BCQP − S ABC ≥ 2a 2 − a= 2 a2. 0,25 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi H ≡ M , khi đó khi tam giác ABC vuông cân tại A. Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACQ và ABP là a 2 . Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 2. CMR:  ( ) +( ) +( ) c −1  1,0 2 2 2 a+b b+c c+a a −1 b −1 + + ≤ 4 . điểm a+ b b+ c c+ a  b c a      b c a a b c Ta có + + = + + (1) a+ b b+ c c+ a a+ b b+ c c+ a Thật vậy, xét b c a a b c 0,25 + + − − − a+ b b+ c c+ a a+ b b+ c c+ a = b− a+ c− b+ a− c=0 Ta chứng minh bất đẳng thức sau : Với x, y là các số thực và a, b là các số x 2 y 2 ( x + y)2 dương , ta có + ≥ (*) 0,25 a b a+b 4 Thật vậy (*) ⇔ ( a + b ) ( bx 2 + ay 2 ) ≥ ab ( x + y ) ⇔ ( ay − bx ) ≥ 0 (BĐT đúng) 2 2 ( ) +( ) +( ) 2 2 2 a −1 b −1 c −1 Áp dụng BĐT (*), ta có b c a 1  ( a + b − 2) ( b + c − 2) 2 ( c + a − 2) 2  2 ≥  + + . 2 b+ c c+ a a+ b  0,25 ( ) +( ) +( ) 2 2 2 a −1 b −1 c −1 1 c a b  ⇔ ≥  2 b + c + +  (2) b c a c+ a a+ b ( vì a+ b+ c= 2) Từ (1) và (2) suy ra ( ) +( ) +( ) 2 2 2 a −1 b −1 c −1 1 b+c c+a a+b  0,25 ⇔ ≥  + +  b c a 4 b + c c+ a a+ b Đáp án Toán 9 năm học 2020-2021 Page 4
 ( ) +( ) +( ) c −1  2 2 2 a+b b+c c+a a −1 b −1 ⇔ + + ≤ 4  ( ĐPCM ) a+ b b+ c c+ a  b c a    a. Số nguyên dương n được gọi là số điều hòa nếu tổng các bình phương của các ước dương của nó (kể cả 1 và n ) bằng ( n + 3) . Chứng minh rằng 2 nếu pq (với p, q là các số nguyên tố khác nhau) là số điều hòa thì pq + 2 2,0 5 là số chính phương. điểm b. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( x, y ) thỏa mãn x 3 + y 3 = x 2 + y 2 + 42 xy. Ta có pq có các ước dương là 1, p, q và pq 0,25 Vì pq là số điều hòa nên ta có 1 + p 2 + q 2 + ( pq ) = ( pq + 3) 2 2 6 pq + 8 ⇔ ( p − q )= 4 ( pq + 2 ) 2 5a ⇔ p 2 + q= 2 0,25 Vì 4 là số chính phương nên từ đẳng thức trên suy ra pq + 2 cũng là số chính 0,25 phương. (ĐPCM) Gọi d = ( x, y ) là ước chung lớn nhất của x và y = Suy ra x da = , y db với d , a, b ∈ * , ( a, b ) = 1 Ta có x 3 + y 3 = x 2 + y 2 + 42 xy 0,25 ⇔ d 3 ( a 3 + b= 3 ) d 2 ( a 2 + b2 + 42ab ) ⇔ d ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) = a 2 + b 2 + 42ab ⇔ ( da + db − 1) ( a 2 − ab + b 2 ) = 43ab Đặt c = da + db − 1,(c ∈ ) Ta viết lại a 2c − abc + b 2c = 43ab Từ đó suy ra b | ca và a | cb 2 ⇒ b | c và a | c 2 Do đó ( ab ) | c ⇔ = c mab, m ∈ * 0,25 5b  a 2 − ab + b 2 = 1 ⇒ m ( a 2 − ab + b 2 ) = 43 ⇒ ( a 2 − ab + b 2 ) | 43 ⇒  2  a − ab + b = 43 2 TH1: a 2 − ab + b 2 = 1 , khi đó 1 − ab = (a − b) 2 ≥ 0 0,25 Suy ra a =b =1 ⇒ d =22 . Do vậy ( x, y ) = ( 22, 22 ) TH2: a 2 − ab + b 2 =43 Do tính đối xứng của x, y , ta giả sử x ≥ y ⇒ a ≥ b 0,25 Do đó 43 = a 2 − ab + b 2 ≥ ab ≥ b 2 ⇒ b ∈ {1, 2,3, 4,5,6} . Thay b = 1 thì a = 7 và d = 1 suy ra ( x, y ) = (1,7 ) , ( 7,1) Thay b = 2,3, 4,5 , thì không tồn tại số nguyên dương a thỏa mãn. 43 0,25 Thay b = 6 thì a = 7 và d = (không thỏa mãn) 13 Thử lại, ta có các cặp giá trị cầm tìm là ( x, y ) = ( 22, 22 ) , (1,7 ) , ( 7,1) . Đáp án Toán 9 năm học 2020-2021 Page 5