zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Đề thi - Kiểm tra

Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Phú Thọ

Chia sẻ: Lam Vu | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:7

Báo xấu

348
lượt xem 33
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đề thi học sinh giỏi toán tỉnh phú thọ', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Phú Thọ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS THỊ XÃ PHÚ THỌ NĂM HỌC 2010-2011 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2.5 điểm) 2 x − 11 x + 2 2 x −1 Cho biểu thức : A = − − . x −5 x + 4 x −1 4 − x a) Tìm x để biểu thức có nghĩa; b) Rút gọn A. Câu 2: (1,5 điểm) x3 + x Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) sao cho là số nguyên xy − 1 dương. Câu 3: ( 2.0 điểm) Giải phương trình: x1 3 − x −1 = 2 x −1 − ; a) 42 2 b) (x - 1)(x + 5)(x - 3)(x + 7) = 297. Câu 4. (1,5 điểm ) Cho a,b,c,d là các số dương . Chứng minh rằng : a−b b−c c −d d −a + + + ≥0 b+c c+d d +a a +b Câu 5 (2,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6 cm, AD = 4 cm. M là m ột đi ểm b ất kỳ trên cạnh AB (M không trùng với Avà B). Qua M kẻ các đường th ẳng d, d’ l ần lượt song song với AC, BD, chúng cắt các cạnh BC, AD theo th ứ t ự t ại N, Q. Qua N kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD tại P. Tìm vị trí của M trên AB đ ể diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất. --------------Hết-------------- Họ và tên thí sinh: …………………………………………… SBD:………………..
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HDC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS THỊ XÃ PHÚ THỌ NĂM HỌC 2010-2011 Môn thi: Toán I- Hướng dẫn chung: 1- Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi. 3- Điểm toàn bài thi không làm tròn số. Điể Câu Đáp án m 2 x − 11 x + 2 2 x −1 Cho biểu thức : A = − − Câu 1: (2,5 điểm) x −5 x + 4 x −1 4 − x a. Tìm x để biểu thức có nghĩa b. Rút gọn A. 2 x − 11 x + 2 2 x −1 Từ biểu thức : A = − − x −5 x + 4 x −1 4 − x a. Để biểu thức có nghĩa, khi và chỉ khi : x ≥ 0 x ≥ 0 x ≥ 0  0.5 ( )( )  x − 5 x + 4 ≠ 0  x −1 x − 4 ≠ 0   ⇔ ⇔ ⇔  x −1 ≠ 0 x −1 ≠ 0  x −1 ≠ 0    x −4≠0 4 − x ≠ 0   x −4≠0  x ≥ 0 x ≥ 0   ⇔  x ≠ 1 ⇔ x ≠ 1 0.5    x ≠ 4  x ≠ 16 b. Rút gọn A : Với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 16 , ta có : 2 x − 11 x + 2 2 x −1 0.25 A= − + ( )( )x −1 x −4 x −1 x − 4 ( )( )( )( ) 2 x − 11 − x +2 x − 4 + 2 x −1 x −1 = 0.25 ( )( ) x −1 x −4 ( ) 2 x − 11 − x − 4 x + 2 x − 8 + 2x − 2 x − x + 1 = ( )( ) 0.25 x −1 x −4
Điể Câu Đáp án m 2 x − 11 − x + 4 x − 2 x + 8 + 2x − 2 x − x + 1 = ( )( ) 0.25 x −1 x −4 ( )( ) ⇒A= x −1 x +2 x+ x −2 x +2 = = ( x − 1) ( x − 4) ( x − 1) ( x − 4) 0.5 x −4 Câu 2: (1,5 điểm) x3 + x Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) sao cho là số nguyên dương xy − 1 Ta có: x3 + x ( ) ∈ Z + ⇒ x x 2 + 1 M xy − 1) ; ( x; xy − 1) = 1 ( 0.5 xy − 1 ⇒ x 2 + 1M xy − 1) ⇒ ( x 2 + 1 + xy − 1) M xy − 1) ( ( ⇒ x ( x + y ) M xy − 1) ⇒ ( x + y ) M xy − 1) ( ( 0.5 ⇒ x + y = z ( xy − 1) ( z ∈ Z + ) Ta có PT x + y + z = xyz. Do vai trò x,y,z như nhau , giả sử 0.25 x ≥ y ≥ z ⇒ xyz = x + y + z ≤ 3x ⇒ 3 ≥ yz ≥ z 2 ⇒ z = 1;3 ≥ yz ⇒ y ∈ { 1;2;3} - Nếu y=1 thì x+2=x ( loại) - Nếu y=2 thì x=3 0.25 - Nếu y=3 thì x=2 ( loại vì x ≥ y ). Vậy (x,y,z)=( 3;2;1) và các hoán vị của nó. Câu 3: ( 2.0 điểm) Giải phương trình x1 3 − x −1 = 2 x −1 − b. (x - 1)(x + 5)(x - 3)(x + 7) = 297 a. 42 2 a. Phương trình đã cho tương đương với : 0.25 ( ) 1 31 3 ⇔ x − 2 x −1 = 2 x −1 − ⇔ x − 1− 2 x − 1 + 1 = 2 x −1 − 4 22 2 ( ) 2 ⇔ x −1 −1 = 4 x −1− 3⇒ x −1−1 = 4 x −1− 3
Điể Câu Đáp án m  x ≥ 1   x − 1 ≥ 3 ⇒ x ≥ 9 + 1 = 1 9    4 16 16  x ≥ 1   x −1 −1 = 4 x −1 − 3  ⇔ ⇒ 4 x − 1 − 3 ≥ 0 0.25  x ≥ 1    x − 1 − 1 = 4 x − 1 − 3  9  x − 1 − 1 = 3 − 4 x − 1  x ≥ 116    x − 1 − 1 = 3 − 4 x − 1    9 9   x ≥ 116   x ≥ 116  9     x ≥ 116     x − 1 = 2 x = 4 + 1 = 1 4 3 x − 1 = 2      3 9 9 ⇔ ⇔ ⇔ 0.25 x ≥ 1 9 x ≥ 1 9 x ≥ 1 9       16 16 16     x − 1 = 4   x = 16 + 1 = 116  5 x − 1 = 4      5 25 25 4 9 + Trường hợp thứ nhất : x = 1 ≤ 1 (loại) 9 16 16 9 + Trường hợp thứ hai : x = 1 ≥ 1 (thoả mãn) 0.25 25 16 16 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là : x = 1 . 25 PT đã cho ⇔ ( x 2 + 4 x − 5 ) ( x 2 + 4 x − 21) = 297 ⇔ ( x 2 + 4 x − 32 ) ( x 2 + 4 x + 6 ) = 0 0.25 +) Trường hợp: x 2 + 4 x − 32 = 0 Ta có : x 2 + 4 x − 32 = 0 ⇔ x 2 + 8 x − 4 x − 32 = 0 ⇔ x( x + 8) − 4( x + 8) = 0 0.25 x = 4 b. ⇔ ( x + 8)( x − 4) = 0 ⇔   x = −8 +) Trường hợp: x 2 + 4 x + 6 = 0 0.25 Ta có : x 2 + 4 x + 6 = x 2 + 4 x + 4 + 2 = ( x + 2) 2 + 2 > 0∀x Vậy nghiệm của PT là x = 4; x = - 8 0.25 Câu 4. (1 .5 điểm ) Cho a,b,c,d là các số dương . Chứng minh rằng : a −b b−c c −d d −a + + + ≥0 b+c c+d d +a a+b
Điể Câu Đáp án m a−b b−c c−d d −a 0.25 +1−1+ +1−1+ +1−1+ +1−1 VT = b+c c+d d +a a+b a −b +b+c b−c+c+d c−d +d +a d −a +a+b 0.25 = −1+ −1 + −1+ −1 b+c c+d d +a a+b a+c b+d c+a d +b 0.25 = + + + −4 b+c c+d d +a a+b 0.25 1 1 1 1 = ( a + c)  ÷+ ( b + d )  + + ÷− 4 b+c d +a c+d a+b 4 4 0.25 ≥ ( a + c) . +(b+d). −4=0 a+b+c+d a+b+c+d 0.25 Vậy: a − b + b − c + c − d + d − a ≥ 0 Dấu = xảy ra khi a = b = c = d b+c c+d d +a a+b . Câu 5 (2,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6 cm, AD = 4 cm. M là một điểm bất kỳ trên cạnh AB (M không trùng với Avà B). Qua M kẻ các đường thẳng d, d’ lần lượt song song với AC, BD, chúng cắt các cạnh BC, AD theo thứ tự tại N, Q. Qua N kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD tại P. Tìm vị trí của M trên AB để diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất. d d' M A B x 6-x y i j N O q k 4-y D C P Gäi O, I, J, K lÇn lît lµ t©m cña h×nh ch÷ nhËt ABCD, giao ®iÓm cña MN víi BD, giao ®iÓm cña MQ víi AC, giao ®iÓm cña NP víi AC. Gäi kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M ®Õn ®iÓm A lµ x (cm), th× kho¶ng 0.25 c¸ch tõ ®iÓm M ®Õn ®iÓm B lµ : 6 - x (cm). Gäi kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm Q ®Õn ®iÓm A lµ y (cm), th× kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm Q ®Õn ®iÓm D lµ : 4 - y (cm).
Điể Câu Đáp án m V× : d '/ /BD, hay : MQ / /BD vµ: d / /AC, hay : MN / /AC nªn suy ra : x 6−x x+6−x 6 3 AM AQ x y ⇒ = ⇒ = ⇒= = == 0.25 6−x 4−y y 4−y y+4−y 4 2 AB AD 2 hay suy ra : ⇒ y = x 3 V× : O lµ trung ®iÓm cña BD (tÝnh chÊt h×nh ch÷ nhËt) nªn suy ra : ⇒ J lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng QM. T¬ng tù, ta còng chøng minh ®îc: 0.25 I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng MN. K lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng NP. ⇒ MQ / /NP vµ MQ = NP ⇒ Tø gi¸c MNPQ lµ h×nh hµnh 0.25 ⇒ MN = QP ⇒ ∆AMQ = ∆CPN (g.c.g) vµ ∆BMN = ∆DPQ (g.c.g) Do ®ã, suy ra : DiÖn tÝch cña tø gi¸c MNPQ ®îc x¸c ®Þnh b»ng : 0.25 SMNPQ = SMNPQ − 2(S∆AMQ + S∆BMN ) mµ : SABCD = AB.AD = 6.4 = 24(cm 2 ) 1 1 S∆AMQ = AM.AQ = x.y(cm 2 ) 2 2 0.25 1 1 vµ : S∆BMN = BM.BN = ( 6 − x ) .( 4 − y ) (cm 2 ) 2 2 suy ra : 1  1 ⇒ SMNPQ = 24 − 2  x.y + ( 6 − x ) .( 4 − y )  = 24 − [ xy + 24 − 6y − 4x + xy ] 2  2 = 24 - ( 2xy + 24 − 6y − 4x ) = −2xy + 6y + 4x 0.25 2 thay y = x , vµo ta ®îc : 3 2 2 4 1 ⇒ SMNPQ = −2x. x + 6. x + 4x = 8x − x 2 = − ( 4x 2 − 24x + 36 − 36 ) 3 3 3 3 0.25 1 = 36. − ( 2x − 6 ) = 12 − ( 2x − 6 ) ≤ 12, do : ( 2x − 6 ) ≥ 0 2 2 2 3 víi mäi x.
Điể Câu Đáp án m Theo ®ã, ®Ó diÖn tÝch tø gi¸c MNPQ lín nhÊt b»ng 12 cm 2, th× ph¶i x¶y ra : ⇒ ( 2x − 6 ) = 0 2 ⇒ 2x − 6 = 0 0.5 ⇒ x = 3 (cm) hay ®iÓm M lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB cña h×nh ch÷ nhËt ABCD ®· cho. -----------------------Hết-----------------------

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.