Đề thi HSG môn Toán lớp 8 năm 2012-2013 - Phòng GD&ĐT Huyện Hoằng Hóa

Chia sẻ: Hoàng Ngọc Minh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

704
lượt xem 39
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi HSG môn Toán lớp 8 năm 2012-2013 của Phòng GD&ĐT Huyện Hoằng Hóa là tài liệu hay. Mời quý thầy cô tham khảo để có thêm tư liệu bồi dưỡng kiến thức cho các em học sinh 8 đang trong giai đoạn ôn thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi HSG môn Toán lớp 8 năm 2012-2013 - Phòng GD&ĐT Huyện Hoằng Hóa

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 HOẰNG HÓA MÔN TOÁN NĂM HỌC: 2012 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi 17 tháng 04 năm 2013 Thời gian 120 phút( không kể thời gian giao đề) 1 � 2 5− x� 1− 2x Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức: A = � + − : 2 � 2 � 1− x x +1 1− x � x −1 a. Rút gọn biểu thức A. b. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. c. Tìm x để A = A . Bài 2 (6 điểm): a. Giải phương trình: x4 + x2 + 6x – 8 = 0. b. Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x2 + 2x – 10 = y2. c. Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a,b,c 0. � a� � b� � c� Tính giá trị biểu thức: P = � 1+ �1+ � � 1 + �. � � �b � � c � � a Bài 3 (4 điểm): a. Tìm các số có ba chữ số chia hết cho 7 và tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 7. b. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x + y + z = 1. 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = + + . 16 x 4 y z Bài 4 (4 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a = 12cm, BC = b = 9cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD. a. Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD. b. Tính độ dài đoạn thẳng AH. c. Tính diện tích tam giác AHB. Bài 5 (2 điểm): Cho tam giác đều ABC. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh AB và BC sao cho BM = BN. Gọi G là trọng tâm của tam giác BMN và I là trung điểm của AN. Tính các góc của tam giác ICG. ………………………………. HẾT…………………………….. Họ và tên thí sinh: …………………………………………… SBD: ……………… Giám thị 1: ………………………………Giám thị 2: ……………………………… http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 1
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm). PHÒNG GD&ĐT HUYỆN HOẰNG HÓA HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 Bài Nội dung ểm + ĐKXĐ: x 1; x 1 0.25 2 a 1 + x + 2(1 − x ) − (5 − x) �x 2 − 1 � 0.5 A=� �. � 1 − x2 �1 − 2 x = −2 2 . x − 1 2 1.5đ 1− x 1− 2x 0.5 2 = Bài 1− 2x 0.25 1 A nguyên, mà x nguyên nên 2M1 − 2x 0.5 b 4.0 Từ đó tìm được x = 1 và x = 0 0.5 1.5đ đ Bỏ đi giá trị x = 1( do điều kiện). Vậy x = 0 0.5 Ta có: A = A۳ A 0 0.25 c 2 1 ۳�−> �< 0 1 2x 0 x 1− 2x 2 0.5 1.0đ 1 Kết hợp với điều kiện: −1 x < 2 0.25 Bài Phân tích được (x – 1)( x3 + x2 + 2x + 8) = 0 0.5 2 (x – 1)( x + 2)( x2 – x + 4) = 0 (1) 0.5 a 6.0 1 15 0.25 Vì x 2 – x + 4 = (x )2 + > 0 đ 2.0đ 2 4 Nên (1) (x – 1)( x + 2) = 0 0.5 x = 1 hoặc x = 2 0.25 Ta có: x2 + 2x – 10 = y2 ( x + 1)2 – y2 = 11 0.5 (x + 1 + y)(x + 1 y ) = 11 (2) 0.5 b Vì x, y N nên x + 1 + y > 0 và do đó x + 1 – y > 0 Nhận xét : x + 1 + y > x + 1 – y với mọi x, y N (2) viết thành: (x + 1 + y)(x + 1 y ) = 11.1 0.5 2.0đ x + 1 + y = 11 x +1− y = 1 Kết luận : x = 5, y = 5 là nghiệm 0.5 c Biến đổi giả thiết về dạng : 1 ( a + b + c) � (a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2 � 0.5 2 � �= 0 http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 2
a+b+c = 0 a=b=c �−c � �−a � �−b � 0.5 . Với a + b + c = 0. Tính được P = � �� = 1 2.0đ �b ��c � �a � . Với a = b = c . Tính được P = 2.2.2 = 8 0.5 0.5 Gọi số có ba chữ số cần tìm là abc Ta có: abc = (98a + 7b) +2a + 3b + c 0.25 Vì abc M7 nên 2a + 3b + c M7 (3) Mặt khác, vì a + b + c M 7 (4), kết hợp với (3) suy ra: b − c M7 0.5 Do đó b – c chỉ có thể nhận các giá trị: 7; 0 ; 7 0.25 a + Với b – c = 7, suy ra c = b + 7. kết hợp với (4) ta chọn được các số 707; 518; 329 thỏa mãn. 0.25 + Với b – c = 7 suy ra b = c + 7. Đổi vai trò b và c của trường hợp trên ta được các cặp số 770, 581, 392 thỏa mãn bài toán. 0.25 + Với b – c = 0 thì b = c mà do (4) nên a + 2bM7. 2.0đ Do 1 a + 2b 27 nên a + 2b chỉ có thể nhận các giá trị 7; 14; 21. Từ đó chọn được 12 số thỏa mãn là 133, 322,511,700, 266, 455, 644, 833, 399, 588, 777, 966. 0.25 Vậy có 18 số thỏa mãn bài toán: 707, 518, 329, 770, 581, 392 , 133, 322,511,700, 266, 455, 644, 833, 399, 588, 777, 966. 0.25 Bài Vì x + y +z = 1 nên: 3 1 1 1 �1 1 1� 4.0 M= + + =� + + �( x + y + z) 16 x 4 y z � 16 x 4 y z � đ 0.5 21 �x y � �x z � �y z � = +� + �+ � + �+ � + � 16 �4 y 16 x � �z 16 x � �z 4 y � Ta có: 16 x 2 + 4 y 2 ( 4 x − 2 y ) + 2.4 x.2 y ( 4 x − 2 y ) 2 2 b x y 1 1 0.5 + = = = + . (∀x, y > 0) 4 y 16 x 16 x.4 y 64 xy 64 xy 4 4 x z 1 y z Tương tự: + ; + 1 (Với mọi x, y > 0) 0.5 z 16 x 2 z 4y 1 x= 0.25 2.0đ 4x = 2 y = z 7 21 1 1 49 � � 2 Từ đó M + + +1 = .Dấu “=” xảy ra khi �x + y + z = 1 � �y = 16 4 2 16 �x, y, z > 0 � 7 4 z= 7 49 1 2 4 Vậy GTNN của M là khi x = ; y = ; z = 16 7 7 7 A 0.25 B Bài a 1.0 4 Chứng minh được tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD. H http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 3 C D
1.0đ Tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD b AH AB = � AH = a.b 0.5 BC BD BD Áp dụng định lí Py – ta – go, được : BD = AD 2 + AB 2 = 225 = 15(cm) 0.5 4.0 1.5đ 12.9 Từ đó tính được AH = = 7.2(cm) đ 15 0.5 AH 7.2 0.5 Tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD theo tỉ số k = = BC 9 c Gọi S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác BCD và AHB Ta có S = 54(cm2). 0.5 ' 2 2 S �7.2 � �7.2 � = k 2 = � �� S ' = � �.54 = 34.56(cm 2 ) 1.5đ S �9 � �9 � Vậy diện tích tam giác AHB bằng 34.56( cm2) 0.5 Ta có BMN là tam giác đều, nên G là trọng tâm c B ủa Tam giác BMN. Gọi P là trung điểm của MN, GP 1 = ( tính chất trọng tâm tam giác đGều) 0.5 Ta có : GN 2 M N P PI PI 1 Lại có : = = suy ra MA NC 2 K GP PI 1 I = = (1) GN NC 2 A C 0.25 Mặt khác GPI = GPM + MPI = 90 + 600 = 1500 và ﾷﾷﾷ 0 ﾷ GNC ﾷ = GNP ﾷ + PNC = 300 + 1200 = 1500 Bài 5 Do đó : GPI ﾷﾷ (2) = GNC 0.5 2.0đ Từ (1) và (2) suy ra tam giác GPI đồng dạng với tam giác GNC (c.g.c) 1 Từ đó ta có : PGI ﾷﾷ = NGC và GI = GC 2 0.25 ﾷ Mà IGC ﾷ = 600 ( IGC ﾷ = PGN =600 ) 0.25 1 Gọi K là trung điểm của GC thì GI = GK = GC, suy ra tam giác 2 1 GIK đều, nên IK = GC. Điều này chứng tỏ tam giác GIC vuông tại 2 ﾷ 0 ﾷﾷ 0.25 I. Vậy : GIC = 90 ; IGC = 600 ; GCI = 300 ; Chú ý : 1. Học sinh giải cách khác đúng thì cho điểm tối đa. 2. Bài hình không vẽ hình, hoặc hình sai cơ bản thì không chấm điểm. http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 4