Đề thi kết thúc học phần Toán cao cấp 1

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN (1)<br /> Tên học phần: Toán cao cấp 1; Số tín chỉ: 2<br /> Thời gian: 75 phút (không tính thời gian phát đề)<br /> Câu 1. ( 3 điểm) Cho f  x   x  5x  3<br /> 2<br /> <br />  2 1 <br />  . Tìm B  f  A .<br /> 4 5 <br /> 7 2 5 <br /> b) Cho C  <br />  . Tìm ma trận X thỏa BX  C .<br /> 1 0 10 <br /> a) Cho A  <br /> <br />  1 2<br /> 0 2<br /> Câu 2. ( 1 điểm) Tìm hạng của ma trận D  <br />  7 2<br /> <br /> 3 2<br /> <br /> 5<br /> 3<br /> 6<br /> 0<br /> <br /> 4<br /> 3<br /> .<br /> 4<br /> <br /> 8<br /> <br /> 2 x1  x2  4<br /> <br /> Câu 3. (1 điểm) Cho hệ phương trình tuyến tính  2 x1   m  1 x2  x3  5<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 4 x1  2 x2  m x3  m  m  8<br /> Giải và biện luận hệ phương trình theo m.<br /> Câu 4. ( 3 điểm) Cho hệ vectơ A <br /> <br /> 1   2,0,3 ,2   4,5,2 ,3   2,10,1<br /> <br /> a) Chứng minh hệ vectơ A là một cơ sở của không gian<br /> b) Tìm  x  , biết x   2, 2,5 .<br /> <br /> 3<br /> <br /> .<br /> <br /> A<br /> <br /> c) Tìm m để vectơ x  1,2, m  1 là một tổ hợp tuyến tính của 1 , 2  .<br /> Câu 5. ( 2 điểm) Cho dạng toàn phương: Q  2 x1  x2  10 x3  mx1x2<br /> Tìm m để Q là dạng toàn phương xác định dương.<br /> 2<br /> <br /> Lưu ý:<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> - Sinh viên không được sử dụng tài liệu.<br /> - Sinh viên được sử dụng các kết quả tính toán ma trận trên máy tính bỏ túi.<br /> - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.<br /> <br /> ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN<br /> Câu<br /> 1<br /> (3đ)<br /> <br /> Nội dung đáp án<br /> <br /> a) B  f  A  A  5 A  3I 2<br /> 2<br /> <br /> Điểm<br /> 0,5<br /> <br />  0 7 <br /> A2  <br /> <br />  28 21 <br /> <br /> 0,5<br /> <br />  7 2 <br /> B  f  A   A2  5 A  3I 2  <br /> <br />  8 1 <br /> <br /> 0,5<br /> <br />  1<br />  23<br /> 1<br /> b) B  <br />  8<br /> <br />  23<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2 <br /> 23 <br /> <br /> 7 <br /> <br /> 23 <br /> <br />  5<br />  23<br /> X  B 1C  <br />  63<br /> <br />  23<br /> 2<br /> (1đ)<br /> <br /> 2<br /> 23<br /> 16<br /> 23<br /> <br /> 15 <br /> 23 <br /> <br /> 110 <br /> <br /> 23 <br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> Vậy: Rank(D)=4<br /> 3<br /> (1đ)<br /> <br /> a) m = 0 : hệ có vô số nghiệm : x1 <br /> <br /> a4<br /> , x2  a  , x3  1<br /> 2<br /> <br />  2 1 0 4<br /> <br /> <br /> <br /> b) A   0  m 1 1<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br />  0 0 m m  m  1 <br /> m = 0 : Hệ có vô số nghiệm : x1 <br /> <br /> a4<br /> , x2  a  , x3  1<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Ghi chú<br /> <br /> m  0 : hệ có nghiệm duy nhất: x1 <br /> 4<br /> (3đ)<br /> <br /> 4m 2  1<br /> 1<br /> m 1<br /> , x2  2 , x3 <br /> m<br /> 2m 2<br /> m<br /> <br /> 2 0 3<br /> a) 4 5 2  60  0 nên A là cơ sở của<br /> 2 10 1<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 1<br /> 3<br /> <br />  x1 <br />  <br /> b) Giả sử:  x   x2 . Khi đó x  x1.1  x2 . 2  x3 . 3 (*)<br /> <br /> A <br /> x <br />  3<br /> <br /> 1<br /> <br />  <br />  2 <br />  <br /> 8 <br /> Giải (*) được:  x   <br /> A  15 <br />  1 <br />  <br />  15 <br /> c)<br /> <br /> x là tổ hợp tuyến tính của hệ<br /> <br /> 1 , 2 <br /> <br /> khi và chỉ khi<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> rank 1 , 2 , x =2 (vì 1 , 2  độc lập tuyến tính).<br /> <br /> <br /> <br /> Vậy: m  <br /> 5<br /> (2đ)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 11<br /> .<br /> 10<br /> <br /> Q  2 x12  x2 2  10 x32  mx1x2<br /> <br />  2<br /> <br /> m<br /> A<br />  2<br />  0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> m<br /> 2<br /> 1<br /> 0<br /> <br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> 10 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> m2<br /> 5<br /> D1  2, D2  2 <br /> , D3  20  m 2<br /> 4<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> <br /> Q là dạng toàn phương xác định dương <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> m2<br /> 5<br /> D1  2  0, D2  2 <br />  0, D3  20  m2  0<br /> 4<br /> 2<br /> Vậy: 2 2  m  2 2 .<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN (2)<br /> Tên học phần: Toán cao cấp 1; Số tín chỉ: 2<br /> Thời gian: 75 phút (không tính thời gian phát đề)<br /> <br />  0 7 <br />  4 11 4 <br /> 1 3<br /> <br /> ,C  <br /> Câu 1. ( 3 điểm) Cho A  3<br /> 4 , B  <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  9 0 6 <br /> 5 7<br />  5 2 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> c) Tính A  B<br /> <br /> T<br /> <br /> C<br /> <br /> d) Tìm ma trận X thỏa CX  B<br /> <br /> 1 2<br /> 0 2<br /> Câu 2. ( 1 điểm) Tính D <br /> 7 2<br /> a a<br /> <br /> 5<br /> 3<br /> 6<br /> 0<br /> <br /> 4<br /> 3<br /> 4<br /> 8<br /> <br /> 2 x2  x3  3<br /> <br /> Câu 3. (1 điểm) Cho hệ phương trình tuyến tính  x1  mx2  x3  1<br />  x  x  3x  m  1<br /> 3<br />  1 2<br /> <br /> (1)<br /> <br /> Giải và biện luận hệ phương trình (1) theo m.<br /> <br /> Câu 4. ( 3 điểm) Cho hai hệ vectơ A <br /> <br /> 1  1, 1,0 ,2  1,0, 1,3  0,1,1,<br /> <br /> B  1   2  3 , 1  1  3 , 3  1   2  .<br /> d) Chứng minh A, B là các cơ sở của không gian<br /> e) Tìm ma trận đổi cơ sở từ cơ sở B sang cơ sở A.<br /> f) Cho<br /> <br /> x A  1,0,4  . Tìm x B<br /> <br /> 3<br /> <br /> .<br /> <br /> .<br /> <br />  2 2<br />  . Hãy chéo hóa ma trận A.<br /> 1 3<br /> <br /> Câu 5. ( 2 điểm) Cho ma trận A  <br /> <br /> Lưu ý:<br /> <br /> - Sinh viên không được sử dụng tài liệu.<br /> - Sinh viên được sử dụng các kết quả tính toán ma trận trên máy tính bỏ túi.<br /> - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.<br /> <br />