Đề thi KSCL học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 có đáp án (Lần 1) - Trường THPT Chu Văn An

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Đề thi KSCL học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 có đáp án (Lần 1) - Trường THPT Chu Văn An" giúp các em học sinh ôn tập kiến thức chuẩn bị cho bài thi học sinh giỏi môn Toán sắp tới, rèn luyện kỹ năng giải đề thi để các em nắm được toàn bộ kiến thức. Chúc các em ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi KSCL học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 có đáp án (Lần 1) - Trường THPT Chu Văn An

SỞ GD & ĐT THANH HÓA ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 12 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LẦN 1 - NĂM HỌC 2022-2023 Môn: TOÁN Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề gồm có 8 trang-50 câu trắc nghiệm) Câu 1. Tìm số nghiệm của phương trình sin ( cos 2 x ) = 0 trên [ 0; 2π ] . A. 2 . B. 1 . C. 4 . D. 3 . Câu 2. Cho tứ giác ABCD , số vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của tứ giác là A. 10 . B. 6 . C. 4 . D. 12 . Câu 3. Cho cấp số cộng (un ) có u4 = 3 và u7 = 9 . Tìm số hạng thứ 2022 của cấp số cộng (un ) . A. u2022 = 4039 . B. u2022 = 4035 . C. u2022 = 4037 . D. u2022 = 4041 . Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây? A. ( −∞; −2 ) . B. (1; +∞ ) . C. ( −2;1) . D. ( −1; 2 ) . Câu 5. Cho số thực a > 0; a ≠ 1 , log a (a 2 3 a ) bằng 7 5 10 14 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 6. Số cạnh của một hình bát diện đều là A. 12 . B. 10 . C. 8 . D. 6 . Câu 7. Khối cầu ( S ) có diện tích bằng 36π a (cm ) , (a > 0) thì có thể tích là: 2 2 A. 288π a 3 (cm3 ) . B. 9π a 3 (cm3 ) . C. 108π a 3 (cm3 ) . D. 36π a 3 (cm3 ) . Câu 8. Cho khối nón có chiều cao h = 6a và bán kính đáy r bằng một nửa chiều cao h . Tính thể tích của khối nón đã cho. A. 12π a 3 . B. 54π a 3 . C. 9π a 3 . D. 18π a 3 . 2 Câu 9. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x= e x − ) là x2 2 2 1 A. e x − +C. B. e x − 2ln x 2 + C . C. e x + +C. D. e x + +C. x x x Câu 10. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos 2 x , trục hoành, đường thẳng x = 0 và x = π là π π π π A. . B. . C. . D. . 8 6 4 2 12  1 Câu 11. Số hạng thứ 9 khai triển  x 2 −  ( x ≠ 0) bằng  x 1
A. 495 . B. −792 . C. 220 . D. −220 . 5x − 3 Câu 12. Tính lim . x →−∞ x2 − 5 3 3 A. . B. − . C. 5 . D. −5 . 5 5  1     2  Câu 13. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' , M , N là các điểm thỏa MA = − MD , NA ' = − NC . Mệnh đề nào sau 4 3 đây đúng ? A. MN  ( AC ' B ) . B. MN  ( BC ' D ) . C. MN  ( A ' C ' D ) . D. MN  ( BC ' B ) . Câu 14. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) x 2 ( x − 1) ( x 2 − 5 x + 4 ) ( x + 2 ) . Hỏi hàm số f ( x ) có bao nhiêu điểm 2023 = cực trị ? A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Câu 15. Giá trị lớn nhất hàm số f ( x ) = 4 x − sin 2 x cos 2 x + 4 trên  là cos 2 81 9 10 7 A. max f ( x ) = . B. max f ( x ) = . C. max f ( x ) = . D. max f ( x ) = . x∈ 16 x∈ 2 x∈ 3 x∈ 2 2x + 1 Câu 16. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = là x2 − 3 A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 1 . Câu 17. Nghiệm của phương trình log 2 ( x − 1) + log 1 ( x + 1) =nằm trong khoảng nào sau đây? 1 2 A. ( −1;0 ) . B. ( 0;1) . C. ( 2;3) D. ( 4;5 ) 2 − 2 x −1 Câu 18. Số nghiệm nguyên của bất phương trình 2 x ≤ 3 là A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 4 . Câu 19. Đồ thị của ba hàm số y = a x , y = b x , y = log c x (với a , b , c là ba số dương khác 1 cho trước) được vẽ trong cùng mặt phẳng tọa độ (hình vẽ bên). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. c > b > a. B. b > a > c. C. a > b > c. D. c > a > b. Câu 20. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B . Biết = 2a, BC a= 2a 3, thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' bằng AC = , AA ' 2
A. 6a 3 . B. 2a 3 . C. 3a 3. D. 3a 3 3. Câu 21. Cho hàm số bậc ba có đồ thi như hình vẽ. Diện tích S của miền được tô đậm như hình được tính theo công thức nào? 3 3 A. S = ∫ ( f ( x ) + 1) dx . 0 B. S = ∫ ( f ( x ) − 1) dx . 0 3 3 C. S = −1 ∫ ( f ( x ) + 1) dx . D. S = ∫ f ( x ) − 1 dx . 0 ( 5) x −1 Câu 22. Tập nghiệm của bất phương trình 3
2 4 8 3 A. h = a B. h = a C. h = a D. h = a 3 3 3 4 8cos 2 x − m Câu 27. Cho hàm số y = (1). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng sin 2 x − 2sin x + 3 (−60;60) để tập xác định của hàm số (1) là  ? A. 68 . B. 53 . C. 52 . D. 69 . a  Câu 28. Cho hình chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , SA = , đáy ABCD là hình thoi cạnh a . Góc BAD 120° , có = 2 I là giao của hai đường chéo AC , BD . Góc giữa SI với ( ABCD) là A. 600 . B. 450 . C. 900 . D. 1350 . Câu 29. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên R và có bảng biến thiên như sau (1 − m ) f ( x) + 2 + 2 Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = đồng biến trên khoảng ( −1;1) ? f ( x) + 2 − m A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1 . Câu 30. Cho hàm số y = f ( x ) = x − 2 ( m + 3) x + m + 5 có đồ thị ( C ) . Gọi S là tập hợp tất các cả giá trị thực của 4 2 tham số m để ( C ) tiếp xúc với trục hoành. Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng: A. −10 . B. −6 . C. −5 . D. −9 Câu 31. Cho hàm số y  f  x có đồ thị hàm số y  f   x  như hình vẽ bên y 3 x 0 1 Bất phương trình f  x  3 x  m có nghiệm x  0;1 khi và chỉ khi A. m > f ( 0 ) . B. m ≥ f (1) − 3 . C. m ≥ f ( 0 ) . D. m > f (1) − 3 . Câu 32. Cho hàm số f ( x ) có đồ thị hám f ' ( x ) như hình vẽ bên dưới. So sánh đúng về các giá trị f ( a ) , f ( b ) , f ( c ) là 4
A. f ( b ) < f ( a ) < f ( c ) B. f ( a ) < f ( b ) < f ( c ) C. f ( b ) < f ( c ) < f ( a ) D. f ( c ) < f ( b ) < f ( a ) Câu 33. Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + dx + ex + f có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực phân biệt của 5 4 3 2 phương trình f ( 4 x + 5 − 2 ) − 3 =là. 0 A. 8 . B. 4 . C. 10 . D. 6 . x2 x 2 +1 Câu 34. Cho phương trình 4 − m.2 − 3m + 1 = . Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương 0 trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt. Số phần tử của tập S là A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. 1 Câu 35. Cho phương trình ( m − 1) log 2 ( x − 2 ) + 4 ( m − 5 ) log 1 2 1 + 4m − 4 ≥ 0 ( m là tham số). Tập hợp tất cả các 2 2 x−2 5  giá trị của m để bất phương trình có nghiệm thuộc  ; 4  là: 2  7   7  7 A. [ −3; +∞ ) . B.  ; +∞  C.  −3;  D.  −∞;  3   3  3 Câu 36. Cho hình hộp đứng ABCD. A′B′C ′D′ có đáy là hình vuông cạnh bằng a , cạnh bên AA ' = 2a . Gọi α là góc giữa ( BA′C ) và ( DA′C ) . Tính cos α . −1 1 1 2 A. cos α = . B. cos α = . C. cos α = . D. cos α = . 4 4 5 5 Câu 37. Cho một miếng tôn mỏng hình chữ nhật ABCD với AB = 4 dm và AD = 6 dm . Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho AE = 1dm , trên cạnh BC lấy điểm F là trung điểm BC (tham khảo hình 1 ). Cuộn miếng tôn lại một vòng sao cho AB và DC trùng khít nhau. Khi đó miếng tôn tạo thành mặt xung quanh của hình trụ (tham khảo hình 2 ). Thể tích V của tứ diện ABEF trong hình 2 bằng 5
E A E D A B B C F F Hình 1 Hình 2 2 3 18 3 54 3 6 3 A. dm3 . B. dm3 . C. dm3 . D. dm3 . π 2 π 2 π 2 π2 Câu 38. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh là a . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AC ′ cắt các cạnh BC , CD, DD′, D′A′, A′B′, B′B lần lượt tại các điểm M , N , P, Q, R, S . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.MNPQRS bằng a 3 a 15 5a 3 5a 3 A. . B. . C. . D. . 2 12 24 12 Câu 39. Cho X là tập các giá trị của tham số m thỏa mãn đường thẳng ( d ) : y = m − 7 cùng với đồ thị ( C ) của −12 1 3 hàm số y = x − mx 2 − 4 x − 1 tạo thành hai miền kín có diện tích lần lượt là S1, S 2 thỏa mãn S1 = S 2 (xem 3 hình vẽ). Tích các giá trị của các phần tử của X là: −9 A. 9 . B. −9 . C. 27 . . D. 2 Câu 40. Gọi X là tập chứa các số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số được lập từ {5; 6; 7;8;9} . Chọn ngẫu nhiên từ X ra một số, xác suất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 42 là: 11 13 7 9 A. . B. . C. . D. . 725 1024 625 512 f ( x) 1 Câu 41. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( 0; +∞ ) thỏa mãn = f ( x ) + f ' ( x ) − e − x đồng thời f (1) = . x e Tính giá trị của f ( 2 ) . A. f= e −2 (1 + 2 ln 2 ) . ( 2) B. f= e−2 ( 3 + 2 ln 2 ) . ( 2) C. f= e −2 ( 2 + ln 3) . ( 2) D. = 2e −2 (1 + ln 2 ) . f ( 2) Câu 42. Một bồn hình trụ chứa dầu được đặt nằm ngang, có chiều dài 5m, bán kính đáy 1m, với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta rút dầu trong bồn tương ứng với 0,5m của đường kính đáy. Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn. 6
A. 11, 781m3 . B. 12, 637m3 . C. 14, 923m3 . D. 8, 307m3 . Câu 43. Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9 , tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất. A. V = 144 B. V = 576 C. V = 576 2 D. V = 144 6 Câu 44. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  , có bảng biến thiên như sau Đặt h ( x ) = − f ( x − 2 ) ( m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m sao cho hàm số y = h ( x ) có m đúng 5 điểm cực trị? A. Vô số. B. 12 . C. 0 . D. 10 . x+ y Câu 45. Cho x, y thỏa mãn x ≥ 1, y ≥ 1 và log 3 = 4 xy − 3 ( x + y ) − 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức 4 xy 1 1 P = x 2 + y 2 − 3  +  thuộc tập nào dưới đây? x y A. [5;9 ) . B. [ −5;0 ) . C. [ 0;5 ) . D. [9; +∞ ) .  Câu 46. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc BAD 60° . Cạnh SA vuông góc với mặt = phẳng đáy. Trên cạnh BC và CD lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho MB = MC và 3 NC = 2 ND . Gọi P là giao điểm của AC và MN . Khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng ( SAM ) bằng: a 7 a 7 a 21 a 21 A. . B. . C. . D. . 9 2 14 18 ( ) ( ) Câu 47. Có tất bao nhiêu số nguyên dương y sao cho tồn tại số thực x ∈ (1;8 ) thỏa mãn: ( x − 1) 2e x − y 2 = y e x − x 2 ? A. 13 B. 12 C. 14 D. 11 Câu 48. Cho đa thức f ( x ) có đồ thị của hai hàm số y f= f ′ ( x ) trên cùng một hệ trục toạ độ như hình vẽ = ( x), y 7
Phương trình f ( x ) = me x có hai nghiệm phân biệt trên đoạn [ 0; 2] khi và chỉ khi A. e −2 f ( 2 ) ≤ m < 0 . B. e −2 f ( 2 ) < m < 0 . C. f ( 0 ) ≤ m < 0 . D. f ( 0 ) ≤ m ≤ 0 . Câu 49. Cho khối hộp ABCD. A′B′C ′D′ có A′B vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) ; góc giữa AA′ và ( ABCD ) bằng 45° . Khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB′ , DD′ cùng bằng 1. Góc giữa hai mặt phẳng ( BB′C ′C ) và ( C ′CDD′) bằng 60° . Tính thể tích khối hộp ABCD. A′B′C ′D′. A. 2 . B. 3 3 . C. 2 3 . D. 3 . Câu 50. Cho phương trình m ln ( x + 1) − ( x + 2 − m ) ln ( x + 1) − x − 2 = (1) . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để 2 0 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 0 < x1 < 2 < 4 < x2 là khoảng ( a; +∞ ) . Khi đó a thuộc khoảng A. ( 3,8;3,9 ) . B. ( 3, 7;3,8 ) . C. ( 3, 6;3, 7 ) . D. ( 3,5;3, 6 ) . …………… HẾT ……………….. 8
SỞ GD & ĐT THANH HÓA ĐÁP ÁN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN HSG TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LỚP 12 LẦN 1 - NĂM HỌC 2022-2023 Môn: TOÁN (Đáp án gồm có 25 trang) BẢNG ĐÁP ÁN VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT 1.C 2.D 3.A 4.C 5.D 6.A 7.D 8.D 9.C 10.D 11.A 12.D 13.B 14.B 15.A 16.C 17.D 18.B 19.B 20.C 21.A 22.C 23.C 24.A 25.A 26.B 27.C 28.B 29.B 30.B 31.D 32.A 33.D 34.B 35.A 36.C 37.D 38.D 39.A 40.C 41.D 42.B 43.B 44.D 45.A 46.D 47.A 48.A 49.D 50.B Câu 1. Tìm số nghiệm của phương trình sin ( cos 2 x ) = 0 trên [ 0; 2π ] . A. 2 . B. 1 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Ta có sin ( cos 2 x ) = cos 2 x = k ∈  ) 0⇔ kπ ( π π π Vì cos 2 x ∈ [ −1;1] ⇒ k = 0 ⇒ cos 2 x = 0 ⇔ 2 x = + k1π ⇔ x = + k1 ( k1 ∈  ) . 2 4 2 x ∈ [ 0; 2π ] ⇒ k1 ∈ {0;1; 2;3} . Vậy phương trình có 4 nghiệm trên [ 0; 2π ] . Câu 2. Cho tứ giác ABCD , số vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của tứ giác là A. 10 . B. 6 . C. 4 . D. 12 . Lời giải Ta có mỗi vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là 4 đỉnh của tứ giác là một chỉnh hợp chập 2 2 của 4 phần tử nên có A4 = 12 ( vectơ). Câu 3. Cho cấp số cộng (un ) có u4 = 3 và u7 = 9 . Tìm số hạng thứ 2022 của cấp số cộng (un ) . A. u2022 = 4039 . B. u2022 = 4035 . C. u2022 = 4037 . D. u2022 = 4041 . Lời giải u = 3 u1 + 3d = u1 = −3 3 Ta có  4 ⇔ ⇔ . u7 = 9 u1 + 6d = d = 2 9 Vậy u2022 = 2021d = . u1 + 4039 Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây? A. ( −∞; −2 ) . B. (1; +∞ ) . C. ( −2;1) . D. ( −1; 2 ) . Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −2;1) 9
Câu 5. Cho số thực a > 0; a ≠ 1 , log a (a 2 3 a ) bằng 7 5 10 14 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải 7 7 14 log a (a 2 3 = log 1 = a) a3 =.2 . a2 3 3 Câu 6. Số cạnh của một hình bát diện đều là A. 12 . B. 10 . C. 8 . D. 6 . Lời giải Số cạnh của một hình bát diện đều là 12 . Câu 7. Khối cầu ( S ) có diện tích bằng 36π a 2 (cm 2 ) , (a > 0) thì có thể tích là: A. 288π a 3 (cm3 ) . B. 9π a 3 (cm3 ) . C. 108π a 3 (cm3 ) . D. 36π a 3 (cm3 ) . Lời giải 3a Ta có S 4= 36π a 2 ⇒ R = . = π R2 4 3 4 Vậy thể tích khối cầu= là V = π = 36π a 3 (cm3 ) . πR (3a )3 3 3 Câu 8. Cho khối nón có chiều cao h = 6a và bán kính đáy r bằng một nửa chiều cao h . Tính thể tích của khối nón đã cho. A. 12π a 3 . B. 54π a 3 . C. 9π a 3 . D. 18π a 3 . Lời giải h Ta có: h = 6a ⇒ r = = 3a. 2 1 1 Thể tích của khối nón: V = π ( 3a ) 6a 18π a 3 . 2 = π r 2h = 3 3 2 Câu 9. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x= e x − ) là x2 2 2 1 A. e x − +C. B. e x − 2ln x 2 + C . C. e x + +C. D. e x + +C. x x x Lời giải  2  1 2 Ta có ∫  e x − 2  dx = e x − 2. −  + C = e x + + C .  x   x x Câu 10. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos 2 x , trục hoành, đường thẳng x = 0 và x = π là 10
π π π π A. . B. . C. . D. . 8 6 4 2 Lời giải π π 1 + cos 2 x 1 π sin 2 x π π ∫0 ∫0 2 dx =x 0 + 4 0 =. 2 Diện tích S cần tìm: S = cos xdx = 2 2 12  1 Câu 11. Số hạng thứ 9 khai triển  x 2 −  ( x ≠ 0) bằng  x A. 495 . B. −792 . C. 220 . D. −220 . Lời giải 12 k  1 12 12 − k  1 12 Ta có:  x 2 − = ∑ C12 . ( x 2 ) .  − = ∑ C12 . ( −1) .x 24−3k k k k = 0= 0  x k  x k Số hạng thứ 9 của khai triển là số hạng ứng với k = 8 Do đó hệ số là C12 . ( −1) = 8 8 495 5x − 3 Câu 12. Tính lim . x →−∞ x2 − 5 3 3 A. . B. − . C. 5 . D. −5 . 5 5 Lời giải Ta có:  3  3 3 x 5 −  x 5 −  5− 5x − 3 x x lim = lim  = lim  = lim x = −5 x →−∞ 2 x −5 x →−∞ 5 x →−∞ 5 x →−∞ 5 . x 1− 2 −x 1− 2 − 1− 2 x x x  1     2  Câu 13. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' , M , N là các điểm thỏa MA = − MD , NA ' = − NC . Mệnh đề nào sau 4 3 đây đúng ? A. MN  ( AC ' B ) . B. MN  ( BC ' D ) . C. MN  ( A ' C ' D ) . D. MN  ( BC ' B ) . Lời giải A M D B C N A' D' B' C'                       Đặt BA a, BB ' b= c thì a, b, c là ba vec tơ không đồng phẳng và BD = BA + AD = BA + BC = a + c = = , BC        BC ' = , BA ' = . b+c a+b 11
 1      1     5   1     Ta có MA = MD ⇒ BA − BM = BD − BM ⇒ BM = + BD − 4 − 4 4 (BA 4 )    ⇒= BM     =   4 BA + BD 4a + a + c =   5a + c . ( ) 5 5 5 Tương tự        3a + 3b + 2c    −2a + 3b + c   2   3   2  3    BN = 5 , MN = − BM = BN 5 = a + c + (b + c) = BD + BC ' − 5 5 − 5 5 ( )       Suy ra MN , DB, BC ' đồng phẳng mà N ∉ ( BC ' D ) ⇒ MN  ( BC ' D ) . Câu 14. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) x 2 ( x − 1) ( x 2 − 5 x + 4 ) ( x + 2 ) . Hỏi hàm số f ( x ) có bao nhiêu điểm 2023 = cực trị ? A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Ta có: f ′ ( x ) x 2 ( x − 1) ( x 2 − 5 x + 4 ) ( x + 2 ) ⇔ f ′ ( x ) = x 2 ( x − 1)( x − 1)( x − 4 )( x + 2 ) . 2023 2023 = ⇔ f ′ ( x ) = x 2 ( x − 1) ( x − 4 )( x + 2 ) 2 2023 Khi đó: f ′ ( x ) = x 2 ( x − 1) ( x − 4 )( x + 2 ) 2 2023 0⇔ 0 =có: +) x = 0 là nghiệm kép; +) x = 1 là nghiệm kép; +) x = 4 là nghiệm đơn; +) x = −2 là nghiệm bội lẻ. Mà f ′ ( x ) chỉ đổi dấu khi x đi qua nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị. Câu 15. Giá trị lớn nhất hàm số f ( x ) = 4 x − sin 2 x cos 2 x + 4 trên  là cos 2 81 9 10 7 A. max f ( x ) = . B. max f ( x ) = . C. max f ( x ) = . D. max f ( x ) = . x∈ 16 x∈ 2 x∈ 3 x∈ 2 Lời giải 1 Ta có: f ( x ) = 2 4 x − sin 2 x cos 2 x + 4 = sin 2 4 x − sin 4 x + 5 . cos − 2 Đặt t = sin 4 x . Ta có x ∈  ⇒ t ∈ [ −1;1] . 1 Xét hàm số g ( t ) = t 2 − t + 5 với t ∈ [ −1;1] . − 2 1 1 g ′ ( t ) =2t − , g ′ ( t ) = ⇔ t = . − 0 − 2 4 9  1  81 7 g ( −1) =, g  −  =, g (1) = . 2  4  16 2 81 Suy ra: max f ( x ) max g ( t ) = = . x∈ t∈[ −1;1] 16 2x + 1 Câu 16. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = là x2 − 3 A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 1 . 12
Lời giải TXĐ: D = ( −∞ ; − 3 ) ∪ ( 3;+ ∞ . ) 1 2+ 2x + 1 2x + 1 x Ta có lim y = lim = lim = −2 = lim x →−∞ x →−∞ x2 − 3 x →−∞ 3 3 x →−∞ −x 1 − 2 − 1− 2 xx 1 2+ 2x + 1 2x + 1 x và lim y = lim = lim = lim = 2 x →+∞ x →+∞ 2 x −3 x →+∞ 3 x →+∞ 3 x 1− 2 1− 2 x x ⇒ y =2 là TCN của đồ thị hàm số. ± 2x + 1 2x + 1 Mặt khác lim − y = lim − = −∞ và lim+ y = lim+ = +∞ 2 x →− 3 x →− 3 x −3 x→ 3 x→ 3 x2 − 3 ⇒ x = 3 là TCĐ của đồ thị hàm số đã cho. ± Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận. Câu 17. Nghiệm của phương trình log 2 ( x − 1) + log 1 ( x + 1) =nằm trong khoảng nào sau đây? 1 2 A. ( −1;0 ) . B. ( 0;1) . C. ( 2;3) D. ( 4;5 ) Lời giải x −1 > 0 Điều kiện  ⇔ x > 1 (*) . x +1 > 0 Phương trình ⇔ 2 log 2 ( x − 1) − log 2 ( x + 1) = 1 ⇔ 2 log 2 ( x − 1) log 2 ( x + 1) + log 2 2 = ⇔ log 2 ( x = log 2  2 ( x + 1)  − 1) 2   ⇔ x 2 − 2 x + 1= 2 x + 2  x= 2 − 5 ( L ) ⇔ x2 − 4 x −1 = 0 ⇔   x= 2 + 5 . Tập nghiệm phương trình là S = {2 + 5 }  2 − 2 x −1 Câu 18. Số nghiệm nguyên của bất phương trình 2 x ≤ 3 là A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 4 . Lời giải 2 − 2 x −1 2x ≤ 3 ⇔ ( x − 1) 2 − 2 ≤ log 2 3 ⇔ ( x − 1) 2 ≤ log 2 12 ⇔ 1 − log 2 12 ≤ x ≤ 1 + log 2 12 . Mà x ∈ Z ⇒ x = 2} . {0;1; Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình là 3 . Câu 19. Đồ thị của ba hàm số y = a x , y = b x , y = log c x (với a , b , c là ba số dương khác 1 cho trước) được vẽ trong cùng mặt phẳng tọa độ (hình vẽ bên). Khẳng định nào sau đây là đúng? 13
A. c > b > a. B. b > a > c. C. a > b > c. D. c > a > b. Lời giải Quan sát đồ thị của ba hàm số ta thấy: Hàm số y = a x , y = b x là các hàm số đồng biến. Suy ra a > 1 và b > 1. Hàm số y = log c x là hàm nghịch biến. Suy ra 0 < c < 1. Mặt khác cùng một giá trị của x0 > 0 thì b x > a x ( a > 1; b > 1) ⇒ b > a. 0 0 Như vậy: b > a > c. Câu 20. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B . Biết = 2a, BC a= 2a 3, thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' bằng AC = , AA ' A. 6a 3 . B. 2a 3 . C. 3a 3. D. 3a 3 3. Lời giải ( 2a ) 2 Tam giác ABC vuông tại B ⇒ BA2 + BC 2 = AC 2 ⇒ BA= AC 2 − BC 2 = − a2 = a 3 1 1 a2 3 a2 3 ⇒ S ∆ABC = BA.BC = .a 3.a = ⇒ VABC . A ' B ' C ' = AA '.S ABC = 2a 3. = 3a 3 . 2 2 2 2 Câu 21. Cho hàm số bậc ba có đồ thi như hình vẽ. Diện tích S của miền được tô đậm như hình được tính theo công thức nào? 14
3 3 A. S = ∫ ( f ( x ) + 1) dx . 0 B. S = ∫ ( f ( x ) − 1) dx . 0 3 3 C. S = −1 ∫ ( f ( x ) + 1) dx . D. S = ∫ f ( x ) − 1 dx . 0 Lời giải  y = f ( x)   y = −1 Quan sát hình vẽ ta thấy phần tô đậm được giới hạn bởi các đường:  x = 0 , suy ra diện tích của miền  x = 3  được tô đậm trong hình vẽ là: 3 3 =S ∫ f ( x ) − ( −1) dx ∫ ( f ( x ) + 1) dx 0 = 0 ( 5) x −1 Câu 22. Tập nghiệm của bất phương trình 3 < 5 x +3 A. ( −∞ ; − 5 ) . B. ( −∞ ;0 ) . C. ( −5; + ∞ ) . D. ( 0; + ∞ ) . Lời giải x −1 x −1 ( 5) x −1 3 < 5 x +3 ⇔ 5 3 < 5 x +3 ⇔ < x + 3 ⇔ x − 1 < 3 x + 9 ⇔ 2 x > −10 ⇔ x > −5 . 3 Vậy bất phương trình có tập nghiệm là ( −5; + ∞ ) . Câu 23. Cho hình chóp đều S . ABCD có cạnh bên bằng a 3 , mặt bên tạo với đáy một góc 450 Thể tích khối chóp S . ABC bằng 3 6a 3 3 6a 3 2a 3 4a 3 A. V = B. V = . C. . D. . 4 2 3 3 Lời giải 15
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD , E là trung điểm của CD . Ta có SO ⊥ ( ABCD ) () ( SCD ) , ( ABCD ) =  SEO 45o = Do đó ∆SOE vuông cân tại O SO EO x, x > 0 . = = Ta có: SD 2 = SE 2 + ED 2 ⇔ 3a 2 = 2 x 2 + x 2 ⇒ x = a ⇒ CD = 2a 1 4a 3 2a 3 VSABCD = SO.CD 2 = ⇒ VSABC = 3 3 3 6 2 Câu 24. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và ∫ f ( x )dx = 9 . Giá trị của tích phân ∫ f ( 3x )dx bằng 0 0 A. 3 . B. 18 . C. 1 . D. 27 . Lời giải Cách 1: Phương pháp đổi biến: 2 Xét tích phân: I = ∫ f ( 3 x )dx 0 1 Đặt: 3 x =⇒ dx = dt t 3 Đổi cận: x 0 2 t 0 6 6 6 1 1 1 Khi đó:= I ∫ f (t ). = dt ∫ f ( x )= 3= 3 . dx .9 0 3 30 n an + b 1 Cách 2: Dùng công thức nhanh: ∫ f ( ax + b ) dx = f ( x ) dx ∫ m a am +b 2 6 1 1 Áp dụng vào bài ta có: ∫ f ( 3 x )= dx ∫ f ( x )= 3= 3 . dx .9 0 30 16
Câu 25. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3, 4,5 . 125π 2 125π 2 A. . B. . C. 50π . D. 50π 2 . 3 12 Lời giải B A D C I B' A' C' D' Gọi R là bán kính khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật. 1 1 2 5 2 Ta có R = AC ′= 3 + 4 2 + 52 = . 2 2 2 3 4 4  5 2  125π 2 = π R3 Thể tích khối cầu V = π =  . 3 3  2    3 Câu 26. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a . Tam giác SAD cân tại S và mặt bên 4 ( SAD ) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S . ABCD bằng a3 . Tính khoảng cách h từ B đến mặt 3 phẳng ( SCD ) 2 4 8 3 A. h = a B. h = a C. h = a D. h = a 3 3 3 4 Lời giải Gọi I là trung điểm của AD . Tam giác SAD cân tại S ⇒ SI ⊥ AD  SI ⊥ AD  Ta có  ⇒ SI ⊥ ( ABCD ) ( SAD ) ⊥ ( ABCD )  ⇒ SI là đường cao của hình chóp. Theo giả thiết 1 4 3 1 = .SI .S ABCD ⇔ = VS . ABCD a SI .2a 2 ⇔ SI 2a = 3 3 3 Vì AB song song với ( SCD ) ⇒ d ( B, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) = 2d ( I , ( SCD ) ) Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên SD . 17
 SI ⊥ DC  IH ⊥ SD Mặt khác  ⇒ IH ⊥ DC . Ta có  ⇒ IH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( I , ( SCD ) ) = IH  ID ⊥ DC  IH ⊥ DC 1 1 1 1 4 2a Xét tam giác SID vuông tại I : 2 = 2 + 2 = 2 + 2 ⇒ IH = IH SI ID 4a 2a 3 4 ⇒ d ( B, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) = 2d ( I , ( SCD ) ) = a 3 8cos 2 x − m Câu 27. Cho hàm số y = (1). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng sin 2 x − 2sin x + 3 (−60;60) để tập xác định của hàm số (1) là  ? A. 68 . B. 53 . C. 52 . D. 69 . Lời giải Ta thấy: sin 2 x − 2sin x + 3 = ( sin x − 1)2 + 3 > 0 với mọi x∈. Để hàm số (1) có tập xác định là  khi và chỉ khi 8cos 2 x − m ≥ 0 với mọi x ∈  . ⇔ m ≤ 8cos 2 x, ∀x ∈  ⇔ m ≤ min ( 8cos 2 x ) ⇔ m ≤ −8 .  Vì m nguyên thuộc khoảng (−60;60) nên m ∈ {−59; −58; −57;....; −7; −8} Vậy có 52 giá trị nguyên của m thuộc khoảng (−60;60) để hàm số (1) có tập xác định là  . a  Câu 28. Cho hình chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , SA = , đáy ABCD là hình thoi cạnh a . Góc BAD 120° , có = 2 I là giao của hai đường chéo AC , BD . Góc giữa SI với ( ABCD) là A. 600 . B. 450 . C. 900 . D. 1350 . Lời giải S A D I B C   AI a Ta có góc IAD = 600 , AC ⊥ BD . Khi đó cos IAD = cos 600 = ⇒ AI = . Hình chiếu vuông góc của AD 2   SA 1 ⇒  45 SI lên mặt phẳng ( ABCD ) là AI . Do đó góc giữa SI với ( ABCD ) là SIA , tan SIA = = SIA =0 AI . . 18
Câu 29. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên R và có bảng biến thiên như sau (1 − m ) f ( x) + 2 + 2 Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = đồng biến trên khoảng ( −1;1) ? f ( x) + 2 − m A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1 . Lời giải ′ (1 − m )( −m ) − 2 f ′( x) Ta có y ′ =.( f ( x) + 2 ) = . m2 − m − 2 . ( ) 2 f ( x) + 2 ( ) 2 2 f ( x) + 2 − m f ( x) + 2 − m Dựa vào BBT của f ( x ) suy ra f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ ( −1;1) , vì vậy hàm số đã cho đồng biến trên ( −1;1)  2 m − m − 2 < 0 −1 < m < 2  ⇔ ⇔  f ( x ) + 2 − m ≠ 0, ∀x ∈ ( −1;1)  m ≠ f ( x ) + 2, ∀x ∈ ( −1;1)  −1 < m < 2  ⇔ ⇔ −1 < m ≤ 1 . Vậy m ∈ {0,1} . m ∉ (1; 2 )  Câu 30. Cho hàm số y = f ( x ) = x 4 − 2 ( m + 3) x 2 + m + 5 có đồ thị ( C ) . Gọi S là tập hợp tất các cả giá trị thực của tham số m để ( C ) tiếp xúc với trục hoành. Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng: A. −10 . B. −6 . C. −5 . D. −9 Lời giải Đồ thị (C) của hàm số tiếp xúc với trục hoành có thể xảy ra trong các trường hợp sau  ab ≥ 0   m ≤ −3  c = 0   ab < 0  m = −5 Vì a = 1 > 0 nên suy ra   ⇔  m > −3 ⇔ m ∈ {−5; −1} .   c = 0     −∆    m = −5   m = m =−1; −4 =0     4a Câu 31. Cho hàm số y  f  x có đồ thị hàm số y  f   x  như hình vẽ bên 19
y 3 x 0 1 Bất phương trình f  x  3 x  m có nghiệm x  0;1 khi và chỉ khi A. m > f ( 0 ) . B. m ≥ f (1) − 3 . C. m ≥ f ( 0 ) . D. m > f (1) − 3 . Lời giải Ta có f  x  3 x  m  m  g  x  f  x  3 x g ′= f ′ ( x ) − 3 < 0, ∀x ∈ ( 0;1) ⇒ g (1) < g ( x ) < g ( 0 ) , ∀x ∈ ( 0;1) ( x) ⇔ f (1) − 3 < g ( x ) < f ( 0 ) , ∀x ∈ ( 0;1) . Vì vậy * có nghiệm x  0;1  m  f 1  3 Câu 32. Cho hàm số f ( x ) có đồ thị hám f ' ( x ) như hình vẽ bên dưới. So sánh đúng về các giá trị f ( a ) , f ( b ) , f ( c ) là A. f ( b ) < f ( a ) < f ( c ) B. f ( a ) < f ( b ) < f ( c ) C. f ( b ) < f ( c ) < f ( a ) D. f ( c ) < f ( b ) < f ( a ) Lời giải Dựa vào bảng biến thiên – Suy ra f a  , f c  f b Thấy diện tích hình phẳng giới hạn bởi f ' x với trục hoành từ a đến b nhỏ hơn từ b đến c b c Suy ra ∫ ( − f ' ( x ) ) dx < ∫ f ' ( x ) dx ⇔ f ( a ) − f ( b ) < f ( c ) − f ( b ) ⇔ f ( a ) < f ( c ) a b Suy ra f b  f a   f c 20