Đề thi KSCL học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 có đáp án (Lần 1) - Trường THPT Đông Sơn 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

6
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn học sinh đang chuẩn bị bước vào kì thi có thêm tài liệu ôn tập, TaiLieu.VN giới thiệu đến các bạn "Đề thi KSCL học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 có đáp án (Lần 1) - Trường THPT Đông Sơn 1" để ôn tập nắm vững kiến thức. Chúc các bạn đạt kết quả cao trong kì thi!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi KSCL học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 có đáp án (Lần 1) - Trường THPT Đông Sơn 1

TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN 1 ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI LẦN 1 MÔN TOÁN LỚP 12 - NĂM HỌC 2022- 2023 Ngày thi: 15/10/2022 Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề. Đề thi gồm có 07 trang Họ, tên thí sinh:..........................................................................SBD..................... Câu 1. Điều kiện của m để phương trình sin 2022 x + cos 2022 x = là m có nghiệm m ≥ 1 m ≥ 2 A.  . B.  C. −1 ≤ m ≤ 1 . D. − 2 ≤ m ≤ 2.  m ≤ −1 m ≤ − 2  2sin x + 1 Câu 2. Hàm số y = xác định khi 1 − cos x kπ −π A. x ≠ kπ ; k ∈  B. x ≠ ; k ∈ C. x ≠ + k 2π ; k ∈  D. 2 6 x ≠ k 2π ; k ∈  Câu 3. Từ các chữ số 0;1; 2;3; 4;5;6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số? A. 13 . B. 49 . C. 36 . D. 42 . Câu 4 . Có bao nhiêu cách xếp 3 học sinh vào một bàn dài có 8 ghế ? A. C8 . 3 B. A8 . 3 C. 3! . D. 8.7.6 . u1 = 3 Câu 5. Cho dãy số un biết  , ∀n ∈ * . Số hạng tổng quát của dãy số ( un ) là un +1 = 3un A. un = 3n . B. un = 3n +1 . C. un = 3n −1 . D. un = n n +1 . Câu 6. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên  với bảng xét dấu đạo hàm như sau: . Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x) là A. 3 . B. 0 . C. 1 . D. 2 . x+3 Câu 7. Kí hiệu m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = trên đoạn 2x −1 [1;4]. Giá trị biểu thức = M − m là d A. d = 4 . B. d = 2 . C. d = 3 . D. d = 5 . Câu 8. Khối mười hai mặt đều thuộc loại đa diện đều nào? A. {4;3} B. {3; 4} C. {3;3} D. {5;3} Câu 9: Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với đáy. Tam giác ABC vuông cân tại B , biết = AC 2a . Thể tích khối chóp S . ABC là SA = 2 1 2 2 3 4 A. a 3 . B. a 3 . C. a . D. a 3 . 3 3 3 3 Câu 10: Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA′ = 2a. Thể tích của khối trụ đó bằng a3 3 a3 3 a2 3 A. . B. . C. a 3 3 . D. . 2 6 2 Câu 11. Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 4 tấm thẻ từ hộp đó. Gọi P là xác suất để tổng các số ghi trên 4 tấm thẻ ấy là một số lẻ. Khi đó P bằng Trang 1/7 - Mã đề thi 720
1 16 10 2 A. B. C. D. 12 33 33 11 Câu 12: Hệ số của x 5 trong khai triển P ( x ) =x (1 − 2 x ) + x 2 (1 + 3 x ) thành đa thức là 5 10 A. 80. B. 3240. C.3320. D. 259200. Câu 13. Cho dãy số ( un ) có un = n + n + 1 . Số −19 là số hạng thứ mấy của dãy? − 2 A. 5 . B. 7 . C. 6 . D. 4 . f ( x ) − 16 f ( x ) − 16 Câu 14. Cho f ( x ) là một đa thức thỏa mãn lim = 24 . Tính I = lim . x →1 x −1 x →1 ( ( x − 1) 2 f ( x ) + 4 + 6 ) A. 24 . B. +∞ . C. 2 . D. 0 . Câu 15 . Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có AB = 2a , AD AA′ a . Khoảng cách giữa hai = = đường thẳng AC và DC ′ bằng 2a a 3 a 3 3a A. . B. . C. . D. . 3 2 3 2 Câu 16. Cho khối chóp S . ABC có SA   ABC  , tam giác ABC vuông tại B , AC  2a , BC  a , SB  2a 3 . Góc giữa SA và mặt phẳng  SBC  là A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 . Câu 17. Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D sau: . −x + 2 x−2 −x − 2 −x + 2 A. f ( x ) = . B. f ( x ) = . C. f ( x ) = . D. f ( x ) = . x −1 x +1 x −1 x +1 Câu 18. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thực của phương trình f 2 ( x ) + 5 f ( x ) = 0 là A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Câu 19. Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y =x 3 + 3 x 2 + 1 là: −2 A. ( 0;1) . B. (1; 2 ) . C. ( −1; 6 ) . D. ( 2;3) . ( ) (x ) 3 Câu 20. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' (= x x 2 + 2 x x) 2 − 2 ∀x ∈  . Số điểm cực trị của hàm số là A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 21. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị f ′ ( x ) như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng? Trang 2/7 - Mã đề thi 720
A. Hàm số nghịch biến trên ( 0;1) . B. Hàm số đồng biến trên ( −∞ ; − 1) . C.Hàm số đồng biến trên ( −1;1) . D. Hàm số nghịch biến trên ( −∞ ;0 ) . Câu 22. Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 2. B. 6 . C. 8 . D. 4 . Câu 23. Cho khối lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 3a 3 3a 3 3a 3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. . 2 6 4 12 Câu 24. Cho khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng 6 . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng 63 A. 36 3 . B. 54 3 . C. 6 . 3 D. . 3 Câu 25. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đều cạnh bằng 4a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và mặt phẳng ( ABCD ) là 30° . Thể tích của khối chóp S . ABCD là A. 24 3a3 . B. 16 3a3 . C. 4 3a3 . D. 48 3a3 . Câu 26: Cho phương trình cos 2 x + 3 sin 2 x + 5 ( ) 3 sin x − cos x − 6 =. Tổng giữa nghiệm dương nhỏ 0 nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình là π π 2π π A. . B. − . C. − . D. . 3 2 3 4 Câu 27. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos 3 x − cos 2 x + 9sin x − 4 = trên khoảng ( 0;3π ) là 0 11π 25π A. 5π . B. . C. . D. 6π . 3 6 Câu 28: Cho hình chóp S . ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) đáy ABCD là hình thang 1 vuông có  B 900 và AB BC A  = = = = AD a; SA a 3 . Tính sin α biết α là góc giữa đường thẳng = = 2 SB và mặt phẳng ( SCD ) 30 30 10 20 A. B. . C. . D. . 20 10 30 30 Câu 29. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = a , AC = a 3 . Hình chiếu vuông góc của A′ lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm của BC . Khi đó cosin của góc giữa hai đường thẳng AA′ và B′C ′ bằng 3 1 3 1 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 4 Trang 3/7 - Mã đề thi 720
Câu 30. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình bên Hàm số y = f (1 − 2x ) + 1 đồng biến trên khoảng  3 1   1 A.  0;  . B.  ;1 . C. (1; +∞ ) . D.  −1;  .  2 2   2 2x − m 1 Câu 31: Cho hàm số f ( x) = ( m là tham số). Để min f ( x ) = thì x+2 x∈[ −1;1] 3 a a m= , (a ∈ , b ∈ , b > 0) và là phân số tối giản. Tổng a + b bằng b b A. −10 . B. 10 . C. 4 . D. −4 . Câu 32. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau 1 Đồ thị hàm số y = có bao nhiêu tiệm cận đứng? f ( x) −1 2 A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1 . x 2 + mx − 1 Câu 33: Cho hàm số y = có đồ thị là ( C ) ( m là tham số thực). Tổng bình phương các giá trị x −1 của m để đường thẳng d : y = m cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm A, B sao cho OA ⊥ OB bằng A. 3 . B. 12 . C. 5 . D. 4 . 2x −1 Câu 34: Gọi A , B là hai điểm di động và thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số y = . Độ x+2 dài đoạn AB bé nhất là A. 10 . B. 2 10 . C. 5 . D. 2 5 . Câu 35: Cho hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c, d ∈  ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình f f (( ) ) f ( x ) + f ( x ) + 2 f ( x ) − f (1) = 0 là A.2. B.3. C.1. D.0. Trang 4/7 - Mã đề thi 720
Câu 36. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ. Biết f ( −2 ) =5 − ( ) Tìm m để phương trình f x − 2 = 2m − x có nghiệm thuộc [ 0;1) 2 2  −5 −5 −1 −5 −1 −5 −1 m < 2 A.
Câu 41: Trong một lần dạo chơi, An vô tình lạc vào một mê cung là một đa giác lồi có 33 cạnh. Để thoát khỏi mê cung thì An phải đi đúng 2 lần với cùng quy luật sau: “Với L là tập hợp các tam giác tạo từ ba đỉnh của đa giác, từ hai tam giác bất kì trong L, An phải đi theo một tam giác có đúng một cạnh là cạnh của đa giác và một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác (không phân biệt thứ tự đi)”. Giả sử tất cả các lần đi của An đều đúng thì xác suất thoát khỏi mê cung của An xấp xỉ là bao nhiêu? A. 0, 0456 . B. 0,1243 . C. 0, 2872 . D. 0, 0825 . Câu 42: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD = 2a . Cạnh bên SA vuông góc    với mặt đáy và SA = 2a . Gọi M , N lần lượt là các điểm thỏa mãn hệ thức MS = −2.MD và    AN = 2. AB . Biết góc tạo bởi đường thẳng SN với mặt phẳng ( SCD ) bằng 30° . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SN và CM bằng a 51 a 33 4a a 21 A. . B. . C. . D. . 4 4 3 7 Câu 43. Cho hình lăng trụ đều ABC. A B C  . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  ABC  bằng 1 a , góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  BCC B  bằng α với cos α  . Tính thể tích khối 2 3 lăng trụ ABC. A B C  . 3a 3 2 3a 3 2 a3 2 3a 3 2 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 4 2 2 8 Câu 44: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên . Biết rằng hàm số y f x 2 − 4 x có đồ thị = ( ) ( của đạo hàm như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số y= f x 4 − 6 x + 5 x 2 + 12 x bằng 3 ) A. 11. B. 15. C. 7. D. 9. Câu 45: Cho hàm bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số 2 =  xf ( x − 1)  là y   A. 9 . B. 7 . C. 6 . D. 5 . Câu 46. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  . Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Số tham số m nguyên thuộc đoạn [ −20; 20] để hàm số g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −1; 2 ) biết g ( x )= 3 f ( − x3 − 3 x + m ) + ( x3 + 3 x − m ) ( −2 x3 − 6 x + 2m − 6 ) . 2 Trang 6/7 - Mã đề thi 720
A. 23 . B. 21 . C. 5 . D. 17 . Câu 47: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( f ( x ) + 2m ) + 1 = f ( x ) + 2m có đúng 3 nghiệm phân biệt trên [ −1;1] là A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Câu 48. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị đạo hàm f ′ ( x ) như hình vẽ bên dưới. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [ −20; 20] để hàm số 1 y = f ( 9 − 2 x ) + x 3 − 2 x 2 + ( m + 3) x + 1 đồng biến trên  ? 3 A. 22 . B. 13 . C. 14 . D. 12 . Câu 49. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên có độ dài bằng 2a và tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 60° . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, B′C ′ và DD′ . Thể tích của khối tứ diện MNPC ′ bằng a3 3 a3 3 a3 3 a3 A. . B. . C. . D. . 8 12 16 8 Câu 50. Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và B′C bằng 2a 5 2a 5 , khoảng cách giữa 2 đường thẳng BC và AB′ bằng . Khoảng cách giữa 2 đường 5 5 a 3 thẳng AC và BD′ bằng . Thể tích khối hộp chữ nhật đã cho bằng 3 A. 4a 3 . B. 2a 3 . C. 6a 3 . D. 8a 3 . - HẾT - Trang 7/7 - Mã đề thi 720
TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN 1 ĐÁP ÁN THI KSCL HỌC SINH GIỎI LẦN 1 MÔN TOÁN LỚP 12 Ngày thi: ………………… NĂM HỌC 2022- 2023 Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề. Đề thi gồm có 6 trang Mã đề thi 720 Họ, tên thí sinh:..........................................................................SBD..................... 1-D 2-D 3- D 4-B 5-A 6-D 7-C 8-D 9-A 10-A 11-B 12-C 13-A 14-C 15-A 16-B 17-C 18-D 19-B 20-D 21-C 22-D 23-C 24-B 25-B 26-C 27-D 28-A 29-D 30-B 31-D 32-C 33-A 34-B 35-B 36-C 37-D 38-D 39-A 40-B 41-D 42-C 43-B 44-A 45-B 46-A 47-A 48-D 49-C 50-B Câu 1: Điều kiện của m để phương trình sin 2022 x + cos 2022 x = là m có nghiệm m ≥ 1 m ≥ 2 A.  . B.  . C. −1 ≤ m ≤ 1 . D. − 2 ≤ m ≤ 2.  m ≤ −1 m ≤ − 2  Lời giải 2 2 2 Điều kiện 1 + 1 ≥ m ⇔ − 2 ≤ m ≤ 2 . 2sin x + 1 Câu 2. Hàm số y = xác định khi 1 − cos x π π A. x ≠ + k 2π B. x ≠ kπ C. x ≠ + kπ D. x ≠ k 2π 2 2 Lời giải Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 − cos x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ k 2π với k ∈  . Câu 3. Từ các chữ số 0;1; 2;3; 4;5;6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số? A. 13 . B. 49 . C. 36 . D. 42 . Lời giải Gọi số cần lập có dạng ab . Để lập được số có 2 chữ số ta cần thực hiện liên tiếp hai hành động. Chọn một chữ số khác 0 vào vị trí a có 6 cách. Ứng với mỗi cách chọn một số vào vị trí a có 7 cách chọn một số vào vị trí b . Theo quy tắc nhân ta có số các số có 2 chữ số lập được là 6.7 = 42 số. Câu 4 . Có bao nhiêu cách xếp 3 học sinh vào một bàn dài có 8 ghế ? A. C8 . 3 B. A8 . 3 C. 3! . D. 5!. Lời giải Chọn 3 ghế trong 8 ghế và sắp xếp 3 học sinh vào ngồi có C8 .3! = A8 ( cách) 3 3 u1 = 3 Câu 5. Cho dãy số un biết  , ∀n ∈ * . Số hạng tổng quát của dãy số ( un ) là un +1 = 3un A. un = 3 . n B. un = 3n +1 . C. un = 3n −1 . D. un = n n +1 . Lời giải un +1 Ta có = 3 . Do đó dãy số ( un ) là một cấp số nhân với u1 = 3 , công bội q = 3 . un Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân là: un = u1 .q n −1 = 3.3n−1 = 3n . Câu 6. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên  với bảng xét dấu đạo hàm như sau Trang 1/24 - Mã đề thi 720
. Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x) là A. 3 . B. 0 . C. 1 . D. 2 . Lời giải Ta có y ′ đổi dấu khi đi qua x = −3 và qua x = 2 nên số điểm cực trị là 2 . x+3 Câu 7. Kí hiệu m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = trên đoạn 2x −1 [1;4]. Giá trị biểu thức = M − m bằng d A. d = 4 . B. d = 2 . C. d = 3 . D. d = 5 . Lời giải 1  1 Tập xác định D =  \   ; ∉ [1;4] . 2 2 1+ 3 4+3 y (1) y ( 4) Ta có= = 4 ; = = 1 . Suy ra d = M − m = 4 − 1 = 3 . 2.1 − 1 2.4 − 1 Câu 8. Khối mười hai mặt đều thuộc loại đa diện đều nào? A. {4;3} B. {3; 4} C. {3;3} D. {5;3} Lời giải Mỗi mặt là một ngũ giác đều và mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba mặt. Câu 9: Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với đáy. Tam giác ABC vuông cân tại B , biết = AC 2a . Thể tích khối chóp S . ABC là SA = 2 1 2 2 3 4 A. a 3 . B. a 3 . C. a . D. a 3 . 3 3 3 3 Lời giải AC 2a Ta có AB BC = = = = a 2. 2 2 1 1 1 1 2 3 ( ) 2 Thể tích khối chóp S . ABC là V = = .= S ABC .SA AB 2 .SA . a= 2 .2a a . 3 3 2 6 3 Câu 10: Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA′ = 2a. Thể tích của khối trụ đó bằng a3 3 a3 3 a2 3 A. . B. . C. a 3 3 . D. . 2 6 2 Lời giải Trang 2/24 - Mã đề thi 720
a 2 3 a3 3 = AA '.S ABC 2= V = a. 4 2 Câu 11. Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 4 tấm thẻ từ hộp đó. Gọi P là xác suất để tổng các số ghi trên 4 tấm thẻ ấy là một số lẻ. Khi đó P bằng 1 16 10 2 A. B. C. D. 12 33 33 11 Lời giải Không gian mẫu C4 = 330 11 + Số cách chọn 1 thẻ mang số lẻ và 3 thẻ mang số chẵn là: C1 .C3 = 60 6 5 + Số cách chọn 3 thẻ mang số lẻ và 1 thẻ mang số chẵn là: C3 .C1 = 100 . 6 5 16 Vậy xác suất cần tìm là P = 33 Câu 12: Hệ số của x 5 trong khai triển P ( x ) =x (1 − 2 x ) + x 2 (1 + 3 x ) thành đa thức là 5 10 A. 80. B. 3240. C.3320. D. 259200. Lời giải 5 5 Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có x (1 − 2 x = x.∑C5k . ( −2 x ) ) ∑C . ( −2 ) 5 5− k 5− k = k 5 .x 6 − k k =0 k =0 → số hạng chứa x5 tương ứng với 6 − k = 5 ⇔ k = 1. 10 10 Tương tự, ta có x 2 (1 + 3 x ) =C10 . ( 3 x ) x 2 .∑ l = ∑C10 .310‐l.x12‐l 10 10‐l l l =0 l =0 → số hạng chứa x tương ứng với 12 − l = 5 ⇔ l = 7. 5 Vậy hệ số của x 5 cần tìm P ( x ) là C5 . ( −2 ) + C10 .33 = . Chọn C. 1 4 7 3320 Câu 13. Cho dãy số ( un ) có un = n 2 + n + 1 . Số −19 là số hạng thứ mấy của dãy? − A. 5 . B. 7 . C. 6 . D. 4 . Lời giải ( ) Giả sử un = −19 , n ∈ * . Suy ra −n 2 + n + 1 = 19 − n = 5 ⇔ −n 2 + n + 20 =0 ⇔  . Vậy số −19 là số hạng thứ 5 của dãy.  n = −4 ( l ) f ( x ) − 16 f ( x ) − 16 Câu 14. Cho f ( x ) là một đa thức thỏa mãn lim = 24 . Tính I = lim . x →1 x −1 x →1 ( ( x − 1) 2 f ( x ) + 4 + 6 ) A. 24 . B. +∞ . C. 2 . D. 0 . Lời giải f ( x ) − 16 1 1 Vì lim = 24 nên lim ( f ( x ) − 16 ) = lim f ( x ) = 0⇒ 16 ⇒ lim = . x →1 x −1 x →1 x →1 x →1 2 f ( x ) + 4 + 6 12 f ( x ) − 16 f ( x ) − 16 1 Khi đó I = lim = lim = 2. .lim x →1 ( ( x − 1) 2 f ( x ) + 4 + 6 x →1 ) ( x − 1) x →1 2 f ( x) + 4 + 6 Câu 15 . Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có AB = 2a , AD AA′ a . Khoảng cách giữa hai đường = = thẳng AC và DC ′ bằng 2a a 3 a 3 3a A. . B. . C. . D. . 3 2 3 2 Lời giải Trang 3/24 - Mã đề thi 720
Ta có C ′D // AB′ ⇒ C ′D // ( ACB′ ) . ⇒ d ( C ′D, AC ) = d ( C ′D, ( ACB′ ) ) = d = d= h ( do O là trung điểm của ( D, ( ACB′) ) ( B, ( ACB′) ) BD ). Tứ diện BACB′ có BA , BC , BB′ đôi một vuông góc nên ta có 1 1 1 1 1 1 1 9 2a 2a = + + = + 2 + 2 = 2 . ⇒ h = ⇒ d ( C ′D, AC ) = . h 2 2 BA BC 2 BB′ 2 2 4a a a 4a 3 3 Câu 16. Cho khối chóp S . ABC có SA   ABC  , tam giác ABC vuông tại B , AC  2a , BC  a , SB  2a 3 . Góc giữa SA và mặt phẳng  SBC  bằng A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 . S Lời giải Trong  SAB  kẻ AH  SB  H  SB  . SA  BC  H Vì    BC   SAB   BC  AH .  AB  BC   A C Mà SB  AH do cách dựng nên AH   SBC  , hay H là hình B chiếu của A lên  SBC  suy ra góc giữa SA và  SBC  là góc  hay góc  . ASH ASB Tam giác ABC vuông ở B  AB  AC 2  BC 2  a 3 AB 1 Tam giác SAB vuông ở A  sin   ASB     30 ASB SB 2 Câu 17. Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D sau: . −x + 2 x−2 −x − 2 −x + 2 A. f ( x ) = . B. f ( x ) = . C. f ( x ) = . D. f ( x ) = . x −1 x +1 x −1 x +1 Lời giải Trang 4/24 - Mã đề thi 720
−x + 2 −3 f ( x) = ⇒ f ′( x ) = nên loại A ( x + 1) 2 x +1 −x + 2 −1 f ( x) = ⇒ f ′( x ) = nên loại D ( x − 1) 2 x −1 x−2 3 x−2 f ( x) = ⇒ f ′( x ) = nhưng lim = 1 nên loại B x →−∞ x + 1 ( x + 1) 2 x +1 Câu 18. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thực của phương trình f 2 ( x ) + 5 f ( x ) = 0 là A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải  f ( x) = 0 Ta có phương trình f 2 ( x ) + 5 f ( x ) =  f ( x ) + 5 =0 ⇔  0 f ( x)   .  f ( x ) = −5  Số nghiệm của phương trình chính là tổng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và hai đường thẳng y = 0 và y = −5 (song song với trục hoành). Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = 0 tại 2 điểm phân biệt, và không cắt đường thẳng y = −5 . Suy ra phương trình f 2 ( x ) + 5 f ( x ) = nghiệm thực phân 0 có 4 biệt. Câu 19. Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y =x 3 + 3 x 2 + 1 là: −2 A. ( 0;1) . B. (1; 2 ) . C. ( −1; 6 ) . D. ( 2;3) . Lời giải x = 0 y′ =x 2 + 6 x ; y′= 0 ⇔  −6 . x = 1 Bảng xét dấu y′ Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là (1; 2 ) . ( ) (x ) 3 Câu 20. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' (= x x 2 + 2 x x) 2 − 2 ∀x ∈  . Số điểm cực trị của hàm số là A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 Lời giải Bảng xét dấu Trang 5/24 - Mã đề thi 720
x −∞ −2 −4 2 0 4 2 +∞ f '( x) − 0 + 0 − 0 − 0 + f ' ( x ) đổi dấu 3 lần qua x = −2 , x = − 4 2 , x = 4 2 . suy ra hàm số có 3 cực trị. Câu 21. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị f ′ ( x ) như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên ( 0;1) . B. Hàm số đồng biến trên ( −∞ ; − 1) . C.Hàm số đồng biến trên ( −1;1) . D. Hàm số nghịch biến trên ( −∞ ;0 ) . Lời giải Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên Vậy hàm số đồng biến trên ( −1;1) Câu 22. Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 2. B. 6 . C. 8 . D. 4 . Lời giải Đó là các mặt phẳng ( SAC ) , ( SBD ) , ( SHJ ) , ( SGI ) với G , H , I , J là các trung điểm của các cạnh AB, CB, CD, AD (hình vẽ bên dưới). S A J D G O I B H C Câu 23. Cho khối lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , AB ' = 2a (minh họa như hình dưới). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng Trang 6/24 - Mã đề thi 720
3a 3 3a 3 3a 3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. . 2 6 4 12 Lời giải 2 3.a Diện tích đáy là: S ∆ABC = . 4 Tam giác AA ' B ' vuông tại A ' nên ta có: AA ' = AB '2 − A ' B '2 = a. 3 . a2 3 3a 3 Thể tích lăng trụ là:= B.h AA '.S ∆ABC V = = .a = 3 . 4 4 Câu 24. Cho khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng 6 . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng 63 A. 36 3 . B. 54 3 . C. 63 . D. . 3 Lời giải 2 6 3 Diện tích tam giác đều ở đáy lăng trụ là =9 3. 4 Áp dụng công thức thể tích lăng trụ ta có= Bh 54 3 . V = Câu 25. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đều cạnh bằng 4a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và mặt phẳng ( ABCD ) là 30° . Thể tích của khối chóp S . ABCD là A. 24 3a3 . B. 16 3a3 . C. 4 3a3 . D. 48 3a3 . Lời giải Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AD và BC . Khi đó AH ⊥ ( ABCD ) , suy ra BC ⊥ ( SKH ) ,  nên SKH= ( SB, ( ABC )= ) 30° . AD. 3 1 Có SH = = 2 3a= SH= 6a . Vậy VS . ABCD = 16 3a3 . ⇒ HK .cot 30° = .SH . AD.HK 2 3 ( ) Câu 26: Cho phương trình cos 2 x + 3 sin 2 x + 5 3 sin x − cos x − 6 =. Tính tổng nghiệm dương nhỏ nhất 0 và nghiệm âm lớn nhất của phương trình. π π 2π π A. . B. − . C. − . D. . 3 2 3 4 Lời giải cos 2 x + 3 sin 2 x + 5 ( ) 3 sin x − cos x − 6 =0  π Đặt: t= 3 sin x − cos x= 2sin  x −  , t ≤ 2  6 ( ) ⇒ t 2 =3sin 2 x + cos 2 x − 3 sin 2 x =2 − cos 2 x + 3 sin 2 x ⇒ cos 2 x + 3 sin 2 x =2 − t 2 . Phương trình trở thành Trang 7/24 - Mã đề thi 720
 π π t = 1 ( N )  x − 6 = 6 + k1 2π  π 2 −t + 5t − 4 = 0 ⇔   π 1 ⇔ sin  x −  = ⇔  ⇔  x 3 + k1 2π ( k , k ∈  ) = t = 4 ( L )  1 2   6 2  x − π = 5π + k 2π  2  x π + k2 2π =  6 6 π Nghiệm dương nhỏ nhất là x1 = ứng với k1 = 0 .Nghiệm âm lớn nhất là x2 = −π ứng với k2 = −1 3 π 2π Do đó: x1 + x2 = − π =− 3 3 Câu 27. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos 3 x − cos 2 x + 9sin x − 4 = trên khoảng ( 0;3π ) là 0 11π 25π A. 5π . B. . C. . D. 6π . 3 6 Lời giải Ta có: cos 3 x − cos 2 x + 9sin x − 4 = 0 ⇔ 4 cos x − 3cos x − (1 − 2sin 2 x ) + 9sin x − 4 = 0 . 3 ( ) ⇔ cos x 4 (1 − sin 2 x ) − 3 + 2sin 2 x + 9sin x − 5 =. 0 ⇔ − cos x ( 2sin x − 1)( 2sin x + 1) + ( 2sin x − 1)( sin x + 5 ) =0 . ⇔ ( 2sin x − 1)( −2sin x.cos x − cos x + sin x + 5 ) = (*) . 0  π Do sin x − cos x = 2 sin  x −  ≥ − 2 ; −2sin x.cos x = − sin 2 x ≥ −1 .  4 nên: −2sin x.cos x − cos x + sin x + 5 = sin x − cos x − sin 2 x + 5 ≥ 4 − 2 > 0 .  π 1  x 6 + k 2π = (*) ⇔ 2sin x − 1 = 0 ⇔ sin x = ⇔  (k ∈ ) . 2  x 5π + k 2π =   6 π π −1 17 Với x= + k 2π , x ∈ ( 0;3π ) ⇒ 0 < + k 2π < 3π ⇔
Gọi M là hình chiếu vuông góc của C nên AD ta có tam giác ACD vuông tại C CD ⊥ AC   ⇒ CD ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SAC ) ⊥ ( SCD ) CD ⊥ SA  Kéo dài AB, CD cắt nhau tại K . Gọi I , T lần lượt là trung điểm của KC , SK ta có ( BTI ) // ( SAC ) ⇒ ( BTI ) ⊥ ( SCD ) BH ⊥ TI tại H . Suy ra BH ⊥ ( SCD ) tại H = . Vậy α ( SB,= (= ( SCD ) ) SB, SH )  BSH . 1 1 1 4 4 30 = + 2 = + ⇒ BH = a (a 2 ) (a 3) 10 2 2 2 2 BH BT BI . 30 ( a 3 ) + a = 2a ⇒ sin α = BH = 2 SB = AS 2 + AB 2 = 2 SB 20 Câu 29. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = a , AC = a 3 . Hình chiếu vuông góc của A′ lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm của BC . Khi đó cosin của góc giữa hai đường thẳng AA′ và B′C ′ bằng 3 1 3 1 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 4 Lời giải Trang 9/24 - Mã đề thi 720
 AA '/ / BB '  ( BB ', BC )  Vì  ⇒ ( AA ', B ' C ') =  B ' C '/ / BC 1 Ta có AH = = A ' H = ' A2 − AH 2 =3 BC a ⇒ A a 2 Vì A ' H ⊥ ( ABC ) ⇒ A ' H ⊥ ( A ' B ' C ') ⇒ A ' H ⊥ A ' B ' ⇒ B ' H= A ' H 2 + A ' B '2= 2a 2 BH 2 − B ' H 2  BB ' += 4a + a − 4a 2 2 2 1 cos B ' BH = = 2 BB '.BH 2.2a.a 4 Câu 30. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình bên Hàm số y = f (1 − 2x ) + 1 đồng biến trên khoảng  3 1   1 A.  0;  . B.  ;1 . C. (1; +∞ ) . D.  −1;  .  2 2   2 Lời giải Ta có: y′ =′ (1 − 2x ) . −2 f 1  −1 < 1 − 2x < 0 < x 0 ⇔ f ′ (1 − 2x ) < 0 ⇔  ⇔ 2 . 1 < 1 − 2x  x < 0 1  Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng  ;1 và ( −∞;0 ) . 2  2x − m 1 a a Câu 31: Cho hàm số f ( x ) = ( m là tham số). Để min f ( x ) = thì m = , (a ∈ , b ∈ , b > 0) và x+2 x∈[ −1;1] 3 b b là phân số tối giản. Tổng a + b bằng A. −10 . B. 10 . C. 4 . D. −4 . Lời giải 4+m +Ta có f ′ ( x ) = . ( x + 2) 2 + Trường hợp 1: Với m < −4 thì f ′ ( x ) < 0 1 2−m 1 Khi đó min f ( x) = ⇔ f (1) = = ⇔ m =1 (loại). x∈[ −1;1] 3 3 3 + Trường hợp 2: Với m = −4 . Khi đó f ( x ) = 2 là hàm không đổi (không thỏa đề bài). + Trường hợp 3: Với m > −4 thì f ′ ( x ) > 0 . 1 1 7 Khi đó min f ( x) = ⇔ f ( −1) =−2 − m = ⇔ m =− x∈[ −1;1] 3 3 3 Trang 10/24 - Mã đề thi 720
−7, 3 . Vậy a + b = 4 . +Theo đề bài suy ra a = b = − Câu 32. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau 1 Đồ thị hàm số y = có bao nhiêu tiệm cận đứng? f ( x) −1 2 A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1 . Lời giải  f ( x) = 1 Xét phương trình f ( x ) − 1 = 0 ⇔ f ( x ) = 1 ⇔  2 2 .  f ( x ) = −1  1 Phương trình f ( x ) = 1 có một nghiệm x = a với a > − . 2 1 Phương trình f ( x ) = −1 có một nghiệm x = b với b < − . 2 1 Vậy đồ thị hàm số y = 2 có đường 2 đường tiệm cận đứng. f ( x) −1 x 2 + mx − 1 Câu 33: Cho hàm số y = có đồ thị là ( C ) ( m là tham số thực). Tổng bình phương các giá trị của x −1 m để đường thẳng d : y = m cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm A, B sao cho OA ⊥ OB bằng A. 3 . B. 12 . C. 5 . D. 4 . Lời giải +Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( C ) và đường thẳng d là x 2 + mx − 1 x ≠ 1 x ≠ 1  m⇔ 2 = ⇔ . g ( x ) = x + m −1= 0 2 x −1  x + mx − 1= mx − m  + Đường thẳng d : y = m cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ g ( x ) = 0 có hai nghiệm  ∆′ = 1 − m > 0  phân biệt khác 1 ⇔  ⇔ m ∈ ( −∞;1) \ {0} .  g (1= m ≠ 0  ) + Gọi A ( x1 ; m ) , B ( x2 ; m ) . Khi đó x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình g ( x ) = 0 . 0  x1 + x2 = Theo định lí Vi-ét ta có  .  x1 x2 m − 1 = Trang 11/24 - Mã đề thi 720
 −1 + 5 m = 2 Khi đó OA ⊥ OB ⇔ x1 x2 + m 2 = 0 ⇔ m 2 + m − 1 = 0 ⇔  (thỏa mãn).  −1 − 5 m =  2 Vậy tổng bình phương các giá trị của m để đường thẳng d : y = m cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm 2 2  −1 + 5   −1 − 5  A, B sao cho OA ⊥ OB bằng   2  + 2  =    3.     2x −1 Câu 34: Gọi A , B là hai điểm di động và thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thịhàm số y = . Độ dài x+2 đoạn AB bé nhất là A. 10 . B. 2 10 . C. 5 . D. 2 5 . Lời giải 2x −1  5   5  Vì A , B thuộc hai nhánh của đồ thị y = nên A  a; 2 −  , B  b; 2 −  với a > −2 , x+2  a+2  b+2 b < −2 .  25  2  25  (a − b)  = ( a + 2 ) + ( −b − 2 )  . 1 + 2 Khi đó AB 2 = . 1 +   2 .  ( a + 2) (b + 2)   ( a + 2 ) ( −b − 2 )  2 2 2     Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 2 ( a + 2 ) + ( −b − 2 )  ≥ 4 ( a + 2 )( −b − 2 ) (1)   25 10 1+ ≥ ( 2 ) . Từ (1) và ( 2 ) suy ra AB 2 ≥ 40 ⇒ AB ≥ 2 10 . ( a + 2 ) . ( −b − 2 ) 2 2 ( a + 2 )( −b − 2 ) a + 2 =−2 − b  a = 5−2  Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi  25 ⇔ . Vậy ABmin = 2 10. 1=  ( a + 2 )2 ( −2 − b )2 b =−2 − 5   Câu 35: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a, b, c, d ∈  ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của 3 2 phương trình f f (( ) ) f ( x ) + f ( x ) + 2 f ( x ) − f (1) = 0 là A.2. B.3. C.1. D.0. Lời giải Đặt t = ( 2 ) f ( x ) , t ≥ 0 . Ta có: f f ( t ) + t + 2t − f (1) = (*). 0 Với t ≥ 0 : f ( t ) ≥ 0 và f ( t ) + t 2 + 2t ≥ 0 . Theo đồ thị, hàm f ( u ) đồng biến trên [ 0; +∞ ) . Trang 12/24 - Mã đề thi 720
Do đó, (*) ⇔ f ( f ( t ) + t 2 + 2t= f (1) ⇔ f ( t ) + t 2 + 2= 1 ) t 1 g (t ) ⇔ f ( t ) = − t 2 − 2t ⇔ f ( t ) =(**)(với g ( t ) = − t 2 − 2t , t ≥ 0 ) 1 Vì hàm f ( t ) đồng biến và g ( t ) nghịch biến trên [ 0; +∞ ) và f (1) > 0 , g (1) < 0 nên phương trình (**) có nghiệm duy nhất t= α ∈ ( 0;1) Khi đó, t = f ( x ) =, α 2 ∈ ( 0;1) (***). α⇔ α2 Vì đồ thị hàm f ( x ) cắt đường thẳng y = α 2 tại 3 điểm phân biệt nên phương trình (***) có 3 nghiệm phân biệt. Câu 36. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ. Biết f ( −2 ) =5 − ( ) Tìm m để phương trình f x − 2 = 2m − x có nghiệm thuộc [ 0;1) 2 2  −5 −5 −1 −5 −1 −5 −1 m < 2 A.