Đề thi KSCL học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 có đáp án (Lần 1) - Trường THPT Quảng Xương 2, Thanh Hóa

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:36

Thêm vào BST

Báo xấu

7
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn học sinh đang chuẩn bị bước vào kì thi có thêm tài liệu ôn tập, TaiLieu.VN giới thiệu đến các bạn ‘Đề thi KSCL học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 có đáp án (Lần 1) - Trường THPT Quảng Xương 2, Thanh Hóa’ để ôn tập nắm vững kiến thức. Chúc các bạn đạt kết quả cao trong kì thi!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi KSCL học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 có đáp án (Lần 1) - Trường THPT Quảng Xương 2, Thanh Hóa

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG LẦN 1 TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 2 NĂM HỌC 2022 – 2023 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) 2022 Câu 1: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ′ ( x ) .  f ( x )    = x.e x với mọi x ∈  và f (1) = 1 . Hỏi phương 1 trình f ( x ) = − có bao nhiêu nghiệm? e A. 0 . B. 1 . C. 3 . D. 2 . Tìm tập xác định của hàm số y log 2022 ( x − 2 ) + log 2023 ( 9 − x 2 ) . 4 Câu 2: = A. D = ( −3; 2 ) . B. D = ( 2;3) . C. D = ( −3;3) \ {2} . D. D = [ −3;3] . ln x − 6 Câu 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [ −2022; 2022] để hàm số y = đồng biến ln x − 3m ( trên khoảng 1;e6 ? ) A. 2021. B. 2022. C. 2023. D. 2019. Câu 4: Cho hàm số y = f ( x) có f '( x) = x ( x − 1) ( x − 2) . Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x) là 9 8 2022 A. 3 . B. 2 . C. 1 . D. 0 . Câu 5: Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của A ' trên ( ABC ) là trung điểm của cạnh AB. Mặt phẳng ( AA ' C ' C ) tạo với đáy một góc bằng 45°. Thể tích V của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là 3a 3 3a 3 3a 3 3a 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 16 8 4 2 f ( x) f (1) == 2023.2024.x ( x − 1) , ∀x ∈  f ′( x) 2022 1 0 Câu 6: Cho hàm số có và . Khi đó ∫ f ( x ) dx 0 bằng 2 1 2 1 A. . B. . C. − . D. − . 2025 1012 2025 1012 Câu 7: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng ( SCD ) tạo với đáy góc 30° . Thể tích khối chóp S . ABCD . a3 3 a3 3 a3 3 5a 3 3 A. B. C. D. 4 2 36 36 Câu 8: Cho hình cầu đường kính 2a 3 . Mặt phẳng ( P ) cắt hình cầu theo thiết diện là hình tròn có bán kính bằng a 2 . Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng ( P ) . a a 10 A. a . B.. C. a 10 . D. . 2 2 Câu 9: Cho khối đa diện đều loại {3;3} có cạnh bằng a . Gọi V là diện tích của khối đa diện đó. Khẳng định nào sau đây đúng? a3 3 a3 2 a3 2 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 4 4 12 12 Câu 10: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 cos 2 x − sin 2 x + 5 A. 2 . B. − 2 . C. 6 − 2 . D. 6 + 2 . Câu 11: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài sao cho hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế? A. 6 . B. 10 . C. 24 . D. 12 .
Câu 12: Cho cấp số cộng ( un ) , biết u2 = 3 và u4 = 7 . Giá trị của u15 bằng A. 27 . B. 31 . C. 35 . D. 29 . 3 2 Câu 13: Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình dưới đây. Trong các giá trị a , b , c , d có bao nhiêu giá trị âm? A. 2 . B. 1 . C. 4 . D. 3 . Câu 14: Cho hình chóp đều S . ABCD . Mặt phẳng ( α ) đi qua A và vuông góc với SD . Thiết diện của hình chóp S . ABCD cắt bởi mặt phẳng ( P ) là A. Tam giác cân. B. Tam giác vuông. C. Tam giác đều. D. Tam giác cân. Câu 15: Hình nào không phải là hình đa diện đều trong các hình dưới đây? A. Hình chóp tam giác đều. B. Hình hộp chữ nhật có diện tích các mặt bằng nhau. C. Hình lập phương. D. Hình tứ diện đều. Câu 16: Bán kính đáy r của hình trụ tròn xoay có diện tích xung quanh S và chiều cao h là S S S S A. . B. . C. . D. πh 2π h 2π h πh 3 2 Câu 17: Hàm số y  ax  bx  cx  d có đồ thị như hình vẽ bên dưới: Khẳng định nào là đúng? A. a  0, b  0, c  0, d  0 . B. a  0, b  0, c  0, d  0 . C. a  0, b  0, c  0, d  0 . D. a  0, b  0, c  0, d  0 . Câu 18: Cho n là số tự nhiên thỏa mãn C n 2 n  C n 2 n1.3  ...  C n 1 2.3n1  C n 3n  515 . Hệ số của x 3 0 1 n n n  3 trong khai triển 2 x   là      x 6 9 A. C15 2 9.3 . 9 B. C15 2 9.36 . 9 C. C15 2 6.3 . 9 D. 2 6.39 . Câu 19: Cho ba số thực dương a, b, c khác 1 . Đồ thị các hàm số y a= b= log c x được cho trong = x, y x ,y hình vẽ dưới đây. Mệnh đề nào dưới đây đúng? Trang 2/36
A. c < b < a . B. c < a < b . C. a < b < c . D. b < a < c . 3 Câu 20: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ −1;3] , f ( 3) = 11 và ∫ f ′ ( x ) dx = 15 . Khi −1 đó f ( −1) bằng A. 5 . B. 26 . C. −4 . D. 4 . f ( x) +1 f ( x) + 2 −1 Câu 21: Cho f ( x ) là một đa thức thỏa mãn lim = 3 . Tính P = lim . x →−1 x +1 x →−1 x+5 −2 3 A. 6 . B. . C. 12 . D. 2 . 2 Câu 22: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn= x= y . Tính ln a 3b 2 . ln a ;ln b ( ) 2 3 A. P = x y . B. P = 6 xy . C. P 3 x + 2 y . = D. P x 2 + y 2 . = Câu 23: Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) 2 x − cos 2 x là = 1 1 A. x 2 + sin 2 x . B. x 2 + sin 2 x . C. x 2 − sin 2 x . D. x 2 − sin 2 x . 2 2 1 Câu 24: Cho hàm số f ( x ) = Tính S f (1) + f ( 2 ) + ... + f ( 2022 ) . = ( x + 1) x + x x +1 2022 − 2022 2022 − 2022 A. S = . B. S = . 2022 2023 2023 − 2023 C. S = . D. S = 2022 . 2023 Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ Hỏi phương trình f ( x + 2017 ) − 2018 = có bao nhiêu nghiệm? 2019 A. 6 . B. 2 . C. 4 . D. 3 . Trang 3/36
    Câu 26: Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có thể tích V , gọi M , N là hai điểm thỏa mãn D′M = 2 MD ,    C ′N = 2 NC , đường thẳng AM cắt đường A′D′ tại P , đường thẳng BN cắt đường thẳng B′C ′ tại Q . Gọi V ′ là thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A′ , B′ , P , Q , M , N . Tính V′ tỉ số . V 3 5 4 A. . B. . C. 1 . D. . 4 4 3 Câu 27: Hai chiếc ly đựng chất lỏng giống nhau, mỗi chiếc có phần chứa chất lỏng là một khối nón có chiều cao là 2 ( dm ) (mô tả như hình vẽ). Ban đầu chiếc ly thứ nhất chứa đầy chất lỏng, chiếc ly thư hai để rỗng. Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ nhất sang ly thứ hai sao cho độ cao của cột chất lỏng trong ly thứ nhất còn 1( dm ) . Tính chiều cao h của cột chất lỏng trong ly thứ hai sau khi chuyển (Độ cao của cột chất lỏng tính từ đỉnh của khối nón đến mặt chất lỏng – lượng chất lỏng coi như không hao hụt khi chuyển. Tính gần đúng h với sai số không quá 0, 01( dm ) ). A. h ≈ 1, 73 ( dm ) . B. h ≈ 1,89 ( dm ) . C. h ≈ 1,91( dm ) . D. h ≈ 1, 41( dm ) Câu 28: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong khoảng ( −2022; 2022 ) để phương trình 16 − ( m − 1) 4 x x +1 2 + 3m − 8m + 4 =có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn x1.x2 > 2 0 A. 2014 B. 2015 C. 2021 D. 2022 Câu 29: Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Biết thể tích của khối lăng trụ a3 3 là . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA′ và BC là 4 A. 3a . B. 3a . C. 2a . D. 4a . 4 2 3 3 e + m  khi x ≥ 0 x Câu 30: Cho hàm số f ( x ) =  liên tục trên  và 2 2 x 3 + x khi x < 0  1 ∫ f ( x )dx=ae + b 3 + c , ( a, b, c ∈ Q ) . Tổng a + b + 3c bằng −1 A. 15 . B. −10 . C. −19 . D. −17 . Câu 31: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x + 2mx 2 + 3(m − 1) x + 2 cắt 3 đường thẳng y= 2 − x tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho O, B, C là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 2 , biết B và C không nằm trên trục Oy 1± 5 3± 5 A. m = . B. m = . C. m = 0 . D. m = 1 . 2 2 Câu 32: Cho lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2 3 ; AD = 6 ; A′C = 3 2 và mặt phẳng ( AA′C ′C ) vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng ( AA′C ′C ) ; 3 2 ( AA′B′B ) tạo với nhau góc α có tan α = . Thể tích V của khối chóp A. A′B′C ′D′ là 4 Trang 4/36
16 5 A. V = 32 5 . B. V = 4 5 . C. V = 16 2 . D. V = . 3 Câu 33: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu của f ′ ( x ) như sau Số điểm cực tiểu của hàm số y f ( x3 − 3 x ) bằng = A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 7 . Câu 34: Cho các số thực x , y thỏa mãn 5 + 16.4 x 2 −2 y ( =x 5 + 16 2 −2 y ) .7 2 2 y− x +2 . Gọi M và m lần lượt là giá 10 x + 6 y + 26 trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = . Tính T M + m . = 2x + 2 y + 5 19 21 A.. B. . C. 10 . D. 15 . 2 2 Câu 35: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) sao cho f ( 0 ) = 2 và hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị trong hình vẽ. Giá trị nhỏ nhất của hàm số g ( x ) 4 f ( x − 2 ) + x 2 − 4 x trên đoạn [ 0;6] bằng = A. 3 . B. g ( 2 ) . C. g ( 0 ) . D. g ( 6 ) . ( ) Câu 36: Cho hàm số y = x3 − 2 ( m + 2 ) x 2 + −m 2 + 9m + 4 x + 2m 2 − 10m ( m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [ −5;5] để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục Ox . A. 7 . B. 10 . C. 9 . D. 11 . Câu 37: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = x − mx + 12 x + 2m luôn đồng biến 3 2 trên khoảng (1; +∞ ) ? A. 18 . B. 19 . C. 21 . D. 20 . Câu 38: Hai quả bóng giống nhau có cùng bán kính là R và hai quả bóng giống nhau có bán kính nhỏ hơn r được đặt sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với các quả bóng khác ( 4 quả bóng đều nằm r trên một mặt phẳng). Tỉ số là? R 1 1 A. 2 + 3 . B. 2 − 3 . C. . D. . 4 2 f ( x ) = mx + nx + px + qx + r 4 3 2 g ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d Câu 39: Cho các hàm số ; ( m, n, p, q, r , a, b, c, d ∈  ) thỏa mãn f ( 0 ) = g ( 0 ) . Các hàm số y = f ′ ( x ) và y = g ′ ( x ) có đồ thị như hình bên Trang 5/36
Gọi S là tất cả các nghiệm của phương trình f ( x ) = g ( x ) . Khi đó mệnh đề nào sau đây đúng?  3   3 A. S ∈  − ; −1 . B. S ∈  −2; −  . C. S ∈ ( 0;1) . D. S = 2 .  2   2 Câu 40: Cho hàm số y = − 2mx 2 + m có đồ thị ( C ) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ x4 thị ( C ) có hoành độ bằng 1 . Giá trị của tham số thực m để tiếp tuyến ∆ của đồ thị ( C ) tại A cắt đường tròn ( γ ) : x 2 + ( y − 1) =tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất là 2 4 13 13 16 16 A. m = − . B. m = . C. m = − . D. m = . 16 16 13 13 Câu 41: Gọi X là tập chứa tất cả các số tự nhiên có 13 chữ số và chỉ gồm các chữ số "0" và "1" chọn ngẫu nhiên từ X một số tự nhiên. Xác suất để chọn được số tự nhiên chia hết cho 30 là 85 683 341 341 A. . B. . C. . D. . 512 4096 2048 4096 Câu 42: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, = 2= 2= 2= 2a , SA = a AD AB BC CD . Hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAD ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB và CD . Tính cosin góc giữa MN và ( SAC ) . 5 3 310 310 310 A. . B. . C. . D. . 20 10 20 40 x+5 Câu 43: Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc đoạn [ −2022; 2022] để đồ thị của hàm số y = mx 2 + 1 có hai tiệm cận ngang? A. 2022 . B. 2020 . C. 4044 . D. 2024 . ( )( ) Câu 44: Cho phương trình 103m + 10m = 2 x + 1 − x 2 1 + x 1 − x 2 . Tìm tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm.  1  1   1  1  A.  0; log 2  . B.  log 2; +∞  . C.  0;  . D.  −∞; log 2  .  2  2   10   2  Câu 45: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  và thoả mãn điều kiện 1 a f ( x ) + 2 f (1 − x= 3 x + 4, ∀x ∈  . Biết rằng tích phân I ) 2 = x. f ' ( x ).dx ∫= , (với a, b là các số 0 b a nguyên dương, và là phân số tối giản). Tính T= a − b . b A. T = −7 . B. T = 16 . C. T = 0 . D. T = 1 . x 3x x 3x 1 Câu 46: Phương trình cos x.cos .cos − sin x.sin .sin = có tích các nghiệm trên ( −π ;0 ) là 2 2 2 2 2 Trang 6/36
π2 π2 5π 2 π2 A. − . B. . C. . D. − . 8 8 72 32 Câu 47: Bạn Mai là sinh viên năm cuối chuẩn bị ra trường, nhờ có công việc làm thêm mà Mai có một khoản tiết kiệm nhỏ, Mai muốn gửi tiết kiệm để chuẩn bị mua một chiếc xe máy Honda Lead trị giá 45 triệu đồng để tiện cho công việc. Vì vậy, Mai đã quyết định gửi tiết kiệm theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,8% /1 tháng và mỗi tháng Mai đều đặn gửi tiết kiệm một khoản tiền là 3 triệu đồng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng, Mai đủ tiền để mua xe máy? A. 14 tháng. B. 16 tháng. C. 17 tháng. D. 15 tháng. Câu 48: Có bao nhiêu bộ số nguyên ( x; y ) thỏa mãn đồng thời các điều kiện 0 ≤ x, y ≤ 2022 và  7y   3x + 1  (xy + 2 x 2 + y + 2 ) log 5  2  ≤ ( 3 x + 3 y − xy − 9 ) log 3    y + 18   x−3  A. 6057 . B. 3 . C. 4038 . D. 2020 . Câu 49: Cho hình trụ và hình vuông ABCD có cạnh a . Hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất và hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thức hai, mặt phẳng ( ABCD ) tạo với đáy một góc 45° . Khi đó thể tích khối trụ là. π a3 2 3π a 3 2 π a3 2 3π a 3 2 A. . B. . C. . D.. 8 8 16 16 9 30a Câu 50: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB 3= = a, AC . Hình chiếu 10 của S trên mặt phẳng ( ABC ) là điểm H thuộc đoạn thẳng BC . Biết rằng HC = 2 HB và 2a SH = . Góc giữa mặt phẳng ( SAB ) và ( SAC ) bằng 2 A. 600 . B. 450 . C. 1200 . D. 300 . ------------- Hết ------------- Trang 7/36
BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 D C C C A C A A C C D D A D A B D A B C A C C C C 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 C C A A C B D B A C C D B B B B C A D A B D A D D LỜI GIẢI CHI TIẾT 2022 Câu 1. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ′ ( x ) .  f ( x )    = x.e x với mọi x ∈  và f (1) = 1 . Hỏi phương trình 1 f ( x ) = − có bao nhiêu nghiệm? e A. 0 . B. 1 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn D 2022 2022 Ta có: ∫ f ′ ( x ) .  f ( x )   dx =x.e x dx ⇔ ∫  f ( x )  ∫   df ( x ) = − 1) .e x + C (x 1 2023 2023 ⇔ .  f ( x )   = − 1) .e x + C ⇔  f ( x )  (x   = ( x − 1) .e x + 2023C . 2023 2023 2023 Do f (1) = 1 nên 2023C = 1 hay  f ( x )  = 2023 ( x − 1) .e x + 1 .   1 2023 1 1 Ta có: f ( x ) =− ⇔  f ( x )    =− 2023 ⇔ 2023 ( x − 1) .e x + 1 + 2023 = .0 e e e 1 Xét hàm số g ( x ) 2023 ( x − 1) .e x + 1 + 2023 trên  . = e 1 g ′ ( x ) = 2023 x.e x , g ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0 , g ( 0 ) =−2023 + 1 + 2023 < 0 , lim g ( x ) = +∞ , e x →+∞ 1 lim g ( x ) = 2023 > 0 . 1+ x →−∞ e Bảng biến thiên của hàm số: x -∞ 0 +∞ g'(x) 0 + g(x) 1+e-2023 +∞ g(0) 1 Do đó phương trình f ( x ) = − có đúng 2 nghiệm. e Câu 2. Tìm tập xác định của hàm số y log 2022 ( x − 2 ) + log 2023 9 − x 2 . = 4 ( ) A. D = ( −3; 2 ) . B. D = ( 2;3) . C. D = ( −3;3) \ {2} . D. D = [ −3;3] . Lời giải Chọn B ( x − 2 )4 > 0  x ≠ 2 Hàm số y log 2022 ( x − 2 ) + log 2023 ( 9 − x ) 4 2 = xác định ⇔  ⇔ 2 9 − x > 0  −3 < x < 3 Trang 8/36
ln x − 6 Câu 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [ −2022; 2022] để hàm số y = đồng biến ln x − 3m ( trên khoảng 1;e6 ? ) A. 2021. B. 2022. C. 2023. D. 2019. Lời giải Chọn C Đặt t = ln x , với x ∈ (1;e6 ) thì 0 < t < 6 . ln x − 6 t −6 Khi đó hàm số y = ln x − 3m ( ) đồng biến trên khoảng 1;e6 thì hàm số y ( t ) = t − 3m đồng biến trên khoảng ( 0;6 ) . −3m + 6 Ta có y′ ( t ) = ( t − 3m ) 2 Để hàm số y ( t ) đồng biến trên khoảng ( 0;6 ) thì m < 2 −3m + 6 > 0    ⇔   m ≤ 0 ⇔ m ≤ 0  m ∈ {−2022; −2021;... − 1;0} . m∈ →  3m ∉ ( 0;6 ) m ≥ 2 m∈[ −2022;2022]  Vậy có tất cả: 2023 số nguyên m thoả mãn yêu cầu bài toán. Câu 4. Cho hàm số y = f ( x) có f '( x) = x 9 ( x − 1)8 ( x − 2) 2022 . Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x) là A. 3 . B. 2 . C. 1 . D. 0 . Lời giải Chọn C Ta có: f '(x ) = 0 ⇔ x = 0, x = 1, x = 2 . f '(x ) = 0 Chỉ có nghiệm x = 0 là nghiệm bội lẻ nên hàm số có một cực trị. Câu 5. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của A ' trên ( ABC ) là trung điểm của cạnh AB. Mặt phẳng ( AA ' C ' C ) tạo với đáy một góc bằng 45°. Thể tích V của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là 3a 3 3a 3 3a 3 3a 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 16 8 4 2 Lời giải Chọn A Gọi H , M , I lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC , AM . Ta có VABC . A ' B 'C ' = S ∆ABC . A ' H a2 3 S ∆ABC = . 4 Ta có IH là đường trung bình của tam giác AMB, MB là đường trung tuyến của tam giác ABC. Trang 9/36
 IH / / MB Do đó:  ⇒ IH ⊥ AC  MB ⊥ AC  AC ⊥ A ' H  ⇒ AC ⊥ ( A ' HI ) ⇒ AC ⊥ A ' I  AC ⊥ IH  AC ⊥ IH , IH ⊂ ( ABC )  Ta có:  AC ⊥ A ' I , A ' I ⊂ ( ACC ' A ')  ( ABC ) ∩ ( ACC ' A ') = AC ⇒  là góc giữa hai mặt phẳng ( ACC ' A ') và ( ABC ) ⇒  = A 'IH A 'IH 450 1 a 3 Trong tam giác A ' HI vuông tại H , ta có: A'H IH = = MB = . 2 4 a 2 3 a 3 3a 3 Vậy V = = . 4 4 16 1 Cho hàm số f ( x ) có f (1) == 2023.2024.x ( x − 1) 0 và f ′ ( x ) ∫ f ( x ) dx 2022 Câu 6. , ∀x ∈  . Khi đó 0 bằng 2 1 2 1 A. . B. . C. − . D. − . 2025 1012 2025 1012 Lời giải Chọn C 1 ( ax + b ) α +1 f ′ ( x ) dx f ( x ) + C và ax + b ) dx (= + C (α ≠ −1) . α Cần nhớ: ∫ = ∫ a α +1 Ta có f ( x ) f ′ ( x ) dx= ∫ 2023.2024.x ( x − 1) dx= 2023.2024 ∫ x ( x − 1) dx . 2022 2022 = ∫ Đặt t = x − 1 ⇒ dt = dx và x = t + 1 . Suy ra f = 2023.2024 ∫ ( t + 1) t 2022 dt 2023.2024 ∫ ( t 2023 + t 2022 ) dt ( x) =  t 2024 t 2023  = 2023.2024  + = 2023t 2024 + 2024t 2023 + C . +C  2024 2023  Từ đó f ( x ) 2023 ( x − 1) + 2024 ( x − 1) 2024 2023 = +C . Mà f (1) = 0 ⇔ 2023 (1 − 1) + 2024 (1 − 1) 2024 2023 + C = 0 ⇔ C = 0. Suy ra f ( x ) 2023 ( x − 1) + 2024 ( x − 1) 2024 2023 = . 1  dx  2023. (  x − 1) ( x − 1)  1 1 2025 2024 ∫ f ( x )= ∫ 2023 ( x − 1) + 2024 ( x − 1) 2024 2023 Vậy dx = + 2024.     2025 2024  0 0  0  2023  2 =−  − + 1 =− .  2025  2025 Câu 7. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng ( SCD ) tạo với đáy góc 30° . Thể tích khối chóp S . ABCD . a3 3 a3 3 a3 3 5a 3 3 A. B. C. D. 4 2 36 36 Lời giải Chọn A Trang 10/36
Gọi H , K lần lượt là trung điểm AB và CD . (  ) Suy ra SH ⊥ ( ABCD ) và ( SCD ) , ( ABCD )= SKH 30° . = SH a 3 1 3a Xét ∆SHK vuông tại H , có HK = = : = . tan 30° 2 3 2 1 1 a 3 3a a 3 3 Vậy VS . ABCD = . = = SH .S ABCD .a. . 3 3 2 2 4 Câu 8. Cho hình cầu đường kính 2a 3 . Mặt phẳng ( P ) cắt hình cầu theo thiết diện là hình tròn có bán kính bằng a 2 . Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng ( P ) . a a 10 A. a . B. . C. a 10 . D. . 2 2 Lời giải Chọn A I R H A P Bán kính hình cầu đã cho là R = a 3 . (a 3) − (a 2 ) 2 2 Khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng ( P ) là d = = a. Câu 9. Cho khối đa diện đều loại {3;3} có cạnh bằng a . Gọi V là diện tích của khối đa diện đó. Khẳng định nào sau đây đúng? a3 3 a3 2 a3 2 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 4 4 12 12 Lời giải Chọn C Gọi ABCD là hình đa diện đều loại {3;3} ⇒ ABCD là tứ diện đều cạnh a . Trang 11/36
A B D E O C Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD suy ra O là trọng tâm tam giác BCD và AO ⊥ ( BCD ) . a 3 a 6 a2 3 OD ⇒= ,=AO , S BCD = . 3 3 4 1 a 6 a 2 3 a3 2 = . = ⇒V . . 3 3 4 12 Câu 10. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 cos 2 x − sin 2 x + 5 A. 2. B. − 2 . C. 6 − 2 . D. 6 + 2 . Lời giải Chọn C  π Ta có y = 2 cos 2 x − sin 2 x + 5 = cos 2 x − sin 2= x+6 2 cos  2 x +  + 6 .  4  π  π Do − 2 ≤ 2 cos  2 x +  ≤ 2 nên − 2 + 6 ≤ 2 cos  2 x +  + 6 ≤ 2 + 6 .  4  4 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 cos x − sin 2 x + 5 là 6 − 2 . Câu 11. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài sao cho hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế? A. 6 . B. 10 . C. 24 . D. 12 . Lời giải Chọn D Số cách xếp 2 bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế là: 2! cách Số cách xếp 3 bạn còn lại vào 3 vị trí là: 3! cách Số cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài sao cho hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế là: 2!.3! = 12 cách Câu 12. Cho cấp số cộng ( un ) , biết u2 = 3 và u4 = 7 . Giá trị của u15 bằng A. 27 . B. 31 . C. 35 . D. 29 . Lời giải Chọn D u + d = 3 u = 1 Từ giả thiết u2 = 3 và u4 = 7 suy ra ta có hệ phương trình:  1 ⇒ 1 . u1 + 3d = d = 2 7 Vậy u15 =1 + 14d = . u 29 Câu 13. Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình dưới đây. Trong các giá trị a , b , c , d có bao nhiêu giá trị âm? Trang 12/36
A. 2 . B. 1 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn A Qua đồ thị ta thấy: đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d giao với trục Oy tại điểm D ( 0; d ) nằm phía dưới trục Ox nên d < 0 , và hình dạng của đồ thị hàm số ứng với trường hợp a < 0 . Hàm số đạt cực tiểu tại x1 < 0 , đạt cực đại tại x2 > 0 và x1 + x2 > 0 . x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình 3ax 2 + 2bx + c =. 0  −2b >0  S = x1 + x2 > 0  3a  b > 0 Khi đó  ⇒ mà a < 0 nên  . = x1 x2 < 0 P  c 0  3a  a < 0 Vậy có 2 giá trị âm trong các giá trị a , b , c , d là  . d < 0 Câu 14. Cho hình chóp đều S . ABCD . Mặt phẳng ( α ) đi qua A và vuông góc với SD . Thiết diện của hình chóp S . ABCD cắt bởi mặt phẳng ( P ) là A. Tam giác cân. B. Tam giác vuông. C. Tam giác đều. D. Tam giác cân. Lời giải Chọn B Trang 13/36
 AC ⊥ BD Ta có:  ⇒ AC ⊥ SD  AC ⊥ SO Gọi E là hình chiếu của A lên SD  SD ⊥ AC  ⇒ SD ⊥ CE  SD ⊥ AE Thiết diện của hình chóp cắt bởi ( P ) chính là ( ACE ) * Ta có: ∆SAD = ⇒ AE = ∆SCD CE ⇒ ∆AEC cân tại E Hay thiết diện là tam giác cân tại E Câu 15. Hình nào không phải là hình đa diện đều trong các hình dưới đây? A. Hình chóp tam giác đều. B. Hình hộp chữ nhật có diện tích các mặt bằng nhau. C. Hình lập phương. D. Hình tứ diện đều. Lời giải Chọn A Vì các mặt bên của hình chóp tam giác đều có thể là các tam giác cân không phải là tam giác đều. Câu 16. Bán kính đáy r của hình trụ tròn xoay có diện tích xung quanh S và chiều cao h là S S S S A. . B. . C. . D. πh 2π h 2π h πh Lời giải Chọn B S Diện tích xung quanh hình trụ là = 2π rh ⇔= S r . 2π h Câu 17. Hàm số y  ax3  bx 2  cx  d có đồ thị như hình vẽ bên dưới: Khẳng định nào là đúng? A. a  0, b  0, c  0, d  0 . B. a  0, b  0, c  0, d  0 . C. a  0, b  0, c  0, d  0 . D. a  0, b  0, c  0, d  0 . Lời giải Chọn D + Dựa vào hình dạng đồ thị ta khẳng định được a  0 . + Ta có: 𝑦𝑦 ′ = 3𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 2𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐. Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2  x1  x2  trái dấu nên phương + Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tọa độ 0; d  . Dựa vào đồ thị suy ra d  0 . trình 𝑦𝑦 ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 trái dấu. Vì thế 3a.c  0 , nên suy ra c  0 .  x > −1 + Mặt khác từ đồ thị ta thấy  1 nên x1  x2  0 .  x2 > 1 Trang 14/36
2b 2b Mà x1  x2  nên suy ra 0 ⇒b c . Loại các phương án A, C , D . 3 Câu 20. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ −1;3] , f ( 3) = 11 và ∫ f ′ ( x ) dx = 15 . −1 Khi đó f ( −1) bằng A. 5 . B. 26 . C. −4 . D. 4 . Lời giải Chọn C 3 3 Ta có ∫ f ′ ( x ) dx = −1 15 ⇔ f ( x ) −1 = 15 ⇔ f ( 3) − f ( −1) = 15 ⇔ f ( −1) = f (3) − 15 = −4 . f ( x) +1 f ( x) + 2 −1 Câu 21. Cho f ( x ) là một đa thức thỏa mãn lim = 3 . Tính P = lim . x →−1 x +1 x →−1 x+5 −2 Trang 15/36
3 A. 6 . B. . C. 12 . D. 2 . 2 Lời giải Chọn A f ( x) +1 Ta có lim = ⇒ f ( x ) + 1 = x + 1) h ( x ) ⇒ f ( −1) = 1 . 3 ( − x →−1 x +1 Vậy P = lim = lim f ( x) + 2 −1  f ( x ) + 1 x + 5 + 2   ( ) x →−1 x+5 −2 x →−1 ( x + 1) f ( x ) + 2 + 1 ( )  f ( x) +1 x+5 +2  −1 + 5 + 2 = lim  . = 3.  = 6. x →−1   x +1 f ( x) + 2 +1   −1 + 2 + 1 Câu 22. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn= x= y . Tính ln a 3b 2 . ln a ;ln b ( ) 2 3 A. P = x y . B. P = 6 xy . C. P 3 x + 2 y . = D. P x 2 + y 2 . = Lời giải Chọn C ( ln ) Ta có ln a 3b 2 = a 3 + ln b 2 = a + 2 ln b =x + 2 y . 3ln 3 Câu 23. Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) 2 x − cos 2 x là = 1 1 A. x 2 + sin 2 x . B. x 2 + sin 2 x . C. x 2 − sin 2 x . D. x 2 − sin 2 x . 2 2 Lời giải Chọn C 1 ∫ f ( x ) dx = − cos 2 x ) dx =2 sin 2 x + C , với C ∈ . ∫ ( 2x 2 Ta có x − 1 Vậy một nguyên hàm của hàm số f ( x ) 2 x − cos 2 x là x 2 − sin 2 x . = 2 1 Câu 24. Cho hàm số f ( x ) = Tính S f (1) + f ( 2 ) + ... + f ( 2022 ) . = ( x + 1) x + x x + 1 2022 − 2022 2022 − 2022 A. S = . B. S = . 2022 2023 2023 − 2023 C. S = . D. S = 2022 . 2023 Lời giải Chọn C Tập xác định của hàm số là D = ( 0; +∞ ) . Ta có f ( x ) = = 1 = 1 ( x +1 − x ) ,. ( x + 1) x + x x + 1 x x +1 x + x +1 ( ) x x +1 f (= x) 1 = 1 = ( x +1 − x = ) 1 − 1 ∀x ∈ D ( x + 1) x + x x +1 x x +1 ( x + x +1 ) x x +1 x x +1  1 1   1 1   1 1  1 2023 − 2023 Vậy ta có S = − + −  + ... +  −  =1 − = 2023 .  1 2  2 3  2022 2023  2023 Câu 25. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ Trang 16/36
Hỏi phương trình f ( x + 2017 ) − 2018 = có bao nhiêu nghiệm? 2019 A. 6 . B. 2 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn C Xét đồ thị hàm số y = ( x + 2017 ) − 2018 có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) f song song với trục Ox sang trái 2017 đơn vị, rồi sau đó tịnh tiến song song với trục Oy xuống dưới 2018 đơn vị. Ta được bảng biến thiên của hàm số y = ( x ) = ( x + 2017 ) − 2018 như sau g f Khi đó đồ thị hàm số y = f ( x + 2017 ) − 2018 gồm hai phần: + Phần đồ thị của hàm số y = ( x ) = ( x + 2017 ) − 2018 nằm phía trên trục hoành. g f + Và phần đối xứng của đồ thị y = ( x ) = ( x + 2017 ) − 2018 nằm phía dưới trục hoành. g f Do đó ta có được bảng biến thiên của hàm số y = g ( x ) như sau Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình f ( x + 2017 ) − 2018 = có 4 nghiệm. 2019     Câu 26. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có thể tích V , gọi M , N là hai điểm thỏa mãn D′M = 2 MD ,    C ′N = 2 NC , đường thẳng AM cắt đường A′D′ tại P , đường thẳng BN cắt đường thẳng B′C ′ tại Q . Gọi V ′ là thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A′ , B′ , P , Q , M , N . Tính V′ tỉ số . V 3 5 4 A. . B. . C. 1 . D. . 4 4 3 Trang 17/36
Lời giải Chọn C Ta có: V ′ = VPMD′.QNC ′ + VA′D′M .B′C ′N Theo giả thiết:     D′M = 2MD ⇒ M nằm trên đoạn D′D và D′M = 2 D′D . 3    2 C ′N = 2 NC ⇒ N nằm trên đoạn C ′C và C ′N = C ′C . 3 VPMD′.QNC′ d ( D′, ( NQC ') ) .S NQC′ S NQC′ = = *) Ta có: V d ( D′, ( BCC ' B ') ) .S BCC′B′ S BCC′B′ Trong ( BB′C ′C ) qua N kẻ HK vuông với BC , B′C ′ ( H ∈ BC , K ∈ B′C ′ ) . NK NC ′ 1 BC // B′C ′ ⇒ 2⇒ = = NK = 2 NH , NH = HK . NH NC 3 QC ′ C ′N BC // B′C ′ ⇒ = = QC ′ = . 2⇒ 2 BC BC CN 1 1 1 1 2 SQNC ′ = =NK .QC ′ .2= 4. . = NH .2 BC HK . BC S BB′C ′C . 2 2 2 3 3 VPMD′.QNC′ 2 2 Từ đó ta được: ⇒V =PMD′.QNC′ = V. V 3 3 VA′D′M .B′C′N S A′D′M S A ' D ' M 1 D′M 1 2 1 1 *) Tương tự: = = = . = = . ⇒ VA ' D ' M . B ' C ' N = V. V S A′D′DA 2S A ' D ' D 2 D′D 2 3 3 3 2 1 V′ Khi đó: V ′ = V + V = V . Vậy =1. 3 3 V S NQC ′ Ghi chú: Có thể tính tỉ số theo cách khác như sau: S BCC ′B′ Trang 18/36
2 SQNC ′ QC ′ QN  2  4 4 =. .S = = SQNC ′ =BB′C ′N (1)   ⇒ SQB′B QB′ QB  3  9 5 SCBN CN 1 1 1 5 = = SCBN = S BCC ' B ' ⇒ S BB′C′N = ′C ′ ( 2 ) ⇒ . SBB SCBC′ CC ′ 3 3 2 6 SQNC ′ 4 5 2 Từ (1) và ( 2 ) suy ra = = . . S BB′C ′C 5 6 3 Câu 27. Hai chiếc ly đựng chất lỏng giống nhau, mỗi chiếc có phần chứa chất lỏng là một khối nón có chiều cao là 2 ( dm ) (mô tả như hình vẽ). Ban đầu chiếc ly thứ nhất chứa đầy chất lỏng, chiếc ly thư hai để rỗng. Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ nhất sang ly thứ hai sao cho độ cao của cột chất lỏng trong ly thứ nhất còn 1( dm ) . Tính chiều cao h của cột chất lỏng trong ly thứ hai sau khi chuyển (Độ cao của cột chất lỏng tính từ đỉnh của khối nón đến mặt chất lỏng – lượng chất lỏng coi như không hao hụt khi chuyển. Tính gần đúng h với sai số không quá 0, 01( dm ) ). A. h ≈ 1, 73 ( dm ) . B. h ≈ 1,89 ( dm ) . C. h ≈ 1,91( dm ) . D. h ≈ 1, 41( dm ) Lời giải. Chọn C Chiều cao của hình nó khi đựng đầy nước ở ly thứ nhất là AH = 2 Chiều cao của phần nước ở ly thứ nhất sau khi đổ sang ly thứ hai là AD = 1 Chiều cao phần nước ở ly thứ hai là AF = h R ' AD 1 R '' AF h R RH Theo ta lét ta có = = , = = ⇒ R '= , R ''= R AH 2 R AH 2 2 2 Thể tích phần nước ban đầu ở ly thứ nhất là V = 2π R 2 π R 2 h3 Thể tích phần nước ở ly thứ hai là V1 π R ''2 h = = 4 πR 2 Thể tích phần nước còn lại ở ly thứ nhất là V2 = 4 πR h πR 2 3 2 h 3 1 Mà V = V1 + V2 ⇒ + = 2π R 2 ⇔ + = 2 ⇔ h = 3 7 ≈ 1,91 4 4 4 4 Câu 28. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong khoảng ( −2022; 2022 ) để phương trình 16 x − ( m − 1) 4 x +1 + 3m 2 − 8m + 4 =có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn x1.x2 > 2 0 A. 2014 B. 2015 C. 2021 D. 2022 Lời giải Trang 19/36
Chọn A Ta có 16 x − 4 ( m − 1) 4 x + 3m 2 − 8m + 4 = 0 ⇔ ( 4 x ) − 4 ( m − 1) .4 x + 3m 2 − 8m + 4 = 0 2 Đặt t 4 x , t > 0 , khi đó = 4 ( m − 1) − ( 3m 2 − 8m + = m 2 4) 2 = ∆′ = log 4 ( 3m − 2 )  x  4 x 3m − 2 =  Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì m ≠ 0 , khi đó  x ⇔   x log 4 ( m − 2 ) =  4 = m − 2  m > 2 Do x1.x2 > 2 suy ra x1 , x2 cùng dấu + Nếu x1 , x2 cùng âm thì 3m − 2 < 1 ⇔ m < 1 khi đó m − 2 < −3 loại do 4 x = m − 2 > 0 + Nếu x1 , x2 cùng dương thì m − 2 > 1 ⇔ m > 3 Xét x1= log 4 ( m − 2 ) .log 4 ( 3m − 2 ) > 2 , đặt f ( m ) =4 ( m − 2 ) .log 4 ( 3m − 2 ) trên khoảng .x2 log ( 3; +∞ ) 1 3 Ta có f ′ ( m ) = .log 4 ( 3m − 2 ) + .log ( m − 2 ) > 0, ∀m > 3 ( m − 2 ) ln 4 ( 3m − 2 ) ln 4 4 Suy ra f ( m ) là hàm số đồng biến, lại có f ( m ) > 2 ⇔ f ( m ) > f ( 6 ) ⇔ m > 6 ⇒ m ∈ ( 6; 2022 ) Vậy có 2014 giá trị nguyên của m thoả mãn Câu 29. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Biết thể tích của khối lăng trụ a3 3 là . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA′ và BC là 4 A. 3a . B. 3a . C. 2a . D. 4a . 4 2 3 3 Lời giải Chọn A A' C' B' H A C G M B Gọi M là trung điểm BC và G là trọng tâm tam giác ABC , ta có A′G ⊥ ( ABC ) . a3 3 a 2 3 Thể tích lăng trụ V S ∆ABC . A′G ⇔ = = . A′G ⇒ A′G a . = 4 4 Nhận thấy BC ⊥ AM ; BC ⊥ A′G nên BC ⊥ ( A′AG ) . Kẻ MH ⊥ AA′ tại H , ta có MH là đoạn vuông góc chung của BC và AA′ . Do đó MH = d ( AA′; BC ) . A′G. AM A′G. AM Ta= 1 A′G. AM 1 MH . A′A , suy ra MH = có S ∆A′AM = = 2 2 AA′ A′G 2 + AG 2 Trang 20/36