Đề thi KSCL học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 có đáp án - Trường THCS&THPT Thống Nhất

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

7
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luyện tập với "Đề thi KSCL học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 có đáp án - Trường THCS&THPT Thống Nhất" nhằm đánh giá sự hiểu biết và năng lực tiếp thu kiến thức của học sinh thông qua các câu hỏi đề thi. Để củng cố kiến thức và rèn luyện khả năng giải đề thi chính xác, mời quý thầy cô và các bạn cùng tham khảo tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi KSCL học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 có đáp án - Trường THCS&THPT Thống Nhất

SỞ GD & ĐT THANH HÓA ĐỀ THI KSCL VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG TRƯỜNG THCS&THPT THỐNG NHẤT NĂM HỌC 2022 - 2023 Đề chính thức Môn: Toán – Lớp 12 Gồm có 6 trang Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian giao đề) Mã đề thi 235 1 Câu 1. Tập xác định của hàm số y = là sin x − cos x π  π  π  A.  \ {k π, k ∈ } . B.  \  + k 2π, k ∈   . C.  \  + k π, k ∈   . D.  \  + k π, k ∈   4  2  4  Câu 2. Tìm tập giá trị của hàm số y= 3 sin x − cos x − 2 A.  −2; 3  .   B.  − 3 − 3; 3 − 1 . C. [ −4;0] .   D. [ −2;0] . Câu 3. Cho khai triển nhị thức Newton của ( 2 − 3 x ) , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 2n C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ........ + C2 n +1 =. Hệ số của x 7 bằng 1 3 5 2 n +1 1024 A. −2099520 . B. −414720 . C. 2099520 . D. 414720 . Câu 4. Cho đa giác đều 2018 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác đều và có một góc lớn hơn 100° . A. 2018C896 . 2 B. 2018C896 . 3 C. C1009 . 3 D. 2018C8973 Câu 5. Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm trực nhật.Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ 3 24 9 3 A. . B. . C. . D. . 8 25 11 4 ( ) a a Câu 6. Câu 3.Biết lim n 2 + 3n + 2 − n + 1 = , trong đó là một phân số tối giản. Tính T 3a − b . b b = A. T = − 13 . B. T =13 . C. T =1 . D. T = − 1 u1 =u2 = −1, 3 Câu 7. Cho dãy số ( un ) xác định bởi:  . Số hạng thứ 7 của dãy là: un +1 5un − 6un −1 , ∀n ≥ 2 = A. 1023 . B. 3261 . C. 309 . D. 4284 Câu 8. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , SA SB a , SC SD a 3 . Gọi = = = = E , F lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB . Trên cạnh BC lấy M sao cho BM = x ? Tính diện tích thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( MEF ) theo x và a ? a 3a 3a a A. 4 16 x 2 + 8a + a 2 . B. (16 ) 4 x + a 3 .C. 16 16 x 2 + 8a + 3a 2 . D. 16 x 2 − 8ax + a 2 . Câu 9. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có AB = a, SA = a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD . Góc giữa đường thẳng BG với mặt phẳng ( ABCD ) bằng 85 10 85 85 A. arctan . B. arctan . C. arcsin . D. arccos . 17 17 17 17 Câu 10. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60° . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , tính khoảng cách giữa hai đường thẳng GC và SA . a 5 a 5 a 2 a A. . B. . C. . D. . 10 5 5 5 1 3 Câu 11. Cho hàm số y = x + 4 x 2 − 5 x − 17 . Phương trình y′ = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 . Khi đó tổng − 3 x1 + x2 bằng: A. −8 . B. 5 . C. −5 . D. 8 . Trang 1/29 - Mã đề 235
ax 2 + bx + 1, x ≥ 0 Câu 12. Cho hàm số f ( x) =  . Khi hàm số có đạo hàm tại x0 = 0 , hãy tính T= a + 2b . ax − b − 1. x < 0 A. T = −4 . B. T = 0 . C. T = −6 . D. T = 4 .  1  Câu 13. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là f ′ ( x ) = ( x − 1) + 1 . Xét hàm số g (= f  f ( x ) − x 2 − 2 x  . x) 2  2  Số các nghiệm nguyên của bất phương trình g ′ ( x ) ≤ 0 là: A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 −2 x + 3 Câu 14. Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại giao điểm của x −1 ( C ) với đường thẳng y= x − 3 . A. y = x + 3 và y = x − 1 . − − B. y = x − 3 và y = x + 1 . − − C. y= x − 3 và y= x + 1 . D. y = x + 2 và y = x + 1 . − − Câu 15. Cho hàm số y = − ( 3m + 4 ) x + m có đồ thị là ( Cm ) . Tìm m để đồ thị ( Cm ) cắt trục hoành tại x 4 2 2 bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. −12 −12 12 A. m 12; m = = . B. m = 12 . C. m = . D. m = . 9 9 9 x −1 Câu 16. Cho hàm số y = 2 . Tính đạo hàm cấp n của hàm số. x − 5x + 6 (−1) n .n ! (−1) n .n ! (−1) n .n ! (−1) n .n ! A. y ( n ) = 2. − B. y ( n ) = 2. + ( x − 3) n +1 ( x − 2) n +1 ( x − 3) n +1 ( x − 2) n +1 (n) (−1) n .n ! (−1) n .n ! (n) (−1) n .n ! (−1) n .n ! C. y = 2. − D. y = 2. − ( x − 3) n ( x − 2) n ( x − 2) n +1 ( x − 3) n +1 Câu 17. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên  . Gọi ( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) lần lượt là đồ thị của các hàm số y = f ( x ) , y g ( x ) f  f ( x ) = h= f ( x 2 + 1) . Biết rằng f ( 2 ) = 5 , f ′ ( 2 ) = 2 , g ′ ( 2 ) = 4 . = =  , y ( x) Hãy tính h′ ( 2 ) . A. h′ ( 2 ) = 2 . B. h′ ( 2 ) = 4 . C. h′ ( 2 ) = 6 . D. h′ ( 2 ) = 8 . x3 Câu 18. Hàm số y = + x 2 − mx + 1 nghịch biến trên khoảng ( 0; +∞ ) khi và chỉ khi − 3 A. m ∈ [1; +∞ ) . B. m ∈ (1; +∞ ) . C. m ∈ [ 0; +∞ ) . D. m ∈ ( 0; +∞ ) . Câu 19. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình dưới đây: 1 Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là 2 f ( x) −1 A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Câu 20. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và có đồ thị như hình bên. Trang 2/29 - Mã đề 235
Phương trình f ( 2sin x ) = m có đúng ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ −π ; π ] khi và chỉ khi A. m ∈ {−3;1} . B. m ∈ ( −3;1) . C. m ∈ [ −3;1) . D. m ∈ ( −3;1] . Câu 21. Cho hàm số f ( x ) = (1 − x ) 2 2019 . Khẳng định nào sau đây là đúng?. A. Hàm số đồng biến trên  . B. Hàm số đồng biến trên ( −∞;0 ) . C. Hàm số nghịch biến trên ( −∞;0 ) . D. Hàm số nghịch biến trên  . Câu 22. Cho hàm số y = f ( x ) = mx 4 + nx3 + px 2 + qx + r và hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Biết f ( a ) > 0 , hỏi đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành tại nhiều nhất bao nhiêu điểm? A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Câu 23. Tìm tập xác định D của hàm số y = ( x 4 − 3 x 2 − 4 ) 2 ? A. D = ( −∞; −1) ∪ ( 4; +∞ ) . B. D = ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) . C. D = ( −∞; −2] ∪ [ 2; +∞ ) . D. D = ( −∞; +∞ ) . Câu 24. Giả sử phương trình log 2 x − ( m + 2 ) log 2 x + 2m = hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 2 0 có x1 + x2 = Giá trị của biểu thức x1 − x2 là 6. A. 3. B. 8. C. 2. D. 4 Câu 25. Một người nhận hợp đồng dài hạn làm việc cho một công ty với mức lương khởi điểm của mỗi tháng trong 3 năm đầu tiên là 6 triệu đồng /tháng. Tính từ ngày đầu tiên làm việc, cứ sau đúng 3 năm liên tiếp thì tăng lương 10% so với mức lương một tháng người đó đang hưởng . Nếu tính theo hợp đồng thì tháng đầu tiên của năm thứ 16 người đó nhận được mức lương là bao nhiêu ? A. 6. (1,1) triệu đồng. B. 6. (1,1) triệu đồng. 4 6 C. 6. (1,1) triệu đồng. D. 6. (1,1) triệu đồng. 5 16 Câu 26. Cho ba số a + log 2 3 , a + log 4 3 , a + log8 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Công bội của cấp số nhân đó bằng Trang 3/29 - Mã đề 235
1 1 1 A. 1 . B. . C. . D. . 4 2 3 Câu 27. Tích các nghiệm của phương trình log 2 ( x + 2 ) + log 4 ( x − 5 ) + log 1 8 =là 2 0 2 A. −12 . B. −18 . C. 36 . D. −2 . Câu 28. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên  . Hàm số y= f ′ ( x ) có bảng xét dấu như sau   Bất phương trình f ( x ) > ecos x + m có nghiệm x ∈  0;  khi và chỉ khi  2   A. m ≤ f   − 1 . B. m < f   − 1 . C. m ≥ f ( 0 ) − e . D. m ≤ f ( 0 ) − e . 2 2 1 Câu 29. Cho hàm số f ( x = log x + 3x − 3 x . Tính tổng bình phương các giá trị của tham số m để phương trình )  1   2 x − m + 1  + f ( x − 2x + 2) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt bằng 2 f    5 7 A. . B. . C. 3 . D. 2 . 2 2 Câu 30. Hàm số y= (x 2 − x + 1) e x có đạp hàm y′ A. = ( 2 x − 1) e x . B. = y′ (x 2 − x ) ex . C. = y′ (x 2 + x ) ex . D. = y′ (x 2 + 1) e x . log 2 2 x Câu 31. Tìm nghiệm của bất phương trình 2 + x 2log2 x − 20 ≤ 0 1 1 A. 0 < x ≤ ≤x≤2 B. 2 2 1 1 1 C. ≤ x ≤ 2 D. ≤ x ≤ . 3 3 2 Câu 32. Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình a ln x + b ln x + 5 = có hai nghiệm phân biệt 2 0 x1 , x2 và phương trình 5log 2 x + b log x + a = có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn x1 x2 > x3 x4 . Tìm giá 0 trị nhỏ nhất S min của = 2a + 3b S A. S min = 30 . B. S min = 25 . C. S min = 33 . D. S min = 17 . Câu 33. Khối đa diện nào sau đây có các mặt không phải là tam giác đều? A. Khối bát diện đều. B. Khối mười hai mặt đều. C. Khối tứ diện đều. D. Khối hai mươi mặt đều. Câu 34. Mệnh đề nào sao đây đúng? A. Hình bát diện đều có 8 đỉnh, 12 cạnh và 6 mặt. B. Hình bát diện đều có 6 đỉnh, 12 cạnh và 8 mặt. C. Hình bát diện đều có 6 đỉnh, 8 cạnh và 8 mặt. D. Hình bát diện đều có 8 đỉnh, 12 cạnh và 8 mặt. Câu 35. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác cân tại A,  = 1200 và BC = a 3. Biết BAC SA SB SC 2a. Tính thể tích V của khối chóp S . ABC . = = = Trang 4/29 - Mã đề 235
a3 a3 a3 A. . B. a 3 . C. . D. . 4 2 3 Câu 36. Tính thể tích V của khối lăng trụ tứ giác đều ABCD. A′B′C ′D′ biết độ dài cạnh đáy bằng 2a đồng thời góc tạo bởi A′C và đáy ( ABCD ) bằng 30° . 8 6a 3 8 6a 3 A. V = . B. V = 24 6a 3 . C. V = 8 6a 3 . D. V = . 3 9 Câu 37. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . Góc A bằng 600 , O là tâm hình thoi, SA vuông góc với đáy. Góc giữa SO và mặt phẳng đáy bằng 450 . Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD . 3a 3 a3 A. 2a 3 . B. 3 2a 3 . C. . D. . 8 4 Câu 38. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA = a và SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SB , N là điểm thuộc SD sao cho SN = 2 ND . Tính thể tích khối tứ diện ACMN . 1 1 1 1 A. V = a 3 . B. V = a 3 . C. V = a 3 . D. V = a 3 . 36 6 8 12 Câu 39. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành và thể tích V = 270 . Lấy điểm S ′ trong không     gian sao cho SS ′ = −2CB . Tính thể tích phần chung của hai khối chóp S . ABCD và S ′. ABCD . A. 120 . B. 150 . C. 180 . D. 90 . Câu 40. Tính thể tích của hình nón có góc ở đỉnh bằng 60° và diện tích xung quanh bằng 6π a 2 3π a 3 2 π a3 2 A. V = . B. V = 3π a 3 . C. V = . D. V = π a 3 . 4 4 Câu 41. Hình chóp S . ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC . 5 15π 5 15π 4 3π 5π A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 18 54 27 3 Câu 42. Cho hình trụ có chiều cao bằng bán kính đáy và bằng 5cm. Mặt phẳng ( α ) song song với trục, cắt hình trụ theo một thiết diện có chu vi bằng 26cm. Khoảng cách từ ( α ) đến trục của hình trụ bằng A. 4 cm. B. 5 cm. C. 2 cm. D. 3 cm. Câu 43. Cho tam giác vuông cân ABC có AB BC a 2 . Khi quay tam giác ABC quanh đường thẳng đi = = qua B và song song với AC ta thu được một khối tròn xoay có thể tích bằng 2π a 3 4π a 3 A. 2π a . 3 B. . C. . D. π a 3 . 3 3 Trang 5/29 - Mã đề 235
Câu 44. Cho hai khối nón có chung trục SS ′ = 3r . Khối nón thứ nhất có đỉnh S , đáy là hình tròn tâm S ′ bán kính 2r . Khối nón thứ hai có đỉnh S ′ , đáy là hình tròn tâm S bán kính r . Thể tích phần chung của hai khối nón đã cho bằng 4π r 3 π r3 4π r 3 4π r 3 A. . B. . C. . D. . 27 9 9 3 3x 2 + 4 Câu 45. Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = trên khoảng ( 0; +∞ ) là x 4 3x 2 A. 3 − 2 + C . B. 3 x 2 + 4 ln x + C C. + 4 ln x + C . D. x 3 + 4nx + C . x 2 4 ( f 2− x ) dx . Nếu đặt u= 4 ( f 2− x ) dx bằng Câu 46. Xét ∫ x x 2 − x thì ∫ x x 1 1 4 f (u ) 2 f (u ) 1 f (u ) 1 f (u ) A. 2 ∫ 2 du . B. 2 ∫ 2 du . C. 2 ∫ 2 du . D. −2 ∫ du . 1 (u − 2) 1 (u − 2) 0 (u − 2) 0 ( u − 2 )2 2 x +1 Câu 47. Cho 1 ∫x = ln(ln a + b) với a, b là các số nguyên dương. Giá trị biểu thức ab + a + b bằng + x ln x dx 2 A. 8 . B. 11 . C. 15 . D. 7 . ln 3 ex c+ d  Câu 48. Cho ∫ 1+ ex + 1  9  với a, b, c là các số nguyên dương. Giá trị biểu thức dx = − b + ln  a  0   a + b + c + d bằng A. 21 . B. 15 . C. 23 . D. 27 . Câu 49. Cho hàm số f ( x ) có f ( 0 ) = 4, f ′ ( 0 ) = −2 f= x ( 2 x 2 + 1) , ∀x ∈ . Tích phân 3 1 ′′ ( x ) ∫ f ( x)dx bằng 0 7909 7211 12949 5389 A. B. C. D. 2520 2520 2520 2520 2 1 Câu 50. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và f ( 2 ) = 16, ∫ f ( x ) dx = 4 . Tính I = ∫ x. f ′ ( 2 x ) dx . 0 0 A. 13 . B. 12 . C. 20 . D. 7 . ----------------------------Hết---------------------------- Họ và tên thí sinh…………………………………….Số báo danh………………………. Họ tên, chữ kí của giám thị coi thi…………………………………………………………. (Giám thị không giải thích gì thêm. Thí sinh không được sử dụng tài liệu ) Trang 6/29 - Mã đề 235
ĐÁP ÁN CHI TIẾT 1 Câu 1: Tập xác định của hàm số y = là sin x − cos x π  A.  \ {kπ , k ∈ } . B.  \  + k 2π , k ∈   . 4  π  π  C.  \  + kπ , k ∈   . D.  \  + kπ , k ∈   . 2  4  Lời giải Chọn D. π Hàm số xác định khi sin x − cos x ≠ 0 ⇔ tan x ≠ 1 ⇔ x ≠ + kπ , k ∈ . Suy ra tập xác định 4 π  D =  \  + kπ , k ∈   . 4  Câu 2: Tìm tập giá trị của hàm số y = 3 sin x − cos x − 2 A.  −2; 3  .   B.  − 3 − 3; 3 − 1 . C. [ −4;0] .   D. [ −2;0] . Lời giải Chọn C. Ta có y = 3 sin x − cos x − 2 ⇔ 3 sin x − cos x = y + 2 (*) Điều kiện để (*) có nghiệm ( 3) 2 + ( −1) ≥ ( y + 2 ) ⇔ ( y + 2 ) ≤ 4 ⇔ −2 ≤ y + 2 ≤ 2 ⇔ −4 ≤ y ≤ 0. 2 2 2 Suy ra tập giá trị của hàm số là [ −4;0] . ( 2 − 3x ) 2n Câu 3: Cho khai triển nhị thức Newton của , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ........ + C2 n +1 =. Hệ số của x 7 bằng 1 3 5 2 n +1 1024 A. −2099520 . B. −414720 . C. 2099520 . D. 414720 . Lời giải Chọn A. 1 3 5 2 n +1 22 n C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ........ + C2 n +1 = ⇔ 1024 = 22 n ⇔ n = 5 số hạng tổng quát: Tk +1 C10 210− k ( −3) x k k k = Hệ số của x 7 là C10 23 ( −3) = 7 7 - 2099520. Câu 4: Cho đa giác đều 2018 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác đều và có một góc lớn hơn 100° A. 2018C896 . 2 B. 2018C896 . 3 C. C1009 . 3 D. 2018C897 3 Lời giải Chọn A. Đa giác đều 2018 đỉnh chia đường tròn ngoại tiếp đa giác đều thành 2018 cung tròn bằng nhau có 360 số đo là độ. 2018 Gọi tam giác cần lập là ∆ABC thì A có 2018 cách chọn. Sau khi chọn A còn lại 2017 đỉnh, Trang 7/29 - Mã đề 235
Để góc ở đỉnh A có số đo lớn hơn 1000 thì cung BC không chứa đỉnh A phải có số đo lớn hơn 200°   360  ứng với số cung 200 :   ≈ 1.121,1 cung. (số đo của cung gấp đôi số đo góc nội tiếp cùng chắn  2018  cung đó) Mà số cung bằng số đỉnh cộng 1. Do đó giữa B và C (trừ 2 đỉnh B, C ) phải có 1121 đỉnh nên còn lại 2017 − 1121 = 896 đỉnh để chọn cho B và C do đó có C896 cách chọn B và C . 2 Vậy tất cả có: 2018.C896 tam giác thỏa mãn bài toán. 2 Câu 5: Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm trực nhật.Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ 3 24 9 3 A. . B. . C. . D. . 8 25 11 4 Lời giải Chọn C Xác suất cần tính là phần bù của trường hợp các học sinh được chọn là cùng giới tính C3 + C3 9 1− 5 p=3 6 = . C11 11 Câu 6: Biết lim ( a ) n 2 + 3n + 2 − n + 1 = , trong đó b a b là một phân số tối giản. Tính T 3a − b . = A. T = − 13 . B. T =13 . C. T =1 . D. T = − 1 Lời giải Chọn B  n 2 + 3n + 2 − n 2    3 Ta có: lim ( = ) n 2 + 3n + 2 − n + 1 lim  = lim  = + 1  n 2 + 3n + 2 + n  + 1 3n + 2 = . + 1  n 2 + 3n + 2 + n  2 5 2     −1, u1 =u2 = 3 Câu 7: Cho dãy số ( un ) xác định bởi:  . Số hạng thứ 7 của dãy là: un +1 5un − 6un −1 , ∀n ≥ 2 = A. 1023 . B. 3261 . C. 309 . D. 4284 Lời giải Chọn B Ta có u3 21; u4 87; u5 309; u6 1023; u7 3261 . = = = = = Câu 8: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , SA SB a , SC SD a 3 . Gọi = = = = E , F lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB . Trên cạnh BC lấy M sao cho BM = x ? Tính diện tích thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( MEF ) theo x và a ? a 3a A. 4 16 x 2 + 8a + a 2 . B. 16 ( 4x + a 3 . ) 3a a C. 16 x 2 + 8a + 3a 2 . D. x 2 − 8ax + a 2 . 16 16 Lời giải Chọn C Trang 8/29 - Mã đề 235
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm AB , CD . Tam giác SAB cân tại S ⇒ SP ⊥ AB Tam giác SCD cân tại S ⇒ SQ ⊥ CD ⇒ SQ ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SPQ ) ⇒ AB ⊥ PQ ⇒ AB ⊥ BC ⇒ ABCD là hình vuông.  SB 2 + BC 2 − SC 2 1 cos SBC = = − 2 SB.BC 2 2  a + x 2 + ax ⇒ MF 2 = SB 2 + BM 2 − 2 SB.BM .cos SBC = 4 2   SAD = SBC ⇒ EAN = FBM & AE = BF ; AN = BM Suy ra EFMN là hình thang cân. a ax 3a 2 Hạ FH ⊥ MN ⇒ MH = ⇒ FH 2 =MF 2 − MH 2 =x 2 + + 4 2 16 1 3a ⇒ S EFMN = FM ( EF + MN ) = 16 x 2 + 8ax + 3a 2 . 2 16 Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có AB = a, SA = a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD . Góc giữa đường thẳng BG với mặt phẳng ( ABCD ) bằng 85 10 85 85 A. arctan . B. arctan . C. arcsin . D. arccos . 17 17 17 17 Lời giải Chọn A Gọi M là trung điểm CD , kẻ GK song song với SO và cắt OM tại K , suy ra K là hình chiếu của G trên mp ( ABCD ) . Trang 9/29 - Mã đề 235
S G A D O K M B C (   ) suy ra BG, ( ABCD ) = GBK . a 2 a 10 1 a 10 2 a Ta có: AO = , SO = ,= = GK SO , vì OK = OM nên OK = , suy ra 2 2 3 6 3 3 BK = a 34 6 ( . Vậy tan  tan GBK = BG, ( ABCD) =  GK = )BK 85 17 . Câu 10: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60° . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , tính khoảng cách giữa hai đường thẳng GC và SA . a 5 a 5 a 2 a A. . B. . C. . D. . 10 5 5 5 Lời giải Chọn B Do S . ABC là hình chóp tam giác đều, G là trọng tâm tam giác ABC nên SG ⊥ ( ABC ) . Dựng hình chữ nhật AEGF , gọi H là hình chiếu vuông góc của G trên SF . Ta có GE //AF nên GE // ( SAF ) , suy ra = d (= d= GH . d ( GC , SA ) GC , ( SAF ) ) ( G, ( SAF ) ) Ta có ( SA, ( ABC ) ) = SAG ⇒ SAG =° .   60 1 a 3 a 3 Tam giác ABC đều cạnh a nên AG = . = . 3 2 3 3  a = a ; GF AE a . Trong tam giác SAG có SG AG.tan SAG = = .tan 60° = = 3 2 Do GH là đường cao trong tam giác SGF vuông tại G nên: SG 2 .GF 2 a 5 =GH = 2 2 . SG + GF 5 Trang 10/29 - Mã đề 235
1 Câu 11: Cho hàm số y = x3 + 4 x 2 − 5 x − 17 . Phương trình y′ = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 . Khi đó tổng x1 + x2 − 3 bằng: A. −8 . B. 5 . C. −5 . D. 8 . Lời giải Chọn D Ta có y′ =x 2 + 8 x − 5 ⇒ y′ =⇔ − x 2 + 8 x − 5 =. − 0 0 −b −8 Phương trình y′ = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 . Khi đó tổng x1 + x2 = = = 8. a −1 ax 2 + bx + 1, x ≥ 0 Câu 12: Cho hàm số f ( x) =  . Khi hàm số có đạo hàm tại x0 = 0 , hãy tính T= a + 2b . ax − b − 1. x < 0 A. T = −4 . B. T = 0 . C. T = −6 . D. T = 4 . Lời giải Chọn C Ta có, f ( 0 ) = 1 f ( x ) − f ( 0) ax 2 + bx + 1 − 1 x0 = 0 : f ′ ( 0+ ) = lim Đạo hàm bên phải tại= lim = b x → 0+ x x → 0+ x f ( x ) − f ( 0) ax − b − 2  b+2 ′ ( 0− ) Đạo hàm bên trái tại x0 = 0 : f= lim = lim = lim  a −  − x →0 x x →0 − x x →0  − x   b+2 Vì hàm số có đạo hàm tại x0 = 0 nên tồn tại giới hạn lim  a −  ⇒ b = 2 . Khi đó, − x →0  − x   b+2 f ′ ( 0− ) = lim  a − = a. x →0  − x  Vì hàm số có đạo hàm tại x0 = 0 nên f ′ ( 0+ ) = ′ ( 0− ) ⇒ b = ⇒ a = 2 . f a − Vậy T = 2b = . a+ −6 Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là f ′ ( x ) = ( x − 1) + 1 . Xét hàm số 2  1  g (= f  f ( x ) − x 2 − 2 x  . Số các nghiệm nguyên của bất phương trình g ′ ( x ) ≤ 0 là: x)  2  A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn D  1 ′  1   1  Ta có g ′ ( x )=  f ( x ) − x 2 − 2 x  . f ′  f ( x ) − x 2 − 2 x  ( f ′ ( x ) − x − 2 ) . f ′  f ( x ) − x 2 − 2 x  =  2   2   2   1  2  = ( x 2 − 3 x ) .   f ( x ) − x 2 − 2 x  + 1 ≤ 0 ⇔ x 2 − 3 x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 3.  2     −2 x + 3 Câu 14: Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại giao điểm của x −1 ( C ) với đường thẳng y= x − 3 . Trang 11/29 - Mã đề 235
A. y = x + 3 và y = x − 1 . − − B. y = x − 3 và y = x + 1 . − − C. y= x − 3 và y= x + 1 . D. y = x + 2 và y = x + 1 . − − Lời giải Chọn B Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( C ) và đường thẳng y= x − 3 là: −2 x + 3 x = 0 = x − 3 ⇔ −2 x + 3 = ( x − 1)( x − 3) ( x ≠ 1) ⇔ x 2 − 2 x =0 ⇔  . x −1 x = 2 Do đó giao điểm của đồ thị ( C ) và đường thẳng y= x − 3 là: ( 2; −1) , ( 0; −3) . −1 Ta có: y′ = . ( x − 1) 2 Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm ( 2; −1) là: y = ( x − 2 ) − 1 = x + 1 . − − Phương trình tiếp của ( C ) tại điểm ( 0; −3) là: y = x − 3 . − Câu 15: Cho hàm số y = 4 − ( 3m + 4 ) x 2 + m 2 có đồ thị là ( Cm ) . Tìm m để đồ thị ( Cm ) cắt trục hoành tại bốn x điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. −12 −12 12 A. m 12; m = = . B. m = 12 . C. m = . D. m = . 9 9 9 Lời giải Chọn A. Phương trình hoành độ giao điểm: x 4 − ( 3m + 4 ) x 2 + m 2 =0 (1) Đặt t = x 2 ( t ≥ 0 ) , phương trình (1) trở thành: t 2 − ( 3m + 4 ) t + m 2 = ( 2 ) 0 ( Cm ) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt ⇔ (1) có bốn nghiệm phân biệt ∆ 5m 2 + 24m + 16 > 0 =  ⇔ ( 2 ) có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ = m 2 > 0 P  S = 3m + 4 > 0   4 m < −4 ∨ m > − 5  4  m > − ⇔ m ≠ 0 ⇔ 5 (*)  4 m ≠ 0  m > −  3 Khi đó phương trình ( 2 ) có hai nghiệm 0 < t 1 < t2 . Suy ra phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt là x1 = t2 < x2 = t1 < x3 =1 < x4 = 2 . Bốn nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 lập thành cấp số cộng − − t t 2 ⇔ x2 − x1 = x3 − x2 = x4 − x3 ⇔ − t1 + t2 =t1 ⇔ t2 = 3 t1 ⇔ t2 = (3) 9t1 t1 + t2 = 3m + 4 (4) Theo định lý Viet ta có  2 t1t2 = m (5) Trang 12/29 - Mã đề 235
 3m + 4 t1 = 10  Từ ( 3) và ( 4 ) ta suy ra được  ( 6). t = 9 ( 3m + 4 ) 2  10 9 Thay ( 6 ) vào ( 5 ) ta được ( 3m + 4 ) = 2 m2 100 3 ( 3m + 4 ) =m 10  m = 12 ⇔ ⇔ (thỏa (*)) 3 ( 3m + 4 ) = m −10  m = − 12   19 12 Vậy giá trị m cần tìm là m = 12; m = − . 19 x −1 Câu 16: Cho hàm số y = 2 . Tính đạo hàm cấp n của hàm số. x − 5x + 6 (−1) n .n ! (−1) n .n ! (−1) n .n ! (−1) n .n ! A. y ( n ) = 2. − B. y ( n ) = 2. + ( x − 3) n +1 ( x − 2) n +1 ( x − 3) n +1 ( x − 2) n +1 (−1) n .n ! (−1) n .n ! (−1) n .n ! (−1) n .n ! C. y ( n ) = 2. − D. y ( n ) = 2. − ( x − 3) n ( x − 2) n ( x − 2) n +1 ( x − 3) n +1 Lời giải Chọn A. 2 1 −2 1 2 2 Ta có y = − ⇒ y′ = + = 2. , y′′ − ( x − 3) ( x − 2) ( x − 3) ( x − 2 ) 2 2 3 3 x −3 x −2 (−1) n .n ! (−1) n .n ! (n) Bằng quy nạp, ta chứng minh = 2. được y − ( x − 3) n +1 ( x − 2) n +1 Câu 17: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên  . Gọi ( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) lần lượt là đồ thị của các hàm số y = f ( x ) , y g ( x ) f  f ( x ) = h= f ( x 2 + 1) . Biết rằng f ( 2 ) = 5 , f ′ ( 2 ) = 2 , g ′ ( 2 ) = 4 . = =  , y ( x) Hãy tính h′ ( 2 ) . A. h′ ( 2 ) = 2 . B. h′ ( 2 ) = 4 . C. h′ ( 2 ) = 6 . D. h′ ( 2 ) = 8 . Lời giải Chọn D. Theo giả thiết ta có: g ′ ( x ) f ′ ( x ) . f ′  f ( x )  = f ′ ( 2 ) . f ′  f ( 2 )  =   ⇒ g′ ( 2)   ⇒ 4 2. f ′ ( 5 ) ⇒ f = 2 . = ′ ( 5) Mà h′= 2 xf ' ( x 2 + 1) ⇒ h′= 4 f ′= 8 ( x) ( 2) ( 5) x3 Câu 18: Hàm số y = + x 2 − mx + 1 nghịch biến trên khoảng ( 0; +∞ ) khi và chỉ khi − 3 A. m ∈ [1; +∞ ) . B. m ∈ (1; +∞ ) . C. m ∈ [ 0; +∞ ) . D. m ∈ ( 0; +∞ ) . Lời giải Chọn A. Tập xác định  . Ta có y′ =x 2 + 2 x − m . Để hàm số nghịch biến trên ( 0; +∞ ) thì y′ ≤ 0 ∀x ∈ ( 0; +∞ ) hay − − x 2 + 2 x − m ≤ 0 ⇔ m ≥ − x 2 + 2 x. Trang 13/29 - Mã đề 235
Xét hàm số y =x 2 + 2 x trên ( 0; +∞ ) , ta có y′ =2 x + 2, y′ = ⇔ x = − − 0 1. Bảng biến thiên Max y = 1 . Do đó m ≥ Max y = 1. ( 0;+∞ ) ( 0;+∞ ) Câu 19: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình dưới đây: 1 Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là 2 f ( x) −1 A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn D 1 1 Xét phương trình 2 f ( x ) − 1 = 0 ⇔ f ( x ) = . Dựa vào BBT, phương trình f ( x ) = có 2 nghiệm 2 2 1 phân biệt. Do đó đồ thị hàm số y = có 2 tiệm cận đứng. 2 f ( x) −1 1 1 Và = 1; lim lim = 1. x →+∞ 2 f ( x ) − 1 x →−∞ 2 f ( x ) − 1 1 Do đó y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = . 2 f ( x) −1 Vậy đồ thị có hai đường tiệm cận đừng và 1 đường tiệm cận ngang. Câu 20: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và có đồ thị như hình bên. Phương trình f ( 2sin x ) = m có đúng ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ −π ; π ] khi và chỉ khi A. m ∈ {−3;1} . B. m ∈ ( −3;1) . C. m ∈ [ −3;1) . D. m ∈ ( −3;1] . Lời giải Trang 14/29 - Mã đề 235
Chọn B Đặt t = 2sin x Ta có bảng biến thiên trên [ −π ; π ] . Với t = 0 , cho ta ba nghiệm phân biệt x ∈ [ −π; π] . Với mỗi t ∈ ( −2; 2 ) \ {0} , cho ta hai nghiệm phân biệt x ∈ [ −π; π] . Với mỗi t ∈ {−2; 2} , cho ta một nghiệm duy nhất x ∈ [ −π; π] . Phương trình f ( 2sin x ) = m có đúng ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ −π ; π ] ⇔ trên đoạn [ −2; 2] , phương trình f ( t ) = m có đúng một nghiệm duy nhất t = 0 ; hoặc có một nghiệm t ∈ {±2} và một nghiệm thuộc t ∈ ( −2; 2 ) \ {0} . + Nếu t = 0 là nghiệm ⇒ m = ( 0 ) =1 . Ta có: f ( t ) = −1 có 3 nghiệm phân biệt thuộc [ −2; 2] . f − (KTM). t = −2 + Nếu t = −2 là nghiệm ⇒ m = ( −2 ) =3 . Ta có: f ( t ) = −3 ⇔  f − . (KTM). t = 1 t = −1 + Nếu t = 2 là nghiệm ⇒ m f ( 2 ) 1 . Ta có: f ( t ) = 1 ⇔  = = . (KTM). t = 2 Vậy m ∈ {−3;1} . Câu 21: Cho hàm số f ( x ) = (1 − x ) 2 2019 . Khẳng định nào sau đây là đúng?. A. Hàm số đồng biến trên  . B. Hàm số đồng biến trên ( −∞;0 ) . C. Hàm số nghịch biến trên ( −∞;0 ) . D. Hàm số nghịch biến trên  . Lời giải Chọn B Ta có: f ′ ( x ) =. (1 − x 2 ) 2018 −2019.2 x  x = −1 f ′( x) = ⇔ x = 0  0 x = 1  Bảng biến thiên: Dựa vào BBT, ta có: hàm số đồng biến trên ( −∞;0 ) . Trang 15/29 - Mã đề 235
Câu 22: Cho hàm số y = f ( x ) = mx 4 + nx3 + px 2 + qx + r và hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Biết f ( a ) > 0 , hỏi đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành tại nhiều nhất bao nhiêu điểm? A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn B Từ đồ thị ta suy ra phương trình f ′ ( x ) = 0 có ba nghiệm đơn là x = a , x = b , x = c . Từ đó ta có bảng biến thiên Do f ( a ) > 0 nên để đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành tại nhiều điểm nhất có thể thì f ( c ) < 0 . Khi đó y = f ( x ) cắt trục hoành tại 2 điểm x x1 ∈ ( b; c ) và = x2 > c . = x Câu 23: Tìm tập xác định D của hàm số y = ( x 4 − 3 x 2 − 4 ) 2 ? A. D = ( −∞; −1) ∪ ( 4; +∞ ) . B. D = ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) . C. D = ( −∞; −2] ∪ [ 2; +∞ ) . D. D = ( −∞; +∞ ) . Lời giải Chọn B Điều kiện xác định của hàm số : x 4 − 3 x 2 − 4 > 0 ⇔ x < −2 ∨ 2 < x . Câu 24: Giả sử phương trình log 2 x − ( m + 2 ) log 2 x + 2m = hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 2 0 có x1 + x2 = Giá trị của biểu thức x1 − x2 là 6. A. 3. B. 8. C. 2. D. 4 Lời giải Chọn C  log x = 2  x=4 log 2 x − ( m + 2 ) log 2 x + 2m = ⇔  2 2 0 ⇔  4  2m  6  m  1 .  log 2 x = m  x = 2m Khi đó, phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt là {4; 2} suy ra x1 − x2 = 2. Câu 25: Một người nhận hợp đồng dài hạn làm việc cho một công ty với mức lương khởi điểm của mỗi tháng trong 3 năm đầu tiên là 6 triệu đồng /tháng. Tính từ ngày đầu tiên làm việc, cứ sau đúng 3 năm liên tiếp thì tăng lương 10% so với mức lương một tháng người đó đang hưởng . Nếu tính theo hợp đồng thì tháng đầu tiên của năm thứ 16 người đó nhận được mức lương là bao nhiêu ? Trang 16/29 - Mã đề 235
A. 6. (1,1) triệu đồng. B. 6. (1,1) triệu đồng. 4 6 C. 6. (1,1) triệu đồng. D. 6. (1,1) triệu đồng. 5 16 Lời giải Chọn C Gọi A là số tiền lương một tháng trong 3 năm đầu . Mức lương tháng đầu tiên nhận được trong năm thứ 4 là : T1 = + A.0,1 = (1 + 0,1) =. (1,1) đồng . A A A Mức lương tháng đầu tiên nhận được trong năm thứ 7 là : T2 = + T1.0,1 = (1 + 0,1) = . (1,1) = (1,1) đồng . 2 T1 T1 T1 A Mức lương tháng đầu tiên nhận được trong năm thứ 10 là : T3 =2 + T2 .0,1 =2 (1 + 0,1) =2 . (1,1) = (1,1) đồng . 3 T T T A Mức lương tháng đầu tiên nhận được trong năm thứ 13 là : T4 =3 + T3 .0,1 =3 (1 + 0,1) =3 . (1,1) = (1,1) đồng . 4 T T T A Vậy tháng lương đầu tiên của năm thứ 16 là : T5 =+ T4 .0,1 = =1,1) = 6. (1,1) đồng. T4 .1,1 A ( 5 5 T4 6.10 Câu 26: Cho ba số a + log 2 3 , a + log 4 3 , a + log8 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Công bội của cấp số nhân đó bằng 1 1 1 A. 1 . B. . C. . D. . 4 2 3 Lời giải Chọn D. Theo giả thiết ta có ( a + log 4 3) =log 2 3)( a + log8 3) . (a + 2 a 2 + 2a log 4 3 + ( log 4 3) = a ( log 2 3 + log8 3) + log 2 3.log8 3 . 2 Suy ra a2 + 1 4 1 1 1 1 ( log 2 3) = a log 2 3 + ( log 2 3) ⇔ a = −  log 2 3 . 2 2 ⇔ a log 2 3 +   4 3 3 3  4 3 1 ⇔ a = log 2 3 . − 4 3 1 1 Vậy a + log 2 3 = 3 ; a + log 4 3 = 3 . Suy ra công bội của cấp số nhân bằng . log 2 log 2 4 4 3 Câu 27: Tích các nghiệm của phương trình log 2 ( x + 2 ) + log 4 ( x − 5 ) + log 1 8 =là 2 0 2 A. −12 . B. −18 . C. 36 . D. −2 . Lời giải Chọn A x + 2 > 0   x > −2 Điều kiện xác định  ⇔ ( x − 5 ) > 0 2  x ≠ 5 Khi đó log 2 ( x + 2 ) + log 4 ( x − 5 ) + log 1 8 = 2 0 2 ⇔ log 2 ( x + 2 ) + log 2 x − 5 − 3 =0 ⇔ log 2 ( x + 2 ) x − 5  =3   Trang 17/29 - Mã đề 235
⇔ ( x + 2) x − 5 = 8 TH1: Với x ∈ ( −2;5 )  3 + 17 x = ( tm ) Ta có (1) ⇔ ( x + 2 )( 5 − x ) = x − 3 x − 2 = ⇔ 8⇔ 2 0  2  3 − 17 x = ( tm )  2 TH2: Với x ∈ ( 5; +∞ )  x = −3 ( loai ) Ta có (1) ⇔ ( x + 2 )( x − 5 ) = x 2 − 3 x − 18 =⇔  8⇔ 0  x = 6 ( tm )   3 ± 17    Suy ra tập nghiệm của phương trình là S  = ;6  ⇒ tích các nghiệm là −12 .  2    Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên  . Hàm số y= f ′ ( x ) có bảng xét dấu như sau   Bất phương trình f ( x ) > ecos x + m có nghiệm x ∈  0;  khi và chỉ khi  2   A. m ≤ f   − 1 . B. m < f   − 1 . C. m ≥ f ( 0 ) − e . D. m ≤ f ( 0 ) − e . 2 2 Lời giải Chọn B   Xét hàm số g ( x ) f ( x ) − ecos x xác định và liên tục trên đoạn 0;  . =  2 g ′ ( x ) = ′ ( x ) + sin x.ecos x . f   Trên khoảng  0;  có f ′ ( x ) > 0 và 0 < sin x < 1 nên g ′ ( x ) > 0 .  2     Suy ra hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng  0;  ⇒ max g ( x ) =  =  − 1 . g f  2   0;  2 2  2 f ( x) > e cos x + m ⇔ m < f ( x) − e cos x ⇔ m < g ( x ) (*)    Bất phương trình (*) có nghiệm x ∈  0;  khi và chỉ khi m < max g ( x ) ⇔ m < f   − 1 .  2   0; 2  2   1 Câu 29: Cho hàm số f ( x = log x + 3x − 3 . Tính tổng bình phương các giá trị của tham số m để phương trình ) x  1   2 x − m + 1  + f ( x − 2x + 2) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt bằng 2 f    5 7 A. . B. . C. 3 . D. 2 . 2 2 Lời giải Trang 18/29 - Mã đề 235
Chọn B 1 1 1 Hàm số f ( x ) có tập xác định là D ( 0; +∞ ) . Ta có f ′= = ( x) + 3 ln 3 + 2 .3 x .ln 3 > 0, ∀x > 0 , x x ln10 x do đó hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) . 1 1 1 1 Nhận xét: Nếu v ∈ ( 0; +∞ ) thì f   = + 3v − 3v =log v − 3v + 3v = f ( v ) . Ngược lại nếu log − − v v 1 f ( u ) = − f ( v ) thì u = . v  1   1  Do đó f   + f ( x − 2 x + 2 ) =⇔ f   2 x − m + 1  =f ( x − 2 x + 2 ) 2 2  2 x − m +1  0  −     1 1 2  2 x − 2m = x 2 − 2 x + 1 ⇔ = ⇔ 2 x − m + 1 = x − 2x + 2 ⇔  2 x − m + 1 x2 − 2 x + 2 − 2  2 x − 2m =x + 2 x − 1  2 x − 2m = x 2 − 2 x + 1  2m = x 2 + 4 x − 1 =f ( x ) − ⇔ ⇔  2 x − 2m = x + 2 x − 1  2m = + 1 = ( x ) − 2  x2 g Vẽ đồ thị hàm số f ( x ) và g ( x ) trên cùng hệ trục ta được: Để phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm thì đường thẳng y = 2m cắt hai đồ thị trên tại đúng 3 điểm  m = 1  2m = 2   2m =3 ⇔  m =3 ⇒ m 2 =1 + 9 + 1 =7 . ⇔  2 ∑ 4 4 2  2m = 1   1 m =  2 Câu 30: Hàm số y= (x 2 − x + 1) e x có đạp hàm y′ A. = ( 2 x − 1) e x . B. = y′ (x 2 − x ) ex . C. = y′ (x 2 + x ) ex . D. = y′ (x 2 + 1) e x . Lời giải Chọn C y= (x 2 − x + 1) e x ⇒ y′= ( 2 x − 1) e x + ( x 2 − x + 1) e x= (x 2 + x ) ex . log 2 2 x Câu 31: Tìm nghiệm của bất phương trình 2 + x 2log2 x − 20 ≤ 0 1 1 A. 0 < x ≤ B. ≤ x ≤ 2 2 2 Trang 19/29 - Mã đề 235
1 1 1 C. ≤x≤2 D. ≤x≤ . 3 3 2 Lời giải Chọn B Điều kiện: x > 0 log 2 2 x 2 2 2 + x 2log2 x − 20 ≤ 0 ⇔ 24log2 x + x 2log2 x − 20 ≤ 0 ⇔ 16log2 x + x 2log2 x − 20 ≤ 0 Đặt log 2 x =t ⇒ x =2t BPT ⇔ 16t + ( 2t ) − 20 ≤ 0 ⇔ 16t + 4t − 20 ≤ 0 2 2t 2 2 2 2 Đặt 4t = u , u ≥ 1 (vì u = 4t ≥ 40 = 1 ) BPT ⇔ u 2 + u − 20 ≤ 0 ⇔ −5 ≤ u ≤ 4 Kết hợp với u ≥ 1 ⇒ 1 ≤ u ≤ 4 2 1 ⇒ 1 ≤ 4t ≤ 4 ⇔ 0 ≤ t 2 ≤ 1 ⇔ t 2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ t ≤ 1 ⇔ −1 ≤ log 2 x ≤ 1 ⇔ 2−1 ≤ x ≤ 2 ⇔ ≤x≤2 2 Câu 32: Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình a ln 2 x + b ln x + 5 = có hai nghiệm phân biệt 0 x1 , x2 và phương trình 5log 2 x + b log x + a = có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn x1 x2 > x3 x4 . 0 Tìm giá trị nhỏ nhất S min của = 2a + 3b S A. S min = 30 . B. S min = 25 . C. S min = 33 . D. S min = 17 . Lời giải Chọn. A. Điều kiện để phương trình có nghĩa và có nghiệm là x > 0 và b 2 − 20ab > 0 +) Xét phương trình a ln 2 x + b ln x + 5 =. 0 Đặt t = ln x . Khi đó pt ⇔ at + bt + 5 = 2 0 Phương trình có nghiệm t1 ln x1 , t2 ln x2 là hai nghiệm của phương trình, theo định lí Viét ta có: = = b b − ln t1 + t2 = x1 x2 =− ⇔ x1 x2 = a . e a +) Xét phương trình 5log 2 x + b log x + a =0 Đặt u = log x . Khi đó: Pt ⇔ 5u 2 + bu + a =. 0 Giả sử u1 ln x3 , u2 ln x4 là hai nghiệm của phương trình, theo định lí Viets, ta có = = b b − u1 + u2 = ( x3 x4 ) = ⇔ x3 x4 = 5 log − 10 . 5 b b b b− − − Do đó x1 x2 > x3 x4 ⇔ e > 10 ⇔ − > ln10 5 a 5 a b b 1 ln10 5 ⇔ − > − ln10 ⇔ < ⇔a> a a a 5 ln10 Theo giả thiết: a ∈ N ⇒ a ≥ 3 * b 2 − 20a > 0, b ∈ N * ⇒ b ≥ 8 Vậy ta có S =2a + 3b ≥ 2.3 + 3.8 =30 ⇒ Smin =30 . Câu 33: Khối đa diện nào sau đây có các mặt không phải là tam giác đều? A. Khối bát diện đều. B. Khối mười hai mặt đều. C. Khối tứ diện đều. D. Khối hai mươi mặt đều. Trang 20/29 - Mã đề 235