Đề thi KSCL học sinh giỏi môn Toán lớp 8 năm 2020-2021 có đáp án - Trường THCS Liên Châu (Lần 1)

Chia sẻ: Yunmengshuangjie Yunmengshuangjie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

57
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo Đề thi KSCL học sinh giỏi môn Toán 8 năm 2020-2021 có đáp án - Trường THCS Liên Châu (Lần 1) dành cho các bạn học sinh lớp 8 và quý thầy cô tham khảo, để hệ thống kiến thức học tập cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề thi. Hi vọng sẽ giúp các bạn đạt kết quả tốt trong kì thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi KSCL học sinh giỏi môn Toán lớp 8 năm 2020-2021 có đáp án - Trường THCS Liên Châu (Lần 1)

PHÒNG GD& ĐT YÊN LẠC ĐỀ KSCL HỌC SINH GIỎI LỚP 8 LẦN 1 TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1:(1.5 điểm)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x 4  4 b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020. Câu 2 : (1.5 điểm) Cho a – b = 5 và a.b = 2. Tính : a ) A = a3 – b3 b) B = 3(a4 + b4) + 2(a5 – b5) Câu 3: (2 điểm)Tìm số tự nhiên n để: a) A=n3-n2+n-1 là số nguyên tố. b) B= n5-n+2 là số chính phương. ( n  N; n  2 ) Câu 4: (1 điểm) a) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : a b c   3 bca acb abc b)Cho a > b > 0 so sánh 2 số x , y với : 1 a 1 b x= ; y= 1 a  a 2 1  b  b2 Câu 5: (1,5 điểm) a)Tính tổng: S = 31 – 21 + 32 – 22 + 33 – 23 + … + 32019 – 22019. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 Câu 6 : (2,5 điểm) Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S. a) Chứng minh  AQR và  APS là các tam giác cân. b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật. c) Chứng minh P là trực tâm  SQR. d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC. e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng.
PHÒNG GD- ĐT YÊN LẠC HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN 8 . TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU NĂM HỌC 2020 - 2021 Câu Nội dung Điểm a )x + 4 = (x + 4x + 4) - 4x = ( x2+2)2- (2x)2 4 4 2 2 0,5 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) Câu 1 b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020 =  x 4  x    2020x 2  2020x  2020  0.5 (1,5đ) = x  x  1  x 2  x  1  2020  x 2  x  1 =  x 2  x  1 x 2  x  2020  0,5 a) A = (a – b)(a2 + ab + b2) = 5[(a – b)2 + 3ab] = 5(25 + 3.2) = 155 0,5 b) a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = [(a – b)2 + 2ab]2 – 2a2b2 = (25 + 2.2)2 – 2.22 = 833 0.25 a – b = (a + b )(a – b ) + a2b3 – a3b2 5 5 2 2 3 3 Câu 2 = [(a – b)2 + 2ab] . (a – b)(a2 + ab + b2) + a2b2(b – a) (1.5đ) = [(a – b)2 + 2ab] . (a – b) [(a – b)2 + 3ab] + a2b2(b – a) = (25 + 4) . 5. (25 + 6) – 4.5 =4475 0,5 Vậy B = 3. 833 + 2 . 4475 = 11449 0,25 a) p = n3 - n2 + n - 1= (n2 + 1)(n - 1) 0.25 +)Nếu n = 0; 1 không thỏa mãn đề bài +)Nếu n = 2 thỏa mãn đề bài vì p = (22 + 1)(2 - 1) = 5 0.5 +)Nếu n > 3 không thỏa mãn đề bài vì khi đó p có từ 3 ước trở lên là 1; n – 1> 1 và n2 + 1 > n – 1> 1 Câu 3 - Vậy n = 2 thìp = n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố 0.25 (2đ) b) B=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) n 2  4  5 +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2 0.5 mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)  5 (tích của 5số tự nhiên liên tiếp) 0.25 và 5 n(n-1)(n+1)  5 Vậy B chia 5 dư 2 Do đó số B có tận cùng là 2 hoặc 7nên B không phải số chính phương 0.25 Vậy không có giá trị nào của n để B là số chính phương a) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Câu 4 yz xz x y 0,25 (1đ) Từ đó suy ra a= ;b  ;c  ; 2 2 2
yz xz x y 1 y x x z y z  =>A=    (  )  (  )  (  ) 2x 2y 2z 2 x y z x z y  1 Từ đó suy ra A  (2  2  2) hay A  3 0.25 2 b)Ta có x,y > 0 và 1 1  a  a2 a2 1 1 1 1   1  1  1  1  x 1 a 1 a 1  a 1 1 1 1 y 2 2  2  0,5 a a a b b 1 1 1 1 Vì a> b > 0 nên 2  2 và  . Vậy x < y. a b a b . a)S = 31 – 21 + 32 – 22 + 33 – 23 + … + 32019 – 22019. = (31 + 32 + 33 + … + 32019) – (21 + 22 + 23 + …+ 22019) Đặt A = 31 + 32 + 33 + … + 32019, B = 21 + 22 + 23 + …+ 22019 0.25  A=3 +3 +3 +…+3 1 2 3 2018 +3 2019 3A = 32 + 33 + 34 + … + 32019 + 32020  3A – A = 32020 - 31 3 2020  3 0,25 A = 2  B = 21 + 22 + 23 + …+ 22018 + 22019 Câu 5 2B = 22 + 23 + 24 + … + 22019 + 22020 (1,5 đ)  2B – B = 22020 - 21  B = 22020 – 2 0,25 3 2020  3 3 2020  2 2021  1 Vậy S = 2  2 2020  2   2 0,25 b )A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 = y2 + 4xy - 2y + 13x2 - 16x + 2015 = y2 + 2y(2x - 1) + (2x -1)2 + 9x2 - 12 x + 2015 = (y + 2x - 1)2 + (3x - 2)2 + 2010 0,25 2 1 Chứng tỏ A  2010, dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi (x = ; y =  ) 3 3 2 1 Vậy min A = 2010 khi (x = ; y =  ) 3 3 0,25
Hình vẽ. Vẽ đúng hình, cân đối đẹp. a)  ADQ =  ABR vì chúng là hai tam giác vuông (2 góc có cạnh t.ư vuông góc) và DA = BD (cạnh hình vuông). Suy ra AQ=AR, nên  AQR là tam giác vuông cân. Chứng minh tương tự ta có:  ABP =  ADS do đó AP =AS và  APS là tam giác cân tại A. 0,5 b) AM và AN là đường trung tuyến của tam giác vuông cân AQR và APS nên AN  SP và AM  RQ. Mặt khác : PAN  PAM = 450 nên góc MAN vuông. Vậy tứ giác AHMN có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật. 0,5 c) Theo giả thiết: QA  RS, RC  SQ nên QA và RC là hai đường cao của  SQR. Vậy P là trực tâm của  SQR. 0,5 1 d) Xét tam giác vuông cân AQR có MA là trung tuyến nên AM = QR 2  MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C. Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông 0,25đ SCP, ta có NA = NC, nghĩa là N cách đều A và C. Hay MN là trung trực của AC 0,25đ e) Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C. Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm trên đường trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng. 0,5đ Chú ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm bài hình.