ĐỀ 1 Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ Học tập
ĐỀ THI THỬ CUỐI KỲ MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ - Học kì 20231
Thời gian làm bài: 90 phút
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi.
Câu 1. [2đ] Một cửa hàng sách khai trương muốn thu hút khách hàng bằng một trò chơi.
Khách sẽ đoán xem trong hộp chứa một, hai, hay không có sách. Khách đoán đúng số sách
trong hộp sẽ được tặng luôn các quyển đó mang về. Nếu trong hộp không có sách và khách
đoán đúng sẽ được tặng một quyển. Xác suất trong hộp có sách là 40%. Nếu trong hộp có
sách thì xác suất có 2 quyển là 40%. Xác suất khách đoán trong hộp có 2 quyển gấp đôi
phán đoán có 1 quyển. Theo thống kê:
•Nếu khách đoán hộp không có sách, xác suất được tặng 1 quyển là 40%.
•Nếu khách đoán hộp có 1 quyển, xác suất được tặng 1 quyển là 40%.
•Nếu khách đoán hộp có 2 quyển, xác suất được tặng 2 quyển là 40%.
•Nếu khách đoán hộp không có sách, xác suất hộp có 2 quyển là 40%.
•Nếu khách đoán hộp có 2 quyển, xác suất hộp không có sách là 40%.
a) Tính xác suất một khách chơi trò chơi có sách mang về?
b) Biết một khách hàng chơi trò chơi có sách mang về, tính xác suất tại lần chơi đó trong
hộp có 1 quyển sách?
Câu 2. [2đ] Bạn C tham gia 1 cuộc thi giải đố gồm có 3 bài thi độc lập nhau (chọn làm mấy
bài, làm bài nào là tùy ý). Số câu hỏi của bài thi 1, 2, 3 lần lượt là 30, 15 và 3. Các câu hỏi
ở mỗi bài thi độc lập với nhau và xác suất C trả lời đúng mỗi câu ở bài 1 là 0.6, ở bài 2 là
0.5và ở bài 3 là 0.4. Để được thưởng ở bài 1 và 2, C phải trả lời tối thiểu đúng 60% câu
hỏi ở các bài thi đó. Để được thưởng ở bài 3, C phải trả lời đúng cả 3 câu của bài này. Phần
thưởng cho bài 1 là 80$, bài 2 là 100$ và bài 3 là 150$.
a) Tiền thưởng trung bình C nhận được khi làm cả 3 bài thi là bao nhiêu?
b) Do vướng lịch thi cuối kỳ đại học nên C quyết định chỉ làm bài thi 1. Do chỉ làm
ĐỀ 1 Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ Học tập
bài 1, C tập trung ôn kiến thức của bài này nên xác suất C trả lời đúng 1 câu của bài
này tăng thêm a
100 , trong đó a∈N,0≤a≤40. Tính anhỏ nhất để khả năng C được
thưởng bài này >95%?
Câu 3. [2đ] Cho biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục (X,Y)có hàm mật độ xác suất đồng thời
là:
fXY (x,y) =
kx,nếu 0<y<x<2−y2,
0,nếu trái lại.
a) Tìm hằng số k.
b) Với k vừa tìm được, tính E(X),E(Y).
Câu 4. [2đ] Chọn ngẫu nhiên 1000 sinh viên của một trường đại học để kiểm tra thì thấy có
967 sinh viên có đeo thẻ.
a) Ước lượng khoảng tỉ lệ số sinh viên đeo thẻ của trường với độ tin cậy 95%.
b) Cần phải kiểm tra bao nhiêu sinh viên với độ tin cậy 99% để sai số khi dự đoán số
sinh viên đeo thẻ có khoảng tin cậy đối xứng với độ dài là 0,02.
Câu 5. [2đ] Điểm thi giữa kì môn Giải tích I và Đại số của Đại học Bách khoa Hà Nội học
kì 20231 có phân phối chuẩn. Khảo sát một mẫu ngẫu nhiên các sinh viên cho điểm môn
Giải tích I và một mẫu ngẫu nhiên cho điểm môn Đại số, ta thu được kết quả như bảng sau:
Điểm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tần số môn Giải tích I 1 7 12 15 30 28 24 15 6 2
Tần số môn Đại số 2 6 15 17 28 27 23 17 8 1
Với mức ý nghĩa α=1% có thể kết luận độ khó của hai môn là như nhau hay không ?
Giá trị hàm phân phối chuẩn tắc:Φ(u1−α) = 1−α
x1.282 1.645 1.88 1.96 2.17 2.326 2.576
Φ(x)0.90 0.95 0.97 0.975 0.985 0.99 0.995
Chúc các bạn hoàn thành tốt bài thi!
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ Học tập
LỜI GIẢI CHI TIẾT MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ - Thi thử Cuối kỳ 20231
Thực hiện bởi team Xác suất thống kê - CLB Hỗ trợ Học tập
Câu 1:
Gọi Ailà sự kiện trong hộp có iquyển sách, i=0; 2
Gọi Bilà sự kiện khách đoán trong hộp có iquyển sách, i=0; 2
Theo đề bài, ta có các xác suất sau:
P(A0|B0) = 0,4P(A1|B1) = 0,4(1)
P(A2|B2) = 0,4P(A2|B0) = 0,4
P(A0|B2) = 0,4
a) gọi Clà sự kiện khách có sách mang về. Ta thấy {B0, B1, B2}là một nhóm đầy đủ. Do đó ta có:
P(C) =
2
X
i=0
P(Bi).P (C|Bi)
Ta thấy P(C|Bi)cũng chính bằng P(Ai|Bi); do khách đoán đúng trong hộp chứa bao nhiêu quyển sách
mới được có sách mang về. Vì vậy ta có:
P(C) =
2
X
i=0
P(Bi).P (C|Bi) = 0,4.(P(B1) + P(B2) + P(B0)) = 0,4
b) Theo giả thiết, ta có P(A1+A2) = 0,4và P(A2|A1+A2) = 0,4
Mặt khác, {A0, A1, A2}là một nhóm đầy đủ nên suy ra P(A2|A1+A2) = P(A2)
P(A1+A2)
⇒P(A2) = 0,4
⇒P(A1) = P(A1+A2)−P(A2) = 0,24
Ta có:
P(A0|B0) = P(A2|B0) = 0,4⇒P(A1|B0) = 0,2(2)
P(A2|B2) = P(A0|B2) = 0,4⇒P(A1|B2) = 0,2(3)
Đặt P(B1) = xvà P(B0) = y. Theo giả thiết, P(B2) = 2x⇒y+3x= 1 (4)
Từ (1),(2),(3) ta có P(A1) =
2
X
i=0
P(Bi).P (A1|Bi)⇔0,24 = 0,2y+ 0,4x+ 2x.0,2(5)
Từ (1),(5) ta tính được x= 0,2và y= 0,4.
Vậy xác suất cần tính là:
P(A1|C) = P(A1C)
P(C)=P(A1).P (C|A1)
P(C)=P(A1).P (B1|A1)
P(C)=P(B1).P (A1|B1)
P(C)=P(B1) = 0,2.
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ Học tập
Câu 2:
a) Gọi Xlà phần thưởng của C khi tham gia làm cả 3 bài thi, ta có bảng phân phối xác suất của X:
X0 80 100 150 180 230 250 330
p(X)p0p1p2p3p4p5p6p7
Gọi Ailà sự kiện C nhận được thưởng của bài thứ i,i=1,3
P(A1) =
30
X
k=18
Ck
30.0,6k.0,430−k= 0,5785 P(A2) =
15
X
k=9
Ck
15.0,5k.0,515−k= 0,3036
P(A3) = 0,43= 0,064
Do các sự kiện A1, A2, A3độc lập nhau nên ta có:
p0=P(A1.A2.A3) = P(A1).P (A2).P (A3) = 0,2747 p4=P(A1.A2.A3) = 0,1644
p1=P(A1.A2.A3) = 0,3771 p5=P(A1.A2.A3) = 0,0258
p2=P(A1.A2.A3) = 0,1198 p6=P(A1.A2.A3) = 0,0082
p3=P(A1.A2.A3) = 0,0188 p7=P(A1.A2.A3) = 0,0112
Từ đó, ta dễ tính được E(X) = 86,24
b) Gọi A′
1là sự kiện C được nhận thưởng ở bài 1 sau khi ôn luyện.
P(A′
1) =
30
X
k=18
Ck
30.0,6 + a
100k
.0,4−a
10030−k
Ta cần tìm anhỏ nhất thỏa mãn giả thiết, và P(A′
1)≥0,95 ⇒min a= 13
Câu 3:
a)
fXY (x, y)
kx (0 < y < x < 2−y2)
0trái lại
Có fXY (x, y)≥0,∀x, y ⇒k≥0
Mặt khác, từ hình vẽ ta có:
1 = ˆ+∞
−∞ ˆ+∞
−∞
fXY (x, y)dxdy =ˆ1
0ˆx
0
kx dydx +ˆ2
1 ˆ√2−x
0
kx dy!dx
=k
3+ˆ2
1
kx√2−x dx =k
3+14
15k=19
15k
⇒k=15
19 (thỏa mãn điều kiện k≥0)
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ Học tập
b)
E(X) = ˆ+∞
−∞ ˆ+∞
−∞
xfXY (x, y)dxdy =ˆ1
0ˆx
0
kx2dydx +ˆ2
1 ˆ√2−x
0
kx2dy!dx
=15
19 1
4+ˆ2
1
x2√2−xdx
Xét I=ˆ2
1
x2√2−xdx
Đặt t=√2−x⇒x= 2 −t2;dx =−2tdt
Đổi cận x1 2
t 1 0
I=ˆ1
0
(2 −t2)2.t.(2t)dt =142
105
Từ đó, E(X) = 15
19 1
4+142
105=673
532 ≈1,2650
E(Y) = ˆ+∞
−∞ ˆ+∞
−∞
yfXY (x, y)dxdy =ˆ1
0ˆx
0
kxy dydx +ˆ2
1 ˆ√2−x
0
kxy dy!dx
=15
19 ˆ1
0
x3
2dx +ˆ2
1
x(2 −x)
2dx=15
19.11
24 =55
122 ≈0,3618