zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2012 môn Toán (có đáp án)

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

1.033
lượt xem 297
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo Đề thi tuyển sinh Đại học khối D môn Toán năm 2012 có kèm theo đáp án (Đề chính thức của Bộ Giáo dục và Đào tạo). Chúc các bạn thi tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi tuyển sinh Cao đẳng, Đại học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2012 môn Toán (có đáp án)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Môn: TOÁN; Khối D ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 23 2 x − mx 2 − 2(3m 2 − 1) x + (1), m là tham số thực. Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = 3 3 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. b) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x1 x2 + 2( x1 + x2 ) = 1. Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình sin 3 x + cos 3x − sin x + cos x = 2 cos 2 x. ⎧ xy + x − 2 = 0 ⎪ ( x, y ∈ ). Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình ⎨ 3 2 2 2 ⎪ 2 x − x y + x + y − 2 xy − y = 0 ⎩ π 4 Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I = ∫ x(1 + sin 2 x)dx. 0 Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình hộp đứng ABCD. A' B 'C ' D ' có đáy là hình vuông, tam giác A' AC vuông cân, AC = a . Tính thể tích của khối tứ diện ABB'C ' và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( BCD ') theo a. ' Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực x, y thỏa mãn ( x − 4)2 + ( y − 4)2 + 2 xy ≤ 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + 3( xy − 1)( x + y − 2). II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng AC () 1 và AD lần lượt có phương trình là x + 3 y = 0 và x − y + 4 = 0; đường thẳng BD đi qua điểm M − ;1 . 3 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD. Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + y − 2 z + 10 = 0 và điểm I (2;1; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4. 2(1 + 2i ) = 7 + 8i. Tìm môđun của số phức w = z + 1 + i. Câu 9.a (1,0 điểm). Cho số phức z thỏa mãn (2 + i ) z + 1+ i B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2 x − y + 3 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD = 2. x −1 y +1 z = = và hai Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : −1 1 2 điểm A(1; −1; 2), B (2; −1; 0). Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M. Câu 9.b (1,0 điểm). Giải phương trình z 2 + 3(1 + i) z + 5i = 0 trên tập hợp các số phức. ---------- HẾT ---------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: .................................................................... ; Số báo danh: ............................................. .
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Môn: TOÁN; Khối D ĐỀ CHÍNH THỨC (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm a) (1,0 điểm) 1 (2,0 điểm) 2 2 Khi m = 1, hàm số trở thành y = x3 − x 2 − 4 x + . 3 3 • Tập xác định: D = . 0,25 • Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y ′ = 2 x 2 − 2 x − 4; y ′ = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = 2. Các khoảng đồng biến: (−∞; −1) và (2; +∞); khoảng nghịch biến ( −1; 2). - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = −1, yCĐ = 3, đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = −6. 0,25 - Giới hạn: lim y = − ∞, lim y = + ∞, x →− ∞ x →+ ∞ - Bảng biến thiên: x −∞ +∞ –1 2 y' + 0 – 0 + +∞ 0,25 3 y −∞ –6 • Đồ thị: y 3 2 –1 O x 0,25 –6 b) (1,0 điểm) Ta có y ′ = 2 x 2 − 2mx − 2(3m 2 − 1). 0,25 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 0,25 2 13 2 13 ⇔ 13m 2 − 4 > 0 ⇔ m > hoặc m < − . 13 13 Ta có: x1 + x2 = m và x1 x2 = 1 − 3m 2 , do đó x1 x2 + 2( x1 + x2 ) = 1 ⇔ 1 − 3m 2 + 2m = 1 0,25 2 2 ⇔ m = 0 hoặc m = . Kiểm tra điều kiện ta được m = . 0,25 3 3 Trang 1/4
Câu Đáp án Điểm Phương trình đã cho tương đương với: (2 sin x + 2 cos x − 2 ) cos 2 x = 0. 0,25 2 (1,0 điểm) π kπ • cos 2 x = 0 ⇔ x = + (k ∈ ). 0,25 42 () π1 • 2 sin x + 2 cos x − 2 = 0 ⇔ cos x − = 0,25 42 7π π ⇔x= + k 2 π hoặc x = − + k 2π (k ∈ ). 12 12 Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là: 0,25 π kπ 7π π x= + , x= + k 2π, x = − + k 2π (k ∈ ). 42 12 12 ⎧ xy + x − 2 = 0 (1) ⎪ 3 Hệ đã cho tương đương với: ⎨ 0,25 2 (1,0 điểm) ⎪(2 x − y + 1)( x − y ) = 0 (2) ⎩ −1 ± 5 • 2 x − y + 1 = 0 ⇔ y = 2 x + 1. Thay vào (1) ta được x 2 + x − 1 = 0 ⇔ x = . 2 0,25 ⎛ −1 + 5 ⎞ ⎛ −1 − 5 ⎞ Do đó ta được các nghiệm ( x; y ) = ⎜ ; 5 ⎟ và ( x ; y ) = ⎜ ; − 5 ⎟. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ • x 2 − y = 0 ⇔ y = x 2 . Thay vào (1) ta được x3 + x − 2 = 0 ⇔ ( x − 1)( x 2 + x + 2) = 0 0,25 ⇔ x = 1. Do đó ta được nghiệm ( x; y ) = (1; 1). Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm là: 0,25 ⎛ −1 + 5 ⎞ ⎛ −1 − 5 ⎞ ( x; y ) = (1; 1), ( x; y ) = ⎜ ; 5 ⎟ , ( x; y ) = ⎜ ; − 5 ⎟. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ π π π π π 4 4 4 4 4 x2 4 2 π ∫ ∫ ∫ ∫ 0,25 (1,0 điểm) I = xdx + x sin 2 xdx = + x sin 2 xdx = + x sin 2 xdx. 2 32 0 0 0 0 0 1 Đặt u = x; dv = sin 2 xdx, suy ra du = dx; v = − cos 2 x. 0,25 2 π π π π 4 4 4 1 1 1 4 ∫ x sin 2 xdx = − 2 x cos 2 x 0 + 2 ∫ cos 2 xdx = 2 ∫ cos 2 xdx 0,25 Khi đó 0 0 0 π π2 1 1 1 4 0,25 = sin 2 x = . Do đó I = +. 32 4 4 4 0 Tam giác A′AC vuông cân tại A và A′C = a nên 5 (1,0 điểm) 0,25 D' a a C' A′A = AC = . Do đó AB = B′C ′ = . 2 2 B' A' a3 2 1 1 V ABB′C ′ = B ' C '.S ∆ABB ' = B ' C '. AB.BB ' = 0,25 . 3 6 48 Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của ∆A′AB. Ta có AH ⊥ A ' B và AH ⊥ BC nên AH ⊥ ( A ' BC ), 0,25 H D nghĩa là AH ⊥ ( BCD '). Do đó AH = d ( A, ( BCD ')). C 1 1 1 6 = + = . Ta có B A 2 2 2 a2 AA' AH AB 0,25 a6 Do đó d ( A, ( BCD ')) = AH = . 6 Trang 2/4
Câu Đáp án Điểm Ta có ( x − 4)2 + ( y − 4)2 + 2 xy ≤ 32 ⇔ ( x + y ) 2 − 8( x + y ) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x + y ≤ 8. 6 0,25 (1,0 điểm) 3 A = ( x + y )3 − 3( x + y ) − 6 xy + 6 ≥ ( x + y )3 − ( x + y )2 − 3( x + y ) + 6. 2 3 Xét hàm số: f (t ) = t 3 − t 2 − 3t + 6 trên đoạn [0; 8]. 0,25 2 1+ 5 1− 5 Ta có f ′(t ) = 3t 2 − 3t − 3, f ′(t ) = 0 ⇔ t = hoặc t = (loại). 2 2 ⎛ 1 + 5 ⎞ 17 − 5 5 17 − 5 5 , f (8) = 398. Suy ra A ≥ Ta có f (0) = 6, f ⎜ = . ⎜2⎟ 0,25 ⎟ 4 4 ⎝ ⎠ 1+ 5 17 − 5 5 Khi x = y = 0,25 . thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4 4 ⎧x + 3y = 0 7.a ⇒ A( −3;1). Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ ⎨ 0,25 (1,0 điểm) ⎩x − y + 4 = 0 Gọi N là điểm thuộc AC sao cho MN//AD. Suy ra MN có 4 A phương trình là x − y + = 0. Vì N thuộc AC, nên tọa B 3 N 0,25 ⎧ 4 ⎪x − y + = 0 ⎛ 1⎞ ⇒ N ⎜ −1; ⎟ . độ của điểm N thỏa mãn hệ ⎨ 3 K 3⎠ ⎝ ⎪x + 3y = 0 I ⎩ Đường trung trực ∆ của MN đi qua trung điểm của MN M và vuông góc với AD, nên có phương trình là x + y = 0. D C Gọi I và K lần lượt là giao điểm của ∆ với AC và AD. ⎧x + y = 0 Suy ra tọa độ của điểm I thỏa mãn hệ ⎨ 0,25 ⎩ x + 3 y = 0, ⎧x + y = 0 và tọa độ của điểm K thỏa mãn hệ ⎨ ⎩ x − y + 4 = 0. Do đó I(0; 0) và K(−2;2). AC = 2 AI ⇒C (3;−1); AD = 2 AK ⇒ D(−1;3); 0,25 BC = AD ⇒ B(1;−3). Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Suy ra H là tâm của đường tròn giao tuyến 8.a 0,25 (1,0 điểm) của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cần viết phương trình. Ta có IH = d ( I ; ( P )) = 3. 0,25 Bán kính của mặt cầu (S) là: R = 32 + 4 2 = 5. 0,25 Phương trình của mặt cầu (S) là: ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 + ( z − 3)2 = 25. 0,25 2(1 + 2i ) 9.a Ta có: (2 + i) z + = 7 + 8i ⇔ (2 + i) z = 4 + 7i 0,25 (1,0 điểm) 1+ i ⇔ z = 3 + 2i. 0,25 Do đó w = 4 + 3i. 0,25 42 + 32 = 5. 0,25 Môđun của w là Trang 3/4
Câu Đáp án Điểm Gọi I là tâm của đường tròn (C) cần viết phương trình. 7.b 0,25 Do I ∈ d nên tọa độ của I có dạng I (t ;2t + 3). (1,0 điểm) AB = CD ⇔ d ( I , Ox) = d ( I , Oy ) ⇔ | t | = | 2t + 3 |⇔ t = −1 hoặc t = −3. 0,25 • Với t = −1 ta được I (−1;1), nên d ( I ; Ox) = 1. Suy ra, bán kính của (C) là 12 +12 = 2 . 0,25 Do đó (C ) : ( x + 1) 2 + ( y − 1)2 = 2. 32 +12 = 10 . • Với t = −3 ta được I (−3;−3), nên d ( I ;Ox) = 3. Suy ra, bán kính của (C) là 0,25 Do đó (C ) : ( x + 3)2 + ( y + 3)2 = 10. Do M ∈ d nên tọa độ của điểm M có dạng M (1 + 2t ; −1 − t ; t ). 0,25 8.b (1,0 điểm) Ta có AM = (2t ; −t ; t − 2), BM = (−1 + 2t; −t; t ). 0,25 Tam giác AMB vuông tại M ⇔ AM .BM = 0 ⇔ 2t (−1 + 2t ) + t 2 + t (t − 2) = 0 ⇔ 6t 2 − 4t = 0 0,25 ⎛7 5 2⎞ 2 ⇔ t = 0 hoặc t = . Do đó M (1; −1; 0 ) hoặc M ⎜ ; − ; ⎟ . 0,25 3 ⎝3 3 3⎠ Phương trình bậc hai z 2 + 3(1+ i ) z + 5i = 0 có biệt thức ∆ = −2i. 0,25 9.b (1,0 điểm) = (1 − i ) 2 . 0,25 −3(1 + i) + (1 − i) Do đó nghiệm của phương trình là z = = −1 − 2i 0,25 2 −3(1 + i ) − (1 − i ) hoặc z = = −2 − i. 0,25 2 ------------- HẾT------------- Trang 4/4

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.