Xin giới thiệu tới các bạn học sinh, sinh viên "Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 07" dành cho các bạn học sinh các khối A, A1, B, D với 9 câu hỏi tự luận có kèm đáp án và hướng dẫn giải chi tiết.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 07
- Facebook: Dangquymaths KÌ THI TUYỂN SINH QUỐC GIA NĂM 2015
NĐQ 0982473363 Môn: TOÁN; Khối A, A1, B, D
Đề số 07 Thời gian làm bài 180 phút
x4
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y m 1 x 2m 1 (Cm)
2
4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m 1 .
b) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm) có ba điểm cực trị sao cho khoảng từ điểm cực đại đến tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 26 với A 3; 2 , B 1;4 , C 7;6 .
3 3
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: sin x sin x 4sin x 0
2
12 x 18
Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình: 4x 1 2x 4
x 2 18
3 3
Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình: log 4 x 1 log8 x 2 7 log 2 x 1
x
Câu 5 (1,0 điểm). Có 5 cây sưa, 6 cây sanh và 7 cây si. Người ta trồng thành hai dãy dọc
theo ven đường, mỗi dãy có 9 cây tạo thành 9 hàng, mỗi hàng có 2 cây đối diện nhau. Có
bao nhiêu cách trồng sao cho 2 cây đối diện khác loại.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, đường thẳng SD
tạo với mặt đáy góc 600 . Gọi M là trung điểm AB, biết MD a 5 . Giao điểm của AC với
DM là H, biết SH vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách
giữa hai đường thẳng CD và SM theo a.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại B và C có
AB 3a , BC DC 2a . Phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là y 1 0 . Gọi M là
3 3
trung điểm của CD, I ; là giao điểm của BD với AM. Tìm tọa độ điểm M, biết đỉnh A
2 2
có hoành độ nhỏ hơn 2.
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:
y 2 x 2 2 x 2 y 2 x 1
1 1 x; y R
x y 2
x 3y 3x y
Câu 9 (1,0 điểm). Giả sử x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x z Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức.
x y z
P 2
x2 y 2 y2 z2 x z
---------- HẾT ----------
- Facebook: Dangquymaths
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
x4
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y m 1 x 2m 1 (Cm)
2
4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m 1 .
b) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm) có ba điểm cực trị sao cho khoảng từ điểm cực đại đến tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 26 với A 3; 2 , B 1;4 , C 7;6 .
a) Học sinh tự làm
b) Ta có BA 2; 6 , BC 6;2 BA. BC 0 , do đó tam giác ABC vuông tại B
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm I 5;2 của cạnh AC.
Để đồ thị hàm số (Cm) có ba điểm cực trị y ' 0 có ba nghiệm phân biệt
x 3 2 m 1 x 0 có ba nghiệm phân biệt
x 2 2 m 1 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0
m 1
Với m 1 đồ thị hàm số (Cm) có ba điểm cực trị, khi đó D 0;2 m 1 là điểm cực đại.
2
Theo giả thiết ID 26 52 2 m 1 26
2 m 0
2 m 1 1
m 1
Vậy m 0 hoặc m 1
Câu 2 (1,0 điểm): Giải phương trình:
3
sin x 4sin 3 x sin x 0
2
PT sin x 4sin 3 x cos x 0
Ta thấy cos x 0 không là nghiệm của phương trình, do đó:
PT tan x 1 tan 2 x 4 tan 3 x 1 tan 2 x 0
tan x 1 3tan 2 x 2 tan x 1 0
tan x 1 0 x k k Z
4
Vậy nghiệm của phương trình:
x k k Z
4
- Facebook: Dangquymaths
12 x 18
Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình: 4x 1 2x 4
x 2 18
1
+ Điều kiện x
4
2x 3 6 2 x 3
+ PT 2
4x 1 2x 4 x 18
3
x 2
2
4 x 1 2 x 4 x 18
6
x 2 18
+ Giải phương trình: 4x 1 2x 4
6
PT x 2 18 6 4 x 1 6 2 x 4 0
2x 3 x6
x2 6x 6 4x 1 6 2x 4 0
3 3
x 0
x2 6x 0
x 6
3
Vậy phương trình có 3 nghiệm x 0; x ; x 6
2
3 3
Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình: log 4 x 1 log8 x 2 7 log 2 x 1
x
3
Điều kiện: x 1; x 0 x 0
x
3 x2 7 3 x2 7
PT log 2 x log 2 x
x 2 x 1 x 2 x 1
3 x2 7 x2 4x 3 x2 4x 3
x 2 2
x 2 x 1 3 2 x 1
x x 2
x
TH1: x 2 4 x 3 0 x 1; x 3
3 3
TH2: x x 2 2 x 1 x x 2 x 1 x 2 x 4 0 x 1
x x
Vậy nghiệm của phương trình: x 1; x 3
- Facebook: Dangquymaths
Câu 5 (1,0 điểm). Có 5 cây sưa, 6 cây sanh và 7 cây si. Người ta trồng thành hai dãy dọc
theo ven đường, mỗi dãy có 9 cây tạo thành 9 hàng, mỗi hàng có 2 cây đối diện nhau. Có
bao nhiêu cách trồng sao cho 2 cây đối diện khác loại.
Có tất cả 18 cây chia làm 9 cặp. Trong đó có 7 cây si nên có 2 cặp (sưa, sanh), 3 cặp (sưa,
si) và 4 cặp (sanh, si)
Số cây trên được trồng thành 2 dãy, 9 hàng, mỗi hàng 2 cây đối diện nhau
2
Số cách chọn 2 trong 9 hàng trồng cặp (sưa, sanh) là C9
3
Số cách chọn 3 trong 7 hàng còn lại để trồng cặp (sưa, si) là C7 , 4 hàng còn lại được trồng
cặp (sanh, si)
Mặt khác, với mỗi cặp 2 cây 29 cách chọn vị trí để trồng chúng
2 3 9
Vậy theo qui tắc nhân có: C9 .C7 .2 645120 cách
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, đường thẳng SD
tạo với mặt đáy góc 600 . Gọi M là trung điểm AB, biết MD a 5 . Giao điểm của AC với
DM là H, biết SH vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách
giữa hai đường thẳng CD và SM theo a.
2 2 AD 2 2 2
+ Ta có AD AM MD AD 5a 2 AD 2a S ABCD 4a 2
4
600
+ Gọi H là giao điểm của AC và DM, do SH ABCD SDH
2 2 S
SH HD.tan 600 MD tan 600 a 15
3 3
+ Thể tích khối chóp S.ABCD:
1 1 2 8 15 3
VSABCD SH .S ABCD . a 15.4a 2 a (đvtt)
3 3 3 9
+ Gọi E là hình chiếu vuông góc của H lên AB, A D
K
K là hình chiếu của H lên SE HK SAB E
H
+ Do CD / / SAB M
d CD, SM d CD, SAB B C
d CD, SM d D, SAB 3d H , SAB 3HK
HE.HS AD.HS a 15
d CD, SM 3
HE 2 HS 2 AD 2 2
HS 2
9
- Facebook: Dangquymaths
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại B và C có
AB 3a , BC DC 2a . Phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là y 1 0 . Gọi M là
3 3
trung điểm của CD, I ; là giao điểm của BD với AM. Tìm tọa độ điểm M, biết đỉnh A
2 2
có hoành độ nhỏ hơn 2.
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên cạnh AB, K là trung điểm AB
450 , mặt khác IBA
Vì MHA BCD IAB BDC
450 IAB vuông cân tại I.
3
+ Phương trình đường thẳng IK đi qua I và vuông góc với AB: IK : x 0
2
+ Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có tâm K, bán kính IK
2 A K H B
3 2 1
x y 1
2 4
2
3 2 1
x y 1
+ Tọa độ điểm A, B là nghiệm của hệ: 2 4
y 1
I
Do A có hoành độ nhỏ hơn 2 A 1;1 ; B 2;1 .
D M C
2 2 AI IK AI 3 5 5
+ Dễ thấy MH AH AB MH M ;
3 3 AM MH AM 4 3 3
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:
y 2 x 2 2 x 2 y 2 x 1
1 1 x; y R
x y 2
x 3y 3x y
Điều kiện: x 0; y 0; x 3 y 0; 3x y 0
x x x y 1 x x y
Ta có: .
x 3y x y x 3y 2 x y x 3y
y 1 2y 11 2y
.
x 3y 2 x 3y 2 2 x 3y
x y 13 x
(1)
x 3y 2 2 x y
x y 13 y
Tương tự (2)
3x y 2 2 x y
- Facebook: Dangquymaths
x y x y
Từ (1) và (2) ta có: 2
x 3y 3x y
Do đó từ phương trình thứ hai của hệ được x y , thế vào phương trình thứ nhất:
x 2 x2 2x 2 x2 x 1
x 2 x2 2x 2 3 x 2 x2 2 x 7
x 2
x 2 2 x 2 3 x2 2 x 7
x2 2 x 7
x 2 x2 2x 7
x2 2x 2 3
x2 2 x 7 0 x 1 8
x2 x2
1 1
x 2 2 x 2 3 x 2 2 x 2 3
x2
Giải phương trình 1 x 2 x2 2 x 2 3 x x2 2 x 2 1
2
x 2x 2 3
Nhận thấy phương trình này vô nghiệm do VP VT
So sánh điều kiện được nghiệm của hệ phương trình: x; y 1 8;1 8
Câu 9 (1,0 điểm). Giả sử x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x z Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức.
x y z
P 2
x2 y 2 y2 z2 x z
1 1 2
+ Ta có: P 2
2
x
y z 1
1 1
x y z
y z x 1 1 2
+ Đặt a ; b ; c ta được: P với abc 1; c 1; ab 1
x y z 1 a2 1 b2 1 c
1 1 1 1 2 2
+ Mặt khăc: 2 2
2 2.
1 a2 1 b2 1 a 1 b 1 ab 1 ab
2 2 2 2 2 c 1
f c
+ Do đó P
1 ab 1 c 1 1 c 1 c
1
c
2 c 1
+ Xét hàm số f c với c 1;
1 c
- Facebook: Dangquymaths
1 c
Với f ' c f ' c 0 c 1
1 c 1 c c
+ Lập bảng biến thiên ta thấy P f c f 1 2 2 . P 2 2 khi a b c 1
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 2 2 khi x y z
CHÚC CÁC EM THI TỐT!
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
