Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi môn Toán năm học 2015 - 2016 - Sở GD&ĐT Hải Dương

Chia sẻ: Thu Maile | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

40
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi môn Toán năm học 2015 - 2016 - Sở GD&ĐT Hải Dương tài liệu dành cho các bạn học sinh lớp 10 đang sắp bước vào kì thi tuyển sinh, tham khảo tài liệu sẽ giúp các em nắm vững kiến thức môn học đồng thời rèn luyện kĩ năng giải đề. Chúc các em đạt kết quả cao trong kì thi nhé!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi môn Toán năm học 2015 - 2016 - Sở GD&ĐT Hải Dương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: TOÁN (Chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm: 01 trang) Câu I (2,0 điểm) 1) Cho a  b  29  12 5  2 5 . Tính giá trị của biểu thức: A  a 2 (a  1)  b2 (b  1)  11ab  2015 2) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn xy  (1  x 2 )(1  y 2 )  1. Chứng minh rằng x 1  y 2  y 1  x 2  0. Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình 2 x  3  4 x2  9 x  2  2 x  2  4 x  1. 2 2  2 x  y  xy  5 x  y  2  y  2 x  1  3  3x 2) Giải hệ phương trình  2  x  y 1  4x  y  5  x  2 y  2 Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x4  x2  y 2  y  20  0. 2) Tìm các số nguyên k để k 4  8k 3  23k 2  26k  10 là số chính phương. Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A (A khác B). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC. 1) Chứng minh A, O, M, N, I cùng thuộc một đường tròn và IA là tia phân giác của góc MIN 2 1 1 2) Gọi K là giao điểm của MN và BC. Chứng minh   . AK AB AC 3) Đường thẳng qua M và vuông góc với đường thẳng ON cắt (O) tại điểm thứ hai là P. Xác định vị trí của điểm A trên tia đối của tia BC để AMPN là hình bình hành. Câu V (1,0 điểm) Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện (a  b)3  4ab  12. 1 1 Chứng minh bất đẳng thức   2015ab  2016. 1 a 1 b ---------------------------Hết---------------------------- Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Câu I (2,0 điểm) 1) Cho a  b  29  12 5  2 5 . Tính giá trị của biểu thức: A  a 2 (a  1)  b2 (b  1)  11ab  2015 a  b  29  12 5  2 5  3  2 5  2 2 5 3 A  a 3  b3  a 2  b 2  11ab  2015  (a  b)(a 2  b 2  ab)  a 2  b 2  11ab  2015  3(a 2  b 2  ab)  a 2  b 2  11ab  2015  4(a 2  2ab  b 2 )  2015  4(a  b) 2  2015  2051 2) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn xy  (1  x 2 )(1  y 2 )  1. Chứng minh rằng x 1  y 2  y 1  x 2  0. xy  (1  x 2 )(1  y 2 )  1  (1  x) 2 (1  y ) 2  1  xy  (1  x 2 )(1  y 2 )  (1  xy ) 2  1  x 2  y 2  x 2 y 2  1  2 xy  x 2 y 2  x 2  y 2  2 xy  0  ( x  y ) 2  0  y   x  x 1  y 2  y 1  x2  x 1  x2  x 1  x2  0 Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình 2 x  3  4 x2  9 x  2  2 x  2  4 x  1. 1 Pt  2 x  3  ( x  2)(4 x  1)  2 x  2  4 x  1. ĐK: x   4 2 t 9 Đặt t 2  8 x  4 ( x  2)(4 x  1)  9  2 x  ( x  2)(4 x  1)  4 2 PTTT t  4t  3  0  t  1 hoặc t = 3 TH1. t = 1 giải ra vô nghiệm hoặc kết hợp với ĐK t  7 bị loại 2 TH 2. t  3  2 x  2  4 x  1  3. Giải pt tìm được x   (TM) 9 2 Vậy pt có nghiệm duy nhất x   9 2 2  2 x  y  xy  5 x  y  2  y  2 x  1  3  3x 2) Giải hệ phương trình  2  x  y 1  4x  y  5  x  2 y  2 ĐK: y  2x  1  0, 4 x  y  5  0, x  2 y  2  0, x  1 0  0  y  2x 1  0 x  1  TH 1.  (Không TM hệ)   1  10  1 3  3x  0 y 1  TH 2. x  1, y  1 Đưa pt thứ nhất về dạng tích ta được x y2 ( x  y  2)(2 x  y  1)  y  2 x  1  3  3x Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt   1 ( x  y  2)   y  2 x  1  0 . Do y  2 x  1  0  y  2 x  1  3  3x  1  y  2x 1  0  x  y  2  0 nên y  2 x  1  3  3x Thay y  2  x vào pt thứ 2 ta được x2  x  3  3x  7  2  x  x 2  x  2  3x  7  1  2  2  x 3x  6 2 x  ( x  2)( x  1)   3x  7  1 2  2  x 3 1    ( x  2)   1  x  0  3x  7  1 2  2  x  3 1 Do x  1 nên  1 x  0 3x  7  1 2  2  x Vậy x  2  0  x  2  y  4 (TMĐK) Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x4  x2  y 2  y  20  0. (1) Ta có (1)  x4  x 2  20  y 2  y Ta thấy x4  x2  x4  x2  20  x4  x2  20  8x2  x2 ( x2  1)  y( y  1)  ( x2  4)( x2  5) Vì x, y ∈ nên ta xét các trường hợp sau + TH1. y( y  1)  ( x 2  1)( x 2  2)  x 4  x 2  20  x 4  3x 2  2  2 x2  18  x2  9  x  3 Với x 2  9 , ta có y 2  y  92  9  20  y 2  y  110  0  y  10; y  11(t.m) + TH2. y( y  1)  ( x 2  2)( x 2  3)  x 4  x 2  20  x 4  5x 2  6 7  4 x 2  14  x 2  (loại) 2 4 + TH3. y( y  1)  ( x 2  3)( x 2  4)  6 x 2  8  x 2  (loại) 3 2 2 2 2 + TH4. y( y  1)  ( x  4)( x  5)  8x  0  x  0  x  0 Với x 2  0 , ta có y 2  y  20  y 2  y  20  0  y  5; y  4 Vậy PT đã cho có nghiệm nguyên (x;y) là : (3;10), (3;-11), (-3; 10), (-3;-11), (0; -5), (0;4). 2) Tìm các số nguyên k để k 4  8k 3  23k 2  26k  10 là số chính phương. Đặt M  k 4  8k 3  23k 2  26k  10 Ta có M  (k 4  2k 2  1)  8k (k 2  2k  1)  9k 2  18k  9  (k 2  1)2  8k (k  1)2  9(k  1)2  (k  1)2 . (k  3) 2  1 M là số chính phương khi và chỉ khi (k  1)2  0 hoặc (k  3)2  1 là số chính phương. TH 1. (k  1)2  0  k  1. Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt TH 2. (k  3)2  1 là số chính phương, đặt (k  3)2  1  m2 (m  )  m2  (k  3)2  1  (m  k  3)(m  k  3)  1 Vì m, k   m  k  3  , m  k  3  nên m  k  3  1 m  k  3  1  m  1, k  3 hoặc   k 3  m  k  3  1 m  k  3  1  m  1, k  3 Vậy k = 1 hoặc k = 3 thì k 4  8k 3  23k 2  26k  10 là số chính phương Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A (A khác B). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC. 1) Chứng minh A, O, M, N, I cùng thuộc một đường tròn và IA là tia phân giác của góc MIN Theo giả thiết AMO = ANO = AIO = 90o = > 5 điểm A, O, M, N, I thuộc đường tròn đường kính AO 0,25 => AIN = AMN, AIM = ANM (Góc nội tiếp cùng chắn một cung) AM = AN => ∆AMN cân tại A => AMN = ANM => AIN = AIM => đpcm 2 1 1 2) Gọi K là giao điểm của MN và BC. Chứng minh   . AK AB AC 2 1 1    2 AB. AC  AK ( AB  AC )  AB. AC  AK . AI AK AB AC (Do AB+ AC = 2AI) ∆ABN đồng dạng với ∆ANC => AB.AC = AN2 ∆AHK đồng dạng với ∆AIO => AK.AI = AH.AO Tam giác ∆AMO vuông tại M có đường cao MH => AH.AO = AM2 => AK.AI = AM2 . Do AN = AM => AB.AC = AK.AI 3) Đường thẳng qua M và vuông góc với đường thẳng ON cắt (O) tại điểm thứ hai là P. Xác định vị trí của điểm A trên tia đối của tia BC để AMPN là hình bình hành. Ta có AN  NO, MP  NO, M  AN => AN // MP Do đó AMPN là hình bình hành  AN = MP = 2x AN NO 2x2   NE  Tam giác ∆ANO đồng dạng với ∆NEM => NE EM R 2 2x  R  R2  x2  2x2  R2  R R2  x2 TH 1.NE = NO – OE => R Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Đặt R2  x2  t , t  0  x2  R2  t 2 .  2t   R PTTT 2( R 2  t 2 )  R 2  R t  2t 2  Rt  R 2  0   t  R Do t  0  t  R  R2  x 2  R  x  0  A  B (loại) 2x2 TH 2 NE = NO + OE =>  R  R2  x2  2x2  R2  R R2  x2 R Đặt R2  x2  t , t  0  x2  R2  t 2 .  2t  R PTTT 2( R 2  t 2 )  R 2  Rt  2t 2  Rt  R 2  0   t   R R 3 Do t  0  2t  R  2 R 2  x 2  R  x   AO  2R (loại) 2 Vậy A thuộc BC, cách O một đoạn bằng 2R thì AMPN là hbh Câu V (1,0 điểm) Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện (a  b)3  4ab  12. 1 1 Chứng minh bất đẳng thức   2015ab  2016. 1 a 1 b  Ta có 12  (a  b)3  4ab  2 ab   4ab . Đặt t  3 ab , t  0 thì 12  8t 3  4t 2  2t 3  t 2  3  0  (t  1)(2t 2  3t  3)  0 Do 2t 2  3t  3  0, t nên t 1  0  t  1 . Vậy 0  ab  1 1 1 2 Chứng minh được   , a, b  0 thỏa mãn ab  1 1  a 1  b 1  ab 1 1 1 1 Thật vậy, BĐT    0 1  a 1  ab 1  b 1  ab  b  a  a ab  a ab  b b    0       (1  a)(1  ab ) (1  b)(1  ab )  1  ab  1  a 1  b  ( b  a )2 ( ab  1)   0. Do 0  ab  1 nên BĐT này đúng (1  ab )(1  a)(1  b) 2 Tiếp theo ta sẽ CM  2015ab  2016, a, b  0 thỏa mãn ab  1 1  ab 2 Đặt t  ab ,0  t  t ta được  2015t 2  2016 1 t 3 2 2015t  2015t  2016t  2014  0  (t  1)(2015t 2  4030t  2014)  0. BĐT này đúng t : 0  t  1 1 1 Vậy   2015ab  2016. Đẳng thức xảy ra a = b = 1 1 a 1 b Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt