Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ
Mã ký hiệu: Năm học : 2008-2009
Đ01T- 08 - TS10CT Môn thi : Toán
Thời gian làm bài :150 phút
( Đề này gồm 05 câu, 01 trang)
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau :
P = 62322
62
62322
232
xx
x
xx
x
Bài 2: Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a)
2
12
2
22
xxy
yx b) 341 xx
Bài 3: Chứng minh rằng :
2009
2007
200820074015
1
437
1
325
1
213
1
Bài 4 : BC là dây cung không là đường kính của đường tròn tâm O . Một điểm A di động trên
cung lớn BC sao cho tâm O luôn nằm trong tam giác ABC, các đường cao AD, BE, CF của tam
giác ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh các tam giác AEF và ABC đồng dạng
b) Gọi A' là trung điểm của BC, chứng minh AH = 2OA'
c) Gọi A1 là trung điểm của EF, chứng minh : R.AA1 = AA'.OA'
d) Chứng minh rằng R(EF + FD + DE) = 2SABC từ đó tìm vị trí của A để tổng (EF + FD +
DE) lớn nhất.
Bài 5 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2
Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + 2abc < 2
……………………..Hết………………………
Mã ký hiệu: Hướng dẫn chấm
HD01T- 08 - TS10CT Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ
Bài 1: (2,5 điểm)
Có : A =
22322
232
62322
232
x
x
xx
x
cho 0,25 điểm
A =
322
232
x
x cho 0,25 điểm
Tương tự có:
B =
223
62
62322
62
x
x
xx
x cho 0,25 điểm
Từ đó
Tập xác định là x 0
và 9
x cho 0,25 điểm
Ta có P = A+B =
223
62
322
232
x
x
x
x
=
2233
3623232
xx
xxxx cho 0,5 điểm
=
229
182362292362
x
xxxxxx Cho 0,25 điểm
=
9
9
229
229
x
x
x
x Cho 0,25 điểm
Vậy P =
9
9
x
x Với x 0
và x 9
Cho 0, 25 điểm
Bài 2 ( 4,5 điểm)
a, Từ hệ
2
12
2
22
xxy
yx
xy +x 222 24 yx cho 0,25 điểm
023 22 yxyx (*) cho 0,25 điểm
- Nếu y = 0 ta được :
2
2
1
2
2
x
x hệ này vô nghiệm cho 0,25 điểm
- Nếu y ≠ 0 ta có : (*) 3 02
2
y
x
y
x cho 0,25 điểm
3
2
1
y
x
y
x
cho 0,5 điểm
Vậy hệ đã cho tương đương với
12 22 yx
yx hay
12
3
2
22 yx
yx cho 0,25 điểm
Giải hệ đầu ta được (x; y) = (1; 1) hay (x ; y) = (-1 ; -1) cho 0,25 điểm
Hệ sau vô nghiệm cho 0,25 điểm
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm là x = y = 1 hoặc x = y = -1 cho 0,25 điểm
b) Điều kiện - 4 x 1 cho 0,25 điểm
Phương trình tương đương với : (vì cả 2 vế đều không âm)
93425 2 xx cho 0,25 điểm
234 2 xx cho 0,25 điểm
4- 3x - x2 = 4 cho 0,25 điểm
x2 +3x = 0 cho 0,25 điểm
x(x + 3) = 0 cho 0,25 điểm
x = 0 hoặc x = -3 cho 0,25 điểm
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0 hoặc x = -3 cho 0,25 điểm
Bài 3 : (3điểm)
Ta có với n 1 thì
144
12
112
2
2
nn
nn
nnn cho 0,5 điểm
<
1
11
12
12
n
n
nn
nn cho 0,5 điểm
Từ đó ta có :
Sn =
112
2
325
1
213
1
nnn
< 1- 44
2
1
44
2
1
1
1
2
nn
nn cho 0,75 điểm
= 1-
2
2
2
n
n
n
cho 0,5 điểm
Vậy Sn <
2
n
n cho 0,25 điểm
Áp dụng cho n = 2007 ta có S2007 <
2009
2007 là điều phải chứng minh ( 0,5 điểm)
Bài 4 : Hình vẽ đúng cho 0,25 điểm
C
B
A
E
F
D
x
O
H
A'
A
1
a) Chứng minh AEF đồng dạng ABC.
Có E, F cùng nhìn BC dưới một góc vuông nên E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC
Cho 0,25 điểm
góc AFE = góc ACB (cùng bù góc BFE) cho 0,25 điểm
AEF đồng dạng ABC (g.g) cho 0,25 điểm
b) Vẽ đường kính AK
Có BE AC
(gt)
KC
AC (Vì góc ACK = 90 0 ) cho 0,25 điểm
BE // KC cho 0,25 điểm
Tương tự CH // BK cho 0,25 điểm
Do đó tứ giác BHCK là hình bình hành cho 0,25 điểm
HK là đường chéo nên đi qua trung điểm A' của đường chéo BC.
H, A', K thẳng
hàng. cho 0,25 điểm
Xét tam giác AHK có A'H = A'K
OA = OK cho 0,25 điểm
Nên OA' là đường trung bình
AH = 2 A'O cho 0,25 điểm
c, Áp dụng tính chất: nếu 2 tam gác đồng dạng thì tỉ số giữa 2 trung tuyến tương ứng, tỉ số giữa 2
bán kính các đường tròn ngoại tiếp bằng tỉ số đồng dạng nên ta có:
cho 0,25 điểm
AEF đồng dạng ABC
'
R
R =
1
'
AA
AA cho 0,25 điểm
Trong đó R là bán kính của đường tròn tâm O
R' là bán kính đường tròn ngoại tiếp AEF cho 0,25 điểm
cũng là đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF cho 0,25 điểm
R. AA1 = R'. AA' =
2
AH .AA' cho 0,5 điểm
= AA'.
2
'2OA = AA'. OA' cho 0,25 điểm
Vậy R.AA1 = AA'. OA' cho 0,25 điểm
d, Trước hết ta chứng minh OA
EF
vẽ tiếp tuyến Ax của đường tròn tâm O
Ta có OA
Ax cho 0,25 điểm
Vì góc xAB = Góc BCA
mà góc BCA = góc EFA (cmt)
góc EFA = góc xAB cho 0,25 điểm
EF// Ax cho 0,25 điểm
OA
EF cho 0,25 điểm
Chứng minh tương tự có OB
DF và OC
ED
Ta có S ABC = S OEAF + S OFBD +S ODCE
=
2
1OA. EF +
2
1OB. FD +
2
1OC.DE cho 0,25 điểm
=
2
1R( EF + FD + DE ) (vì OA = OB = OC = R)
K
R (EF + FD + DE) = 2 S ABC cho 0,25 điểm
EF + FD + DE =
R
SABC
2
Nên EF + FD + DE lớn nhất
S ABC lớn nhất cho 0,25 điểm
Lại có S ABC =
2
1BC.h (h là đường vuông góc hạ từ A đến BC) S ABC lớn nhất h
lớn nhất
ABC là tam giác cân A là điểm chính giưã c
ủa cung AB lớn.
cho 0,25 điểm
Bài 5: (3 điểm)
Vì a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi là 2 nên ta có: 0 < a; b, c 1
(cho 0,25 điểm)
a - 1
0 ; b - 1
0; c-1
0 cho 0,25 điểm
( a -1) (b -1) (c -1)
0
( ab - a - b +1) ( c -1)
0 cho 0,25 điểm
abc - (ab + ac + bc) + (a + b + c) - 1
0 cho 0,25 điểm
2abc - 2(ab + ac + bc) + 2( a + b +c)
2 cho 0,25 điểm
2abc - 2(ab + ac + bc) +2.2
2 cho 0,25 điểm
2abc - 2(ab + ac + bc) + (a +b +c) 2
2 cho 0,5 điểm
2abc - 2(ab + ac + bc) + a 2 + b 2 + c 2 +2(ab + ac + bc)
2 (cho 0,25 điểm)
2abc + a 2 + b 2 + c 2
2 (đpcm) cho 0,25 điểm
Chú ý: đối với các bài nếu có cách giải khác mà làm đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Đối với bài hình học sinh có thể sử dụng nhiều hình vẽ khác nhau cho các ý và ở ý 4
có thể sử dụng công thức tính diện tích của tứ giác có 2 đường chéo vuông góc mà không cần
chứng minh lại.