Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên môn Toán năm 2022-2023 có đáp án - Sở GD&ĐT tỉnh Hà Nam

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn học sinh củng cố lại phần kiến thức đã học, cũng như làm quen với cấu trúc ra đề thi và xem đánh giá năng lực bản thân qua việc hoàn thành đề thi. Mời các bạn cùng tham khảo “Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên môn Toán năm 2022-2023 có đáp án - Sở GD&ĐT tỉnh Hà Nam” dưới đây để có thêm tài liệu ôn thi. Chúc các em thi tốt!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên môn Toán năm 2022-2023 có đáp án - Sở GD&ĐT tỉnh Hà Nam

UBND TỈNH HÀ NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2022-2023 Môn: Toán (Đề chung) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Câu I. (2,0 điểm) 1 1. Rút gọn biểu thức = A + 6 + 2 5 − 20. 5−2  1 2 x  2 x +6 2. Cho biểu =thức B  + . (với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 9 ).  x +3 x−9 x −1 Rút gọn biểu thức B và tìm giá trị của x để B = 3. Câu II. (2,0 điểm) 1. Giải phương trình x 2 − 6 x − 7 =0. 2 ( x + 1) + y = 5 2. Giải hệ phương trình  .  x ( x + 2 ) + 2 y =2 + x 2 Câu III. (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol ( P ) có phương trình y = 4 x 2 và đường thẳng (d ) có phương trình = y 2 x + b (với b là tham số). Xác định b để đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) tại điểm có hoành độ bằng −1 . 2. Cho phương trình x 2 + 2 ( m + 1) x + m 2 − m − 5 =0 (với m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12 − 2 ( m + 1) x2 + m 2 − m − 5 = 16. Câu IV. (3,5 điểm) Cho đường tròn ( O; R ) đường kính AB, lấy điểm M bất kì trên đường tròn ( M khác A và B ). Qua điểm H thuộc đoạn OB ( H khác O và B ) kẻ đường thẳng d vuông góc với AB, đường thẳng d cắt các đường thẳng MA, MB lần lượt tại các điểm D, C. 1. Chứng minh bốn điểm A, M , C , H cùng thuộc một đường tròn. 2. Tia AC cắt đường tròn ( O; R ) tại điểm E . Chứng minh ba điểm D, E , B thẳng hàng. 3. Tiếp tuyến của đường tròn ( O; R ) tại điểm M cắt đường thẳng d tại điểm I . Chứng minh IE là tiếp tuyến của đường tròn ( O; R ) . 4. Khi điểm M di động trên đường tròn ( O; R ) . Chứng minh đường thẳng ME luôn đi qua điểm cố định. Câu V. (0,5 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y ≤ z . Tìm giá trị nhỏ nhất  2 2 của biểu thức P = ( x 2 + y 2 + z 2 )  2 2 + 2 + 2 . x y z  --- HẾT--- Thí sinh không được sử dụng tài liệu, người coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…………………………………...Số báo danh:...................................... Người coi thi số 1…………………………Người coi thi số 2……………..........................
1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NAM Năm học 2022-2023 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (ĐỀ CHUNG) Lưu ý: - Các cách giải đúng khác đáp án cho điểm tương ứng theo hướng dẫn chấm. - Tổng điểm toàn bài không làm tròn. Câu Ý Nội dung Điểm 1 1. Rút gọn biểu thức = A + 6 + 2 5 − 20. 5−2 5+2 ( 5) 2 =A + + 2. 5 + 1 − 4.5 1 ( )(5−2 ) 5+2 0,25 (1,0 điểm) 5+2 + ( 5 + 1) − 2 2 = 5 0,25 5−4 = 5 + 2 + 5 +1− 2 5 0,25 = 3. 0,25 1  2 x  2 x +6 2. Cho biểu= thức B  + . (với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 9 ).  x +3 x−9 x −1 I Rút gọn biểu thức B và tìm giá trị của x để B = 3. (2,0 điểm) =B   1 + 2 x  2 x +3 . ( )  x +3  x +3 x −3 (  x −1 )( ) 0,25 2 x −3+ 2 x 2( x + 3) (1,0 điểm) = . ( x +3 )( x −3 ) x −1 = 3 x −3 . 2 ( x +3 ) = 6 ( )( ) 0,25 x +3 x −3 x −1 x −3 6 B = 3⇒ = 3⇔ x −3= 2 0,25 x −3 ⇔ x = 5 ⇔ x = 25 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 1. Giải phương trình x 2 − 6 x − 7 = 0. 1 Có a − b + c = 1 − ( −6 ) + ( −7 ) = 1 + 6 − 7 = 0 0,5 (1,0 điểm) Nên phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = −1, x2 = 7 0,5 II 2 ( x + 1) + y = 5 (2,0điểm) 2. Giải hệ phương trình  .  x ( x + 2 ) + 2 y =2 + x 2 2 (1,0 điểm) 2 ( x + 1) + y = 5 2 x + 2 + y = 5  ⇔  2 0,25  x ( x + 2 ) + 2 y =2 + x  x + 2 x + 2 y =2 + x 2 2
2 2 x + y = 3 2 x + y = 3 ⇔ ⇔ 0,25 2 x + 2 y = 2 x + y = 1 x = 2 ⇔ 0,25 x + y = 1 x = 2 ⇔ . Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y=) ( 2; −1) 0,25  y = −1 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol ( P ) có phương trình y = 4 x 2 và đường thẳng ( d ) có phương trình = y 2 x + b (với b là tham số). Xác định b để đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) tại điểm có hoành độ bằng −1 . Thay x = −1 vào ( P ) : y = 4 x 2 ta được y =4 ( −1) =4 2 0,25 1 (1,0 điểm) Thay x = −1 và y = 4 vào ( d ) : = y 2 x + b ta được 0,25 4 = 2 ( −1) + b ⇔b= 6 0,25 Vậy b = 6 thì đường thẳng d cắt parabol ( P ) tại điểm có hoành độ 0,25 bằng −1 . 2. Cho phương trình x 2 + 2 ( m + 1) x + m 2 − m − 5 =0 (với m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn III (2,0 điểm) x12 − 2 ( m + 1) x2 + m 2 − m − 5 = 16. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆′ > 0 0,25 ⇔ ( m + 1) − m 2 + m + 5 > 0 ⇔ 3m + 6 > 0 ⇔ m > −2 (*) 2 0,25 Vì x1 là 1 nghiệm của phương trình đã cho nên 2 x12 + 2 ( m + 1) x1 + m 2 − m − 5 =0 (1,0 điểm) Kết hợp với giả thiết ta được 2 ( m + 1) x1 + 2 ( m + 1) x2 = 0,25 −16 ⇔ 2 ( m + 1)( x1 + x2 ) = −16 ⇔ 2 ( m + 1) ( −2 ( m + 1) ) = −16 ⇔ 4 ( m + 1) = 16 ⇔ ( m + 1) = 2 2 4 0,25 m = 1 ⇔ . Kết hợp với (*) , vậy m = 1.  m = −3 Cho đường tròn ( O; R ) đường kính AB, lấy điểm M bất kì trên đường tròn ( M khác A IV (3,5 điểm) và B ). Qua điểm H thuộc đoạn OB ( H khác O và B ) kẻ đường thẳng d vuông góc với AB, đường thẳng d cắt các đường thẳng MA, MB lần lượt tại các điểm D, C.
3 (Học sinh không vẽ hình ý nào sẽ không được chấm điểm ý đó) 1. Chứng minh bốn điểm A, M , C , H cùng thuộc một đường tròn. Ta có  AMB= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay  AMC= 90° 0,25 1 Lại có CH ⊥ AB tại H (giả thiết) ⇒  AHC =° 90 0,25 (1,0 điểm) Xét tứ giác AMCH có  AMC +  AHC = 180° 0,25 Suy ra tứ giác AMCH nội tiếp. Vậy bốn điểm A, M , C , H cùng 0,25 thuộc một đường tròn. 2. Tia AC cắt đường tròn ( O; R ) tại điểm E . Chứng minh ba điểm D, E , B thẳng hàng. Có  AEB= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ AE ⊥ EB (1) . 0,25 2 Xét ∆ABD có BM ⊥ AD (vì  AMB= 90° ) và DH ⊥ AB (giả thiết) (1,0 điểm) Mà DH cắt BM tại C 0,25 Suy ra C là trực tâm của ∆ABD ⇒ AC ⊥ DB hay AE ⊥ DB ( 2 ) . 0,25 Từ (1) , ( 2 ) suy ra EB ≡ DB. Vậy D, E , B thẳng hàng 0,25 3. Tiếp tuyến của đường tròn ( O; R ) tại điểm M cắt đường thẳng d tại điểm I . Chứng minh IE là tiếp tuyến của đường tròn ( O; R ) .  + OHI Tứ giác MIHO có OMI = 90° + 90°= 180° suy ra tứ giác 0,25 3 MIHO nội tiếp đường tròn đường kính OI (1) (0,75 điểm) = Tứ giác AMCH nội tiếp (cmt) ⇒ CMH  CAH Trong ( O; R ) có EMB  = EAB )  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EB 0,25  = EMC Suy ra CMH  ⇒ HME =  2 BME  = 2 BAE Lại có HOE )  (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung EB
4 = ⇒ HOE  ⇒ tứ giác MEHO nội tiếp ( 2 ) . HME Từ (1) , ( 2 ) suy ra 5 điểm I , M , O, H , E cùng thuộc đường tròn đường kính OI ⇒ IEO = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). 0,25 ⇒ IE ⊥ OE . Vậy IE là tiếp tuyến của đường tròn ( O; R ) . 4. Khi điểm M di động trên đường tròn ( O; R ) . Chứng minh đường thẳng ME luôn đi qua điểm cố định. Gọi K là giao điểm của OI và ME ⇒ OI ⊥ ME tại K (tính chất hai tiếp tuyến). 0,25 Tam giác OMI vuông tại M và MK ⊥ OI ⇒ OM = OK .OI = R 2 2 4 Gọi P là giao điểm của AB và ME (0,75 điểm) OK OP 0,25 ∆OKP ∽ ∆OHI ⇒ = ⇒ OK .OI =OH .OP OH OI R2 ⇒ OH .OP = R ⇒ OP = 2 OH 0,25 Mà các điểm O, H cố định và R không đổi nên điểm P cố định. Vậy đường thẳng ME luôn đi qua điểm cố định Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y ≤ z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  2 2 P= (x + y2 + z2 ) 2 + 2 + 2  . 2 2 x y z  2  1 1  x2 y 2  2  1 1   x2 y 2  = ( x + y + z ) 2 + 2 + 2  = P 1 2 2 3+ 2 + 2 + z  2 + 2 + 2 + 2  2 x y z  z z  x y  y x  Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: x2 y 2 x2 y 2 0,25 + ≥ 2 . 2 , dấu “=” xảy ra ⇔ x = = y. y 2 x2 y 2 x2 P  x2 z2   y2 z 2  15 z 2  1 1  ⇒ ≥ 5+ 2 + 2  + 2 + 2  +  2+ 2 2  z 16 x   z 16 y  16  x y  V (0,5 điểm) Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: x2 z2 x2 z 2 1 2 + 2 ≥ 2 2 . 2 = , dấu “=” xảy ra ⇔ 2 x = z. z 16 x z 16 x 2 y2 z2 y2 z2 1 2 + 2 ≥ 2 2 . 2 = , dấu “=” xảy ra ⇔ 2 y = z. z 16 y z 16 y 2 1 1 2 2 8 Lại có 2 + 2 ≥ ≥ = 2 , dấu “=” xảy ra ⇔ x =y. 0,25 x y xy  x + y  2 ( x + y)    2  2 15 z 2  1 1  15 z 2 8 15  z  15 Suy ra  2 +  ≥ . =   ≥ 16  x y 2  16 ( x + y ) 2 2  x+ y 2 (vì x + y ≤ z ), dấu “=” xảy ra ⇔ x + y = z.
5 P 1 1 15 z ≥ 5 + + + ⇔ P ≥ 27 . Đẳng thức xảy ra khi x= y= 2 2 2 2 2 z Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 27 khi x= y= . 2 Trường hợp vẽ hình khác của câu IV Cho đường tròn ( O; R ) đường kính AB, lấy điểm M bất kì trên đường tròn ( M khác A và B ). Qua điểm H thuộc đoạn OB ( H khác O và B ) kẻ đường thẳng d vuông góc với AB, đường thẳng d cắt các đường thẳng MA, MB lần lượt tại các điểm D, C. IV (3,5 điểm) (Học sinh không vẽ hình ý nào sẽ không được chấm điểm ý đó) 1. Chứng minh bốn điểm A, M , C , H cùng thuộc một đường tròn. Ta có  AMB= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay 0,25  AMC= 90° 1 (1,0 điểm) Lại có CH ⊥ AB tại H (giả thiết) ⇒ AHC =° 90 0,25 Xét tứ giác AHMC có AMC=  AHC= 90° 0,25 Suy ra tứ giác AHMC nội tiếp. Vậy bốn điểm A, M , C , H cùng 0,25 thuộc một đường tròn. 2. Tia AC cắt đường tròn ( O; R ) tại điểm E . Chứng minh ba điểm D, E , B thẳng hàng. Có  AEB= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ AE ⊥ EB (1) . 0,25 2 Xét ∆ABD có BM ⊥ AD (vì  AMB= 90° ) (1,0 điểm) và DH ⊥ AB (giả thiết) 0,25 Mà DH cắt BM tại C Suy ra C là trực tâm của ∆ABD ⇒ AC ⊥ DB hay AE ⊥ DB ( 2 ) . 0,25 Từ (1) , ( 2 ) suy ra EB ≡ DB. Vậy D, E , B thẳng hàng 0,25
6 3. Tiếp tuyến của đường tròn ( O; R ) tại điểm M cắt đường thẳng d tại điểm I . Chứng minh IE là tiếp tuyến của đường tròn ( O; R ) . Tứ giác MIOH có OMI= OHI = 90° suy ra tứ giác MIOH nội tiếp đường tròn đường kính OI (1) 0,25 + Tứ giác AEDH nội tiếp ( AED AHD = = 180° ) ⇒ DEH  DAH Trong ( O; R ) có MEB  = MAB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB) 3 (0,75 điểm)  ⇒ HEM  = MEB =  0,25 Suy ra DEH 2 BEM  = 2 BAM Lại có HOM )  (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung MB = ⇒ HOM  ⇒ tứ giác EMHO nội tiếp ( 2 ) . HEM Từ (1) , ( 2 ) suy ra 5 điểm I , M , O, H , E cùng thuộc đường tròn đường kính OI ⇒ IEO = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). 0,25 ⇒ IE ⊥ OE . Vậy IE là tiếp tuyến của đường tròn ( O; R ) . 4. Khi điểm M di động trên đường tròn ( O ) . Chứng minh đường thẳng ME luôn đi qua điểm cố định. Gọi K là giao điểm của OI và ME ⇒ OI ⊥ ME tại K (tính chất hai tiếp tuyến). 0,25 Tam giác OMI vuông tại M và MK ⊥ OI ⇒ OM = OK .OI = R 2 2 4 Gọi P là giao điểm của AB và ME (0,75 điểm) OK OP 0,25 ∆OKP ∽ ∆OHI ⇒ = ⇒ OK .OI =OH .OP OH OI R2 ⇒ OH .OP = R ⇒ OP = 2 OH 0,25 Mà các điểm O, H cố định và R không đổi nên điểm P cố định. Vậy đường thẳng ME luôn đi qua điểm cố định