Đề toán học lớp 12 - đề 1

Chia sẻ: Hoàng Minh Quân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

82
lượt xem 14
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo về Đề toán học lớp 12 dành cho các bạn học sinh lớp 12 các bạn yêu toán tham khảo...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề toán học lớp 12 - đề 1

Đ ra kì này - T p chí Kvant 01-2001 Nhóm d ch thu t Kvant - C ng đ ng MathVn http://mathvn.org M1756. Cho các s t nhiên khác nhau sao cho v i 3 s b t kì thì có 2 s mà s này chia h t cho s kia. Ch ng t r ng, t t c các s đó có th tô b ng 2 màu sao cho n u hai s cùng màu thì m t s này chia h t cho m t s kia. E. Cherepanov M1757*. M t đa giác l i có th b c t ra thành 22 hình bình hành. Ch ng t r ng đa giác này cũng có th b c t ra thành 15 hình bình hành. V. Proizvolov M1758. M i ngh sĩ đ u có t l ng h c a mình. Giai đo n đ u sau khi b u ch n, m i ngh sĩ n m trong m t đ ng, mà trong đó ông ta có th ki m kê đư c t l ng h c a mình. Ngh sĩ có th chuy n t m t đ ng sang m t đ ng khác mà đó t l ng h tương ng c a anh ta tăng lên. Gi s trong m i giai đo n ch có th x y ra m t l n chuy n như v y. Ch ng t r ng sau giai đo n cu i cùng thì các s chuy n đ i t l ng h như v y cũng k t thúc. V. Ilichev M1759. Có m t tam giác nh n v i c nh bé nh t là c đ i di n v i góc tương ng là γ . Bi t r ng tam giác có th tô b ng 2 màu sao cho kho ng các gi a hai đi m cùng màu không l n hơn c. Ch ng t r ng γ ≥ 36. A. Evnin M1760. B ng vuông n × n ô g i là "kỳ l " n u th a mãn tính ch t: b t kì n s nào c a b ng sao cho b t kì hàng và c t nào c a b ng đ u có ch a m t m t s trong chúng thì các s này cho m t t ng c đ nh. Ch ng t r ng m i b ng vuông kỳ l có th bi u di n thành t ng hai b ng vuông khác sao cho m t trong chúng thì trong m i c t các s đ u b ng nhau, cái còn l i thì trong m i hàng các s đ u b ng nhau. Thí d :     341 230 111  6 7 4 = 2 3 0 + 4 4 4  563 230 333 V. Proizvolov M1761. M t o thu t gia có 100 t m phi u, đư c đánh s t 1 đ n 100. Ông ta s p x p các t m phi u này vào ba chi c h p màu đ , tr ng và xanh sao cho trong m i h p có ít nh t m t quân bài. M t khán gi ch n ra hai chi c h p và rút l n lư t t m i chi c h p m t t m phi u và đ c cho m i ngư i bi t t ng các s ghi trên chúng. Khi bi t t ng này, o Typeset by TEX 1
thu t gia ngay l p t c xác đ nh đư c chi c h p nào không có t m nào b rút ra. H i có bao nhiêu cách s p x p các t m phi u vào các h p đ cho trò o thu t này luôn thành công? Hungaria M1762. T n t i hay không s t nhiên n sao cho n có đúng 2000 ư c s nguyên t khác nhau và 2n + 1 chia h t cho n? V. Senderov M1763*. Gi s CH1 , CH2 , CH3 là các đư ng cao c a tam giác nh n ABC . Đư ng tròn n i ti p trong tam giác ABC ti p xúc v i các c nh c a nó t i các đi m T1 , T2 , T3 tương ng. Các đư ng th ng l1 , l2 , l3 là nh c a các đư ng th ng H2 H3 , H3 H1 , H1 H2 qua các phép đ i x ng v i các tr c tương ng T2 T3 , T3 T1 , T1 T2 . Ch ng t r ng các đư ng th ng l1 , l2 , l3 t o thành m t tam giác v i các đ nh n m trên đư ng tròn n i ti p tam giác ABC . T. Emelianova M1764. Gi s hàm s f : [0, 1] → R th a mãn đi u ki n: f (0) = 0, f (1) > 0, f đơn đi u tăng trên [0, 1] và v i b t kì x1 , x2 ∈ [0.1] sao cho x1 + x2 ∈ [0, 1] thì có b t đ ng th c sau f (x1 ) + f (x2 ) ≥ f (x1 + x2 ) Ch ng t r ng, khi đó dãy s 1 1 1 sn = f (1) + f ( ) + f ( ) + ... + f ( ), n = 1, 2, 3... 2 3 n không b ch n. V. Popov M1765. Các c nh c a m t t di n đ u b ng 1. Cho các trư ng h p a. Trên các c nh có 5 đi m đư c đánh d u. b. Trên các m t có 9 đi m đư c đánh d u. c. Trong t di n có 9 đi m đư c đánh d u. Ch ng t r ng trong m i trư ng h p luôn tìm đư c hai đi m đư c đánh d u sao cho kho ng cách gi a chúng không vư t quá 0,5. V. Proizvolov 2
Đ ra kì này - T p chí Kvant 02-2001 Nhóm d ch thu t Kvant - C ng đ ng MathVn http://mathvn.org M1766. Trên m t bàn c vua vô h n có m t quân h u và m t quân vua khác màu, sao cho quân vua không đư c đi theo đư ng chéo. Chúng đư c đi l n lư t. Có th hay không trư ng h p quân vua không s m thì mu n cũng b chi u tư ng. A. Shapovalov. M1767. Trong hình vuông ABCD l y hai đi m P, Q sao cho ∠P AQ = ∠P CQ = 45◦ (Xem hình). Ch ng minh r ng P Q2 = BP 2 + QD2 V. Proizvolov. M1768. a. Phân b các s 1,2,3,...,100 trên m t hàng theo m t th t sao cho m t vài b t kì (không ph i t t c ) t nh ng s này có t ng các ch s th t không trùng v i t ng các giá tr c a chúng. b. Trên các gh trong m t chi c xe đi n g m, các hành khác có th ng i b t c v trí nào mà h mu n. T ng k t l i t t c các gh có ngư i ng i thì v i m t nhóm không nhi u hơn 100 hành khách b t kì thì trung bình c ng các ch s ghi trên các gh mà h ng i l n hơn 1 đơn v so v i trung bình c ng các s ghi trên vé c a h . H i s gh t i thi u có th đư c là bao nhiêu? S. Tokarev. M1769. 2n đ u mút c a các dây cung không giao nhau phân chia đư ng tròn thành 4n cung b ng nhau. Ch ng t r ng gi a các dây cung này t n t i 2 dây cung song song v i nhau. V. Proizvolov. Typeset by TEX 1
M1770. Cho trư c m t đa th c b c 10 v i các h s là các ch cái. Hai ngư i thay l n lư t h s ch cái b t kì thành b i m t h s ch s . Đa th c nh n đư c là A(x). Đ t a1 = maxA(x) v i x ∈ [−1, 0], và a2 = maxA(x) v i x ∈ [0, 1]. N u a1 > a2 thì ngư i chơi đ u tiên th ng, n u a1 < a2 thì ngư i còn l i th ng. H i ai là ngư i chi n th ng trong trò chơi này? N. Vasilev, B. Ginzburg 2
Đ ra kì này - T p chí Kvant 03-2001 Nhóm d ch thu t Kvant - C ng đ ng MathVn http://mathvn.org M1771. Chia s 111...11 (có 3n ch s 1) cho 3n nh n đư c s M . Ch ng t r ng M nguyên và nó có th phân tích thành n nhân t khác nhau. D. Mamediarov M1772. M i s a1 , a2 , ..., a2n , a2n+1 b ng 2, 5 ho c 9 và a1 = a2n+1 , hai s liên ti p nhau thì ph i khác nhau. Ch ng minh đ ng th c: a1 a2 − a1 a3 + a3 a4 − ... + a2n−1 a2n − a2n a2n+1 = 0 V. Proizvolov M1773. Chi u cao CD và phân giác AE c a tam giác vuông ABC (∠C = 90◦ ) c t nhau t i F . Đ t G là giao đi m c a ED và BF . Ch ng t r ng di n tích c a t giác CEGF và tam giác BDG b ng nhau. Y. Jyk M1774. Đ c vua c a m t đ t nư c c tích n m i các tên ăn th t ngư i trong đ t nư c c a mình đ n d y n ti c. Gi a chúng có nh ng tên mu n ăn nh ng tên ăn th t ngư i khác (n u như tên ăn th t ngư i A mu n ăn tên ăn th t ngư i B thì không ch c suy ra đư c B mu n ăn A). Bi t r ng m t dãy đư c l p nh ng tên ăn th t ngư i sao cho tên th nh t mu n ăn tên th hai, tên th hai mu n ăn tên th ba,.. thì có đ dài l n nh t là 6. Ch ng t r ng đ c vua có th s p nh ng tên ăn th t ngư i này vào 6 phòng sao cho trong m i phòng không có ai mu n ăn th t ai c . O. Melnikov. M1775. a. T n t i hay không m t hình vuông mà t t c các đ nh và t t c các trung đi m c a các c nh c a nó n m trên hyperbol xy = ±1? b. Ch ng t r ng t n t i vô h n các hình bình hành, sao cho m t trong các đ nh c a m i hình bình hành này là g c t a đ , hai đ nh khác n m trên hyperbol xy = 1, và đ nh còn l i n m trên xy = −1. √ c. Ch ng t r ng di n tích c a m i hình bình hành như v y b ng 5. −→ − d. Xét v i b t kì hình bình hành OABC như v y, t p h p các đi m M sao cho OM = −→− − → k OA + lOC v i k, l nguyên, g i là lư i sinh ra b i hình bình hành này. Ch ng t r ng ph n trong gi i h n b i các hyperbol xy = ±1 không ch a b t kì đi m nào c a lư i này tr g c t ađ . N. Ocinov Typeset by TEX 1
M1776. M t gi trư c m i anh em trai trong m t gia đình cãi nhau cùng m t s lư ng các ch em gái, còn m i ch em gái cãi nhau v i m t s lư ng các anh em trai khác nhau. Bây gi thì m t s trong h gi ng hòa v i nhau và m i ch em gái l i cãi nhau v i cùng m t s lư ng các anh em trai, và m t anh em trai cãi nhau v i m t s lư ng các ch em gái nhau. H i có bao nhiêu anh em trai, ch em gái trong gia đình phi n ph c này? Y. Akulich, A. Jukov M1777. Trong hình vuông đơn v n i ti p m t t giác, v i các đ nh n m trên các c nh c a hình vuông này. Trong tam giác vuông t o b i các c nh c a hình vuông và t giác, l y 4 đư ng tròn n i ti p các tam giác này. Ch ng minh r ng t ng bán c a b n đư ng tròn √ này không vư t quá 2 − 2, và đ t đư c giá tr này khi và ch khi các c nh c a t giác n i ti p song song v i các đư ng chéo c a hình vuông. V. Proizvolov M1778. Trên b ng vi t s ph c 1 + i. Th c hi n m t s l n b t kì và theo m t th t b t kì các phép toán dư i đây: 1. Xóa đi m t s b t kì a + bi và vi t thay vào đó 2 s b ng (a + 1) + bi. 2. Xóa đi m t s b t kì a + bi và vi t thay vào đó 3 s b ng (a + 1) + bi, a + (b + 1)i, (a + 1) + (b + 1)i. 3. Xóa đi m t s b t kì a + bi và vi t thay vào đó 4 s , trong đó 2 s b ng a + (b + 1)i, và 2 s b ng (a + 1) + (b + 1)i. Sau m t vài phép toán như v y thì modul c a t t c các s đư c vi t trên b ng l n hơn 3. Ch ng t r ng gi a chúng ph i có hai s b ng nhau. Y. Voronovich, Y. Akulich M1779. Tìm t t c các đa th c f trong các trư ng h p a. f (x) + f (y ) = f (x + y ) b. af (x) = f (2001x), v i a là m t s cho trư c. c. af (x) + bf (y ) = f (cx + dy ) v i a, b, c, d là các s cho trư c. V. Senderov. M1780*. M i đi m c a m t c u đư c tô mà đ ho c xanh. Ch ng minh r ng có th tìm đư c ba đi m cùng màu là ba đ nh c a m t tam giác đ u. V. Proizvolov. 2
Đ ra kì này - T p chí Kvant 04-2001 Nhóm d ch thu t Kvant - C ng đ ng MathVn http://mathvn.org M1781. Ngư i trư ng b ph n b o v mu n s p x p các v ng gác xung quanh doanh tr i sao cho không ai có th lén lút đ n g n doanh tr i cũng như không th đ n g n các v ng gác mà không b phát hi n. Bi t b ng trên m i v ng gác có m t ng n đèn pha, có t m chi u kho ng 100 m. Li u ý đ nh c a ngư i này có th th c hi n đư c không? V. Klentsyn. M1782. Ch ng t r ng v i b t kì s t nhiên n t n t i ch m t s h u h n nghi m c a b t đ ng th c |x! − y y | < n, x, y là s t nhiên. S. Zlobin. M1783. Trong tam giác ABC d ng đư ng cao AH , phân giác BL và trung tuy n CM . Bi t r ng tam giác HM L đ u, ch ng minh tam giác ABC cũng đ u. R. Jenodarov. M1984. Trên b ng vi t s n các s nguyên t 1 đ n 2000. a. Xóa ng u nhiên 998 s . Ch ng minh r ng gi a các s còn l i có th ch ra m t b s (bao g m không ít hơn hai s ) mà t ng c a chúng cũng có m t trên b ng. b. Xóa ng u nhiên 89 s . Ch ng t r ng gi a các s còn l i có th ch ra 20 s sao cho t ng c a chúng cũng có m t trên b ng. H i kh ng đ nh còn đúng không n u xóa thêm m t s n a. F. Shleyfer. M1985. Trên hòn đ o n là lãnh th c a các công qu c a. Lãnh th c a các công qu c này trên b n đ c a đ o đư c th hi n b ng các tam giác đ u. Ch ng minh r ng b ng cách tô màu đúng b n đ (không có hai công qu c láng gi ng nào mà đư c tô cùng màu) thì ch c n 2 màu là đ . b. Lãnh th c a các công qu c đư c bi u di n b ng các tam giác vuông cân trên b n đ c a đ o. Ch ng minh r ng v i cách tô màu đúng thì ch c n 4 màu là đ . V. Proizvolov. Typeset by TEX 1
Đ ra kì này - T p chí Kvant 05-2001 Nhóm d ch thu t Kvant - C ng đ ng MathVn http://mathvn.org M1786. Trên m t ph ng cho các 6 đi m sao cho không có 3 đi m nào trong s chúng th ng hàng, hơn n a kho ng các gi a hai đi m b t kì đôi m t khác nhau. Ch ng t r ng gi a các tam giác v i các đ nh l y t 6 đi m này thì có th tìm đư c hai tam giác v i c nh chung sao cho đ i v i tam giác này là c nh l n nh t, đ i v i tam giác kia là c nh nh nh t. C. Pukshin. M1787*. V i p và q là các s t nhiên, l n hơn 1. Bi t r ng, q 3 − 1 chia h t cho p, và 3 p − 1 chia h t cho q . Ch ng t r ng p = q 2 + 1 ho c p = q 2 + q + 1. N. Ocinov. M1788. Trong tam giác ABC đi m I là tâm đư ng tròn n i ti p, A , B , C là ti p đi m c a đư ng tròn này v i các c nh BC, CA, AB . Đư ng th ng AA và BB giao nhau t i đi m P , AC và A C giao nhau tai đi m M , BC và B C t i đi m N . Ch ng minh r ng IP và M N vuông góc nhau. A. Zaslavskij. M1789. a. Cho 100 qu cân v i kh i lư ng 1, 2,...,100g. Ch n t chúng 50 qu cân sao cho t ng kh i lư ng b ng t ng kh i lư ng các qu còn l i và không có hai qu nào có hi u kh i lư ng là 50. Ch ng minh r ng có th ch n ra hai qu cân sao cho t ng kh i lư ng b ng 101g. b. Cho 200 qu cân v i kh i lư ng 1,2,...,200g. Ch n t chúng 100 qu cân sao cho t ng kh i lư ng b ng t ng kh i lư ng các qu còn l i. Không có hai qu nào có hi u kh i lư ng là 100g và t ng kh i lư ng b ng 201g. Ch ng minh r ng 50 qu cân nh nh t có t ng kh i lư ng là 2525g. V. Proizvolov. M1790. Trên m t ph ng cho m t s lư ng các tam giác đ u, sao cho m i tam giác có m t c nh màu xanh, m t c nh màu vàng, m t c nh màu đ . Ta ti n hành đính li n các tam giác này v i nhau b ng cách đính li n các c nh cùng màu, ho c m t ph n các c nh cùng màu v i nhau gi a hai tam giác sao cho t o ra đư c m t tam giác đ u l n ∆. Ch ng minh r ng trên biên c a tam giác đ u l n ∆ t ng đ dài các ph n c nh c a m i màu đ u b ng nhau. S. Volchenkov. M1791. a. Trên m t ph ng cho 5 đư ng tròn sao cho 4 đư ng tròn b t kì đ u có ti p tuy n chung. Li u chăng t t c 5 đư ng tròn này có ti p tuy n chung. b. Trên m t ph ng cho n đư ng tròn sao cho 5 đư ng tròn b t kì đ u có ti p tuy n chung. Typeset by TEX 1
Ch ng minh r ng t t c n đư ng tròn này đ u có ti p tuy n chung. V. Proizvolov. M1792. Trong m t căn phòng có 2n + 1 ngư i, sao cho v i n ngư i b t kì luôn t n t i m t ngư i quen v i t t c n ngư i này. Ch ng minh r ng, có m t ngư i quen v i t t c các ngư i trong phòng này. S. Berlov. M1793. Cho ma phương kích thư c n × n đư c đ t các ch s 1, 2, ..., n2 m i ô. V i hai ô b t kì, ngư i ta d ng m t vector v i đ nh và g c t i tâm c a hai ô này, hư ng t ô có s l n hơn đ n ô có s bé hơn. Ch ng minh r ng t ng các vector nh n đư c b ng vector không. (Ma phư ng là b ng vuông đư c vi t s trong đó các t ng các s đư c vi t m i dòng và m i c t đ u b ng nhau). I. Bogdanov. M1794. Trên m t đư ng th ng cho 100 t p h p A1 , A2 , ..., An sao cho m i t p h p đư c l p t 100 đo n th ng đôi m t không giao nhau. Ch ng minh r ng giao c a 100 t p h p này là h p c a không quá 9901 đo n th ng đôi m t không giao nhau. (Có th coi m t đi m như là m t đo n th ng suy bi n) R. Karancev. M1795. Cho m t m t c u S và m t hàm liên t c y = f (X ), v i X ∈ S . Ch ng minh r ng tìm đư c y0 sao cho hàm đ t giá tr này trên m i đư ng tròn l n c a S . V. Proizvolov. 2
Đ ra kì này - T p chí Kvant 06-2001 Nhóm d ch thu t Kvant - C ng đ ng MathVn http://mathvn.org M1796. M t con vua đi qua t t c các ô trên bàn c vua và tr l i ch xu t phát c a nó, sao cho m i ô nó ch đi qua 1 l n. N i t t c tâm c a các ô mà nó đi qua liên ti p ta nh n đư c m t hình g p khúc kín g m 64 m t xích (m i bư c chuy n là m t m t xích), không có có hai m t xích nào k ti p mà cùng n m trên m t đư ng th ng. Ch ng minh r ng s bư c chéo c a con vua đi t i thi u là 8 bư c. Y. Akulin. M1797. Các đi m màu xanh và đ l n lư t luân phiên nhau chia đư ng tròn thành 2n cung. Bi t r ng b t kì hai cung k nhau có đ dài sai khác nhau là 1. Ch ng minh r ng n−giác v i các đ nh màu đ và n−giác v i các đ nh màu xanh có cùng chu vi và cùng di n tích. V. Proizvolov. M1798. Trong thành ph n có 1000 ngư i dân sinh s ng. Đúng 300 ngư i trong s h là th t thà, còn l i là tinh ranh s nói th t hay nói d i tùy theo ý mình. Bi t r ng t t c các cư dân thành ph đ u bi t nhau. B n có th nh n bi t đư c bao nhiêu ngư i tinh ranh b ng cách đ t m t s tùy ý các câu h i. N. Vacilev, B. Ginzburg. M1799*. Xét các s t nhiên x, y sao cho xy + x + y là s chính phương. Ch ng minh r ng các s sau đây cũng là s chính phương: xy + z , yz + x, zx + y , yz + y + z , zx + z + x, xy + yz + zx, xy + yz + zx + x + y + z . V. Proizvolov. M1800. Ch ng minh r ng t ng bình phương di n tích 4 m t c a m t t di n b ng 4 l n t ng bình phương di n tích 3 ti t di n đi qua các b b n trung đi m đ ng ph ng c a các c nh t di n. A. Zaslavskij. Typeset by TEX 1