Đề toán học lớp 12 - đề 2

Chia sẻ: Hoàng Minh Quân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

79
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đề toán học lớp 12 - đề 2', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề toán học lớp 12 - đề 2

Đ ra kì này - T p chí Kvant 01-2007 Nhóm d ch thu t Kvant - C ng Đ ng MathVn http://mathvn.org M2026. Trên các c nh AB, AC, CD và DA c a hình vuông ABCD l y tương ng các đi m P, M, N, Q sao cho ∠M N A = 45◦ , P M ||AN , AM ||N Q. Đo n P Q c t AM, AN tương ng t i các đi m F và G. Ch ng minh r ng, di n tích c a tam giác AF G b ng t ng di n tích c a các tam giác F M P và GN Q. (V. Proizvolov) M2027. Trên b ng có vi t ba ch s t nhiên x, y, z . Petia vi t vào t gi y c a mình tích hay s b t kì t ba s đó, và gi m s th ba trên b ng đi 1. V i 3 s m i trên b ng, m t l n n a c u ta l i ti n hành các phép toán trên, và c ti p t c v y cho t i khi m t trong các s đó b ng 0. H i t ng c a các s trên t gi y c a c u lúc đó s b ng bao nhiêu? E. Gorskij, S. Dorichenko M2028. Bi t r ng nh ng "k nói th t" luôn nói s th t, nh ng "k nói d i" luôn nói nh ng đi u d i trá còn nh ng "k láu cá" có th nói th t ho c nói d i. B n ch có th đưa ra nh ng câu h i v i nh ng k này đ nh n đư c câu h i "có" ho c "không". a. N u có m t k nói th t, m t k nói d i, m t k láu l nh và h đ u bi t nhau thì b n làm cách nào đ phân bi t h . b. N u có m t k nói th t, m t k nói d i, hai k láu cá và t t c h đ u bi t nhau. Ch ng t r ng hai k láu cá này có th tr l i sao cho b n không th bi t đư c ch c ch n m t ai trong 4 ngư i trên khi mà b n đã đ t ra nh ng câu h i v i t t c h . B. Ginzburg, M. Gerver M2029. Cho hai c p s nhân và c p s c ng vô h n đư c t o ra t các s nguyên dương, sao cho chúng có chung t t c các s h ng. Ch ng minh r ng giá tr c a c p s nhân ph i là m t s nguyên. (B. Frenkin) M2030. Có th n i ti p m t hình bát di n đ u vào m t hình l p phương sao cho các đ nh c a hình bát di n n m các c nh c a hình l p phương đư c hay không? (L. Radzivilovskij) M2031. Các đư ng th ng đi qua các trung tuy n c a tam giác ABC c t đư ng tròn ngo i ti p ω c a tam giác này t i các đi m A1 , B1 , C1 . Các đư ng th ng đi qua các đ nh A, B, C và song song v i các c nh đ i di n c t ω l n th hai t i A2 , B2 , C2 . Ch ng minh r ng A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 đ ng quy t i m t đi m. (A. Zaslavskij) Typeset by L TEX 2ε 1 A
M2032. a. T n t i hay không m t s t nhiên n đ v i b t kì s t nhiên k nào thì ít ra m t trong hai s nk − 1, nk + 1 có d ng ab v i các s t nhiên a và b> 1? b. M t s t nhiên đư c g i là "ph n nguyên t " n u nó chia h t cho bình phương ư c s nguyên t b t kì c a nó. Hai s t nhiên đư c g i là "giá tr g n nhau" n u chúng sai khác nhau 2 đơn v . H i có vô h n hay h u h n các c p s ph n nguyên t giá tr g n nhau. V. Senderov M2033. M t ngư i có m t b bài g m 52 con. Anh ta công b cho m i ngư i đ u bi t con n m trên cùng và dư i cùng c a b bài đó. M i ngư i có th đ t câu h i d ng "có bao nhiêu quân bài gi a quân... và quân...". H i c n ph i đ t ra ít nh t là bao nhiêu câu h i đ i v i ngư i này đ bi t đư c th t c a toàn b các quân bài trong c b bài. A. Shanovalov M2034. Trên các c nh AB, BC, CA c a tam giác ABC l y tương ng các đi m X, Y, Z sao cho tam giác XY Z đ ng d ng v i tam giác ABC (∠X = ∠A, ∠Y = ∠B ). Ch ng minh r ng tâm đư ng tròn ngo i ti p c a tam giác XY Z cách đ u các giao đi m c a các đư ng cao. N. Nikolov (Bulgaria) M2035. a. Trên đư ng tròn đ t m t vài các s nguyên dương sao cho chúng đ u không l n hơn 1. Ch ng t r ng, các s này có th phân ho ch thành 3 nhóm sao cho t ng các s hai nhóm b t kì sai khác nhau không quá 1 (N u m t nhóm không có s nào, xem như t ng này xem như b ng 0). b*. Đ t m t vài các s dương không l n hơn 1 lên m t đo n th ng. Ch ng minh r ng có th phân ho ch các s này ra thành n nhóm sao cho t ng c a các s hai nhóm b t kì sai khác nhau không quá 1. (N u nhóm đó không có s nào thì t ng này xem như b ng 0.) M. Malkin, Y. Bogdanov, G. Chelnokov 2
Đ ra kì này - T p chí Kvant 02-2007 Nhóm d ch thu t Kvant - C ng đ ng MathVn http://mathvn.org M2036. Andrey, Boria và Casha chia nhau 20 đ ng xu sao cho không m t ngư i trong h đư c nh n t t c các đ ng xu. Sau đó, trong m i phút thì m i ngư i trong h đưa cho ngư i b n còn l i m i ngư i m t đ ng xu. Sau m t kho ng th i gian thì Andey, Boria, Casha có tương ng a, b, c đ ng xu. Tìm s lư ng có th đư c các b ba (a, b, c). K. Kaybkhanov M2037. Các đư ng chéo t giác n i ti p ABCD c t nhau t i đi m E ; đi m K, M là trung đi m c a c nh AB, CD; đi m L, N là hình chi u c a E xu ng c nh BC, AD. Ch ng t r ng các đư ng th ng KM, LN vuông góc nhau. Folklor M2038. Foma và Erema chia m t đ ng t nh ng m u pho-mat. Đ u tiên là Foma, n u như có th , l a ra m t mi ng pho-mat và chia nó thành 2. Sau đó c u s p các mi ng pho-mat thành 2 mâm. Ti p theo Erema l a ra m t mâm và h b t đ u l y theo l n lư t t ng mi ng pho-mat cho mình, đ u tiên là Erema. H cũng chia đúng như th v i mâm th 2, và ngư i b t đ u là Foma. Ch ng minh r ng Foma là ngư i luôn luôn ch đ ng đ nh n đư c không ít hơn m t n a s pho-mat (theo tr ng lư ng). A. Shapovalov M2039. Ch ng t r ng v i m i s t nhiên n > 1 tìm đư c s t nhiên z sao cho không th bi u di n dư i d ng xn − y !, v i x, y là các s t nhiên. N. Agakhanov M2040. Các s nguyên dương x1 , x2 , ..., xn th a mãn các b t đ ng th c x1 + x2 + ... + xk x2 + x2 + ... + x2 < 1 2 k 2 x3 + x3 + ... + x3 1 2 k x1 + x2 + ... + xk < 2 a. Ch ng t r ng k > 50. b. Hãy ch ra thí d ng v i m t giá tr c a k . c*. Tìm giá tr nh nh t c a k đ hai b t đ ng th c trên luôn đúng. A. Tolnigo Typeset by TEX 1
Đ ra kì này - T p chí Kvant 03-2007 Nhóm d ch thu t Kvant - http://mathvn.org Tháng 05 - 2008 M2041. S t i thi u các quân xe đ t lên bàn c vua 8 × 8 là bao nhiêu đ các ô tr ng đ u b ki m soát b i nh ng con xe này. π M2042. Ch ng t r ng v i m i giá tr c a x sao cho 0 < x < thì 2 (tan x)sin x + (cot x)cos x ≥ 2 N. Agakhanov M2043. Có th hay không th ghép m t hình vuông t 4 hình đa giác gi ng nhau và m t hình vuông và 3 đa giác trong s các đa giác gi ng nhau đó có th ghép l i đư c thành m t hình tam giác đ u. M2044. Gi s f (x) là m t đa th c b c khác không nào đó. Có th hay không phương trình f (x) = a v i b t kì giá tr a có s ch n nghi m. P. Kozevnikov. M2045. Trên b n vi t s 111...11 (99 s 1). Có hai ngư i b t đ u m t trò chơi như sau: hai ngư i đi l n lư t nhau theo m i bư c b ng cách ho c là vi t thêm s 0 thay vào ch m t trong s các s 1 ngo i tr s đ u tiên và cu i cùng, ho c là xóa m t trong s các s 0. Ngư i thua là ngư i sau bư c c a ngư i đó thì nh n đư c s chia h t cho 11. V y h i ai là ngư i luôn có th th ng v i lu t chơi như v y? M2046. Con ru i đ u trên chi c kim giây c a m t chi c đ ng h đang lúc gi a trưa và quy t đ nh đ u đi ch khác tuân theo lu t sau: n u m t chi c kim vư t qua chi c kim khác mà con ru i đang đ u trên m t trong các cái kim đó thì thì nó s d i qua cái kim kia. H i con ru i th c hi n bao nhiêu vòng quay cho d n lúc n a đêm. M2047. Đi m T n m bên trong tam giác ABC sao cho ∠AT B = ∠BT C = ∠CT A = ◦ . Ch ng t r ng các đư ng th ng đ i x ng v i AT, BT, CT qua các đư ng th ng tương 120 ng BC, CA, AB đ ng quy v i nhau t i m t đi m. A. Zaslavskij M2048. Tìm s t nhiên l n nh t k sao cho t n t i s t nhiên n > 1 đ b t kì các s n, n2 , ..., nk đ u có th bi u di n đư c dư i d ng x2 + y 2 + 1, v i x, y là các s nguyên. V. Senderov M2049. T hình bát di n đ u v i c nh là 1 c t ra Typeset by TEX 1
M2050. 2
Đ ra kì này - T p chí Kvant s 04-2007 Nhóm d ch thu t Kvant - http://mathvn.org Tháng 04-2009 M2051. Cho a, b, c > 0 sao cho (a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) = abc. Ch ng t a = b = c. V. Proizvolov. M2052. a. Xét m t đư ng tròn và cung AB c a nó. Tìm t p h p các đi m M n m cách đư ng th ng AB m t kho ng cách có đ dài b ng ti p tuy n k t M đ n đư ng tròn đang xét. b. V i b t kì 2 parabol cùng ngo i ti p m t đư ng tròn và giao nhau t i 4 đi m, ch ng t các đư ng chéo c a t giác l p b i 4 giao đi m này vuông góc nhau, t giác này g i là "t giác parabol". c. V i b t kì hai parabol nào cùng ngo i ti p m t đư ng tròn và giao nhau t i 2 đi m, ch ng t tr c c a hai parabol đ u nghiêng cùng m t góc b ng nhau v i đư ng th ng n i hai giao đi m này. d. V i b t kì 3 parabol cùng ngo i ti p m t đư ng tròn sao cho b t kì hai trong chúng c t nhau t i 4 đi m, ch ng t các đư ng chéo chính c a "l c giác parabol" đư c t o thành đ ng quy t i m t đi m. F. Nilov. M2053. V i n > 3. Ch ng t r ng t n t i các s nguyên khác không x1 , x2 , ..., xn sao cho x1 x2 ...xn = (x2 + x3 + ... + xn )(x1 + x3 + ... + xn )...(x1 + x2 + ... + xn−1 ) S. Tokarev, V. Senderov. M2054. Gi s P (x) = x2 +x+1. Li u có t n t i hay không các s t nhiên x1 , x2 , ..., xn , k1 , k2 , ..., kn sao cho 2 3 1 P (x1 ) = xk , P (x2 ) = xk , ..., P (xn ) = xk 2 3 1 Gi i quy t bài toán trong các trư ng h p: 1
a. n = 2 b. n là s t nhiên l b t kì c. n = 4 V. Senderov, B. Frenkin M2055. Trên m t d i băng k ô vuông vô h n v phía bên ph i, các ô l n lư t đư c đánh s b i 0, 1, 2, .... Trong m t s ô đ t các viên đá. N u trong ô th i đ t đúng i viên đá thì l n lư t chuy n t ng viên đá c a ô này vào các ô th i − 1, i − 2, ..., 0. Ban đ u s p 2006! viên đá trên bàn c và b t đ u áp d ng quy t c chuy n đá như v y t ô th nh t, đ thu đư c ô r ng sau m t vài l n áp d ng. Tìm s bé nh t các ô vuông đư c s p đ t các viên đá. F. Bakharev, Y. Bogdanov 2
Đ ra kì này - T p chí Kvant s 05-2007 Nhóm d ch thu t Kvant - http://mathvn.org Tháng 04-2009 M2056. Thay đ i v trí các ch s c a s t nhiên A nh n đư c s t nhiên B . Bi t r ng A − B = 11...1, trong đó có t t c N ch s 1, tìm giá tr nh nh t c a N . H. Agakhanov. M2057. 25 chàng trai và m t s cô giái g p nhau trong m t bu i d h i và h tìm đư c m t quy lu t thú v : N u như ch n b t kì nhóm không ít hơn 10 chàng trai r i sau đó b sung vào đó t t c các cô gái quen bi t v i ít nh t m t trong s các trang trai trong nhóm, và trong nhóm nh n đư c, s chàng trai ít hơn 1 s v i s các cô gái. Ch ng minh r ng có cô gái nào đó quen v i không ít ơn 16 chàng trai. S. Bolchenkov. M2058. Trong t giác l i, 5 trong 8 đo n th ng n i các đ nh v i trung đi m c a c nh các đ i di n là b ng nhau. Ch ng minh c 8 đo n này đ u b ng nhau. H. Agakhnov, V. Senderov. M2059. M t c p s c ng vô h n tăng, đư c t o nên t các s t nhiên và ch a m t s l p phương. Ch ng minh c p s c ng này cũng ch a m t s l p phương nhưng không là s chính phương. Y. Bogdanov, V. Senderov. M2060. Đư ng tròn n i ti p tam giác ABC ti p xúc v i các c nh BC, AC, AB t i các đi m A1 , B1 , C1 tương ng. Đo n AA1 căys đư ng tròn n i ti p l n th hai t i Q. Đư ng th ng l song song v i BC và qua đi m A. Đư ng th ng A1 C1 , A1 B1 c t l t i P, R tương ng. Ch ng minh r ng ∠P QR = ∠B1 QC1 . A. Polianskij. M2061. Trong b ng 10 × 10 ô, đ t các s t nhiên t 1 đ n 100, hàng th nh t đ t t 1 đ n 10 t trái qua ph i, dòng th hai t 11 đ n 20 t trái qua qua ph i và liên ti p th . Andrey đ t lên b ng các quân đô-mi-nô chi u 1 × 2 (d c ho c ngang) và tính tích hai s trong hai ô mà nó ph lên. C u ta nh n đư c 50 s như th và mu n s s p đ t các quân đô-mi-nô đ nh n đư c t ng c a 50 s đó là nh nh t. V y ph i phân b các quân đô-mi-nô như th nào? A. Badzian. M2062. Nhà o thu t và ngư i ph tá chu n b m t trò o thu t như sau: Khi nhà o thu t ngoài căn phòng đóng kín, trong căn phòng có b ng v m t đư ng tròn l n và khán gi đánh d u vào trên đư ng tròn đó 2007 đi m khác nhau, r i ngư i ph tá chùi đi m t đi m trong s đó. Ngay sau đó nhà áo thu t đi vào phòng nhìn lên b ng và v m t n a đư ng tròn 1
mà đi m b xóa n m trên đó. H i ngư i ph tá có th bàn b c trư c v i nhà o thu t đ trò o thu t di n ra như mong mu n. A. Kopian, Y. Bogdanov. M2063. G i m t hình đa di n là "t t" n u th tích c a nó (theo đơn v m3 ) b ng di n tích b m t (theo đơn v m2 ). Có hay không m t t di n "t t" n m trong m t hình bình hành "t t" nào đó? M. Murashkin. M2064. Đư ng tròn đi qua các đ nh B, C c a tam giác ABC và c t các c nh AB, AC l n lư t t i các đi m D, E . Đo n CD, BE c t nhau t i O. Đ t M, N là tâm đư ng tròn n i ti p các tam giác ADE, ODE tương ng. Ch ng minh r ng trung đi m c a cung nh DE n m trên đư ng th ng M N , M. Ysaev. M2065. Cho dãy vô h n ph n t (xn ) v i x0 là m t s h u t l n hơn 1 và xn+1 = xn + [x1 ] n v i m i s t nhiên n. Ch ng minh r ng trong dãy này có m t s nguyên. A. Golovanov. 2
· ra k¼ n y - T¤p ch½ Kvant sè 06-2007 Nhâm dàch thuªt Kvant - http://mathvn.org Th¡ng 04-2009 M2066. H¼nh vuæng vîi c¤nh l 1 ÷ñc ct ra l m 100 h¼nh chú nhªt câ chu vi b¬ng nhau v b¬ng p. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa p. A. Shanovalov, S. Berlov Chùng minh r¬ng n¸u sè 111...11 (bao gçm n chú sè 1) chia h¸t cho n th¼ n chia M2067. h¸t cho 3. R. Kovalev . Trong mët gi£i bâng ¡ câ m × n ëi tuyºn tham gia (m, n ≥ 2). Trong váng lo¤i, M2068 c¡c ëi ÷ñc mang sè tø 1 ¸n m × n. Ban tê chùc ph¥n chi c¡c ëi th nh m nhâm, méi nhâm n ëi sao cho vîi b§t k¼ 2 ëi mang sè A, B n o ·u thäa i·u ki»n: n¸u A b² hìn B th¼ têng c¡c sè cõa c¡c ëi èi thõ trong nhâm cõa A b² hìn èi vîi B . Vîi gi¡ trà m, n nh÷ th¸ n o th¼ ban tê chùc mîi câ thº ph¥n chia c¡c ëi ÷ñc theo quy tc nh÷ vªy. Y. Akulich M2069. K½ hi»u ||y || l kho£ng c¡ch giúa sè thüc y v sè nguy¶n g¦n nh§t. Vîi sè húu t¿ x, x²t d¢y væ h¤n c¡c sè tü nhi¶n q1 , q2 , ..., qk , ... x¡c ành nh÷ sau: q1 = 1, qk+1 l sè tü nhi¶n q nhä nh§t sao cho ||xq || < ||xqk ||. Chùng minh r¬ng qk+2 ≥ qk + qk+1 vîi måi k = 1, 2, ... V. Bykovskji M2070. Chùng minh r¬ng c¡c ÷íng ch²o ch½nh cõa löc gi¡c ÷ñc t¤o th nh do c¡c giao iºm hai tam gi¡c P1 P3 P5 , P2 P4 P6 (nh÷ h¼nh v³) giao nhau t¤i còng mët iºm khi v ch¿ khi ¯ng thùc sau ÷ñc thäa m¢n S1 S3 S5 S2 S4 S6 = S135 S246 Ð ¥y Si l di»n t½ch c¡c tam gi¡c nhä vîi ¿nh Pi t¤o th nh bði 1 c¤nh cõa löc gi¡c v hai 1
c¤nh k· cõa nâ k²o d i ct nhau, v S135 , S246 l di»n t½ch c¡c tam gi¡c P1 P3 P5 v P2 P4 P6 . S. Dorichenko 2