Trần Sĩ Tùng
Trung tâm BDVH & LTĐH
QUANG MINH
Đề số 10
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số x
yx
2
23
+
=
+
(1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân
biệt A, B và tam giác OAB cân tại O.
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình: xx
xx
(12sin)cos
3
(12sin)(1sin)
-=
+-
2) Giải hệ phương trình: xx
3
23236580
-+--=
Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I =
232
0
(cos1)cos.
p
-
ò
Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc
giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
0
60
. Gọi I là trung điểm của AD. Hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Câu V (1 điểm): Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn:
xxyzyz
()3
++=
. Chứng minh:
xyxzxyxzyzyz
333
()()3()()()5()
+++++++£+
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có giao điểm hai đường chéo AC và BD là điểm
I(6; 2). Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng D:
xy
50
+-=
. Viết
phương trình đường thẳng AB.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
xyz
2240
---=
và mặt cầu (S) có phương trình:
xyzxyz
222
246110
++----=
. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định
tâm và tính bán kính của đường tròn đó.
Câu VII.a (1 điểm): Gọi
zz
12
,
là các nghiệm phức của phương trình: zz
2
2100
++=
. Tính giá trị của biểu thức:
A =
zz
22
12
+.
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): xyxy
22
4460
++++=
và đường thẳng D có phương
trình:
xmym
230
+-+=
. Gọi I là tâm đường tròn (C). Tìm m để D cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho
diện tích tam giác IAB lớn nhất.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
xyz
2210
-+-=
và hai đường thẳng D1, D2 có phương
trình D1: xyz
19
116
++
== , D2:
xyz
131
212
--+
==
-
. Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng D1 sao cho khoảng
cách từ M đến đường thẳng D2 bằng khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P).
Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình:
xxyy
xyxy
22
22
22
log()1log()
381
-+
ì+=+
ï
í=
ï
î
============================
Trần Sĩ Tùng
Hướng dẫn:
I. PHẦN CHUNG
Câu I: 2) Gọi
xy
00
(;)
là toạ độ của tiếp điểm.
Tam giác OAB cân tại O nên tiếp tuyến song song với một trong hai đường thẳng
yx
=
hoặc
yx
=-
.
Þ yx
0
()1
¢
=±
Û
x2
0
1
1
(23)
-
=±
+ Þ xy
xy
00
00
1(1)
2(0)
é
=-=
ê
=-=
ë
· Với x
y
0
0
1
1
ì
=-
í
=
î Þ D:
yx
=-
(loại) · Với x
y
0
0
2
0
ì
=-
í=
î Þ D:
yx
2
=--
(nhận)
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
yx
2
=--
.
Câu II: 1) Điều kiện: x
x
12sin0
1sin0
ì
+¹
í-¹
î Û
xm
xn
xp
2
6
7
2
6
2
2
p
p
p
p
p
p
ì¹-+
ï
ï
ï
¹+
í
ï
ï
¹+
ï
î
PT Û xxx
xxx
2
cos2sin.cos
3
1sin2sin2sin
-=
-+- Û
xxxx
cossin23(sincos2)
-=+
Û
xxxx
3113
cos2sin2cossin
2222
+=- Û xxcos2cos
63
pp
æöæö
-=+
ç÷ç÷
èøèø
Û
xkloaïi
xknhaän
2()
2
2
()
183
pp
pp
é
=+
ê
ê
ê
=-+
ê
ë
Vậy PT có nghiệm: xk
2
183
pp
=-+ .
2) Điều kiện: x
6
5
£
. Đặt ux
vx
3
32
65
ì
ï
=-
í=-
ï
î Þ
ux
vx
3
2
32
65
ì
ï
=-
í
=-
ï
î.
Ta có hệ PT: uv
uv
32
238
538
ì+=
í
+=
î. Giải hệ này ta được u
v
2
4
ì
=-
í=
î Þ x
x
322
6516
ì
-=-
í-=
î Û
x
2
=-
.
Thử lại, ta thấy
x
2
=-
là nghiệm của PT. Vậy PT có nghiệm
x
2
=-
.
Câu III: I =
xdxxdx
22
52
00
cos.cos.
pp
-
òò
= A – B.
· A =
xdxxxdx
22
54
00
cos.cos.cos..
pp
=
òò =
( )
xdx
22
2
0
1sin(sin)
p
-
ò =
8
15
· B =
xdxxdx
22
2
00
1
cos.(1cos2).
2
pp
=+
òò =
4
p
Vậy I =
8
15
–
4
p
.
Câu IV: Gọi E là trung điểm của AB Þ BC =
a
5
. Ta có: BICABCDABICDI
a
SSSS
2
3
2
=--=
Trong tam giác BIC, kẻ đường cao IF, ta có: IF = BIC
S
a
BC
2
3
5
=.
Từ giả thiết Þ SI ^ (ABCD) Þ
·
SFI
0
60
= Þ SI =
a
IF 0
33
.tan60
5
=
Þ Thể tích khối chóp S.ABCD: ABCD
a
VSISaa
23
1133315
...3
335
5
===
.
Trần Sĩ Tùng
Câu V: Xét điều kiện:
xxyxzyz
2
3
++= Þ
xyxzyzyz
2222
()()2()()
+++=+--
Þ
xyxzxyxz
yzyzyzyz
222
2
æöæöæö
++++
+=--
ç÷ç÷ç÷
++++
èøèøèø
(*)
Đặt
xyxz
uv
yzyz
,
++
==
(u, v > 0). Từ (*) Þ
uvuv
222
2()
+=-- Þ
uvuv
22
1
+-=
(1)
Khi đó ta có: BĐT Û xyxzxyxz
yzyzyzyz
33
35
æöæöæöæö
++++
++£
ç÷ç÷ç÷ç÷
++++
èøèøèøèø
Û uvuv
33
35
++£
Û uvuuvvuv
22
()()35
+-++£
Û
uvuv
35
++£
(2) (do (1))
Mặt khác từ (1) ta có: uvuv
2
1()1
=--£
(3)
và
uvuvuv
22
3
()131()
4
+=+£++ Þ uv
2
()4
+£
Þ
uv
2
+£
(4)
Từ (3) và (4) ta suy ra được điều cần chứng minh (2).
II. PHẦN TỰ CHỌN
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a: 1) Giả sử E(a; 5 – a) Î D Þ
IEaa
(6;3)
=--
uur
Gọi P là điểm đối xứng của E qua I Þ P(12 – a; a – 1), MPaa
(11;6)
=--
uuur
Ta có:
MPIE
.0
=
uuuruur
Û
aaaa
(11)(6)(6)(3)0
--+--=
Û a
a
6
7
é
=
ê
=
ë
Đường thẳng đi qua M(1; 5) và nhận
IE
uur
làm VTPT.
· Với
a
6
=
Þ IE
(0;3)
=-
uur
Þ Phương trình AB:
y
5
=
· Với
a
7
=
Þ IE
(1;4)
=-
uur
Þ Phương trình AB:
xy
4190
-+=
2) (S) có tâm I(1; 2; 3), bán kính R = 5
dIPR
(,())3
=<
Þ (P) cắt (S) theo một đường tròn (C).
Dễ xác định tâm đường tròn (C) là J(3; 0; 2) và bán kính là r = 4.
Câu VII.a: PT có các nghiệm:
zizi
12
13,13
=--=-+
Þ A =
zz
22
12
+ = 20
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: 1) (C) có tâm I(–2; –2), bán kính R =
2
.
Ta có:
· ·
IAB
SIAIBAIBRAIBR
22
111
..sinsin1
222
==£=
Dấu "=" xảy ra Û
·
AIB
sin1
=
Û
·
AIB
0
90
= Û DAIB vuông cân tại I
Khi đó: R
dI
(,)1
2
D
==
Û mm
m
2
2223
1
1
---+
=
+
Û mm
2
1580
-=
Û
m
m
0
8
15
é=
ê=
ê
ë
2) Giả sử:
Mttt
(1;;96)
-+-+
Î D1.
Khoảng cách từ M đến D2: ttt
dM
222
2
(814)(1420)(4)
(,) 3
D
-+-++-
=
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P): t
dMP
1120
(,()) 3
-
=
Từ đó ta có: ttt
222
(814)(1420)(4)
3
-+-++- = t
1120
3
-
Û tt
2
1403522120
-+=
Û
t
t
1
53
35
é=
ê=
ê
ë
Trần Sĩ Tùng
· Với t = 1 Þ M(0; 1; –3) · Với t =
53
35
Þ M
18533
;;
353535
æö
ç÷
èø
Câu VII.b: Điều kiện:
xy
0
>
Hệ PT Û
xyxy
xxyy
22
22
2
4
ì
ï+=
í
-+=
ï
î Û
xy
x2
4
ì
=
í
=
î Û xy
xy
2
2
é==
ê
==-
ë
vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: (2; 2), (–2; –2).
=====================