Trần Sĩ Tùng
Trường THPT MINH KHAI
HÀ TĨNH
Đề số 5
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số yxmxmx
32
2(3)4
=++++
(Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Cho điểm I(1; 3). Tìm m để đường thẳng d:
yx
4
=+
cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho DIBC
có diện tích bằng
82
.
Câu II (2 điểm):
1) Giải hệ phương trình: xyxy
xy
20
1412
ì
--=ï
í
ï
î
.
2) Giải phương trình:
xx
xxx
12(cossin)
tancot2cot1
-
=
+-
Câu III (1 điểm): Tính giới hạn: A =
x
xxx
xx
2
0
cossintan
lim
sin
®
-
Câu IV (1 điểm): Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và C¢D¢.
Tính thể tích khối chóp B¢.A¢MCN và cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (A¢MCN) và (ABCD).
Câu V (1 điểm): Cho x, y, z là những số dương thoả mãn:
xyzxyz
222
++= . Chứng minh bất đẳng thức:
xyz
xyzyxzzxy
222
1
2
++£
+++
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C1): xy
22
13
+=
và (C2): xy
22
(6)25
-+=
. Gọi A
là một giao điểm của (C1) và (C2) với yA > 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dây
cung có độ dài bằng nhau.
2) Giải phương trình:
( ) ( )
xx
x
3
2
515120
+
-++-=
Câu VII.a (1 điểm): Chứng minh rằng với "n Î N*, ta có:
nn
nnn
n
CCnC
242
222
24...24
2
+++=.
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I
93
;
22
æö
ç÷
èø
và trung điểm
M của cạnh AD là giao điểm của đường thẳng d:
xy
30
--=
với trục Ox. Xác định toạ độ của các điểm A, B, C,
D biết yA > 0.
2) Giải bất phương trình: xxxx
2
311
33
log56log2log3
-++->+
Câu VII.b (1 điểm): Tìm a để đồ thị hàm số
xxa
y
xa
2
-++
=
+
(C) có tiệm cận xiên tiếp xúc với đồ thị của hàm số (C¢):
yxxx
32
683
=-+-
.
============================
Trần Sĩ Tùng
Hướng dẫn:
I. PHẦN CHUNG
Câu I: 2) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d: xmxmxx
32
2(3)44
++++=+
(1)
Û xxmxm
2
(22)0
+++=
Û
xy
xmxm
2
0(4)
220(2)
é
==
ê
+++=
ë
(1) có 3 nghiệm phân biệt Û (2) có 2 nghiệm phân biệt, khác 0 Û mm
m
2
20
20
D
ì
¢
=-->
í
+¹
î Û
m
m
m
1
2
2
ì
é
<-
ï
ê
>
í
ë
ï
¹-
î
(*)
Khi đó xB, xC là các nghiệm của (2) Þ BCBC
xxmxxm
2,.2
+=-=+
IBC
S
82
D
= Û dIdBC
1
(,).82
2= Û
BC
xx
2
()82
-= Û
BCBC
xxxx
2
()41280
+--=
Û mm
2
340
--=
Û
m
m
1137
2
1137
2
é
-
=
ê
ê
+
ê
=
ê
ë
(thoả (*))
Câu II: 1) Hệ PT Û
(
)
(
)
xyxy
xy
20
1412
ì
+-=
ï
í
-+-=
ï
î
Û xy
xy
20
1412
ì
-=ï
í
ï
î
Û
xy
y
4
411
ì
=
í
-=
î Û
x
y
2
1
2
ì
=
ï
í
=
ï
î
2) Điều kiện:
x
x
x
sin0
cos0
cot1
ì
¹
ï
¹
í
ï
¹
î
. PT Û x
2
cos
2
= Û
xk
2
4
p
p
=-+ .
Câu III: A =
x
xxx
xx
2
0
cossintan
lim
sin
®
-
=
x
xx
xxx
2
2
0
(cos1)sin
lim
sin.cos
®
- =
x
x
xx
2
2
0
sin
lim1
cos
®
-
=-
Câu IV: A¢MCN là hình thoi Þ MN ^ A¢C, DB¢MN cân tại B¢ Þ MN ^ B¢O Þ MN ^ (A¢B¢C).
· MABCABC
aa
VMOSaa
3
1121
....2
33226
D
¢¢¢¢
=== Þ
BAMCNMABC
a
VV
3
.2
3
¢¢¢¢
==
· Gọi j là góc giữa hai mặt phẳng (A¢MCN) và (ABCD), P là trung điểm của CD Þ NP ^ (ABCD).
MCN
a
S
2
6
4
D
=, MCP
a
S
2
4
D
= Þ MCP
MCN
S
S
6
cos
6
D
D
j
==.
Câu V: · Từ giả thiết Þ xyz
yzxzxy
1
++=
và
xyzxyzxyyzzx
222
=++³++
Þ
xyz
111
1
++£
.
· Chú ý: Với a, b > 0, ta có:
abab
411
£+
+
Þ
xx
yz
xyz
xyz x
x
2
111
4
æö
=£+
ç÷
+
èø
+
(1). Tương tự:
yy
yxz
yxz
2
11
4
æö
£+
ç÷
+
èø
(2),
zz
zxy
zxy
2
11
4
æö
£+
ç÷
+
èø
(3)
Từ (1), (2), (3) Þ
xyzxyz
xyzyzxzxy
xyzyxzzxy
222
1111
4
æö
++£+++++
ç÷
+++
èø
£
11
(11)
42
+=
.
Dấu "=" xảy ra Û
xyzxyz
xyz
xyzyxzzxy
222
222
;;
ì
++=
ï
==
í
ï
===
î
Û
xyz
3
===
.
II. PHẦN TỰ CHỌN
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a: 1) (C1) có tâm O(0; 0), bán kính R1 =
13
. (C2) có tâm I2(6; 0), bán kính R2 = 5. Giao điểm A(2; 3).
Giả sử d: axbyab
22
(2)(3)0(0)
-+-=+¹
. Gọi
ddOdddId
122
(,),(,)
==.
Trần Sĩ Tùng
Từ giả thiết, ta suy ra được:
RdRd
2222
1122
-=-
Û dd
22
21
12
-=
Û aabab
abab
22
2222
(623)(23)
12
----
-=
++
Û
bab
2
30
+=
Û b
ba
0
3
é=
ê
=-
ë.
· Với b = 0: Chọn a = 1 Þ Phương trình d:
x
20
-=
.
· Với b = –3a: Chọn a = 1, b = –3 Þ Phương trình d:
xy
370
-+=
.
2) PT Û
xx
5151
22
22
æöæö
-+
+=
ç÷ç÷
èøèø Û
(
)
( )
x
x
51
51
log21
log21
-
-
é
=-
ê
ê
=+
ë
.
Câu VII.a: Xét
nnn
nnnnnn
xCCxCxCxCxCx
20122334422
222222
(1)...+=++++++ (1)
nnn
nnnnnn
xCCxCxCxCxCx
20122334422
222222
(1)...-=-+-+-+ (2)
Từ (1) và (2) Þ
nn
nn
nnnn
xx
CCxCxCx
22
0224422
2222
(1)(1)
... 2
++-
++++=
Lấy đạo hàm 2 vế ta được: nnnn
nnn
CxCxnCxnxx
2432212121
222
24...2(1)(1)
---
éù
+++=+--
ëû
Với x = 1, ta được:
nnn
nnn
n
CCnCn
24221
222
24...224
2
-
+++==.
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: 1) Tìm được M(3; 0) Þ MI =
32
2
Þ AB =
32
Þ AD =
22
. Phương trình AD:
xy
30
+-=
.
Giả sử A(a; 3 – a) (với a < 3). Ta có AM =
2
Û
a
2
=
Þ A(2; 1). Từ đó suy ra: D(4; –1), B(5; 4), C(7; 2).
2) Điều kiện: x > 3. BPT Û xxxx
2
333
log56log3log2
-+++>-
Û x2
91
->
Û x
10
>.
Câu VII.b: Điều kiện: a ¹ 0. Tiệm cận xiên d:
yxa
1
=-++
. d tiếp xúc với (C¢) Û Hệ phương trình sau có nghiệm:
xxxxa
xx
32
2
6831
31281
ì
ï
-+-=-++
í-+=-
ï
î Û x
a
3
4
ì
=
í
=-
î. Kết luận: a = –4.
=====================