WWW.VNMATH.COM
Đ s 15ề ố
Đ ÔN T P H C KÌ 2 – Năm h c Ề Ậ Ọ ọ
Môn TOÁN L p 11ớ
Th i gian làm bài 90 phútờ
Bài 1: Tính các gi i h n sau:ớ ạ
a)
x
x
x
2 3
lim 2 3
→+∞
−
−
b)
x
x x
x
25 3
lim 2
→+∞
+ −
−
Bài 2: Ch ng minh r ng ph ng trình ứ ằ ươ
x x x x
4 3 2
3 1 0+ − + + =
có nghi m thu c ệ ộ
( 1;1)−
.
Bài 3: Xét tính liên t c c a hàm s sau trên t p xác đ nh c a nó:ụ ủ ố ậ ị ủ
x x khi x
f x x
khi x
23 2 2
( ) 2
3 2
+ +
≠ −
=+
= −
Bài 4: Tính đ o hàm c a các hàm s sau:ạ ủ ố
a)
x x
yx x
sin cos
sin cos
+
=−
b)
y x x(2 3).cos(2 3)= − −
Bài 5: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s : ế ươ ế ế ủ ồ ị ố
x x
yx
2
2 2 1
1
+ +
=+
a) T i giao đi m c a đ th và tr c tung.ạ ể ủ ồ ị ụ
b) Bi t ti p tuy n song song v i đ ng th ng ế ế ế ớ ườ ẳ
.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O c nh ạa,
·
BAD 0
60=
, SO ⊥ (ABCD),
a
SB SD 13
4
= =
. G i E là trung đi m BC, F là trung đi m BE.ọ ể ể
a) Ch ng minh: (SOF) vuông góc (SBC).ứ
b) Tính kho ng cách t O và A đ n (SBC).ả ừ ế
c) G i (ọ
α
) là m t ph ng qua AD và vuông góc (SBC). ặ ẳ Xác đ nh thi t di n c a hình chóp b c tị ế ệ ủ ị ắ
b i (ở
α
). Tính góc gi a (ữ
α
) và (ABCD).
--------------------H t-------------------ế
H và tên thí sinhọ: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
WWW.VNMATH.COM
Đ s 15ề ố
ĐÁP ÁN Đ ÔN T P H C KÌ 2 – Năm h c Ề Ậ Ọ ọ
Môn TOÁN L p 11ớ
Th i gian làm bài 90 phútờ
Bài 1:
a)
x x
2 x x
=
x
x
3
2
3 3
lim lim 22
2 3 3
→+∞ →+∞
−
− −
=
−−
b)
x x
x x x x
x
x
25 3
1
5 3
lim lim 1
2
21
→+∞ →+∞
+ −
+ − = =
−−
Bài 2: Xét hàm s ố
f x x x x x
4 3 2
( ) 3 1= + − + +
⇒
f x( )
liên t c trên R.ụ
•
f f f f( 1) 3, (1) 1 ( 1). (1) 0− = − = ⇒ − <
nên PT
f x( ) 0=
có ít nh t m t nghi m thu c (–1; 1).ấ ộ ệ ộ
Bài 3:
x x khi x
f x x
khi x
23 2 2
( ) 2
3 2
+ +
≠ −
=+
= −
• T p xác đ nh: D = R.ậ ị
• T i ạ
x x
x f x x
x
( 1)( 2)
2 ( ) 1
2
+ +
≠ − ⇒ = = +
+
⇒
f x( )
liên t c t i ụ ạ x ≠ –2.
• T i ạx = –2 ta có
x x
f f x x f
2 2
( 2) 3, lim ( ) lim( 1) 1 ( 2)
→− →−
− = = + = − ≠ −
⇒
f x( )
không liên t c t i ụ ạ x = –2.
Bài 4:
a)
x x
yx x
sin cos
sin cos
+
=−
⇒
x x x x x x x x
y
x x 2
(cos sin )(sin cos ) (sin cos )(cos sin )
(sin cos )
− − − + +
′=−
=
x x 2
2
(sin cos )
−
−
b)
[ ]
y x x y x x x(2 3).cos(2 3) ' 2 cos(2 3) (2 3)sin(2 3)= − − ⇒ = − − − −
Bài 5:
x x
yx
2
2 2 1
1
+ +
=+
⇒
x x
y
x
2
2
2 4 1
( 1)
+ +
′=+
a) Giao đi m c a đ th v i tr c tung là (0; 1); ể ủ ồ ị ớ ụ
y(0) 1
′=
⇒ PTTT:
y x 1= +
.
b) Vì ti p tuy n song song v i đ ng th ng ế ế ớ ườ ẳ
nên ti p tuy n có h s góc là ế ế ệ ố k = 1.
G i ọ
x y
0 0
( ; )
là to đ c a ti p đi m ạ ộ ủ ế ể ⇒
( )
x x x
y x x x x
x
22
0 0 0
0 0 0
20
0
2 4 1 2
( ) 1 1 2 0 0
1
+ + = −
′= ⇔ = ⇔ + = ⇔ =
+
• V i ớ
x y
0 0
0 1= ⇒ =
⇒ PTTT:
y x 1= +
.
• V i ớ
x y
0 0
2 5= − ⇒ = −
⇒ PTTT:
y x 3= −
2
Bài 6:
a) Ch ng minh: (SOF) vuông góc (SBC).ứ
• ∆CBD đ u, E là trung đi m BC nên DE ề ể ⊥ BC
• ∆BED có OF là đ ng trung bình nên OF//DE, ườ
DE ⊥ BC ⇒ OF ⊥ BC (1)
• SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BC (2)
T (1) và (2) ừ⇒ BC ⊥ (SOF)
Mà BC
⊂
(SBC) nên (SOF) ⊥(SBC).
b) Tính kho ng cách t O và A đ n (SBC).ả ừ ế
• V OH ẽ⊥ SF; (SOF) ⊥ (SBC),
SOF SBC SF OH SF( ) ( ) ,∩ = ⊥
OH SBC d O SBC OH( ) ( ,( ))⇒ ⊥ ⇒ =
• OF =
a
a
1 3 3
.
2 2 4
=
,
a
SO SB OB SO
2 2 2 3
4
= − ⇒ =
a
OH
OH SO OF
2 2 2
1 1 1 3
8
⇒ = + ⇒ =
• Trong m t ph ng (ACH), v AK// OH v i K ặ ẳ ẽ ớ ∈ CH ⇒ AK ⊥ (SBC) ⇒
d A SBC AK( ,( )) =
a a
AK OH AK d A SBC
3 3
2 ( ,( ))
4 4
= ⇒ = ⇒ =
c) •
AD SBC AKD( ), ( ) ( ) ( ) ( )
α α α
⊂ ⊥ ⇒ ≡
• Xác đ nh thi t di nị ế ệ
D th y ễ ấ
K K SBC( ), ( )
α
∈ ∈
⇒ K ∈ (α) ∩ (SBC).
M t khác AD // BC, ặ
AD SBC( )⊂
nên
SBC K BC( ) ( ) ,
α ∆ ∆ ∆
∩ = ⇒ ∈
P
G i ọ
B SB C SC' , '
∆ ∆
= ∩ = ∩
⇒ B′C′ // BC ⇒ B′C′ // AD
V y thi t di n c a hình chóp S.ABCD b c t b i (ậ ế ệ ủ ị ắ ờ α) là hình thang AB’C’D
• SO ⊥ (ABCD), OF là hình chi u c a SF trên (ABCD) nên SF ế ủ ⊥ BC ⇒ SF ⊥ AD (*)
•
SF OH OH AK SF AK,⊥ ⇒ ⊥
P
(**)
• T (*) và (**) ta có SF ừ⊥ (α)
• SF ⊥ (α), SO ⊥ (ABCD) ⇒
( )
·
·
·
ABCD SF SO OSF( ),( ) ( , )
α
= =
•
·
a
OF
OSF a
SO
31
4
tan 33
4
= = =
⇒
( )
·
ABCD
0
( ),( ) 30
α
=
=============================
3
B'
C'
K
F
E
O
D
C
A
B
S
H