Điều khiển trượt cơ bản và trượt bậc cao

Điều khiển trượt cơ bản và trượt bậc cao<br /> Nguyễn Doãn Phước<br /> phuoc.nguyendoan@hust.edu.vn<br /> Tóm tắt: Trong thực tế của điều khiển và tự động hóa thì việc phải điều khiển hệ bất định là không thể<br /> tránh khỏi. Một trong các phương pháp giải quyết bài toán điều khiển hệ bất định như vậy là điều khiển<br /> trượt. Đây là phương pháp điều khiển được biết đến như một giải pháp điều khiển đơn giản, song lại<br /> mang đến một chất lượng bền vững rất cao. Mặc dù vậy, do tín hiệu điều khiển tạo ra từ bộ điều trượt<br /> lại là hàm không liên tục, nên sẽ tạo ra hiệu rung trong hệ thống. Đây là một hiệu ứng nguy hiểm và là<br /> nguyên nhân làm giảm tuổi thọ nhiều thiết bị trong hệ thống. Bởi vậy việc nghiên cứu giảm hiệu ứng<br /> rung trong hệ điều khiển trượt mang một ý nghĩa ứng dụng vô cùng quan trọng, kể cả cho tới ngày nay.<br /> Bài viết này tổng quan lại những kết quả cơ bản nhất của điều khiển trượt và giải pháp chống rung trong<br /> hệ thống trượt bằng điều khiển trượt bậc cao. Đây là giải pháp chống rung tổng quát được tập trung<br /> nghiên cứu trong những năm gần đây và cũng đã thu được nhiều kết quả ứng dụng mang tính thực tế<br /> cao, so với các giải pháp chống rung kinh điển khác.<br /> <br /> I.<br /> <br /> ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT CƠ BẢN<br /> <br /> Theo dòng lịch sử được thống kê<br /> lại trong tài liệu [9] thì điều khiển<br /> trượt ra đời khoảng đầu những năm<br /> 1960. Khi đó nền móng đầu tiên của<br /> điều khiển trượt được xây dựng bởi<br /> Emelyanov (ảnh), một nhà điều khiển<br /> học người Nga, dưới tên gọi là<br /> phương pháp điều khiển hệ biến đổi<br /> cấu trúc (variable structure systems).<br /> Mặc dù xuất hiện sớm như vậy, song mãi đến khi có<br /> những ấn phẩm xuất bản bằng tiếng anh đầu tiên, chẳng hạn<br /> như [8] của Utkin năm 1977, tư tưởng điều khiển trượt mới<br /> vượt được ra khỏi biên giới nước Nga và dần được hoàn<br /> thiện, nâng tầm tổng quát cả về lý thuyết cũng như ứng dụng<br /> như chúng ta được biết đến ở ngày hôm nay, đặc biệt là các<br /> ứng dụng vào hệ phi tuyến bất định, hệ nhiều đầu vào, ra, hệ<br /> không liên tục, hệ phức hợp, hệ có số chiều vô hạn lần ....<br /> Bài tổng quan này sẽ tóm tắt lại những kết quả cơ bản<br /> nhất của điều khiển trượt cơ bản cũng như các gợi ý từ đó để<br /> đến được điều khiển trượt bậc cao, hiện đang được nhắc tới<br /> nhiều trong lĩnh vực điều khiển trượt chống rung (antichattering) cho hệ phi tuyến bất định.<br /> A. Điều khiển trượt cơ bản<br /> Xét hệ không dừng có tín hiệu vào u = (u1 , … , um )T ,<br /> chứa thành phần bất định d (x , u , t ) , mô tả bởi:<br /> x = f (x , u , d , t )<br /> <br /> (1)<br /> <br /> trong đó x ∈ Rn là vector trạng thái, f (⋅) là vector các hàm<br /> liên tục và một mặt cong trơn (n − m ) chiều, thường được<br /> gọi là mặt trượt, mô tả bởi vector gồm m hàm trơn:<br /> T<br /> <br /> s (x , t ) = (s1 (x , t ) , s 2 (x , t ) , … , sm (x , t ) ) = 0<br /> <br /> (2)<br /> <br /> chứa tất cả các quỹ đạo trạng thái mong muốn x (t ) của hệ<br /> (theo một chỉ tiêu chất lượng cho trước). Mặt trượt (2) trên<br /> thường gặp ở dạng tổng quát, vì nó có dạng không dừng (cấu<br /> trúc mặt trượt bị thay đổi theo thời gian).<br /> <br /> Nhiều trường hợp, để đơn giản trong điều khiển sau này<br /> và khi điều kiện cho phép, người ta chỉ cần sử dụng mặt trượt<br /> dừng (có cấu trúc không biến đổi theo thời gian):<br /> T<br /> <br /> s (x ) = (s1 (x ) , s 2 (x ) , … , sm (x )) = 0<br /> <br /> (3)<br /> <br /> Nhiệm vụ của điều khiển trượt là phải xác định tín hiệu<br /> điều khiển u để đưa hệ (1) tiến về mặt trượt (2) và giữ nó lại<br /> trên đó.<br /> Ta sẽ ký hiệu tín hiệu điều khiển cần tìm u đó là:<br /> ⎧⎪ueq khi s (x , t ) = 0<br /> u=⎨<br /> ⎪⎩uN khi s (x , t ) ≠ 0<br /> trong đó:<br /> <br /> (4)<br /> <br /> − ueq là thành phần tín hiệu giữ x (t ) ở lại trên mặt trượt<br /> (equivalence principle), tức là nếu đã có:<br /> s (x 0 , t0 ) = 0 với x 0 = x (t0 )<br /> thì ueq sẽ phải tạo ra được:<br /> s (x , t ) = 0 khi t ≥ t0<br /> (5)<br /> Hình H1 minh họa vai trò của thành phần tín hiệu này<br /> đối với quỹ đạo trạng thái x (t ) của hệ.<br /> <br /> − uN là thành phần tín hiệu làm cho x (t ) tiến về mặt<br /> trượt. Như vậy, ở trường hợp mặt trượt dừng (3), khi sử<br /> dụng hàm xác định dương:<br /> 1<br /> V (s ) = sT s<br /> 2<br /> <br /> thì đủ để x (t ) tiến về mặt trượt là tín hiệu điều khiển<br /> uN phải tạo ra được:<br /> V (s ) = sT s < 0 khi s (x ) ≠ 0<br /> <br /> (6)<br /> <br /> Điều kiện (6) này được gọi là điều kiện trượt và sử dụng<br /> với mặt trượt dừng (3).<br /> Khi đó các thành phần ueq , uN sẽ được xác định như sau:<br /> Điều khiển giữ trên mặt trượt<br /> <br /> Khi hệ (1) là hệ rõ và có cấu trúc affine:<br /> x = f (x , t ) + H(x , t )u<br /> <br /> 1<br /> <br /> trong đó<br /> <br /> Δ = −Ls (x ) với L = LT > 0 tùy chọn<br /> <br /> H(x , t ) = (h1 (x , t ) , … , hm (x , t ) )<br /> <br /> (7)<br /> <br /> là ma trận n × m , và mặt trượt là mặt cong trơn dừng (3), thì<br /> từ điều kiện (5) có:<br /> ∂s<br /> ⎡ f (x , t ) + H(x , t )ueq ⎤<br /> ⎦<br /> ∂x ⎣<br /> Vậy nếu ma trận:<br /> 0 =s =<br /> <br /> ⎛ ∂s<br /> ⎞<br /> ueq = ⎜<br /> H(x , t )⎟<br /> ⎝ ∂x<br /> ⎠<br /> <br /> s (x )<br /> với k > 0 tùy chọn<br /> s (x )<br /> <br /> Xét hệ (1) có cấu trúc affine chứa thành phần bất định<br /> d (x , u , t ) ở đầu vào:<br /> x = f (x , t ) + H(x , t ) [u + d (x , u , t ) ]<br /> <br /> (11)<br /> <br /> thỏa mãn tính bị chặn:<br /> ∂s<br /> f (x , t )<br /> ∂x<br /> <br /> (8)<br /> <br /> Điều khiển tiến về mặt trượt<br /> <br /> Từ điều kiện đủ (6) trên cho mặt trượt dừng (3) và theo<br /> quy ước tương tự như trong tài liệu [8], [9] về sai lệch giá trị<br /> tín hiệu uN = ueq + Δ , được mô tả ở hình H1, thì:<br /> <br /> (<br /> <br /> H1: Xác định tín hiệu điều khiển<br /> tiến về mặt trượt<br /> <br /> ∼ uN<br /> <br /> ∂V ∂ s ⎡<br /> f (x ,t ) + H(x ,t ) ueq + Δ + d ⎤⎥<br /> ⎦<br /> ∂s ∂x ⎣⎢<br /> ∂V ∂ s<br /> =<br /> H(x ,t ) ( Δ + d ) < 0<br /> ∂s ∂ x<br /> Rõ ràng, đủ để có bất đẳng thức trên nếu Δ thỏa mãn:<br /> <br /> x2<br /> <br /> Bởi vậy, giống như (8), người ta đã đi đến một số sai lệch giá<br /> trị sai lệch tín hiệu điều khiển Δ cho hệ (1), ký hiệu chi tiết<br /> là:<br /> Δ = (Δ1 , Δ 2 , … , Δm )T<br /> <br /> (9)<br /> <br /> với mặt trượt lý tưởng s (x , t ) = s (x ) dạng vector hàm dừng,<br /> thỏa mãn:<br /> ∂s<br /> H(x , t ) = I (ma trận đơn vị)<br /> ∂x<br /> như sau:<br /> − Bộ điều khiển relay:<br /> <br /> Δk = −ak (x )sign (sk (x ) ) , k = 1, 2, … , m<br /> <br /> (<br /> <br /> min max<br /> Δ<br /> <br /> d<br /> <br /> )<br /> <br /> ∂V ∂ s<br /> H(x , t ) [ Δ + d ] ≤ 0, ∀x<br /> ∂ s ∂x<br /> <br /> (12)<br /> <br /> và đây cũng là công thức để xác định Δ .<br /> Chẳng hạn, khi ký hiệu vector Δ như ở (9) và ma trận<br /> H(x , t ) như ở (7), thì từ (12) sẽ có:<br /> ⎛ ∂V ∂ s<br /> ⎞<br /> Δk = − ρ(x , t )sign ⎜<br /> h (x , t )⎟ , k = 1, 2, … , m<br /> ⎝ ∂s ∂x k<br /> ⎠<br /> <br /> C. Các vấn đề xung quanh mặt trượt và điều kiện trượt<br /> Mặt trượt<br /> <br /> Mặt trượt (2) là mặt cong trơn có số chiều (n − m ) trong<br /> không gian trạng thái, chứa tất cả các quỹ đạo trạng thái<br /> mong muốn của hệ.<br /> Chẳng hạn như để có được chất lượng là ổn định tiệm cận<br /> toàn cục, mặt trượt được chọn chỉ cần là một trong các mặt<br /> cong trơn, dừng s (x ) trong không gian m chiều như sau:<br /> − Tuyến tính:<br /> s (x ) = x1 + Ax1 , x = col (x1 , x 2 ), x1 ∈ Rm<br /> <br /> trong đó ak (x ) > 0, ∀x và<br /> ⎧1 khi s > 0<br /> ⎪<br /> sign(s ) = ⎨−1 khi s < 0<br /> ⎪0 khi s = 0<br /> ⎩<br /> − Bộ điều khiển phản hồi tuyến tính:<br /> <br /> d (x , u , t ) = 0 . Như vậy ta cũng sẽ có được ueq theo công<br /> <br /> V=<br /> <br /> x [∼ ueq ]<br /> ∼Δ<br /> <br /> Thành phần ueq trong (4) được xác định với giả thiết<br /> <br /> nguyên lý tương đương, ta làm như sau. Trước tiên chọn một<br /> hàm V (s ) xác định dương. Tiếp theo ta xác định Δ để có:<br /> <br /> ∇s<br /> s (x , t ) = 0<br /> <br /> Tương tự như ở hệ rõ, nhiệm vụ của điều khiển trượt ở<br /> đây là phái xác định được tín hiệu điều khiển (4) để đưa hệ về<br /> mặt trượt dừng (3) và giữ nó lại trên đó.<br /> <br /> Để xác định thành phần còn lại uN = ueq + Δ theo<br /> <br /> )<br /> <br /> x1<br /> <br /> d (x , u , t ) ≤ ρ (x , t ), ∀u<br /> <br /> thức (8).<br /> <br /> ∂s ∂s<br /> +<br /> x<br /> ∂ t ∂x<br /> ∂s ∂s ⎡<br /> =<br /> +<br /> f (x ,t ) + H(x ,t ) ueq + Δ ⎤⎥<br /> ⎦<br /> ∂t ∂x ⎣⎢<br /> ∂s ∂s ⎡<br /> ∂s<br /> =<br /> +<br /> f (x ,t ) + H(x ,t )ueq ⎤⎦ +<br /> H(x ,t )Δ<br /> ∂ t ∂x ⎣<br /> ∂x<br /> ∂s ∂s<br /> =<br /> +<br /> H(x ,t )Δ<br /> ∂ t ∂x<br /> <br /> s (x ) =<br /> <br /> 2<br /> <br /> Δ = −k<br /> <br /> B. Xử lý thành phần bất định đầu vào<br /> <br /> ∂s<br /> H(x , t ) ∈ Rm ×m<br /> ∂x<br /> không suy biến thì:<br /> −1<br /> <br /> − Bộ điều khiển vector đơn vị:<br /> <br /> (10)<br /> <br /> (13)<br /> <br /> với A là ma trận đối xứng xác định dương tùy chọn, vì<br /> hiển nhiên khi đã có s (x ) = 0 , cũng sẽ có:<br /> x1 = − Ax1 ⇔ x1 (t ) = e −At x1 (0) → 0<br /> <br /> − Phi tuyến:<br /> <br /> s (x ) = x1 − f (x1 ) , x = col (x1 , x 2 ), x1 ∈ Rm<br /> <br /> (14)<br /> <br /> trong đó f (x1 ) là vector hàm m chiều, được chọn sao<br /> cho với nó luôn tồn tại hàm vô hướng, dừng V (x1 ) xác<br /> định dương thỏa mãn:<br /> LfV (x1 ) =<br /> <br /> ∂V<br /> f (x1 )<br /> ∂x1<br /> <br /> xác định âm, tức là LfV (x1 ) < 0, ∀x1 ≠ 0 .<br /> <br /> (15)<br /> <br /> Nếu chất lượng điều khiển mong muốn là điều khiển bám<br /> ổn định x1 (t ) → w (t ) , trong đó w (t ) là quỹ đạo đặt trước,<br /> thì mặt trượt sẽ là mặt cong trơn, ở dạng không dừng s (x , t ) ,<br /> và có thể một trong các dạng sau:<br /> − Tuyến tính:<br /> s (x , t ) = x1 − w + A (x1 − w )<br /> <br /> có A là ma trận hằng, đối xứng xác định dương tùy<br /> chọn.<br /> Ở đây, mở rộng hơn, ta cũng có thể chọn ma trận hàm<br /> A(t ) thay vì ma trận hằng A và cũng không bắt buộc<br /> phải đối xứng. Tuy nhiên ma trận hàm A(t ) này phải<br /> thỏa mãn điều kiện LaSalle là tất cả các giá trị riêng<br /> của:<br /> A(t ) + A(t )T<br /> <br /> = e − f (e , t )<br /> <br /> với e = x1 − w<br /> <br /> trong đó f (e , t ) là vector hàm mà với nó tồn tại hàm vô<br /> hướng trơn, không dừng V (e , t ) thỏa mãn các điều kiện<br /> của định lý LaSalle [6], tức là:<br /> <br /> γ 1 ( e ) ≤ V (e , t ) ≤ γ 2 ( e )<br /> ∂ V ∂V<br /> +<br /> f (e , t ) ≤ −γ 3 ( e ) với γ 1 , γ 2 , γ 3 ∈ K∞<br /> ∂t<br /> ∂e<br /> Điều đặc biệt, nếu các mặt trượt (13), (14) có số chiều<br /> đúng bằng bậc mô hình là n thì bài toán điều khiển tiến về<br /> mặt trượt sẽ trở thành bài toán điều khiển bám theo mô hình<br /> mẫu.<br /> Điều kiện trượt<br /> <br /> Điều kiện trượt là điều kiện đủ để tín hiệu điều khiển đưa<br /> quỹ đạo trạng thái x (t ) của hệ về được đến mặt trượt, chẳng<br /> hạn khi sử dụng mặt trượt dừng (3) thì một trong những điều<br /> kiện trượt là công thức (6) đã dẫn ra ở trên.<br /> Tuy nhiên điều kiện trượt (6) sẽ là không đủ khi sử dụng<br /> với mặt trượt không dừng s (x , t ) = 0 , vì ở các hàm không<br /> dừng, điều kiện V (s , t ) → 0 chưa đủ để khẳng định cũng sẽ<br /> có V (s , t ) → 0 , thậm chí là chưa đủ để khẳng định hàm<br /> V (s , t ) sẽ tiến đến hằng số. Ta có thể thấy điều đó ở ví dụ:<br /> V (s (t ), t ) = V / (t ) = sin ( ln(t ) )<br /> <br /> thì mặc dù có:<br /> <br /> t<br /> <br /> → 0 khi t → ∞<br /> <br /> song lại không có V / (t ) → hằng số. Ngược lại, từ V / (t ) đã<br /> tiến tới hằng số ta cũng không thể suy ra được V / (t ) → 0 ,<br /> 1<br /> chẳng hạn V / (t ) = sin(t 2 )<br /> t<br /> Lý do cho sự không tương đương ở trên là vì V / (t ) có thể<br /> là hàm không liên tục đều. Bởi vậy, khi sử dụng mặt trượt<br /> dạng không dừng (2), ta phải xây dựng điều kiện trượt dựa<br /> trên định lý LaSalle, được trình bày trong [6]. Một trong<br /> những điều kiện trượt thường được sử dụng cho hệ phi tuyến<br /> bất định hàm dạng tổng quát chung (1), thỏa mãn điều kiện<br /> LaSalle [6], thay cho (6), là:<br /> ⎡ ∂s ∂s<br /> ⎤<br /> k<br /> V = sT ⎢ +<br /> f (x , u , d , t ) ⎥ ≤ −η s<br /> ∂<br /> ∂<br /> t<br /> x<br /> ⎣<br /> ⎦<br /> <br /> (16)<br /> <br /> trong đó η > 0 , k ∈ N tùy chọn. Từ điều kiện trượt (16) này,<br /> người ta sẽ xác định được bộ điều khiển phản hồi trạng thái<br /> u (x , t ) cần tìm.<br /> Để thuận lợi cho việc sử dụng công thức (16) trên vào<br /> việc xây dựng bộ điều khiển u (x , t ) , nhiều tài liệu đã đề xuất<br /> sử dụng (thống kê theo [9]):<br /> V (s ) =<br /> <br /> đều nằm bên phải trục ảo (ma trận Hurwitz).<br /> − Phi tuyến:<br /> s (x , t ) = x1 − w − f (x1 − w , t )<br /> <br /> cos ( ln(t ) )<br /> <br /> V / (t ) =<br /> <br /> 1 2<br /> s ⇒ ss ≤ −η s<br /> 2<br /> <br /> (17)<br /> <br /> cho trường hợp mặt trượt đơn và dừng, tức là s (x ) là hàm vô<br /> hướng, là sử dụng các mặt trượt với cấu trúc:<br /> s = −k12 λ (s ) − k 22 sgn(s )<br /> <br /> (18)<br /> <br /> trong đó λ (s ) là hàm tùy chọn thỏa mãn:<br /> s λ (s ) > 0, ∀s ≠ 0 .<br /> <br /> vì hiển nhiên nó thỏa mãn bất đẳng thức bắt buộc (17) của<br /> điều khiển trượt. Chẳng hạn như một số công thức cụ thể của<br /> (18) có thể là:<br /> 1. s = −k 2 sgn(s )<br /> 2. s = −k12s − k 22 sgn(s )<br /> <br /> (19)<br /> <br /> 2 α<br /> <br /> 3. s = −k s , 0 < α < 1<br /> Để minh họa ý nghĩa của việc sử dụng điều kiện trượt (18)<br /> cho việc xây dựng bộ điều khiển, ta xét bài toán điều khiển<br /> trượt cho hệ tuyến tính một đầu vào:<br /> x = Ax + bu<br /> với mặt trượt tuyến tính s (x ) = cT x có cT b ≠ 0 . Khi đó, từ<br /> gợi ý (19):<br /> <br /> s = −k12s − k 22 sgn(s ) và s = cT x = cT ( Ax + bu )<br /> <br /> ta được:<br /> <br /> cT ( Ax + bu ) = −k12s − k 22 sgn(s )<br /> Vậy bộ điều khiển trượt sẽ là:<br /> <br /> (c<br /> <br /> T<br /> <br /> u=<br /> <br /> )<br /> <br /> A + k12cT x + k 22 sgn(cT x )<br /> cT b<br /> <br /> 3<br /> <br /> II.<br /> <br /> s (x , t ) được gọi là điều khiển trượt bậc r ≥ 2 , nếu ở đó tín<br /> hiệu điều khiển u đồng thời tạo ra được:<br /> <br /> ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT BẬC 2<br /> <br /> A. Hiện tượng rung và kỹ thuật chống rung<br /> <br /> Trong thực tế, do không tồn tại thiết bị tạo ra được hàm<br /> sign(⋅) định nghĩa bởi (10), mà thay vào đó là:<br /> ⎧1 khi x > ε<br /> ⎪<br /> sgn(x ) = ⎨−1 khi x < − ε<br /> ⎪gi ÷ nguyª n gi¸ trÞ cò khi x ≤ ε<br /> ⎩<br /> <br /> (20)<br /> <br /> Như vậy phương pháp điều khiển trượt cơ bản vừa trình bày<br /> trước đây ở chương I chính là điều khiển trượt bậc 1, vì ở đó<br /> tín hiệu điều khiển u chỉ hướng tới s (x , t ) = 0 .<br /> a)<br /> <br /> −ε<br /> <br /> điều khiển, tức là chỉ có:<br /> u = uN<br /> <br /> sgn(s )<br /> s<br /> H2: Nguyên nhân của hiện<br /> tượng rung<br /> <br /> s (x ) > 0<br /> <br /> −ε<br /> <br /> ε<br /> <br /> x2<br /> <br /> b)<br /> <br /> sat(s )<br /> <br /> nên cũng sẽ không có được thành phần ueq trong tín hiệu<br /> <br /> Điều này tạo ra hiện tượng rung (chattering) trong hệ, khi mà<br /> u phải chuyển đổi dấu của giá trị với tần số vô cùng lớn để<br /> giữ được x (t ) trên mặt trượt s (x , t ) = 0 . Hình H2 minh họa<br /> nguyên nhân và hình H3 minh họa hiệu ứng của hiện tượng<br /> rung này với quỹ đạo dạng zick zack xung quanh mặt trượt.<br /> Do nguyên nhân của hiện tượng rung là bởi hàm lấy dấu<br /> thực tế (20) được dùng thay cho hàm lý tưởng (10) nên để<br /> chống rung người ta thường nghĩ ngay tới các hàm thay thế<br /> gần đúng cho (20). Các hàm này đều ở dạng liên tục và chỉ có<br /> ý nghĩa làm giảm tần số thay đổi dấu của tín hiệu điều khiển,<br /> chứ không thay đổi được biên độ của dao động.<br /> <br /> = s (r −1) (x , t ) = 0<br /> <br /> s (x , t ) = s (x , t ) =<br /> <br /> s<br /> <br /> ε<br /> <br /> tanh(s )<br /> <br /> −ε<br /> <br /> H4: Giải pháp chống rung<br /> <br /> B. Chuyển về bài toán điều khiển ổn định hệ bậc 1 và 2<br /> <br /> Do ở điều khiển trượt bậc cao cần tới số lượng lớn thông<br /> tin, số chiều của mặt trượt giảm, nên để thuận lợi trong việc<br /> cài đặt, hiện nay người ta chủ yếu chỉ nghiên cứu sử dụng<br /> điều khiển trượt bậc 2 cho hệ (1) bất định hàm có một tín hiệu<br /> vào ( m = 1 ), tức là cho hệ:<br /> x = f (x , t ) + h (x , t )u<br /> <br /> x (t )<br /> x1<br /> <br /> (21)<br /> <br /> với f (x , t ) và h (x , t ) là hai vector hàm bất định. Tương<br /> ứng, mặt trượt trở thành mặt trượt đơn, có thể không dừng<br /> s (x , t ) , với:<br /> s (x , t ) = s (x , t ) = 0<br /> <br /> (22)<br /> <br /> Ghép chung hệ bất định có mô hình trạng thái (21) với<br /> mặt trượt s (x , t ) , lúc này giữ vai trò như tín hiệu đầu vào,<br /> thành hệ vào-ra:<br /> ⎧x = f (x , t ) + h (x , t )u<br /> ⎨<br /> ⎩y = s (x , t )<br /> <br /> s (x ) = 0<br /> <br /> s<br /> <br /> ε<br /> <br /> (23)<br /> <br /> thì bài toán điều khiển trượt bậc cao tương đương với bài toán<br /> điều khiển hệ (23) đạt được chất lượng:<br /> y =y =0<br /> Trường hợp hệ có bậc tương đối bằng 1<br /> <br /> s (x ) < 0<br /> H3: Hiện tượng rung<br /> <br /> Một số hàm liên tục vẫn thường được sử dụng để thay thế<br /> gần đúng cho hàm không liên tục (20) là:<br /> − Hàm khuếch đại bão hòa (hình H4a):<br /> ⎧sign(s ) khi s > ε<br /> ⎞ ⎪<br /> =<br /> ⎟ ⎨s<br /> ⎠ ⎪ khi s ≤ ε<br /> ⎩ε<br /> − Hàm hyperbolic tangent (hình H4b):<br /> sgn(s ) ≈ tanh(as )<br /> ⎛s<br /> sat ⎜<br /> ⎝ε<br /> <br /> Một kỹ thuật khác để làm giảm hiệu ứng rung là kỹ thuật<br /> trượt bậc cao. Phương pháp điều khiển trượt với mặt trượt<br /> <br /> 4<br /> <br /> Để cụ thể hóa nhiệm vụ điều khiển làm cho quỹ đạo trạng<br /> thái x (t ) của hệ bất định (21) tiến được về mặt trượt bậc 2<br /> (22) và ở lại trên đó, trước tiên ta biến đổi điều kiện trượt bậc<br /> hai (22) thành:<br /> ∂s ∂s<br /> ⎡ f (x ,t ) + h (x ,t )u ⎤⎦<br /> +<br /> ∂t ∂x ⎣<br /> ∂s<br /> (24)<br /> = + Lf s (x , t ) + Lh s (x , t )u<br /> ∂t<br /> Khi đó bài toán điều khiển trượt bậc hai nêu trên sẽ là tương<br /> đương với:<br /> s (x ,t , u ) =<br /> <br /> Tìm bộ điều khiển u (x , t ) để mọi quỹ đạo trạng<br /> thái của hệ:<br /> <br /> Bài toán 1:<br /> <br /> s = a (x , t ) + b (x , t )u<br /> <br /> với hai hàm bất định:<br /> a (x , t ) =<br /> <br /> ∂s<br /> + Lf s (x , t ) và b (x ,t ) = Lh s (x , t )<br /> ∂t<br /> <br /> (25)<br /> <br /> trong đó u được xem như tham số của hai hàm bất định<br /> trên, luôn tiến về gốc s = s = 0 của mặt phẳng pha.<br /> <br /> Tiếp theo, từ (24) ta có tiếp:<br /> s (x ,t , u , u ) =<br /> <br /> ∂s ∂s<br /> ∂s<br /> ⎡ f (x , t ) + h (x , t )u ⎤⎦ +<br /> +<br /> h (x ,t )u (26)<br /> ∂t ∂x ⎣<br /> ∂x<br /> <br /> Do đó, nếu đặt biến mới:<br /> z1 (t ) = s (x , t ) , z 2 (t ) = s (x , t )<br /> <br /> (27)<br /> <br /> sẽ còn được:<br /> ⎧z1 = z 2<br /> ⎨<br /> ⎩z 2 = ϕ (x , t , u ) + γ (x , t )u<br /> <br /> (28)<br /> <br /> ∂s ∂s<br /> ϕ (x , t , u ) =<br /> +<br /> [ f (x , t ) + h (x , t )u ]<br /> ∂t ∂ x<br /> (29)<br /> ∂s<br /> h (x , t )<br /> γ (x , t ) =<br /> ∂x<br /> Như vậy bài toán điều khiển trượt cho hệ (21) với điều<br /> kiện trượt bậc hai (22) trở thành bài toán điều khiển ổn định<br /> cho hệ (28). Hệ (28) này có u giữ vai trò như tham số mô<br /> hình, còn v = u mới chính là tín hiệu điều khiển. Bài toán<br /> điều khiển ổn định này được phát biểu như sau:<br /> <br /> Tìm bộ điều khiển u (x , u , t ) để mọi quỹ đạo trạng<br /> thái của hệ (28) có các hàm bất định ϕ (⋅), γ (⋅) cho bởi<br /> (29), ổn định tiệm cận toàn cục.<br /> <br /> Bài toán 2:<br /> <br /> Trường hợp hệ có bậc tương đối bằng 2<br /> <br /> Lh s (x , t ) = 0<br /> <br /> thì người ta gọi nó là hệ có bậc tương đối bằng 2. Ngược lại<br /> hệ sẽ được gọi là có bậc tương đối bằng 1.<br /> Với hệ có bậc tương đối bằng 2 thì hai công thức (24) và<br /> (26) trở thành:<br /> ∂t<br /> <br /> + Lf s (x , t )<br /> <br /> ∂s ∂s<br /> +<br /> [ f (x , t ) + h (x , t )u ]<br /> ∂t ∂x<br /> Do đó bài toán điều khiển trượt (21), (22) với các biến mới<br /> (27) trở thành bài toán điều khiển ổn định cho hệ:<br /> s (x , t , u ) =<br /> <br /> ⎧z1 = z 2<br /> ⎨<br /> ⎩z 2 = ϕ (x , t ) + γ (x , t )u<br /> <br /> (30)<br /> <br /> trong đó:<br /> <br /> ϕ (x , t ) =<br /> <br /> ∂s ∂s<br /> ∂s<br /> +<br /> f (x , t ) và γ (x , t ) =<br /> h (x , t )<br /> ∂t ∂x<br /> ∂x<br /> <br /> (31)<br /> <br /> và từ đây ta có bài toán thứ ba tương đương với bài toán gốc<br /> ban đầu, phát biểu như sau:<br /> Tìm bộ điều khiển phản hồi trạng thái u (x , t ) để<br /> mọi quỹ đạo trạng thái của hệ (30) có các hàm bất định<br /> ϕ (⋅), γ (⋅) cho bởi (31), ổn định tiệm cận toàn cục.<br /> <br /> Bài toán 3:<br /> <br /> Nếu hai hàm bất định a (⋅), b (⋅) của hệ<br /> (25) trong bài toán 1 thỏa mãn:<br /> <br /> Định lý 1 (Levant, 1993):<br /> <br /> a (⋅) ≤ C và 0 < K1 ≤ b (⋅) ≤ K 2<br /> <br /> (32)<br /> <br /> u = −r1 sgn s − r2 sgn s<br /> <br /> (33)<br /> <br /> trong đó:<br /> K1 (r1 + r2 ) − C > K 2 (r1 − r2 ) − C<br /> K1 (r1 − r2 ) > C<br /> <br /> và r1 > r2 > 0<br /> <br /> (34)<br /> <br /> sẽ là một nghiệm của bài toán.<br /> Chứng minh:<br /> Trước tiên ta xét tổng σ = s + s và giả sử rằng tại thời<br /> điểm đầu t = 0 có s (0) > 0, s (0) > 0 , tức là có σ (0) > 0 .<br /> Khi đó cũng có u = −r1 − r2 . Suy ra:<br /> s = ϕ (x , t ) − γ (x , t ) (r1 + r2 )<br /> < C − K1 (r1 + r2 ) < 0<br /> <br /> Như vậy s (t ) là liên tục và đơn điệu giảm với vận tốc hằng<br /> nhỏ hơn 0. Do đó phải tồn tại khoảng thời gian hữu hạn T1 để<br /> từ đó s (t ) < 0, t > T1 .<br /> <br /> Nếu hệ (21) với mặt trượt bậc hai (22) còn thỏa mãn:<br /> <br /> ∂s<br /> <br /> Bộ điều khiển trượt cho hệ bất định được Levant giới<br /> thiệu ở tài liệu [4] năm 1993, gọi là bộ điều khiển xoắn<br /> (twisting controller). Thực tế bộ điều khiển này đã được<br /> Levant bắt đầu đề cấp đến năm 1985 khi còn ở Nga dưới tên<br /> Levantosky, sau đó phát triển và hoàn thiện nó vào năm 1993,<br /> khi đã chuyển về Israel. Nội dung bộ điều khiển xoắn được<br /> phát biểu như sau:<br /> <br /> thì bộ điều khiển:<br /> <br /> trong đó:<br /> <br /> s (x , t ) =<br /> <br /> C. Bộ điều khiển xoắn (twisting)<br /> <br /> Từ đây, và với:<br /> s < 0 khi t > T1<br /> <br /> hàm s (t ) cũng liên tục, đơn điệu giảm với vận tốc hằng nhỏ<br /> hơn 0, nên cũng phải tồn tại điểm thời gian hữu hạn T2 để từ<br /> đó có:<br /> s (t ) < 0 khi t > T3 = T1 + T2<br /> <br /> Điều này chỉ rằng chỉ sau một khoảng thời gian hữu hạn<br /> T3 hàm σ (t ) đã giảm về một giá trị âm. Do σ (t ) lên tục<br /> nên cũng phải tồn tại điểm thời gian hữu hạn 0 < T / < T3 để<br /> có σ (T / ) = 0 .<br /> Chứng minh hoàn toàn tương tự cho các trường hợp còn<br /> lại bao gồm z1 (0) < 0, z 2 (0) < 0 hay z1 (0) < 0, z 2 (0) > 0 và<br /> z1 (0) > 0, z 2 (0) < 0 ta sẽ đến được kết luận chung về sự tồn<br /> tại khoảng thời gian hữu hạn T để có σ (t ) = 0 khi t > T<br /> với mọi trạng thái đầu z1 (0) và z 2 (0) .<br /> Kể từ đây và với:<br /> <br /> σ = s + s = 0 ⇔ s = −s<br /> ta cũng có s (t ) → 0 , do đó cũng có s (t ) → 0 .<br /> <br /> ■<br /> <br /> So với lời chứng minh gốc trong tài liệu [4] thì phần<br /> chứng minh trên ít "toán học" hơn nên cũng sẽ dễ chấp nhận<br /> <br /> 5<br /> <br />