ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG KHỐI LƯỢNG CƠ CẤU PHẲNG NHIỀU BẬC TỰ DO

Chia sẻ: Le Thuy Duong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

251
lượt xem 26
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG KHỐI LƯỢNG CƠ CẤU PHẲNG NHIỀU BẬC TỰ DO ThS. ĐỖ TRỌNG PHÚ Bộ môn Thiết kế Máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Giao thông Vận tải GS. TSKH NGUYỄN VĂN KHANG Bộ môn Cơ học Ứng dụng - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Tóm tắt: Bài báo giới thiệu một phương pháp thiết lập các điều kiện cân bằng cho cơ cấu phẳng nhiều bậc tự do. Phương pháp có ưu điểm là thích hợp với việc áp dụng các chương trình tính toán số đang được sử dụng rộng...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG KHỐI LƯỢNG CƠ CẤU PHẲNG NHIỀU BẬC TỰ DO

ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG KHỐI LƯỢNG CƠ CẤU PHẲNG NHIỀU BẬC TỰ DO ThS. ĐỖ TRỌNG PHÚ Bộ môn Thiết kế Máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Giao thông Vận tải GS. TSKH NGUYỄN VĂN KHANG Bộ môn Cơ học Ứng dụng - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Tóm tắt: Bài báo giới thiệu một phương pháp thiết lập các điều kiện cân bằng cho cơ cấu phẳng nhiều bậc tự do. Phương pháp có ưu điểm là thích hợp với việc áp dụng các chương trình tính toán số đang được sử dụng rộng rãi như MATLAB, MAPLE. Các điều kiện cân bằng hoàn toàn lực quán tính và mô men quán tính của cơ cấu 8 khâu phẳng 3 bậc tự do được trình bày trong một thí dụ áp dụng. Summary: This paper presents a method for deriving the balancing conditions of planar mechanics with multi - degree of freedom. The method has advantage of being suitable for the applications of the widely accessible computer algebra systems such as MATLAB, MAPLE. In the example, the conditions for complete shaking force and shaking moment balaning of a planar eight-bar linkage with 3 degree of freedom are given. CT 2 I. ĐẶT VẤN ĐỀ Để cân bằng khối lượng cơ cấu phẳng trước hết phải thiết lập được các điều kiện cân bằng. Những điều kiện cân bằng đó sẽ được sử dụng để xác định kích thước và vị trí của các đối trọng hoặc các khâu phụ thêm vào cơ cấu ban đầu để triệt tiêu lực quán tính và mô men quán tính sinh ra bởi các khâu động. Các phương pháp cân bằng cho cơ cấu phẳng một bậc tự do đã được công bố rộng rãi trong nhiều công trình nghiên cứu. Tuy nhiên, các nghiên cứu về cở sở lý thuyết cân bằng cơ cấu phẳng nhiều bậc tự do vẫn còn hạn chế, chưa có nhiều công trình được công bố. Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu một phương pháp thiết lập các điều kiện cân bằng tổng quát cho cơ cấu phẳng nhiều bậc tự do với cấu trúc bất kỳ. Thuật toán này rất phù hợp với các trình ứng dụng tính toán số hiện đang được sử dụng rộng rãi như MATLAB, MAPLE. Các điều kiện cân bằng của cơ cấu 8 khâu phẳng 3 bậc tự do sẽ được trình bày trong một thí dụ áp dụng với sự trợ giúp của hệ chương trình tính MAPLE. II. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG KHỐI LƯỢNG CƠ CẤU PHẲNG NHIỀU BẬC TỰ DO Xét hệ nhiều vật phẳng gồm p khâu, dẫn động bằng các khớp quay. Để biểu diễn hệ, sử
dụng các hệ toạ độ suy rộng q1 ,q 2 ,...,q p ; q i = ϕi . Các toạ độ suy rộng này được gọi là toạ độ T suy rộng loại 1. Véctơ các toạ độ suy rộng loại 1 có dạng: q = ⎡q1 ,q 2 ,...,q p ⎤ (2.1) ⎣ ⎦ Để biểu diễn hệ, cũng có thể sử dụng các toạ độ suy rộng loại 2. Các toạ độ suy rộng loại 2 được chọn như sau: u1i ) = cos ϕ( i ) , u (2i ) = sin ϕ( i ) , ( i = 1,.., p ) ( (2.2) T Véctơ các toạ độ suy rộng loại 2 có dạng: u = ⎡cos ϕ1 ,sin ϕ1 ,...,cos ϕ p ,sin ϕ p ⎤ (2.3) ⎣ ⎦ Khi đó vị trí khối tâm của các khâu có thể biểu diễn dưới dạng sau: x Si = e* + aiT u = e* + uT ai ; ySi = e* + b iT u = e* + u T b i (2.4) xi xi yi yi Trong đó các véctơ a i , b i gồm các phần tử không phụ thuộc vào véctơ toạ độ suy rộng u, e* i và e* i là các hằng số. Tương tự như cách biểu diễn phương trình (2.4), các phương trình x y Du = d , D = [ DI DII ] liên kết của cơ cấu có thể viết dưới dạng ma trận: (2.5) Trong đó ma trận D gồm các phần tử là các tham số hình học của cơ cấu và không phụ thuộc vào véctơ các toạ độ suy rộng u, và d là véctơ hằng. Nếu hệ có r phương trình liên kết, ký hiệu m = 2p , khi đó cỡ của các véctơ và ma trận lần lượt là: Dr×m , d r×1 . T Phân chia các phần tử của véctơ u thành hai nhóm: u = ⎡ v T wT ⎤ (2.6) ⎣ ⎦ Với v là véctơ hàm các toạ độ suy rộng tối thiểu, (2.5) có thể viết lại dưới dạng: CT 2 ⎡v⎤ [ DI DII ] ⎢ ⎥ = d ⇒ DI v + DII w = d (2.7) ⎣w ⎦ Ma trận DII được chọn sao cho là ma trận vuông không suy biến, số phần tử của véctơ w chính là số phương trình biểu diễn liên kết hình học của cơ cấu. Cỡ của các véctơ và ma trận có dạng: v ( m-r )×1 , w r×1 , ( DII )r×( m-r ) , ( DI )r×r r p dp r r Điều kiện cân bằng lực quán tính: F* = −∑ mi a i = 0 ⇒ ∑ mi vi = 0 (2.8) dt i=1 i=1 p ∑m v =0 Do là điều kiện đủ, từ (2.8) có thể suy ra: (2.9) i i i =1 p p ∑m x ∑m y = 0, =0 Viết lại (2.9) dưới dạng: (2.10) & & i Si i Si i=1 i=1 Từ (2.5), do D = [ DI DII ] ta có: Du = D I v + D II w = d (2.11) ⇒ w = D−1d − D−1DI v DII w = d − DI v (2.12) II II w = −D−1DI v Vì d là véctơ hằng số, đạo hàm (2.12) thu được: (2.13) & & II
Với v là véctơ các toạ độ suy rộng dư loại 2 tối thiểu, phương trình (2.4) có thể viết lại dưới T T ⎡v⎤ dạng: x Si = e* + ⎡aiI aiII ⎤ ⎢ ⎥ = e* + aiI v + aiII w T T T (2.14) ⎣ ⎦w xi xi ⎣⎦ T T ⎡v⎤ ySi = e* + ⎡b iI b iII ⎤ ⎢ ⎥ = e* + b iI v + b iII w T T T (2.15) ⎣ ⎦w yi yi ⎣⎦ với i = 1, 2,..., p . Và việc phân chia các phần tử của các véctơ a i , b i tương ứng với việc phân chia véctơ u: ai = [aiI aiII ] , bi = [biI biII ] T T (2.16) Trong đó các véctơ a iI , aiII , b iI , b iII có các thành phần không phụ thuộc vào véctơ u. Thay (2.12) vào (2.14) và (2.16) ta thu được: x Si = e xi + g iT v = e xi + v T gi ; ySi = e yi + h iT v = e yi + v T h i (2.17) Trong đó ta đặt: e xi = e* + aiII D−1d ; e yi = e* + b iII D−1d ; giT = aiI − aiII D−1DI , hiT = biI − biII D−1DI T T T T T T (2.18) xi II II II yi II Đạo hàm (2.17) ta thu được: x Si = g iT v, ySi = hiT v (2.19) & && & p p ∑m g ∑m h v = 0, v=0 T T Thay (2.19) vào (2.10) ta có: (2.20) & & i i i i i =1 i =1 p p ∑ mi giT = 0, ∑ mihiT = 0 . Có Từ (2.20) thu được các điều kiện đủ cân bằng lực quán tính: CT 2 i =1 i =1 p p ∑ mi gi = 0, ∑ mihi = 0 thể viết lại dưới dạng: (2.21) i =1 i =1 p ∑ ⎡m ( x ySi - ySi x Si ) + ISi ϕi ⎤ = 0 Điều kiện cân bằng mô men lực quán tính: (2.22) &⎦ & & ⎣ i Si i=1 p p ∑ mi ( xSi ySi - ySi xSi ) + ∑ ISi ϕi = K1 + K 2 = 0 Viết lại phương trình (2.22): (2.23) & & & i=1 i=1 p p K1 = ∑ mi ( x Si ySi − ySi x Si ) ; K 2 = ∑ ISi ϕi Trong đó: (2.24) & & & i=1 i=1 Thay (2.14), (2.15) và (2.19) vào (2.24) thu được: K1 = v T S1 v + l1 v & T& (2.25) p p Trong đó: S1 = ∑ mi ( g i hiT − hi g iT ) ; l1 = ∑ mi ( e xi hiT − e yi g iT ) T (2.26) i =1 i =1 Theo cách chọn (2.2), với chú ý rằng: ϕi = u1i ) u (2i ) − u (2i ) u1i ) = ϕi ( cos 2 ϕi + sin 2 ϕi ) ( &( (2.27) & & &
T ⎡ u (2i ) ⎤ ⎡ u1i ) ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡ u (2i ) ⎤ ( & & (i) (i) ⎤ Viết lại (2.27) dưới dạng ma trận: ϕi = ⎡ u1 u2 ⎦ ⎢ i ⎥ = ⎢ i ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ (i) ⎥ (2.28) & ⎣ () () ⎢ u1 ⎥ ⎢ u 2 ⎥ ⎣ −1 0 ⎦ ⎢ u1 ⎥ ⎣& ⎦ ⎣ ⎦ ⎣& ⎦ T ⎡ u (i ) ⎤ ⎡ 0 ISi ⎤ ⎡ u (2i ) ⎤ & p p Khi đó (2.24) có dạng: K 2 = ∑ ISi ϕi = ∑ ⎢ 1i ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ (i ) ⎥ = u Hu T (2.29) & & i=1 ⎢ u 2 ⎥ ⎣ − ISi () 0 ⎦ ⎢ u1 ⎥ &⎦ ⎣⎦ ⎣ i=1 Trong đó: ⎡0 ⎤ I1 | ⎢-I ⎥ 0 | ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ... | ⎢ ⎥ 0 I m-r | ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (2.30) -I m-r 0 | ⎢ ⎥ H=⎢ - - - - - | - - - - -⎥ ⎢ ⎥ | 0 I m-r +1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ | -I m-r+1 0 ⎢ ⎥ | ... ⎢ ⎥ ⎢ Im ⎥ | 0 ⎢ ⎥ | -I m 0 ⎦ m×m ⎣ ⎡H H2 ⎤ H=⎢ 1 Chia H thành ma trận khối: (2.31) H 4 ⎥ m×m ⎣ H3 ⎦ CT 2 Trong đó: H1 : ma trận phản đối xứng cỡ ( m − r ) × ( m − r ) H 4 : ma trận phản đối xứng cỡ r × r H 2 : ma trận không hình chữ nhật cỡ ( m − r ) × r H 3 : ma trận không hình chữ nhật cỡ r × ( m − r ) Với chú ý rằng H 2 , H 3 là các ma trận không. Khi đó K 2 có dạng: T ⎡ vT ⎤ ⎡H 0 ⎤⎡v⎤ & K 2 = u Hu = ⎢ T ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ w ⎥ = v H1 v + w H 4 w T T T (2.32) & & & ⎣w ⎦ ⎣ 0 H4 ⎦ ⎣ & ⎦ Thế (2.12) và (2.13) vào (2.32) ta có: K 2 = v T S 2 v + l T v (2.33) & 2& S 2 = H1 + ( DII1DI ) H 4 ( DII1DI ) ; l T = − ( DII1d ) H 4 ( D−1DI ) T T − − − Trong đó: (2.34) 2 II p p ∑ mi ( xSi ySi − ySi xSi ) + ∑ JSi ϕi = vT ( S1 + S2 ) v + ( l1T + l T ) v = 0 Viết lại (2.23): (2.35) & & & & & 2 i=1 i=1 Từ (2.35) ta thu được các điều kiện đủ để cân bằng mô men lực quán tính là: S1 + S 2 = 0, l1 + l 2 = 0 (2.36)
III. CÂN BẰNG KHỐI LƯỢNG CƠ CẤU 8 KHÂU PHẲNG 3 BẬC TỰ DO Xét cơ cấu phẳng 3 bậc tự do gồm 8 khâu như hình 3.1. Hình 3.1. Mô hình cơ cấu 8 khâu phẳng 3 bậc tự do Hệ toạ độ cố định Oxyz gắn chặt với nền, các hệ toạ độ Oi ξ i ηi ( i = 2,..,8 ) gắn chặt với các khâu OA, AB, BE,CD, DO 2 , EF, FO 3 . Khối tâm của các khâu tương ứng là: S2 ( ξ S2 , ηS2 ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S3 ( ξ S3 , ηS3 ) , S4 ξ S4 , ηS4 , S5 ξ S5 , ηS5 , S6 ξ S6 , ηS6 , S7 ξ S7 , ηS7 , S8 ξ S8 , ηS8 . Các toạ độ suy rộng lần lượt là các góc quay: ϕ2 ,ϕ3 ,ϕ4 ,ϕ5 ,ϕ6 ,ϕ7 và ϕ8 . Sử dụng các ký hiệu: li là độ dài của khâu thứ i ( i = 2,..,8 ) , trong đó l 4 = BE và l 41 = BC ; ( ) ( ) toạ độ điểm Ο≡ Ο1 ( 0,0 ) ,O 2 x O2 , y O2 ,O3 x O3 , y O3 ; m i là khối lượng của khâu thứ i; Ii là mô CT 2 men quán tính khối tâm của khâu thứ i đối với trục đi qua khối tâm Si ; A i là ma trận cosin chỉ ⎡ cos ϕi − sin ϕi ⎤ , ( i = 2,..,8 ) hướng của khâu thứ i so với hệ toạ độ cố định Oxyz : Ai = ⎢ (3.1) cos ϕi ⎥ ⎣ sin ϕi ⎦ r r ∑ l = 0 của hai vòng kín độc lập OABCDO O Từ điều kiện ràng buộc và OABEFO 3O , 2 ta có phương trình liên kết của cơ cấu 8 khâu 3 bậc tự do cho trên hình vẽ trên có dạng: ⎧l2 cosϕ2 + l3cosϕ3 + l 41cosϕ4 = x O2 + l5 cosϕ5 + l6 cosϕ6 ⎪ ⎪l2sinϕ2 + l3sinϕ3 + l 41sinϕ4 = y O2 + l5sinϕ5 + l6sinϕ6 (3.2) ⎨ ⎪l2 cosϕ2 + l3cosϕ3 + l 4 cosϕ4 = x O3 + l7 cosϕ7 + l8 cosϕ8 ⎪l sinϕ + l sinϕ + l sinϕ = y + l sinϕ + l sinϕ ⎩2 2 3 3 4 4 O3 7 7 8 8 Theo phương pháp véctơ các toạ độ suy rộng loại 2, căn cứ vào các ma trận cosin chỉ hướng ta chọn véctơ u chứa các toạ độ suy rộng như sau: u = [ cos ϕ2 ,sin ϕ2 ,cos ϕ3 ,sin ϕ3 ,cos ϕ4 ,sin ϕ4 ,cos ϕ5 ,sin ϕ5 , (3.3) cos ϕ6 ,sin ϕ6 ,cos ϕ7 ,sin ϕ7 ,cos ϕ8 ,sin ϕ8 ] T Bốn phương trình liên kết (3.2) có thể biểu diễn dưới dạng ma trận như sau:
⎡v⎤ Du = [ D I D II ] ⎢ ⎥ = D I v + D II w = d (3.4) ⎣w ⎦ ⎡l 2 0⎤ 0 l3 0 l 41 0 -l 5 0 -l 6 0 0 0 0 ⎢0 0⎥ l2 0 l3 0 l 41 0 -l 5 0 -l 6 0 0 0 D=⎢ ⎥ ⎢l 2 0⎥ 0 l3 0 l4 0 0 0 0 0 -l 7 0 -l 8 ⎢ ⎥ ⎣0 l2 0 l3 0 l4 0 0 0 0 0 -l 7 0 -l 8 ⎦ d = [ x 02 , y 02 , x 03 , y 03 ] T ⎡1 ⎤ ⎢- l 0 0 0⎥ ⎢5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎡l 2 0⎤ ⎡-l 5 0⎤ 0 l3 0 l 41 0 -l 6 0 0 0 0 1 ⎢0 - 0 0⎥ ⎢0 0⎥ ⎢ ⎥ l5 l2 0 l3 0 l 41 0 -l 6 0 ⎥;D = ⎢ 0 -l 5 0 0⎥ ⇒ DII = ⎢ ⎥ DI = ⎢ -1 ⎢ ⎥ ⎢l 2 0⎥ ⎢0 0⎥ II 0 l3 0 l4 0 0 0 -l 8 0 -l 7 1 ⎢0 0 - 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ l7 ⎣0 l2 0 l3 0 l4 0 0 0 -l 8 ⎦ ⎣0 0 0 -l 7 ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢0 0 0 -⎥ l7 ⎦ ⎣ Với các tọa độ khối tâm đã chọn và các ma trận D I , D II , các véctơ g i , h i có thể dễ dàng xác định theo phương trình (2.18). Sau đó thay vào điều kiện cân bằng lực quán tính theo công thức (2.21), ta thu được các điều kiện cân bằng tĩnh: m 2 l5 l7 ξ S2 + m3l2 l5 l7 + m 4 l2 l5 l7 + m5 l2 l7 ξ S5 + m 6 l2 l5 l7 + m 7 l2 l5 ξ S7 + m8l2 l5 l7 = 0 (3.5) m3l5 l7 ξ S3 + m 4 l3l5 l7 + m5l3l7 ξ S5 + m 6 l3l5 l7 + m 7 l3l5 ξ S7 + m8 l3l5 l7 = 0 (3.6) m 4 l5 l7 ξ S4 + m5 l41l7 ξ S5 + m 6 l41l5 l7 + m 7 l4 l5 ξ S7 + m8 l4 l5 l7 = 0 ; -m7 l6 ηS7 + m8 l7 ηS8 = 0 (3.7) CT 2 -m5 l6 ξ S5 - m 6 l5 l6 + m 6 l5 ξ S6 = 0 ; -m7 l6 ξ S7 - m8 l7 l8 + m8 l7 ξ S8 = 0 (3.8) m 2 l5 l7 ηS2 + m5 l2 l7 ηS5 + m 7 l2 l5 ηS7 = 0 ; m3l5 l7 ηS3 + m5 l3l7 ηS5 + m7 l3l5 ηS7 = 0 (3.9) m 4 l5 l7 ηS4 + m5 l41l7 ηS5 + m 7 l4 l5 ηS7 = 0 ; -m5 l5 l6 ηS5 + m 6 l5 ηS6 = 0 (3.10) Theo công thức (2.26) ta xác định được S1 và l1 . Theo công thức (2.30) ma trận H có dạng: ⎡0 0⎤ I2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎢ -I 0⎥ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎢2 ⎥ ⎢0 0⎥ 0 0 I3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢0 0 -I 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⎥ (3.11) ⎢0 0⎥ 0 0 0 0 I4 0 0 0 0 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢0 0 0 0 -I 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0⎥ ⎢0 0⎥ 0 0 0 0 0 0 I5 0 0 0 0 0 H=⎢ ⎥ ⎢0 0⎥ 0 0 0 0 0 -I 5 0 0 0 0 0 0 ⎢0 0⎥ 0 0 0 0 0 0 0 0 I6 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢0 0⎥ 0 0 0 0 0 0 0 -I 6 0 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I7 0 0⎥ ⎢0 0⎥ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -I 7 0 0 ⎢ ⎥ ⎢0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I8 ⎥ ⎢0 0 ⎥14×14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -I 8 ⎣ ⎦
Theo cách phân chia véctơ u, ta có ma trận H1 , H 4 tương ứng như sau: ⎡0 0⎤ I2 0 0 0 0 0 0 0 ⎢-I 0⎥ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎢2 ⎥ ⎢0 0⎥ 0 0 I3 0 0 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎡0 0⎤ ⎢0 0 -I 3 0 0 0 0 0 0 0⎥ I5 0 (3.12) ⎢-I 0⎥ ⎢0 0⎥ 0 0 0 0 I4 0 0 0 0 0 ; H2 = ⎢ 5 ⎥ H1 = ⎢ ⎥ ⎢0 I7 ⎥ ⎢0 0 0 0 -I 4 0 0 0 0 0⎥ 0 0 ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ 0 0 0 0 0 0 I6 0 0 ⎣0 0 -I 7 0⎦ ⎢ ⎥ ⎢0 0⎥ 0 0 0 0 0 -I 6 0 0 ⎢0 I8 ⎥ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢0 0 ⎥ 10×10 0 0 0 0 0 0 0 -I 8 ⎣ ⎦ Theo công thức (2.34) xác định được S 2 và l 2 . Từ công thức (2.36), triệt tiêu các thành phần hằng số ta xác định được các điều kiện cân bằng động: m 2 l5 l7 ξ S2 + m 2 l5 l7 ηS2 + m 3l2 l5 l7 + m 4 l2 l5 l7 + m5l2 l7 ξ S5 + m5 l2 l7 ηS5 + m6 l2 l5 l7 22 2 22 2 22 22 22 22 222 2 2 2 2 (3.13) 22 2 22 2 222 22 2 2 22 + m 7 l2 l5 ξ S7 + m 7 l2 l5 ηS7 + m8 l2 l5 l7 + I 2 l5 l7 + l2 I5 l7 + l2 l5 I7 = 0 m 3 ηS3 = 0 ; m 4 ηS4 = 0 ; m 6 ηS6 = 0 ; m8 ηS8 = 0 (3.14) 22 22 22 22 22 m3ξ S3l5 l7 + m 4 l3l5 l7 + m5 l3l7 ξ S5 + m5 l3l7 ηS5 + m 6 l3l5 l7 (3.15) 22 22 22 2 2 + m 7 l3l5 ξ S7 + m 7 l3l5 ηS7 + m8 l3l5 l7 + l3l7 I5 + l3l5 I7 = 0 22 22 22 22 22 m 4 ξ S4 l5 l7 + m5 l41l7 ξ S5 + m5l41l7 ηS5 + m 6 l41l5 l7 + m 7 l4 l5 ξ S7 (3.16) CT 2 22 22 2 2 + m 7 l4 l5 ηS7 + m8 l4 l5 l7 + l41l7 I5 + l4 l5 I7 = 0 (3.17) 2 2 2 2 m5 l6 ξ S5 + m 5 l6 ηS5 - m 6 l5 ξ S6 + m 6 l5 l6 + I5 l6 = 0 (3.18) 2 2 2 2 m 7 l8 ξ S7 + m 7 l8 ηS7 - m 8 l7 ξ S8 + m8 l7 l8 + I 7 l8 = 0 22 2 22 2 222 22 2 22 2 222 m3l5 l7 ξ S3 + m3l5 l7 ηS3 + m 4 l3 l5 l7 + m5 l3 l7 ξ S5 + m5 l3 l7 ηS5 + m6 l3 l5 l7 (3.19) 22 2 22 2 222 22 2 2 2 2 + m 7 l3 l5 ξ S7 + m 7 l3 l5 ηS7 + m8 l3 l5 l7 + I3l5 l7 + l3 I5 l7 + l3 I7 l5 = 0 2 22 2 22 22 22 22 22 2 m 4 ξ S4 l5 l7 + m 4 ηS4 l5 l7 + m5 l41l7 ξ S5 + m5l41l7 ηS5 + m 6 l41l5 l7 + m 7 l4 l5 ξ S7 (3.20) 22 2 222 22 22 22 + m 7 l4 l5 ηS7 + m8 l4 l5 l7 + I 4 l5 l7 + l41l7 I5 + l4 l5 I7 = 0 22 22 22 2 22 22 2 2 (3.21) m5l6 ξS5 + m5l6 ηS5 + m6 l5 ξS6 - 2m6 l5 ξS6 l6 + m6 l5 l6 + m6 l5 ηS6 + I6 l5 + l6 I5 = 0 22 22 22 2 22 22 2 2 (3.22) m7 l8 ξS7 + m7 l8 ηS7 + m8l7 ξS8 - 2m8l7 ξS8l8 + m8l7 l8 + m8l7 ηS8 + I8l7 + l8 I7 = 0 2 2 2 2 2 2 2 m5 l7 ηS5 x 02 l5 + m5 l7 y 02 ηS5 - m5l7 y 02 ξ S5 l5 + m5 l7 y 02 ξ S5 + m 7 l5 ηS7 x 03l7 (3.23) 2 2 2 2 2 2 2 + m 7 l5 y03 ηS7 - m 7 l5 y03ξ S7 l7 + m 7 l5 y03ξ S7 + y 02 I5 l7 + y03 I7 l5 = 0 2 2 2 2 2 2 2 -m5 l7 ξ S5 x 02 l5 + m5 l7 x 02 ξ S5 - m5 l7 y02 ηS5 l5 + m5 l7 x 02 ηS5 - m 7 l5 ξ S7 x 03l7 (3.24) 2 2 2 2 2 2 2 + m 7 l5 x 03ξ S7 - m 7 l5 y03 ηS7 l7 + m 7 l5 x 03 ηS7 + x 02 I5 l7 + x 03 I7 l5 = 0
2 2 2 2 2 2 2 m5 l41l7 ηS5 x 02 l5 + m5 l41l7 y 02 ηS5 - m5 l41l7 y 02 ξ S5 l5 + m5 l41l7 y02 ξ S5 + m 7 l4 l5 ηS7 x 03l7 (3.25) 2 2 2 2 2 2 2 + m 7 l4 l5 y03 ηS7 - m 7 l4 l5 y 03ξ S7 l7 + m 7 l4 l5 y 03ξ S7 + y 02 I5 l41l7 + y03 I7 l4 l5 = 0 2 2 2 2 2 2 2 -m5 l41l7 ξ S5 x 02 l5 + m5 l41l7 x 02 ξ S5 - m5 l41l7 y 02 ηS5 l5 + m5 l41l7 x 02 ηS5 - m 7 l4 l5 ξ S7 x 03l7 (3.26) 2 2 2 2 2 2 2 + m 7 l4 l5 x 03ξ S7 - m 7 l4 l5 y 03 ηS7 l7 + m 7 l4 l5 x 03 ηS7 + x 02 I5 l41l7 + x 03 I7 l4 l5 = 0 2 2 (3.27) m5 ηS5 x 02 l5 + m5 y 02 ηS5 - m5 ξ S5 y 02 l5 + m5 y02 ξ S5 + y02 I5 = 0 2 2 (3.28) -m5ξ S5 x 02 l5 + m5 x 02 ξ S5 - m5 ηS5 y02 l5 + m5 x 02 ηS5 + x 02 I5 = 0 (3.29) 2 2 m 7 ηS7 x 03l7 + m 7 y 03 ηS7 - m 7 ξ S7 y03l7 + m 7 y 03ξ S7 + y03 I7 = 0 2 2 (3.30) -m7 ξS7 x 03l7 + m7 x 03ξS7 - m7 ηS7 y03l7 + m7 x 03 ηS7 + x 03 I7 = 0 IV. KẾT LUẬN Tập hợp các điều kiện cân bằng ( 3.5 ÷ 3.10 ) và ( 3.13 ÷ 3.30 ) ta thu được 31 điều kiện cân bằng khối lượng độc lập của cơ cấu 8 khâu phẳng 3 bậc tự do. Trong đó, từ ( 3.5 ÷ 3.10 ) là 10 điều kiện cân bằng lực quán tính, có thể đạt được bằng cách phân bố lại khối lượng của các khâu hoặc thêm các đối trọng cân bằng vào các khâu. Từ ( 3.13 ÷ 3.30 ) là 21 điều kiện cân bằng mô men quán tính, các điều kiện này chỉ có thể đạt được khi sử dụng các khâu phụ lắp thêm vào cơ cấu. CT 2 Ví dụ trên đã cho thấy lý thuyết cân bằng đề xuất ở trên có thể thích hợp cho việc thiết lập các điều kiện cân bằng cho cơ cấu phẳng nhiều bậc tự do. Phương pháp này có ưu điểm với các trình ứng dụng tính toán số hiện đang được sử dụng rộng rãi. Tài liệu tham khảo [1]. Nguyễn Văn Khang: Động lực học hệ nhiều vật (Dynamics of Multibody Systems). Nhà xuất bản Khoa học kỹ thuật, Hà Nội 2007. [2]. Nguyễn Phong Điền: Cân bằng lực quán tính, mômen lực quán tính và mômen phát động cơ cấu phẳng. Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội 1996. [4]. Lê Tiến Hưng: Thiết lập các điều kiện cân bằng khối lượng của cơ cấu phẳng, cơ cấu không gian và đánh giá bằng tính toán mô phỏng số. Luận văn thạc sĩ. Trường Đại học Bách khoa Hà Nội 2006. [5]. Đỗ Trọng Phú: Cân bằng khối lượng cơ cấu nhiều bậc tự do. Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội 2008. [7]. Nguyen Van Khang, Nguyen Phong Dien, Pham Van Son: Balancing conditions of planar mechanisms with multi-degree of freedom. Vietnam Journal of Mechanics, 27 (2005) 204-212.
[8]. Nguyen Van Khang: Über den Massenausgleich in Mehrkörpersystemen. Technische Mechanik, Band 14, H.3-4, S.233-240, Magdenburg 1994. [9]. Jiegao Wang: Kinematic analysis, dynamic analysis and static balancing of spatial parallel mechanisms or manipulators with revolute actuators. Ph.D Thesis. Laval University 1997♦ CT 2