Định lí điểm bất động với điều kiện co kiểu Pata trong không gian b-mêtric sắp thứ tự

Chia sẻ: LaLi Sa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết trình bày việc mở rộng điều kiện co kiểu Pata trong bài viết sang không gian b-mêtric sắp thứ tự và thiết lập định lí điểm bất động cho điều kiện co mới này. Đồng thời, xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được và vận dụng định lí được thiết lập để khảo sát sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Định lí điểm bất động với điều kiện co kiểu Pata trong không gian b-mêtric sắp thứ tự

181 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG VỚI ĐIỀU KIỆN CO KIỂU PATA TRONG KHÔNG GIAN b -MÊTRIC SẮP THỨ TỰ SV. Bùi Thị Ngọc Hân ThS. Nguyễn Trung Hiếu Tóm tắt. Trong bài viết này, chúng tôi mở rộng điều kiện co kiểu Pata trong bài báo [10] sang không gian b -mêtric sắp thứ tự và thiết lập định lí điểm bất động cho điều kiện co mới này. Đồng thời, chúng tôi xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được và vận dụng định lí được thiết lập để khảo sát sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến. 1. Giới thiệu Các định lí điểm bất động là công cụ hữu ích trong việc khảo sát sự tồn tại nghiệm của những bài toán liên quan đến phương trình vi phân, phương trình tích phân và phương trình đạo hàm riêng. Trong những kết quả về điểm bất động, Nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian mêtric đầy đủ là kết quả cơ bản nhất. Do đó, nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu mở rộng nguyên lí này cho những không gian khác nhau cũng như cho các dạng ánh xạ co khác nhau. Trong hướng mở rộng Nguyên lí ánh xạ co Banach cho những không gian suy rộng, nhiều khái niệm không gian mêtric suy rộng đã được giới thiệu như không gian mêtric sắp thứ tự, không gian mêtric nón, không gian b -mêtric [8]. Trong các không gian mêtric suy rộng đó, không gian b -mêtric nhận được nhiều sự quan tâm của nhiều tác giả trong lĩnh vực lí thuyết điểm bất động bởi vì tính không liên tục của ánh xạ b -mêtric cũng như việc những kết quả về điểm bất động trong không gian b -mêtric không thể suy ra được từ những kết quả tương ứng về điểm bất động trong không gian mêtric. Do đó, nhiều kết quả về điểm bất động trong không gian b -mêtric đã được thiết lập, chẳng hạn như [2, 4] và các tài liệu tham khảo trong đó. Bên cạnh việc đề xuất những không gian mêtric suy rộng, một số tác giả đã giới thiệu những điều kiện co suy rộng [5]. Năm 2011, Pata [9] đã giới thiệu một điều kiện co suy rộng mới và được gọi là điều kiện co kiểu Pata, đồng thời, một số kết quả về điểm bất động của điều kiện co này cũng được thiết lập. Kể từ đó, những mở rộng của điều kiện co kiểu Pata trên không gian mêtric cũng như không gian mêtric suy rộng cũng được nghiên cứu. Năm 2014, Balasubramanian [6] đã thiết lập định lí điểm bất động cho ánh xạ kiểu Pata trong không gian mêtric nón đầy đủ; Eshaghi và cộng sự [3] cũng đã thiết lập một số kết quả điểm bất động kép cho điều kiện co kiểu Pata trong không gian mêtric đầy đủ sắp thứ tự, đồng thời, việc ước lượng tốc độ hội tụ của dãy lặp về điểm bất động kép cũng được giới thiệu; Kadelburg và cộng sự [10] đã khảo sát điểm bất động của điều kiện co kiểu Pata suy rộng trong không gian mêtric sắp thứ tự. Tiếp tục vấn đề thiết lập những kết quả về điểm bất động trong không gian b -mêtric, trong bài viết này, chúng tôi mở rộng điều kiện co kiểu Pata trong bài báo [10] sang không gian b -mêtric sắp thứ tự và thiết lập định lí điểm bất động cho điều kiện co mới. Đồng thời, chúng tôi vận dụng định lí được thiết lập để khảo sát sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến. Trước hết, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản được sử dụng trong bài viết.
182 Định nghĩa 1.1 ([7]). Cho X là một tập hợp khác rỗng và d : X ´ X ® [0, ¥ ) là một ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x , y , z Î X và với s ³ 1, (1) d (x , y ) = 0 khi và chỉ khi x = y . (2) d (x , y ) = d (y , x ). (3) d (x , y ) £ s(d (x , z ) + d (z , y )). Khi đó, ánh xạ d được gọi là một b -mêtric trên X và bộ (X , d , s ) được gọi là một không gian b -mêtric. Định nghĩa 1.2 ([7]). Cho (X , d , s ) là một không gian b -mêtric. Khi đó (1) Dãy {x n } được gọi là hội tụ đến x nếu lim d(x n , x ) = 0, kí hiệu là n® ¥ lim x n = x . n® ¥ (2) Dãy {x n } được gọi là dãy Cauchy nếu lim d (x n , x m ) = 0. n ,m ® ¥ (3) Không gian (X , d , s ) được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy là một dãy hội tụ. Lưu ý rằng, mỗi mêtric là một ánh xạ liên tục. Tuy nhiên, điều này không đúng đối với b -mêtric [8]. Bổ đề sau được dùng để khắc phục tính không liên tục của b - mêtric trong những chứng minh kết quả chính của bài báo. Bổ đề 1.3 ([1], Lemma 1). Cho ( X , d , s ) là một không gian b -mêtric và hai dãy {x n },{yn } lần lượt hội tụ đến x , y . Khi đó 1 2 d (x , y ) £ lim inf d (x n , y n ) £ lim sup d (x n , y n ) £ s 2d (x , y ). s n® ¥ n® ¥ Đặc biệt, nếu x = y thì lim d(x n , y n ) = 0 . Hơn nữa, với mọi z Î X , ta có n® ¥ 1 d (x , z ) £ lim inf d (x n , z ) £ lim sup d (x n , z ) £ sd (x , z ). s n® ¥ n® ¥ Bổ đề sau cũng được sử dụng trong chứng minh kết quả chính của bài báo. Bổ đề 1.4. Với a ³ 1, tồn tại hai số dương a, b thỏa mãn (1 + x )a £ ax a + b với mọi x ³ 0. a a æx + 1ö ÷ æ 1ö Chứng minh. Xét x ³ 1, ta có çç ÷ = çç1 + ÷ ÷ £ 2a . Suy ra ÷ çè x ø ÷ çè ÷ ÷ xø (1 + x )a £ 2a x a . Xét 0 £ x < 1, áp dụng định lí giá trị trung bình cho hàm số f (t ) = t a trên [x , x + 1], tồn tại c Î (x , x + 1) để f (x + 1) - f (x ) = f ¢(c). Hay (1 + x )a - x a = a c a - 1 < a 2a - 1. Suy ra (1 + x )a < x a + a 2a - 1. Chọn a > 2a , b > a 2a - 1, ta có (1 + x )a £ ax a + b.
183 2. Các kết quả chính Trước hết, chúng tôi thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ thỏa mãn điều kiện co kiểu Pata trong trong không gian b -mêtric sắp thứ tự đầy đủ. Định lí 2.1. Cho (X , d , s, ° ) là một không gian b -mêtric sắp thứ tự đầy đủ và f : X ® X là một ánh xạ tăng thỏa mãn các điều kiện sau: (1) Tồn tại x 0 sao cho x 0 ° ffx 0 . (2) Tồn tại a ³ 1, b Î [0, a ], g ³ 0 và hàm y Î Y sao cho 1- e b d ( fx , fy ) £ 2 d (x , y ) + ge a y ( e) éêë1 + d (x , x 0 ) + d (y , x 0 )ùúû , (2.1) s với mọi e Î [0,1] và mọi x , y Î X mà x ° y, trong đó Y là tập hợp các hàm số y : [0,1] ® [0, ¥ ) tăng và y (0) = 0. (3) f liên tục hoặc (X , d , s, ° ) thỏa mãn giả thiết (H): Nếu {x n } là dãy tăng trong X và lim x n = x Î X thì x n ° x với mọi n . n® ¥ Khi đó, lim f n x 0 = z Î X và z là điểm bất động của ánh xạ f . n® ¥ Chứng minh. Với x 0 Î X thỏa mãn x 0 ° fx 0, xét dãy {x n } trong X xác định bởi x n + 1 = fx n = f n x 0 với n Î ¥ . Do f là ánh xạ tăng nên x 0 ° x 1 = fx 0 ° fx 1 = x 2 ° fx 2 = x 3 ° fx 3 = ... ° fx n = x n + 1 ° ... Do đó, {x n } là dãy tăng. Giả sử tồn tại n 0 Î ¥ sao cho x n = x n +1 thì x n = fx n 0 0 0 0 hay x n là điểm bất động của f . Do đó, ta giả sử x n ¹ x n + 1 với mọi n Î ¥ . Ta chứng 0 minh {d(x n , x n + 1 )} là dãy giảm. Giả sử tồn tại k Î ¥ * sao cho d(x k - 1, x k ) £ d(x k , x k + 1). Khi đó, trong (2.1), thay x bởi x k - 1, y bởi xk và đặt b K = g éêë1 + d(x k - 1, x 0 ) + d(x k , x 0 )ù û ³ 0, ú ta có 1- e d (x k , x k + 1 ) = d ( fx k - 1, fx k ) £ 2 d (x k - 1, x k ) + K e a y ( e). s Khi đó 1- e d (x k , x k + 1 ) £ 2 d ( x k - 1 , x k ) + K e a y ( e) s 1- e £ 2 d ( x k , x k + 1 ) + K e a y ( e) s £ (1 - e)d (x k , x k + 1 ) + K e a y ( e).
184 Suy ra ed(x k - 1, x k ) £ K e a y (e) £ K ey (e). Do đó e éêëd (x k - 1, x k ) - K y ( e)ùúû£ 0 với mọi e Î [0,1]. Vì vậy d(x k - 1, x k ) - K y (e) £ 0 với mọi e Î [0,1]. Điều này dẫn đến d(x k - 1, x k ) £ K y (e) với mọi e Î [0,1]. Cho e = 0, ta được d(x k - 1, x k ) £ K y (0) = 0. Suy ra d(x k - 1, x k ) = 0. Điều này là một mâu thuẫn. Do đó, {d(x n , x n + 1 )} là dãy giảm. Khi đó, tồn tại d * ³ 0 để lim d (x n , x n + 1 ) = d *. Đặt cn = d(x n , x 0 ). Vì {d(x n , x n + 1 )} là dãy giảm n® ¥ nên d(x n , x n + 1) £ d(x n - 1, x n ) £ ... £ d(x 0, x 1) = c1. (2.2) Do đó d(x n , x1 ) + d(x n + 1, x 0 ) £ sd(x n , x 0 ) + sd(x 0, x 1) + sd(x n + 1, x n ) + sd(x n , x 0 ) £ 2s(c1 + cn ). (2.3) Từ (2.1), (2.2) và (2.3), ta có cn = d ( x n , x 0 ) £ sd (x n , x n + 1 ) + sd (x n + 1, x 0 ) £ sd (x n , x n + 1 ) + s 2d (x n + 1, x 1 ) + s 2d (x 1, x 0 ) £ sc1 + s 2d (x n + 1, x 1 ) + s 2c1 = (s + s 2 )c1 + s 2d ( fx n , fx 0 ) b £ (s + s 2 )c1 + (1 - e)d (x n , x 0 ) + s 2 ge a y ( e) éêë1 + d (x n , x 0 ) + d (x 0, x 0 ) ù ú û £ (s + s 2 )c1 + (1 - e)cn + ge a y ( e)(1 + cn )a . a Do đó ecn £ (s + s 2 )c1 + gea y (e) éêë1 + cn ùúû . Áp dụng Bổ đề 1.4, suy ra tồn tại hai số dương c, d sao cho ecn £ (s + s 2 )c1 + ge a y ( e)(1 + cn )a £ c e a y ( e)cna + d . Giả sử {cn } không bị chặn. Khi đó, tồn tại dãy con cn ® ¥ thỏa mãn i a æ ö æ ö 1+ d çç1 + d ÷÷ çç1 + d ÷ ÷ ecn £ c e y (e)c + d. Chọn e = ei = a a , ta có 1 + d £ c ç ÷ ÷ yç ÷ ÷cna + d . ç çè cn i ÷ ç ø èç cn i ÷ ni i cn i ÷ ÷ ø i æ ö æ ö a ç1 + d ÷÷ a çç1 + d ÷ ÷ Điều này dẫn đến 1 £ c (1 + d ) y çç ÷ ÷. Vì c ® ¥ nên 1 £ c (1 + b ) y çç ÷ ® 0. ÷ ç ÷ ÷ çè cn i ø ni çè cn i ÷ ÷ ø Điều này là một mâu thuẫn. Vậy {cn } là dãy bị chặn. Mặt khác, từ (2.1), ta có 1- e b d (x n , x n + 1 ) = d ( fx n - 1, fx n ) £ 2 d (x n - 1, x n ) + ge a y ( e) éêë1 + d (x n - 1, x 0 ) + d (x n , x 0 ) ù ú û . s Do {cn } bị chặn nên tồn tại M ³ 0 sao cho cn £ M với mọi n Î ¥ . Do đó, b é1 + d(x , x )+ d(x , x )ù £ (1 + 2M )b . Đặt K = g(1 + 2M )b ³ 0. Ta có êë n- 1 0 n 0 ú û 1- e d (x n , x n + 1 ) £ 2 d (x n - 1, x n ) + K e a y ( e). s
185 Cho n ® ¥ , ta có 1- e * d* £ 2 d + K e a y ( e) £ (1 - e)d * + K e a y ( e). s Suy ra ed * £ K e a y ( e) £ K ey ( e). Do đó, e éêd * - K y ( e)ùú£ 0 với mọi e Î [0,1]. ë û Vì vậy d - K y ( e) £ 0 với mọi e Î [0,1]. Điều này dẫn đến d * £ K y ( e) với mọi * e Î [0,1]. Cho e = 0, ta có d * £ K y (0) = 0. Vì vậy d * = 0. Tiếp theo, ta chứng minh {x n } là dãy Cauchy. Giả sử ngược lại {x n } không là dãy Cauchy. Khi đó, tồn tại d > 0 và hai dãy con {x n (k ) }, {x m (k ) } sao cho m (k ) ³ n (k ) ³ k và d(x n (k ) , x m (k ) ) ³ d. (2.4) Với mỗi k , n (k ) ta chọn m (k ) là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn (2.4). Suy ra d(x n (k ), x m (k )- 1 ) < d. Khi đó d £ d (x n (k ) , x m (k ) ) £ sd (x n (k ) , x m (k )- 1 ) + sd (x m (k )- 1, x m (k ) ) < s d + sd (x m (k )- 1, x m (k ) ). Cho k ® ¥ , ta có lim sup d (x n ( k ) , x m ( k ) ) £ sd. k® ¥ Tương tự, ta cũng có d £ d (x n (k ) , x m (k ) ) £ sd (x n (k ) , x n (k )+ 1 ) + sd (x n (k )+ 1, x m (k ) ) Cho k ® ¥ , ta có d limsup d (x n (k )+ 1, x m (k ) ) ³ . k® ¥ s Mặt khác, trong (2.1), thay x bởi x n ( k ) và y bởi x m (k )- 1 , ta có d (x n (k )+ 1, x m (k ) ) = d ( fx n (k ) , fx m (k )- 1 ) 1- e b £ d (x n ( k ) , x m (k )- 1 ) + ge a y ( e) éê1 + d (x n (k ) , x 0 ) + d (x m (k )- 1, x 0 )ù ú . s 2 ë û Do {cn } bị chặn nên tồn tại M ³ 0 sao cho cn £ M với mọi n Î ¥ . Do đó, b é1 + d (x , x ) + d (x , x 0 )ù ú £ (1 + 2M ) . Đặt K = g(1 + 2M ) > 0. Khi đó b b ëê n (k ) 0 m ( k )- 1 û 1- e d (x n ( k ) + 1, x m ( k ) ) £ 2 d (x n ( k ) , x m ( k )- 1 ) + K e a y ( e). (2.5) s Cho k ® ¥ trong (2.5), ta được d 1- e 1- e £ 2 d + K e a y ( e) £ d + K e a y ( e). s s s
186 Suy ra ed £ sK e a y ( e) £ K e a y ( e) £ K ey (e). Do đó, e éêëd - K y ( e)ùúû£ 0 với mọi e Î [0,1]. Vì vậy d - K y ( e) £ 0 với mọi e Î [0,1]. Điều này dẫn đến d £ K y ( e) với mọi e Î [0,1]. Cho e = 0, ta có d £ K y (0) = 0. Suy ra d = 0. Điều này là một mâu thuẫn. Do đó, {x n } là dãy Cauchy. Do ( X , d , s ) là không gian b -mêtric đầy đủ nên tồn tại z Î X để lim x n = z . Điều này dẫn đến lim f n x 0 = z . n® ¥ n® ¥ Giả sử f là ánh xạ liên tục. Khi đó, z = lim x n + 1 = lim fx n = f (lim x n ) = fz hay n® ¥ n® ¥ n® ¥ z là điểm bất động của f . Giả sử giả thiết (H ) được thỏa mãn. Do {x n } là dãy tăng và lim x n = z nên n® ¥ x n ° z . Do đó, trong (2.1), thay x bởi x n và y bởi z , ta được 1- e b d (x n + 1, fz ) = d ( fx n , fz ) £ 2 d (x n , z ) + ge a y ( e) éêë1 + d (x n , x 0 ) + d (z , x 0 )ù û. ú (2.6) s Cho n ® ¥ trong (2.6) và sử dụng Bổ đề 1.3, ta có b d(z , fz ) £ s gea y (e) éëê1 + sd(z, x 0 ) + d(z, x 0 )ù ú. û Cho e = 0, ta có d (z , fz ) £ 0. Vì vậy fz = z hay z là điểm bất động của f . Định lí sau thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ thỏa mãn điều kiện co kiểu Pata trong không gian b -mêtric sắp thứ tự đầy đủ. Định lí 2.2. Cho (X , d , s, ° ) là một không gian b -mêtric sắp thứ tự đầy đủ và f : X ® X là một ánh xạ tăng sao cho (1) Các giả thiết của Định lí 2.1 được thỏa mãn. (2) Với mọi u , v là điểm bất động của f , tồn tại w Î X sao cho w so sánh được với u , v và w ° fw. Khi đó, f có điểm bất động duy nhất. Chứng minh. Theo chứng minh của Định lí 2.1, f có điểm bất động. Giả sử u , v là hai điểm bất động của f . Khi đó, tồn tại w Î X sao cho w so sánh được với u , v và w ° fw. Do w ° fw nên bằng cách xem w là x 0 trong Định lí 2.1, ta có lim f n w = z . Ta sẽ chứng minh u = v = z . n® ¥ Trước hết, ta chứng minh u = z . Giả sử w ° u. Do f là hàm tăng nên fw ° fu và do đó f 2w ° f 2u . Tiếp tục quá trình này, ta được f n w ° f n u với n ³ 1. Do đó, từ (2.1), ta có d (u, f n w ) = d ( ff n - 1u , ff n - 1w ) 1- e b é1 + d ( f n - 1u, x ) + d ( f n - 1w, x ) ù £ d ( f n- 1 u , f n- 1 w ) + ge a y ( e ) êë 0 ú s2 0 û 1- e n- 1 a b é1 + d ( f n - 1u, x ) + d ( f n - 1w, x )ù . = d (u , f w ) + ge y ( e ) êë 0 0 ú û (2.7) s2
187 Cho n ® ¥ trong (2.7) và sử dụng Bổ đề 1.3, ta được 1 1- e b d (u, z ) £ d (u, z ) + ge a y ( e) éêë1 + d (u, x 0 ) + sd (z , x 0 )ù û. ú s s b Suy ra ed (u , z ) £ N e a y ( e) với N = s g éêë1 + d(u, x 0 ) + sd(z , x 0 )ùúû > 0. Điều này dẫn đến d (u, z ) £ N y ( e) với mọi e Î [0,1]. Cho e = 0, ta có d (u, z ) £ K y (0) = 0. Suy ra d (u , z ) = 0 hay u = z . Bằng cách tương tự, ta cũng chứng minh được v = z . Vậy u = v. Nhận xét 2.3. Vì mỗi mêtric là một b -mêtric với s = 1 nên từ Định lí 2.1 ta nhận được [10, Theorem 3.1]. Tiếp theo, chúng tôi xây dựng ví dụ minh họa cho sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ thỏa mãn các giả thiết của Định lí 2.1. Hơn nữa, ví dụ này cũng chứng tỏ rằng Định lí 2.1 là một mở rộng của [10, Theorem 3.1]. Ví dụ 2.4. Cho X = {1, 2, 3, 4, 5} với thứ tự thông thường £ trên ¡ và ánh xạ d : X ´ X ® [0, ¥ ) xác định bởi ìï 0 neá ux= y ïï ïï 1 neá u ( x, y) Î {(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)} ïï d( x, y) = í 2 neá u ( x, y) Î { (2,3),(3,2)} ïï ïï 38 neá u ( x, y) Î { (1,4),(4,1),(1,5),(5,1)} ïï ïî 18 tröôøng hôïp coø n laïi. Khi đó, (X , d , s, ° ) là không gian b -mêtric sắp thứ tự đầy đủ với s = 2. Xét ánh xạ f : X ® X xác định bởi f 1 = f 2 = f 3 = f 4 = 1, f 5 = 3. Chọn x 0 = 1. Ta có x 0 £ fx 0 . Chọn và y (t ) = t với t Î [0,1]. Khi đó, với mọi a = b = g= 1 (x , y ) Î X ´ X mà x £ y và với mọi e Î [0,1], ta xét các trường hợp sau. Trường hợp 1. x = y hoặc (x , y ) Î {(1, 2),(1, 3),(1, 4),(2, 3),(2, 4),(3, 4)}. Khi đó 1- e b é1 + d (x , x ) + d (y , x )ù . d ( fx , fy ) = 0 £ d ( x , y ) + ge a y ( e ) ê ë 0 0 ú û 22 Trường hợp 2. (x , y ) = (1,5). Khi đó d ( fx , fy ) = 1 và 1- e b 19 2 2071 2 d (x , y ) + ge a y ( e) éêë1 + d (x , x 0 ) + d (y , x 0 ) ù ú û = (4 e - ) + + 23e 2. 2 16 256 Trường hợp 3. (x , y ) Î {(2,5),(3,5)}. Khi đó d ( fx , fy ) = 1 và 1- e a é1 + d (x , x ) + d (y , x )ù = (3e - 3 )2 + 63 + 31e 2 . b d ( x , y ) + ge y ( e ) ê ë 0 0 ú û 22 4 16 Trường hợp 4. (x , y ) = (4,5). Khi đó d ( fx , fy ) = 1 và
188 1- e a é1 + d (x , x ) + d (y , x )ù = (3e - 3 )2 + 63 + 68e 2 . b d ( x , y ) + ge y ( e ) êë 0 0 ú û 22 4 16 Như vậy, từ các trường hợp trên ta có điều kiện (2) của Định lí 2.1 được thỏa mãn. Hơn nữa, f là ánh xạ tăng và liên tục. Do đó, các giả thiết của Định lí 2.1 được thỏa mãn. Vì vậy, Định lí 2.1 áp dụng được cho ánh xạ f . Tuy nhiên, vì 38 = d (4,1) > d (4, 3) + d (3,1) = 19 nên ánh xạ d không là một mêtric trên X . Do đó, [10, Theorem 3.1] không áp dụng được cho ánh xạ d đã chọn. Cuối cùng, chúng tôi vận dụng Định lí 2.1 để khảo sát sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến. Hệ quả 2.5. Cho C [a, b] là tập hợp các hàm số liên tục trên [a, b ] , quan hệ thứ tự trên C [a, b] xác định bởi: x ° y nếu x (t ) £ y (t ) với mọi t Î [a, b ] và b -mêtric d với s = 2p- 1 trên C [a, b ] xác định bởi d (x , y )  sup | x (t )  y (t )| p t [a ,b ] với mọi x , y  C [a, b ] và với p  1. Xét phương trình tích phân phi tuyến b x (t )  g(t )   K (t , s, x (s ))ds (2.8) a trong đó t  [a, b], g : [a, b]  , K : [a, b]  [a, b]  x ([a, b])  với mỗi x  [a, b] là các hàm số cho trước. Giả sử các giả thiết sau được thỏa mãn: (H1) g là hàm số liên tục trên [a, b ] và mỗi t Î [a, b ], x Î C [a, b ] sao cho K (t , s, x (s )) khả tích theo biến s trên [a, b]. b (H2) T x Î C [a, b] với x Î C [a, b], trong đó T x (t )  g(t )   K (t , s, x (s ))ds với a t Î [a, b]. (H3) Với t Î [a, b], x , y Î C [a, b] mà x (u ) £ y (u ) với mọi u Î [a, b] , ta có K (t , s, x (s )) £ K (t , s, y (s )). b (H4) Tồn tại x 0 Î C [a, b] sao cho x 0 (t ) £ g(t ) + ò K (t , s, x (s ))ds 0 với mọi a t Î [a, b ]. (H5) Với t , s Î [a, b ] và x , y Î C [a, b] sao cho x (u ) ° y (u ) với mọi u Î [a, b] , tồn tại hằng số a ³ 1 và b Î [0, a ] sao cho p K (t , s, x (t )) - K (t , s, y (t )) b p é p pù £ x(t , s )(1 - e) x (t ) - y (t ) + e a y ( e) ê1 + x (t ) - x 0 (t ) + y (t ) - x 0(t ) ú êë ú û với mọi e Î [0,1], trong đó x : [a, b]´ [a, b] ® [0, ¥ ) là hàm số liên tục thỏa mãn
189 b 1 sup ò x(s, t )ds £ . t Î [a ,b ] a 22 p- 2 (b - a )p- 1 Khi đó, phương trình tích phân phi tuyến (2.8) có nghiệm x Î C [a, b ]. Chứng minh. Xét ánh xạ T : C [a, b]  C [a, b] xác định bởi b T x (t )  g(t )   K (t , s, x (s ))ds a với mọi t  [a, b ] và x  C [a, b ]. Khi đó, sự xác định của ánh xạ T được suy ra từ giả thiết (H1) và (H2). Hơn nữa, sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T dẫn đến sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân (2.8). Do đó, ta sẽ chứng minh rằng các giả thiết của Định lí 2.1 được thỏa mãn. (1) Với x , y Î C [a, b] mà x ° y, ta có x (s ) £ y (s ) với mọi s Î [a, b ]. Do đó, từ giả thiết (H3), với mọi t Î [a, b], ta có b b T x (t ) = g(t ) + ò K (t , s, x (s ))ds £ g(t ) + ò K (t , s, y (s ))ds. a a Điều này dẫn đến T x ° T y hay T là ánh xạ tăng. (2) Từ giả thiết (H4), ta suy ra tồn tại x 0 Î C [a, b] sao cho x 0 ° T x 0. 1 1 (3) Lấy q  1 sao cho   1. Từ giả thiết (H5), ta có p q p b b | T x (t ) - T y (t )| £ ò K (t , s, x (s ))ds - ò K (t , s, y (s ))ds p a a p æb ö ÷ ç £ ççò K (t , s, x (s )) - K (t , s, y (s )) ds ÷ ÷ ÷ çè a ÷ ø p é 1 1ù êæb ö q æb ÷ çç ö pú ÷ú ç £ êêççò ds ÷ K (t , s, x (s )) - K (t , s, y (s )) ds ÷ p êçè a ø ÷ ÷ çò ÷ èç a ÷ ÷ú ø÷ ú êë ú û éb ù ê x(t , s )(1 - e)| x (t ) - y (t )| pds ú êò ú £ (b - a ) p- 1 êêa b ú ú ê é b pù ú ê+ ò e y ( e) êë1+ | x (t ) - x 0 (t )| + | y (t ) - x 0 (t )| ú a p ds ú êë a û ú û b £ (1 - e)(b - a ) p- 1 d (x , y ) ò x(t , s )ds a b + (b - a ) e y ( e) éêë1 + d (x , x 0 ) + d (y, x 0 )ù p a ú û
190 1- e b é1 + d (x , x ) + d (y , x )ù . £ d ( x , y ) + (b - a ) p a e y ( e ) ê ë 0 0 ú û 22 p- 2 Do đó, điều kiện (2.1) thỏa mãn với g = (b - a ) p ³ 0. (4) C [a, b] là không gian b -mêtric đầy đủ với b -mêtric d đã chọn. Hơn nữa, giả sử {x n } là dãy tăng trong C [a, b ] và lim x n = x . Khi đó, với mỗi t Î [a, b], ta có n® ¥ x1(t ) £ x 2(t ) £ ... £ x n (t ) £ ... và lim x n (t ) = x (t ). Do đó, với mỗi t Î [a, b], ta có n® ¥ x n (t ) £ x (t ) với mọi n Î ¥ . Suy ra x n ° x với mọi n Î ¥ . Vậy giả thiết (H) trong Định lí 2.1 được thỏa mãn. Như vậy, các giả thiết của Định lí 2.1 được thỏa mãn. Do đó, ánh xạ T có điểm bất động x Î C [a, b ]. Vì vậy, phương trình tích phân phi tuyến (2.8) có nghiệm x Î C [a, b]. Tài liệu tham khảo [1]. A. Aghajani, M. Abbas, and J. R. Roshan (2014), “Common fixed point of generalized weak contractive mappings in partially ordered b -metric spaces”, Math. Slovaca, 64(4), 941 – 960. [2]. J. R. Roshan, V. Parvaneh, S. Sedghi, N. Shobkolaei, and W. Shatanawi (2013), “Common fixed points of almost generalized ( y , j )s -contractive mappings in ordered b-metric spaces”, Fixed Point Theory Appl., 2013:159, 1 – 23. [3]. M. Eshaghi, S. Mohseni, M. R. Delavar, M. D. L. Sen, G. H. Kim, and A. Arian (2014), “Pata contractions and coupled type fixed point”, Fixed Point Theory Appl., 2014:130, 1 – 10. [4]. N. T. Hieu and N. V. Dung (2015), “Some fixed point results for generalized rational type contraction mappings in partially ordered b-metric spaces”, Facta Univ. Ser. Math. Inform. 30(1), 49 – 66. [5]. P. Collaco and J. C. E. Silva (1997), “A complete comparison of 25 contraction conditions”, Nonlinear Anal., 30(1), 471 – 476. [6]. S. Balasubramanian (2014), “A Pata-type fixed point theorem”, Math. Sci., 8(3), pp.65 – 69. [7]. S. Czerwik (1998), “Nonlinear set-valued contraction mappings in b -metric spaces”, Atti Semin. Mat. Fis. Univ. Modena, 46(2), 263 – 276. [8]. T. V. An, N. V. Dung, Z. Kadelburg, and S. Radenovic (2015), “Various generalizations of metric spaces and fixed point theorems”, Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fis. Nat. Ser. A Mat. RACSAM, 109, 175 – 198. [9]. V. Pata (2011), “A ﬁxed point theorem in metric spaces”, J. Fixed Point Theory Appl., 10, 299 – 305. [10]. Z. Kadelburg and S. Radennovic (2014), “Fixed point and tripled fixed point theorems under Pata-type conditions in ordered metric paces”, Int. J. Anal. Appl., 6(1), 113 – 122.