Định lý Steiner cho tứ giác toàn phần

Chia sẻ: Nguyen Cong Tuan Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

268
lượt xem 26
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'định lý steiner cho tứ giác toàn phần', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Định lý Steiner cho tứ giác toàn phần

NH LÝ STEINER CHO T GIÁC TOÀN PH N nh lý 1: Cho t giác BCEF v i các c nh bên c t nhau t i A, D (t giác toàn ph n). Khi ó các ư ng tròn ngo i ti p các tam giác ABC, AEF, BFD, CDE ng quy t i m t i m M g i là i m Miquel c a t giác. Ch ng minh: Gi s các các ư ng tròn ngo i ti p các tam giác ABC, AEF c t nhau t i M. Ta ch ng minh các ư ng tròn còn l i cũng i qua M. Th t v y: · · ( MA, MC ) = ( BA, BC ) ( mod π )   · · ( ME, MA) = ( FE, FA) ( mod π )  A · · · ⇒ ( ME , MC ) = ( BA, BC ) + ( FE , FA ) ( mod π ) · · · · ⇒ ( ME , MC ) = ( FA, BD ) + ( FD, FA) = ( FD, BD ) O4 O1 · = ( DE , DC ) ( mod π ) B Do ó ư ng tròn ngo i ti p tam giác CDE M C cũng i qua M. Tương t ta có i u c n ch ng minh. P3 P2 P1 O3 O2 nh lý 2: Các tâm c a các ư ng tròn trên và i m F E D Miquel M cùng n m trên m t ư ng tròn. Ch ng minh: G i O1 , O2 , O3 , O4 l n lư t là tâm các ư ng tròn ngo i ti p các tam giác AEF, BFD, CDE, ABC. Ta ch ng minh O1 , O2 , O3 , M cùng n m trên m t ư ng tròn. Th t v y: H P , P2 , P3 l n lư t là chân ư ng vuông góc t M xu ng O2O3 , O3O1 , O1O2 . 1 Khi ó rõ ràng P , P2 , P3 l n lư t là trung i m MD, ME, MF. 1 Do ó P , P2 , P3 th ng hàng. 1 Theo nh lý v ư ng th ng Simson ( o) ta có: O1 , O2 , O3 , M cùng n m trên m t ư ng tròn. Tương t suy ra O1 , O2 , O3 , O4 , M cùng n m trên m t ư ng tròn. nh lý 3: Các chân ư ng vuông góc h t M xu ng các ư ng th ng ABF, ACE, BCD, DEF cùng n m trên m t ư ng th ng d1 .
Ch ng minh: K t qu này khá hi n nhiên khi ta s d ng ư ng th ng Euler cho i m M v i 2 trong 4 tam giác ABC, AEF, BFD, CDE. nh lý 4: Các tr c tâm c a 4 tam giác trên cùng n m trên m t ư ng th ng d 2 ( ư ng th ng Steiner c a t giác). nh lý 5: Hai ư ng th ng d1 , d 2 song song. A Ch ng minh: (c hai nh lý 4,5) G i H1 , H 2 , H 3 , H 4 ; K1 , K 2 , K 3 , K 4 l n lư t là tr c tâm c a các tam giác nói trên và chân các ư ng vuông góc h t M xu ng các ư ng th ng trong nh lý 3. B M Ta ch ng minh: H 2 H 4 / / K 2 K 4 . H4 K2 Th t v y: · G i DH 2 ∩ BF = G , gi s DBF ≤ 900 ta có: C BG · · BD cos DBF FD cos DBF G H2 BH 2 = = = · cos FBH 2 · sin BFD · sin DBF · = FD cot DBF F D Tương t v i tam giác ABC ta có: E K4 BH 4 = − AC cot · · ABC = AC cot DBF BH 2 FD Do ó: = BH 4 AC M t khác xét hai tam giác MDF và MCA ta có: · · · DMF = DBF = CMA   FD MK 4  ⇒ ∆MDF : ∆MCA ⇒ = · · · FDM = ABM = ACM  AC MK 2  Xét hai tam giác BH 2 H 4 , MK 4 K 2 ta có: BH 2 MK 4 = BH 4 MK 2 · · H 2 BH 4 = K 4 MK 2 (do BH 4 / / MK 2 , BH 2 / / MK 4 ) Suy ra BH 2 H 4 : MK 4 K 2 ⇒ H 2 H 4 / / K 4 K 2 (do BH 4 / / MK 2 , BH 2 / / MK 4 ) Tương t suy ra H1 , H 2 , H 3 , H 4 th ng hàng trên d 2 và d1 / / d 2 . nh lý 6:
Các trung i m c a các o n th ng AD, BE, CF cùng n m trên m t ư ng th ng d3 ( ư ng th ng Newton hay ư ng th ng Gass ). nh lý 6 là m t k t qu r t n i ti ng và có nhi u cách ch ng minh khác nhau. ây ta còn có m t k t qu n a xoay quanh ư ng th ng này ư c trình bày trong nh lý 7 dư i ây. K t h p các nh lý này ta có m t cách ch ng minh khác khá thú v cho c hai. nh lý 7: ư ng th ng Newton vuông góc v i các ư ng th ng d1 , d 2 . Ch ng minh: (c hai nh lý 6,7) G i M 1 , M 2 , M 3 l n lư t là trung i m c a các o n A th ng AD, BE, CF . Ta có: uuuuuu uuuuu r r uuu uuu uuuuu uuuur r r r ( )( 2 M 1M 2 .K 3 K 4 = AB + DE MK 4 − MK 3 ) K3 uuu uuuuu uuu uuuuu uuu uuuur uuu uuuur r r r r r r = AB.MK 4 + DE.MK 4 − AB.MK 3 − DE.MK 3 M1 uuu uuuuu uuu uuuur r r r = AB.MK 4 − DE.MK 3 M uuu uuuuu r r uuu uuuur r B ( ) = AB.MK 4 .cos AB, MK 4 − DE.MK 3 .cos DE , MK 3 ( ) uuu uuuur r ( = ( AB.MK 4 − DE.MK 3 ) .cos DE , MK 3 ) M2 C uuu uuuuu r r uuu uuuur r ( ( ) ( ) do AB, MK 4 = DE , MK 3 : AB ⊥ MK 3 , DE ⊥ MK 4 ) F E K4 D =0  · · MDE = MBA MK 4 MK 3   Do    ⇒ ∆MDE : ∆MBA ⇒ =  · · MED = MAB   DE AB    Do ó M 1M 2 ⊥ K 3 K 4 . Tương t ta suy ra M 1 , M 2 , M 3 th ng hàng trên d3 ⊥ d1 , d 2 . Dư i ây ta v n còn m t s k t qu thú v khác n a xoay quanh t giác toàn ph n mà b n thân tác gi bài vi t này cũng chưa th c s hoàn ch nh ư c cách ch ng minh t t nh t cho chúng! R t mong ư c s giúp s c c a các b n! nh lý 8: 16 i m g m các tâm ư ng tròn n i ti p và bàng ti p các tam giác ABC, AEF, BFD, CDE t o thành 8 b 4 i m trong ó m i b 4 i m này n m trên m t ư ng tròn khác nhau (1 i m có th n m trên nhi u ư ng tròn khác nhau). nh lý 9:
8 ư ng tròn k trên chia thành hai nhóm trong ó m i ư ng tròn thu c nhóm này u tr c giao v i t t c ư ng tròn nhóm kia. Các tâm c a các ư ng tròn thu c cùng m t nhóm n m trên m t ư ng th ng khác nhau (g i là hai ư ng th ng d 4 , d5 ). nh lý 10: Hai ư ng th ng d 4 , d5 vuông góc v i nhau t i i m Miquel M.