Động lực học ứng dụng về sóng mặt đại dương ( Quyển 1 ) - Chương 6

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

85
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các hiệu ứng tổn thất cột n-ớc tại eo hẹp đối với sự phân tán sóng dài: Lý thuyết thuỷ lực Trong lý thuyết lý t-ởng về sóng phân tán trong chất lỏng không nhớt, ng-ời ta th-ờng giả thiết chất lỏng chuyển động song song với biên cứng của t-ờng hay của vật thể. Tuy nhiên, trên thực tế gradient áp suất ng-ợc và độ nhớt có thể làm chậm chuyển động gần nơi dòng uốn l-ợn đột ngột, buộc dòng chảy bị phân tách và tạo ra các xoáy n-ớc có độ xoáy cao, gây mất năng l-ợng...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Động lực học ứng dụng về sóng mặt đại dương ( Quyển 1 ) - Chương 6

 ( z 2 − 2i γ z − γ 2 )    γ  dz ∞ + iγ 2 / 4K 2 J = J p + J ε = −i π e γ J = 1 − erf   . exp − (D.8) . (D.2)  2 K  z − ∞ + iγ  4K 2     NÕu γ < 0 , ta viÕt γ = − γ , ®iÒu nμy cã nghÜa lμ thay thÕ i Cùc b©y giê n»m t¹i gèc cña mÆt z trong khi ®ã ®−êng lÊy b»ng −i trong hμm bÞ tÝch cña ph−¬ng tr×nh (D.1), tøc thay ®æi tÝch ph©n n»m ë trªn trôc z thùc. Theo ®Þnh lý Cauchy, ®−êng lÊy tÝch ph©n cã thÓ ®−îc thay b»ng trôc z thùc nghÜa lμ ë trªn dÊu. gèc. B©y giê ta t¸ch tÝch ph©n thμnh hai phÇn: mét tÝch ph©n gi¸ trÞ gèc J p : ∞ d z − ( z 2 −2 i γ z ) / 4 K 2 2 / 4K 2 J p = eγ e ƒ , (D.3) Ch−¬ng 6 - C¸c hiÖu øng tæn thÊt cét n−íc t¹i z −∞ eo hÑp ®èi víi sù ph©n t¸n sãng dμi: Lý thuyÕt vμ mét tÝch ph©n däc theo chç t¸ch: thuû lùc θ =0 dεe iθ  2 / 4K 2 2 / 4K 2 Jε = eγ = −iπe γ lim . (D.4) εe iθ ε →0 θ=π Trong lý thuyÕt lý t−ëng vÒ sãng ph©n t¸n trong chÊt láng Ký hiÖu tÝch ph©n gi¸ trÞ gèc trong (D.3) b»ng F kh«ng nhít, ng−êi ta th−êng gi¶ thiÕt chÊt láng chuyÓn ®éng ∞ d z − ( z 2 −2 i γ z ) / 4 K 2 song song víi biªn cøng cña t−êng hay cña vËt thÓ. Tuy nhiªn, F= ƒ e , (D.5) z −∞ trªn thùc tÕ gradient ¸p suÊt ng−îc vμ ®é nhít cã thÓ lμm chËm chuyÓn ®éng gÇn n¬i dßng uèn l−în ®ét ngét, buéc dßng ch¶y bÞ ta t×m ph©n t¸ch vμ t¹o ra c¸c xo¸y n−íc cã ®é xo¸y cao, g©y mÊt n¨ng ∂F i i ∞ ∞ −∞ d z e  − ( z 2 −2 i γ z ) / 4 K 2 2 / 4K 2 2 / 4K 2 d z e −(ε − i γ ) e −γ = = l−îng ®¸ng kÓ. Khuynh h−íng tù nhiªn nμy gièng nh− c¸c tÊm ∂γ 2 K 2 2K 2 −∞ l−íi lç trªn t−êng nhμ hÊp thô n¨ng l−îng ©m. Jarlan (1965) ®· iπ 1 / 2 − γ 2 / 4 K 2 i 2 / 4K 2 2 Kπ 1 / 2 e − γ ®−a ý t−ëng nμy vμo kü thuËt vïng bê vμ s¸ng chÕ thiÕt kÕ ®ª = = e . (D.6) K 2K 2 ch¾n sãng víi tÊm d¹ng l−íi khoÐt lç g¾n phÝa tr−íc t−êng cøng. Khi γ = 0 , hμm bÞ tÝch trong ph−¬ng tr×nh (D.5) lμ lÎ theo z ; Sù tiªu t¸n ®−îc t¨ng c−êng do c¸c tia n−íc chui qua c¸c lç khi nh− thÕ F ( γ = 0) = 0 . Ta cã thÓ tÝch ph©n ph−¬ng tr×nh (D.6) ®Ó mùc n−íc bÒ mÆt ë hai phÝa kh¸c nhau. C¸c ®ª ch¾n sãng d¹ng t−¬ng tù ®· ®−îc x©y dùng t¹i c¸c c¶ng Baie Comeau vμ c¶ng cã Chandler ë Quebec, Canada vμ c¶ng Roscoff ë Ph¸p (Richey vμ iπ 1 / 2 γ γ −γ2 / 4 K 2 γ / 2K 2 0 e 0 2 e −σ dσ = iπ erf  F= dγ = iπ  . (D.7) Sollitt, 1969). Mét thÝ dô míi h¬n vμ Ên t−îng h¬n lμ bÓ chøa 1/2 K  2K  π dÇu Ekofisk ë B¾c H¶i: nã ®−îc bao bäc bëi mét mét ®ª ch¾n Céng J p vμ J ε l¹i ta cã sãng d¹ng l−íi lç vßng trßn ®−êng kÝnh xÊp xØ 90 m trªn vïng 158
thÓ lμ l¬n h¬n * trong tr−êng hîp c¸c kÝch th−íc cña ®ª ch¾n biÓn s©u 70 m (Gerwick vμ Hognestad, 1973). ë c¶ng Osaka sãng vμ chu kú sãng th«ng th−êng, nªn c«ng thøc tæn thÊt b×nh NhËt b¶n (Hayashi, Kano vμ Shirai, 1966) cã mét ®ª ch¾n sãng ph−¬ng Ýt ra còng gióp ta cã −íc l−îng th« mét khi ch−a cã gåm mét d·y èng trßn ®−êng kÝnh 2 m ®Æt c¸ch nhau 0,5 cm ®· thªm c¸c d÷ liÖu thùc nghiÖm. Víi c¸c bμi to¸n ph©n t¸n mét ®−îc sö dông. chiÒu, mét lý thuyÕt b¸n kinh nghiÖm kiÓu ®ã ®· ®−îc ®Ò x−íng Trong tÊt c¶ c¸c thiÕt kÕ nμy, sù ph©n t¸ch dßng do sù co bëi Hayashi, Kano vμ Shirai (1966), Terrett, Osorio vμ Lean hÑp vμ d·n ra ®ét ngét lμ ®Æc tÝnh vËt lý c¬ b¶n. Sù ph©n t¸ch (1968)... Sau nμy lý luËn cña hä ®· ®−îc Mei, Liu vμ Ippen dßng xung quanh mét h×nh trô nhá lμ mét chñ ®Ò quan träng (1974) hoμn thiÖn thªm vμ ®−îc tr×nh bμy d−íi ®©y. ®èi víi c¸c c«ng tr×nh ngoμi kh¬i vμ ng−êi ta ®· nghiªn cøu thùc nghiÖm nhiÒu víi c¸c cét trô ®¬n ®éc cã biªn chu vi tr¬n hay s¾c 6.1 Sù ph©n t¸n mét chiÒu bëi ®ª ch¾n sãng c¹nh (thÝ dô, xem Sarpkaya vμ Issacson, 1981). Tõ c¸c thùc d¹ng sÎ r·nh hoÆc d¹ng l−íi lç nghiÖm thÊy r»ng sè Strouhal U / ωa (hay t−¬ng ®−¬ng lμ sè Keulegan–Carpenter UT / a trong c«ng tr×nh ®Çu tiªn cña G. H. 6.1.1 C¸c ph−¬ng tr×nh m« t¶ Keulegan vμ L. H. Carpenter, 1956 vÒ c¸c dßng dao ®éng) lμ mét tham sè quan träng, ë ®©y U lμ biªn ®é vËn tèc vμ a lμ Ta giíi h¹n nghiªn cøu víi c¸c sãng biªn ®é nhá trªn n−íc n«ng. V× tèc ®é ®Þa ph−¬ng ë l©n cËn ®iÓm thu hÑp ®ét ngét cã kÝch th−íc cña vËt. Theo Graham (1980), cã Ýt nhÊt lμ hai chÕ ®é ph©n biÖt trong kho¶ng 2 < UT / a < 100 . Víi UT / a > 20 (con sè thÓ lín, ta nªn kÓ ®Õn sù phi tuyÕn vμ b¾t ®Çu b»ng c¸c ph−¬ng tr×nh Airy – c¸c ph−¬ng tr×nh (5.11) vμ (5.12) ®· thÊy trong nμy phô thuéc vμo thiÕt diÖn ngang cña trô), th× vÕt rÏ n−íc giíi ch−¬ng 3: h¹n gåm mét sè c¸c xo¸y sÏ to¶ réng xuèng phÝa xu«i dßng kÓ tõ ∂ζ ®iÓm ph©n dßng. Khi UT / a t¨ng th× vÕt rÏ n−íc sÏ dμi ra vμ + ∇ ⋅ (ζ + h ) u = 0 , (1.1) ∂t cμng gièng víi t×nh huèng dßng æn ®Þnh cña ®−êng xo¸y Karman. Tuy nhiªn, víi UT / a < 20 th× c¸c xo¸y t¶n ra khái c¸c ∂u + u ⋅ ∇ u = − g∇ ζ . (1.2) ∂t ®iÓm ph©n dßng cña trô; tõng xo¸y mét bÞ cuèn trë l¹i bëi dßng ch¶y ng−îc ®Õn phÝa bªn kia cña trô ®Ó liªn kÕt thμnh cÆp víi XÐt mét bøc c¶n máng víi hai cét th¼ng ®øng réng 2b . mét xo¸y kÕ tiÕp víi dÊu ng−îc l¹i. CÆp xo¸y nμy sau ®ã cuèn Kho¶ng c¸ch t©m tíi t©m gi÷a hai cét lμ 2a . TÝnh chÊt tuÇn hoμn tr«i khái vËt thÓ víi mét gãc lín (~45o) so víi dßng tíi. C«ng cho phÐp ta xÐt mét kªnh víi c¸c t−êng biªn bªn trïng víi hai thøc tæn thÊt do ma s¸t tØ lÖ víi b×nh ph−¬ng vËn tèc ®Þa ®−êng xuyªn t©m cña hai cét ®øng kÒ cËn nh− trªn h×nh 1.1. Gi¶ ph−¬ng (xem ph−¬ng tr×nh (1.17) d−íi ®©y) chØ ®óng víi c¸c gi¸ trÞ UT / a lín. §¸ng tiÕc, ta ch−a cã mét chØ tiªu t−¬ng tù ¸p dông cho c¸c khe hay c¸c lç hë. V× sè Keulegan–Carpenter cã Víi sãng thÇn truyÒn qua mét ®ª ch¾n sãng, ta cã thÓ lÊy U = 1 m/s , * T = 360 s vμ a = ®é dÇy ®ª ch¾n sãng =10 m, vËy UT / a = 360 . Víi sãng giã tÊn c«ng vμo mét ®ª ch¾n sãng d¹ng l−íi lç ta cã thÓ lÊy tèc ®é qua lç U = 3 m/s, T = 10 s, a = 0,5 m, khi ®ã UT / a = 60 . 159
thiÕt ®é s©u h kh«ng ®æi. Sãng tíi dμi, biªn ®é thÊp vμ truyÒn tíi th¼ng gãc. VËy ph¶i tho¶ m·n c¸c ph−¬ng tr×nh: ∂ζ ∂u +h = 0, (1.3) ∂t ∂x ∂u ∂ζ +g =0, (1.4) ∂t ∂x hai ph−¬ng tr×nh nμy lμ giíi h¹n cña c¸c ph−¬ng tr×nh (1.1) vμ (1.2) khi A / h
S c = cS 0 ; ®−a ra hÖ sè tæn thÊt f : (1.9) uc lμ vËn tèc trung b×nh t¹i ®o¹n th¾t tÜnh m¹ch. 2  S  cS − 1  , f = (1.14)   0 Bªn ngoμi vïng xo¸y, ®Ó nhÊt qu¸n víi ph−¬ng tr×nh (1.2) ta xem u lμ kh«ng xo¸y, tøc u = ∇Φ . Khi ®ã ph−¬ng tr×nh vμ ®é dμi L Becnoulli cã d¹ng x x S  + + Lu + =  u dx +  u  J  dx ,   ∂Φ u 2 (1.15) + + g ζ = const . S (1.10) xc  ∂t x− 2 th× ph−¬ng tr×nh (1.13) cã thÓ ®−îc viÕt thμnh ¸p dông ph−¬ng tr×nh (1.1) cho ®o¹n gi÷a x − vμ x 0 , tøc t¹i f 2 L ∂u+ ®o¹n th¾t tÜnh m¹ch (xem h×nh 1.1), ta ®−îc u+ > 0 . ζ− − ζ+ = u+ + , (1.16) g ∂t 2g ∂ (Φ c − Φ − ) + 1 (u c − u − ) + g (ζ c − ζ − ) = 0 , 2 2 (1.11) NÕu ®èi sè ®−îc lÆp l¹i cho u+ < 0 , mét dÊu ©m sÏ xuÊt hiÖn ∂t 2 phÝa tr−íc sè h¹ng thø nhÊt ë vÕ ph¶i ph−¬ng tr×nh (1.16). TÝnh trong ®ã gi¶ thiÕt r»ng ë c¶ hai tr¹m sù biÕn thiªn ngang h−íng ®Õn c¶ hai h−íng cña dßng, ta cã cã thÓ bá qua. L ∂u+ f PhÝa xu«i dßng cña bøc ch¾n, ta ¸p dông sù b¶o toμn ®éng ζ− − ζ+ = u + u+ + . (1.17) g ∂t 2g l−îng chung cho thÓ tÝch EBCF trªn h×nh 1.1. Trong vïng chia dßng cña bøc ch¾n cøng vËn tèc trung b×nh chÊt láng cã thÓ bá Khi c¸c hÖ sè f vμ L ®−îc x¸c ®Þnh (b»ng thùc nghiÖm) th× qua vμ ®é cao mÆt tù do, do ®ã ¸p suÊt ®éng, thùc chÊt ®ång c¸c ph−¬ng tr×nh (1.8) vμ (1.17) cung cÊp c¸c ®iÒu kiÖn biªn cho nhÊt theo y , vμ b»ng so víi trong vïng tia n−íc xiÕt. Nh− vËy, c¸c nghiÖm vïng xa trªn hai phÝa cña vËt ch¾n. Do kÝch th−íc ¸p lùc däc theo EF lμ ρgζ c S . Sù c©n b»ng tæng ®éng l−îng ®ßi dμi cña vïng xa lμ O(k −1 ) , mét c¸ch xÊp xØ, c¸c ®iÒu kiÖn ghÐp hái cã thÓ ®−îc ¸p dông cho c¸c nghiÖm vïng xa b»ng c¸ch cho x+ ( ) ∂ x → ±0 . pgS (ζ c − ζ − ) + p u c S c − u = S = p  SJud x , 2 2 (1.12) ∂t NÕu cã mét t−êng cøng t¹i x = l , nh− trong tr−êng hîp mét xc ®ª ch¾n víi t−êng d¹ng l−íi lç, ta ph¶i thªm ®iÒu kiÖn biªn víi S J lμ diÖn tÝch thiÕt diÖn ngang cña vïng tia xiÕt. Trõ ∂ζ + / ∂x = 0 t¹i x = l . NÕu vïng më réng tíi x → ±∞ , th× c¸c sãng ph−¬ng tr×nh (1.11) cho ph−¬ng tr×nh (1.12) vμ sö dông (1.8), ta ph©n t¸n ph¶i ®i ra tõ x = 0 (®iÒu kiÖn ph¸t x¹). Trªn thùc tÕ, ®−îc ®é réng cña ®ª l th−êng cã bËc O (10m) vμ ng¾n h¬n so víi b−íc 1 ∂c S   2 x x+ 1 2 S  (ζ − − ζ + ) =   u d x +  u  J  d x , sãng thiÕt kÕ. Sö dông ph−¬ng tr×nh (1.9) vμ ph−¬ng tr×nh  +   − 1 u+  (1.13) g ∂ t x S  2 g  cS 0 xc   (1.17) cho t−êng l−íi lç lμ hoμn toμn kh«ng ®−îc phÐp vÒ gãc ®é −  lý thuyÕt. trong ®ã tÝch ph©n thø nhÊt suy ra tõ ®Þnh nghÜa Φ . NÕu ta 161
HiÓn nhiªn, cã thÓ quy n¹p mét c«ng thøc cho lùc t¸c ®éng cã sù ph©n dßng, th× bμi to¸n gi¸ trÞ biªn sÏ tuyÕn tÝnh; ®é dμi t−¬ng øng, ký hiÖu b»ng L0 ë ®©y, cã thÓ ®−îc tÝnh b»ng lý lªn t−êng cøng. XÐt chÊt láng trong ABCD vμ ë bªn ngoμi vËt vμ thuyÕt hai chiÒu. Thùc tÕ lμ víi c¸c sãng dμi, L0 cã quan hÖ víi d¶i rÏ n−íc cña nã. HiÖu øng thùc cña ph©n bè ¸p suÊt trªn mÆt phÝa th−îng l−u cña vËt vμ trong d¶i rÏ n−íc cña nã lμ t¹o ra c¸c hÖ sè truyÒn qua T vμ ph¶n x¹ R nh− s¾p chØ ra d−íi ®©y. mét lùc − F chèng l¹i chÊt láng trong thÓ tÝch ®ang xÐt. Nh− ë vïng xa, n¬i dßng ch¶y lμ mét chiÒu, th× li ®é cña mÆt tù do vËy tõ c©n b»ng ®éng l−îng x¸c ®Þnh b»ng c¸c ph−¬ng tr×nh: ∂ 0  x+ [ ] ζ − = Ae i ( kx −ωt ) , x < 0, (1.20)   dx uS +  dx uS J  , S ρ g (ζ − − ζ + ) + ρ (u − − u + ) − F = ρ 2 2 ∂ t x  ζ + = ATe i ( kx −ωt ) , x > 0 . −  (1.21) 0 ¦íc l−îng ζ − t¹i x− , ζ + t¹i x+ vμ l−u ý kx− , k x +
(L / g )(∂ u + / ∂ t )  kL    mét ®−êng èng trßn...) còng cã thÓ ®−îc ¸p dông trong tr−êng  = O  2k a L / 2a  . =O 1 α= ( f / 2g ) u + u + f A/ h  1 f A/ h   hîp nμy. ThÝ dô nh− ®èi víi mét khe hÑp hai chiÒu, ta cã:   2 2 L0 1 1  πb πb  Thay L0 trong ph−¬ng tr×nh (1.26) cho L , ta thÊy tØ sè trªn ka
thÊt n¨ng l−îng trong mét chu kú. XÊp xØ u b»ng mét hμi ®¬n, Bμi tËp 1.1: Sö dông ph−¬ng ph¸p ®å thÞ vμ tiÖm cËn ghÐp ®Ó kiÓm chøng ph−¬ng tr×nh (1.26). tøc (U ) + U 0 e −iωt = U 0 cos ω(t + τ) , − i ωt * u≅ 0e 1 (1.34) 6.1.4 PhÐp tuyÕn tÝnh ho¸ t−¬ng ®−¬ng 2 víi τ lμ pha cña U 0 , tøc U 0 = U 0 e −iωτ , ta cã Sè h¹ng ma s¸t b×nh ph−¬ng trong ph−¬ng tr×nh (1.17) lμm cho toμn bé bμi to¸n trë nªn phi tuyÕn vμ ®Çu vμo lμ mét sãng ω 2π / ω 1 2π ____ 1 2π   dσ cos σ = 2 U 0 2 2 2 u= cos 2 ω(t + τ) = U 0 dt U 0 2 2 ®¬n ®iÒu hoμ sÏ g©y ra ph¶n øng gåm nhiÒu hμi ®iÒu hoμ. NÕu 2π 0 0 nh− ph¶n øng lμ sù ngù trÞ bëi hμi thø nhÊt ë ®Çu vμo, th× dÇn ______ 1 2π 4 2π  3 3 sau nμy chóng ta sÏ thÊy, cã thÓ ¸p dông c¸i gäi lμ phÐp tuyÕn u2 u = dσ cos 2 σ cos σ ⋅ U 0 = U0 . 3π tÝnh ho¸ t−¬ng ®−¬ng. Gi¶ sö sè h¹ng ma s¸t ®−îc biÓu diÔn 0 d−íi mét d¹ng tuyÕn tÝnh ceu , tøc lμ Suy ra ζ − − ζ + = ce u , f8 (1.30) ce = U0 (1.35) 2 g 3π ë ®©y ce chØ hÖ sè ma s¸t t−¬ng ®−¬ng. Ta sÏ chän ce lμm sao ®Ó phô thuéc vμo biªn ®é chuyÓn ®éng. sai sè b×nh ph−¬ng trung b×nh f e= u u − ce u (1.31) 6.1.5 NghiÖm xÊp xØ vμ nghiÖm chÝnh x¸c 2g Tr−íc tiªn ta rót ra nghiÖm xÊp xØ b»ng sö dông ph−¬ng cùc tiÓu. LÊy trung b×nh qua mét chu kú, b×nh ph−¬ng trung b×nh sÏ tr×nh (1.30) thay cho ph−¬ng tr×nh (1.17). NghiÖm cã thÓ ®−îc b»ng viÕt d−íi d¹ng sau: [ ] 2 f  ζ − = Ae −iωt e + ikx + R e −ikx , f e2 =   2g u u  − g ce u u + ce u . 2 22 (1.32)  x0. (1.37) gk ATe −iωt +ikx , u+ = 2 fuu ω ce = . (1.33) 2g u 2 Sö dông tÝnh liªn tôc cña vËn tèc (1.8), ta ®−îc HÖ sè ma s¸t t−¬ng ®−¬ng b©y giê phô thuéc vμo u vμ lμ ch−a ω U0 U0 T= , (1.38) gk A ( A / h)( gh)1 / 2 biÕt khi nghiÖm ch−a ®−îc gi¶i ra. C¸ch kh¸c, ph−¬ng tr×nh (1.33) cã thÓ thu ®−îc b»ng c¸ch yªu cÇu r»ng lùc ma s¸t phi ω U0 R =1−T =1− . (1.39) tuyÕn vμ ma s¸t tuyÕn tÝnh t−¬ng ®−¬ng cïng cho cïng mét tæn gk A 164
¸p dông ®iÒu kiÖn tæn thÊt cét n−íc (1.30), ta cã c ω A= e +  2 gk  U 0    vμ nÕu tÝnh tíi ph−¬ng tr×nh (1.35) sÏ trë thμnh ω 2f A= U0 + U0 U0 . (1.40) 3π g gk C¸c pha cña U 0 vμ A0 b»ng nhau vμ cã thÓ lÊy b»ng kh«ng, nghÜa lμ U 0 = U 0 . Ph−¬ng tr×nh (1.40) lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi U 0 vμ cã thÓ gi¶i ra: (1 + 2β)1 / 2 − 1 A A U0 = ( gh)1 / 2 T = ( gh)1 / 2 (1.41) β h h víi β = (4 / 3π)( fA / h) (Hayashi vμ nnk., 1966). Víi c¸c sãng biªn ®é nhá hay víi khe më réng, β nhá h¬n rÊt nhiÒu so víi ®¬n vÞ. Khai triÓn Taylor cña vÕ ph¶i ph−¬ng tr×nh (1.41) cho ta [ ] A U 0 = ( gh)1 / 2 1 − 1 β + O(β 2 ) . 2 h Nh− vËy 1/2   1 4 fA  f 8 A  ( gh)  1 − ce ≅ , (1.42) 2 3π h  2 g 3π  h  H×nh 1.2 So s¸nh gi÷a lý thuyÕt (®−êng liÒn nÐt), c¸c ph−¬ng tr×nh T ≅ (1 − 1 β), R ≅ 1β. 2 2 (1.14) vμ (1.41), víi c¸c thùc nghiÖm cña Hayashi et al. (1966). §èi víi c¸c khe më hÑp, S 0 / S
nªn tèc ®é ch¶y (2 gA)1 / 2 qua lç nhá theo ®Þnh luËt Torricelli. Tèc 1∞  Am e −im ( kx+ωt ) , ζ− = ζI + (1.45) 2 −∞ ®é tho¸t n−íc, ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c¸ch lÊy trung b×nh trªn tæng x < 0, gk ∞ diÖn tÝch cña S , khi ®ã b»ng U 0 = (2 gA)1 / 2 S 0 / S , ®iÒu nμy øng u− = u I −  Am e im ( kx+ωt ) , (1.46) 2ω víi c = 2 /(3π) 1 / 2 =0,65 trong ph−¬ng tr×nh (1.43), kho¶ng lý −∞ 1∞ ζ + =  Bm e im ( kx −ωt ) , thuyÕt cña c lμ 0,6 < c < 1 . (1.47) 2 −∞ x > 0. Cuèi cïng, hÖ sè truyÒn qua t−¬ng øng lμ: gk ∞  Bm e im ( kx−ωt ) , u+ = (1.48) 1/2 1/2 1/2 2ω −∞  3π h  2  3π h  cS 0 =  2 fA  T ≅  =  . (1.44) β   2 A S    B»ng c¸ch trung b×nh ho¸ theo thêi gian c¸c ®iÒu kiÖn m« C¸c hÖ sè ph©n t¸n T vμ R ®−îc vÏ trªn c¸c h×nh 1.2a vμ 1.2b. t¶, cã thÓ chøng minh r»ng ζ sÏ b»ng kh«ng nÕu u ®−îc gi¶ Ozsoy (1977) ®· so s¸nh c¸c thùc nghiÖm cña Hayashi thiÕt b»ng kh«ng t¹i mét ®Çu. Nh− vËy, kh«ng cã hμi bËc kh«ng (1966) víi lý thuyÕt trong phÇn nμy cho tr−êng hîp ®ª ch¾n trong c¸c chuçi ë trªn. §èi víi mçi hμi ta ®ßi hái ph¶i cã: sãng cã èng xÕp xÝt nhau. Víi f cho theo ph−¬ng tr×nh (1.14), A−m = Am , B− m = B m , * * (1.49) Ozsoy ®· thÊy r»ng sù phï hîp cña c¸c hÖ sè ph¶n x¹ vμ truyÒn qua lμ kh¸ tèt (xem h×nh 1.2a vμ 1.2b). Ozsoy còng ®· thùc hiÖn v× vËy tÊt c¶ c¸c ®¹i l−îng vËt lý lμ thùc. c¸c thÝ nghiÖm ®èi víi c¸c khe ®øng trong mét vËt ch¾n máng B»ng viÖc ghÐp vËn tèc tu©n theo ph−¬ng tr×nh (1.8), suy ra ( b / a = 0,052, 0,103, 0,162, 0,441 vμ d / 2b ≤ 0,133 trong ®ã d = Bm = − Am m ≠ 1, ®é dÇy, 2b = ®é réng khe, vμ 2a = 0,87 m). HÖ sè thùc nghiÖm f (1.50) B1 = A1 + A m = 1. cã sù ph©n t¸n kh¸ lín ®èi víi mét gi¸ trÞ cè ®Þnh cña b / a (h×nh V× 1.3) ®· gîi ý cho ta r»ng c¸c tham sè kh¸c, thÝ dô nh− sè  ω  Strouhal cã thÓ lμ rÊt quan träng. B¹n ®äc cã thÓ xem thªm ω  gk gk  Am e −imωt  = gk 2u I −  u I − 2ω  Am e −imωt  ζ− = uI + nh÷ng th«ng tin ®¸ng quan t©m trong tμi liÖu cña Ozsoy. 2ω gk      ω Bμi to¸n hiÖn t¹i víi ®iÒu kiÖn biªn phi tuyÕn (1.17) vμ = (2u I − u + ) kh«ng cã thμnh phÇn ( L / g ) (∂ u / ∂ t ) ®· ®−îc Mei, Liu vμ Ippen gk (1974) gi¶i mét c¸ch chÝnh x¸c. Ta sÏ diÔn gi¶i ë ®©y ®Ó chØ ra t¹i x = 0 − vμ r»ng mÆc dï c¸c dao ®éng ®iÒu hoμ bËc lÎ cao h¬n tån t¹i, dao ω ζ+ = u+ ®éng ®iÒu hoμ c¬ së vÉn chiÕm −u thÕ trong thùc tiÔn vμ ph−¬ng gk ph¸p xÊp xØ tuyÕn tÝnh t−¬ng ®−¬ng lμ hoμn toμn chÝnh x¸c. t¹i x = 0 + , tõ ph−¬ng tr×nh (1.17) suy ra víi L = 0 th× Do ®iÒu kiÖn biªn phi tuyÕn, ta biÓu diÔn nghiÖm: ω ω f u+ u+ + 2 u+ = 2 u I = 2 A cos ωt . 2g gk gk 166
fA 3π β′ = = β. (1.54) 2h 8 Khi W ®−îc biÓu diÔn b»ng mét chuçi Fourier 1  Tm e −imωt W= (1.55) 2 th× hÖ sè Fourier ph¶i b»ng Tm 1 2π 0 dτe sgn(cos τ) W (τ) . imτ = 2 2π C¸c kÕt qu¶ lμ Tm = 0, m = 2, 4, 6, ... , c¸c sè ch½n (1.56) 2  ( −1) ( m +3 ) / 2 M m (β′)  Tm = − m = 1, 3, 5, ... , c¸c sè lÎ (1.57) , 1 π  βm β′  2   trong ®ã π/2 M m (β′) = 0 dτ cos mτ (1 + 2β′ cos τ)1 / 2 (1.58) cã thÓ ®−îc biÓu diÔn d−íi d¹ng c¸c tÝch ph©n elliptic nh−ng dÔ dμng lÊy ®−îc tÝch ph©n b»ng ph−¬ng ph¸p sè. H×nh 1.3 HÖ sè ma s¸t nh− lμ hμm cña b / a (theo Ozsoy, 1977) KÕt hîp c¸c ph−¬ng tr×nh (1.46), (1.50), (1.52) vμ (1.55), ta ®−îc Râ rμng u+ vμ u I lμ cïng dÊu, nghÜa lμ u+ vμ u I (0, t ) lμ lu«n Bm = ATm , (1.59) ®ång pha. Khi ®ã ph−¬ng tr×nh trªn cho do ®ã Tm lμ hÖ sè truyÒn qua cña hμi thø m . HÖ sè ph¶n x¹ cña 2ω f 2 u+ + u + = 2 A cos ωt . (1.51) hμi thø m b»ng 2g gk R1 = 1 − T1 , Rm = −Tm , (1.60) Theo biÕn kh«ng thø nguyªn W ®−îc ®Þnh nghÜa lμ víi Am = ARm . gk A u + (0, t ) = A W = ( gh)1 / 2 W (t ) , (1.52) ω h B¶ng 1.2 cho thÊy c¸c hμi thø nhÊt vμ thø ba ®−îc tÝnh theo nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1.51) b»ng lý thuyÕt chÝnh x¸c vμ hμi thø nhÊt b»ng phÐp xÊp xØ tuyÕn tÝnh ho¸ t−¬ng ®−¬ng cho 1 < β < 5. Sù nhá bÐ cña hμi thø ba vμ sù (1 + 2β ′ cos ωt ) 1 / 2 − 1 W= , (1.53) hiÖu qu¶ cña lý thuyÕt xÊp xØ lμ thùc tÕ. β′ trong ®ã 167
B¶ng 1.2 C¸c hÖ sè truyÒn qua lμ hμm cña β ′ = fA / 2h, Tm : hμi thø m ph¶n øng t¹i ®Ønh phæ. §iÒu tr¸i ng−îc nμy lμ v× sù tæn thÊt do ma s¸t ë cöa vμo lμ ®¸ng kÓ. Thùc vËy, c¸c kü s− NhËt B¶n ®· T1 T3 sö dông ma s¸t mét c¸ch thμnh c«ng ®Ó lμm gi¶m ¶nh h−ëng β′ cña sãng thÇn trong vÞnh Ofunato b»ng c¸ch thu hÑp cöa vμo ChÝnh x¸c XÊp xØ ChÝnh x¸c víi hai ®ª ch¾n sãng ngang. Trong nghiªn cøu thùc hiÖn cho dù 0 1 1 0,0 -0,0052 0,9608 0,9601 0,1 ¸n Ofunato, Ito (1970) vμ Horikawa vμ Nishimura (1970) b»ng -0,0120 0,9290 0,9271 0,2 thùc nghiÖm ®· thÊy r»ng ma s¸t cöa vμo thùc tÕ ®· lo¹i bá hμi -0,0169 0,8975 0,8978 0,3 sãng phÇn t− trong vÞnh dμi. Hä còng ®· ph¸t triÓn mét m« -0,0207 0,8712 0,8719 0,4 h×nh lý thuyÕt bao hμm c¶ c«ng thøc tæn thÊt thuû lùc (1.17) -0,0238 0,8476 0,8486 0,5 -0,0264 0,8262 0,8276 0,6 kh«ng cã thμnh phÇn qu¸n tÝnh, nghÜa lμ -0,0285 0,8067 0,8084 0,7 f ζ− − ζ+ = uu . (2.1) -0,0304 0,7888 0,7907 0,8 2g -0,0319 0,7722 0,7744 0,9 -0,0332 0,7569 0,7593 1,0 Trong khi ta cÇn nhiÒu th«ng tin thùc nghiÖm h¬n n÷a cho -0,0400 0,6459 0,6498 2,0 c¸c bμi to¸n hai chiÒu liªn quan ®Õn sù th¾t hÑp, th× c«ng thøc -0,0418 0,5766 0,5813 3,0 ®¬n gi¶n (2.1) víi mét h»ng sè −íc l−îng f tá ra cã thÓ dïng -0,0421 0,5275 0,5326 4,0 -0,0418 0,4902 0,4954 5,0 ®−îc ®Ó dù b¸o kh¸i qu¸t vÒ céng h−ëng. Dùa trªn cïng nh÷ng gi¶ thiÕt ®ã, Unluata vμ Mei (1975) kh¶o s¸t b»ng gi¶i tÝch bμi Bμi tËp 1.2 to¸n c¶ng ®¬n gi¶n h×nh ch÷ nhËt víi mét cöa vμo ë gi÷a, cßn XÐt mét ®ª ch¾n sãng d¹ng xÕp thïng gåm hai t−êng song Miles vμ Lee (1975) ®· nghiªn cøu víi hμi Helmholtz trong c¶ng song t¹i x = 0 vμ x = l . T−êng t¹i x = 0 ®èi mÆt víi c¸c sãng tíi h×nh d¹ng tæng qu¸t. Lý thuyÕt cña Unluata vμ Mei ®−îc ®¬n trùc diÖn vμ ®−îc khoÐt lç víi tØ sè diÖn tÝch lμ S 0 / S . Sö dông gi¶n ho¸ b»ng viÖc bá qua tÊt c¶ c¸c hμi bËc cao sÏ ®−îc tr×nh c«ng thøc ma s¸t tuyÕn tÝnh t−¬ng ®−¬ng (1.30) ®Ó t×m hÖ sè bμy d−íi ®©y. ph¶n x¹. H·y bμn luËn vÒ ¶nh h−ëng cña l . 6.2.1 Bμi to¸n gi¸ trÞ biªn 6.2 ¶nh h−ëng cña tæn thÊt cöa lªn c¸c dao §Ó tiÖn gi¶i b»ng gi¶i tÝch, ta xÐt c¶ng h×nh ch÷ nhËt víi ®éng cña c¶ng mét cöa vμo ë gi÷a nh− trªn h×nh 7.2, ch−¬ng 5. Trong phÇn ®¹i d−¬ng x > 0 , ta t¸ch c¸c sãng ph¸t x¹ khái Trong ch−¬ng 5 ¶nh h−ëng cña chÊt láng thùc bÞ bá qua, sù c¸c sãng tíi th¼ng gãc vμ c¸c sãng ph¶n x¹: céng h−ëng trong c¶ng ®−îc t¨ng lªn khi ®é réng cöa vμo gi¶m. η0 = 2 A cos kx + η R . Tuy nhiªn, c¸c thÝ nghiÖm cña Lee (1971) chØ kh¼ng ®Þnh xu thÕ (2.2) nμy x¶y ra ®èi víi c¸c cöa vμo t−¬ng ®èi réng vμ chøng minh Sãng ph¸t x¹ η tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh R r»ng sù thu hÑp ®é réng cña cöa vμo rèt cuéc lμm suy gi¶m sù 168
iω i (1) ∇2ηR + k 2ηR = 0 , (2.3) G0 = − H 0 (kr ) , (2.14) g2 ∂ ηR = 0, y >a (2.4) 2nπy '  iω  cos k ( x + L) cos K n ( x + L) 2nπy ∂x ∞ + 2 GH = − cos cos ,  t¹i x = 0 g  kB sin kL n =1 K n B sin K n L B B ∂ ηR i ω = y
a l−îng toμn phÇn ®i qua cöa, nªn sai sè tæng chung ch¾c sÏ ( A / a )  G H ( x, y y ' ) d y ' kh«ng x¶y ra nÕu ta sö dông phÐp xÊp xØ nμy. Víi −a η H ( x, y ) = . (2.23) 2a 2 ω a a D = −   M dy dy ' (1 / 4 a )   M (y (2.19) y ' ) d y d y '−( f S / 2 ga ) U 2 g −a −a vμ S ≡ 4 / 3π , ph−¬ng tr×nh (2.18) cã thÓ ®−îc s¾p xÕp l¹i nh− V× tÝch ph©n sau: iω  cos k ( x + L) 2nπy  1a ∞ cos K ( x + L ) sin nα   G H dy' = − g  kb sin kL + 2n =1 K n B sin K n L nα cos B  , n  f  f 2 fA S exp (− iωt ) , 2a − a S U + S U D = −   (2.20) h (ka )2  ωa   ωa  (2.24) trong ®ã ®· sö dông biÓu thøc ω 2 = gk 2 h . LÊy b×nh ph−¬ng trong ®ã ph−¬ng tr×nh trªn, ta ®−îc 2πa α≡ , (2.25) 2  4β  B 2 W + 2 (Re D ) W + D W −  =0, 4 3 2 2 (2.21)  (ka)    lμ ph¶n øng ®èi víi mét piston dao ®éng cã tèc ®é ®ång nhÊt 1 / 2a t¹i cöa vμo (do ®ã, l−u l−îng tæng ®¬n vÞ trªn ®¬n vÞ ®é trong ®ã Re D lμ phÇn thùc cña D , s©u), nªn nh©n tè duy tr× fS fA 2 fA β= S= W= U vμ . (2.22) 2A 3πh ωa 2h Q≡ (2.26) a Ph−¬ng tr×nh (2.21) lμ mét ph−¬ng tr×nh bËc bèn ®èi víi W , vμ (1 / 4 a 2 )   M dy dy '− f S U / 2 ga cã thÓ ®−îc gi¶i b»ng sè. Sau ®ã pha ωτ suy ra tõ ph−¬ng tr×nh −a (2.20) vμ nghiÖm cho U ®−îc hoμn thμnh. Cuèi cïng, gi¸ trÞ cña trong ph−¬ng tr×nh (2.23) diÔn t¶ biªn ®é cña l−u l−îng qua cöa U ®−îc thÕ vμo ph−¬ng tr×nh (2.13) cho ta sù ph¶n øng cña vμo. c¶ng. Ta sÏ ®−a ra sù ph¶n øng b×nh ph−¬ng trung b×nh quy chuÈn nh− sau: 6.2.2 Sù ph¶n øng côc bé vμ b×nh ph−¬ng trung b×nh trong B/2 2 0 c¶ng ηH 11   σ2 = = dx dy 2 BL 2A Tõ c¸c ph−¬ng tr×nh (2.13) vμ (2.16), sù ph¶n øng t¹i mét −L −B / 2 (2.27) ®iÓm ( x, y ) trong c¶ng b»ng 2 20 B/2 a 1 Q / 2A 1  dx   d y' G H = dy . BL 2a − a 2 −L −B / 2 Sau khi −íc l−îng tÊt c¶ c¸c tÝch ph©n, ng−êi ta nhËn ®−îc 170
fSU 2 2A 1Qω W= Q≅ , , (2.33) [ ] σ=2 F, (2.28) − (iω / g ) − i (1 + W ) + F − I aω 1 4 2A g 2 biÓu thøc nμy cã thÓ kÕt hîp víi ph−¬ng tr×nh (2.28) cho xÊp xØ trong ®ã σ vμ víi ph−¬ng tr×nh (2.23) cho xÊp xØ η H . KÕt qu¶ gièng nh−  sin 2kL  1 F= 1 + + ph−¬ng tr×nh (7.23) trong ch−¬ng 5. 2kL  (kB sin kL)  2 HiÖu øng tæn thÊt cét n−íc tham gia vμo lý thuyÕt mét c¸ch 2  (sin nα / nα  sin K n L   + 2   . 1 + t−êng minh chØ th«ng qua nh©n tö W = f S U / a ω trong l−u (2.29)  2K n L    n =1  K n B sin K n B    l−îng cöa vμo Q (ph−¬ng tr×nh (2.33)). Trong tr−êng hîp kh«ng RÊt nhiÒu khÝa c¹nh kh¸c nhau cña c¸c c«ng thøc tæng qu¸t cã ma s¸t ( f = 0) , c¸c tÝnh chÊt céng h−ëng trong c¶ng ®· ®−îc nμy sÏ ®−îc kh¶o s¸t kiÓm tra trong phÇn d−íi ®©y. i nghiªn cøu trong ch−¬ng 5. §Æc biÖt, sè h¹ng − trong ngoÆc 2 6.2.3 C¸c phÐp xÊp xØ cho cöa vμo hÑp cña ph−¬ng tr×nh (2.33) (víi W = 0 ) t−¬ng øng víi suy yÕu ph¸t Cã thÓ thÊy b»ng trùc gi¸c, hiÖu øng tæn thÊt cét n−íc lμ  1 x¹. Râ rμng, sè h¹ng  − i  (1 + W ) t−¬ng øng víi tæng cña suy quan träng nhÊt ®èi víi c¸c cöa vμo hÑp vμ gÇn c¸c ®Ønh céng  2 h−ëng. Do ®ã ta tiÕp tôc xem xÐt vμ giíi h¹n víi tr−êng hîp yÕu ph¸t x¹ vμ suy yÕu ma s¸t t¹i cöa vμo. §èi víi cöa vμo hÑp ka
thuéc vμo f . 6.2.4 Sù suy gi¶m nhÑ do bøc x¹ vμ ma s¸t GÇn víi hμi tù nhiªn k = k mn , tõ ph−¬ng tr×nh (2.33), cã ®é CÇn ph¶i t×m gi¸ trÞ W t¹i ®iÓm céng h−ëng. Tõ ph−¬ng lín cña Q b»ng tr×nh (2.30) vμ ph−¬ng tr×nh (2.19) suy ra r»ng ®èi víi cöa vμo hÑp vμ t¹i céng h−ëng: 2 A(ω / g ) −1 Q= [ (1 + W ) 2 + (F − I )2 ] . (2.36) a 1/2 2a 2 ω 2a2ω D = −  M d y d y' ≅ 1 D ≈1. hay (2.41) 2 g g −a Do F lín ®èi víi k ≅ k mn vμ I lμ lín theo loga ®èi víi gi¸ trÞ V× nhá ka 2 / B , c¸c cùc ®¹i cña Q xuÊt hiÖn mét c¸ch xÊp xØ khi ωτ = 0 (2.42) F−I =0, (2.37) rót ra tõ ph−¬ng tr×nh (2.20) vμ W cã thÓ ®−îc gi¶i ra tõ víi ®iÒu kiÖn lμ W ≤ O (1) . Gi¶ sö ( ) chØ c¸c ®¹i l−îng ®−îc −íc ~ ph−¬ng tr×nh (2.21): l−îng t¹i c¸c ®Ønh céng h−ëng. §Æc biÖt, c¸c nghiÖm thùc cña 1 1/2    fSU ~ − 1 +  16 β   ph−¬ng tr×nh (2.37) sÏ ®−îc ®Þnh râ b»ng k mn . V× F vμ I kh«ng W= = , (2.43)  (ka) 2  2  ωa   phô thuéc vμo f nªn c¸c vÞ trÝ cña nh÷ng ®Ønh céng h−ëng   ~ k = k mn trong ®ã β = 2 fA / 3πh (ph−¬ng tr×nh (2.22)). L−u ý r»ng ®iÒu kh«ng bÞ ¶nh h−ëng m¹nh bëi tæn thÊt ma s¸t. L−u l−îng cùc ®¹i t−¬ng øng b»ng kiÖn nguyªn b¶n (2.35) cã nghÜa lμ ~  4 A (ω / g )  1/2 16β  Q = ≤ O(1) . . (2.38) (2.44) ~  1+W (ka) 2  ω=ωmn  Sau khi ph−¬ng tr×nh (2.43) ®−îc thÕ vμo ph−¬ng tr×nh (2.40), V× nh©n tö suy gi¶m t×m ®−îc b»ng  4A  ~ =  ω/ g  ~ Q (2.39)  ~   ~ σ f =0   ω=ωmn Q =  2 ≅~ , (2.45) ( ) ~ σ f =0 Q f =0  1 + 1 + 16 β /(ka) 2 1 / 2  ~ ®èi víi f = 0 nªn tØ sè suy gi¶m ®èi víi l−u l−îng ®Ønh t¹i cöa vμo   k = k mn b»ng ~ trong ®ã gi¸ trÞ cña k mn cã thÓ ®−îc −íc l−îng b»ng c¸c sè sãng ~ Q tù nhiªn cña vÞnh kÝn khi n vμ m kh«ng cïng lóc b»ng kh«ng 1 = . (2.40) ~ ~ (1 + W ) (non-Helmholtz mode). §èi víi hμi Helmholtz, k 00 cã thÓ ®−îc Q ~ ω= ωmn f =0 −íc l−îng b»ng gi¸ trÞ kh«ng nhít. Nh×n vμo ph−¬ng tr×nh (2.28), ph−¬ng tr×nh (2.40) còng lμ tØ sè Tõ ph−¬ng tr×nh (2.45) ta cã thÓ kÕt luËn r»ng sù suy gi¶m suy gi¶m ®èi víi ph¶n øng b×nh ph−¬ng trung b×nh t¹i céng c¸c ®Ønh céng h−ëng do sù tæn thÊt t¹i cöa vμo sÏ x¶y ra m¹nh h−ëng v× F vμ c¸c sè sãng céng h−ëng gÇn nh− kh«ng phô 172
~ nhÊt khi 16 β /(k a) 2 t¨ng, tøc khi: 1) f lín h¬n, 2) biªn ®é lín hay 1/2  2 gA  h¬n, 3) sãng dμi h¬n hoÆc c¸c hμi céng h−ëng thÊp h¬n hoÆc 4) U ≅  fS . (2.47)  cöa vμo hÑp h¬n. Nh÷ng suy xÐt trong viÖc thiÕt kÕ ®ª ch¾n   sãng Ofunato lμ mét b»ng chøng. C¸c môc (1) vμ (4) còng phï Chó ý r»ng theo ®Þnh luËt Torricelli c¬ së vËn tèc U tØ lÖ thuËn hîp víi quan s¸t thùc tÕ cña Lee n¨m 1971 ®èi víi c¶ng d¹ng víi (2 gA) 1 / 2 . L−u l−îng t−¬ng øng trªn mét ®¬n vÞ ®é s©u qua cöa trßn. () vμo lμ ~2 VÒ phÇn tham sè 16 β / k a , cã thÓ chØ ra r»ng hÖ sè tæn 1/2  2 ga  thÊt f cã thÓ phô thuéc vμo sè Strauhal vμ sè Reynolds vμ h×nh  fS Q ≅ 2a , (2.48)    d¹ng c¸c ®Çu cña ®ª ch¾n sãng t¹i cöa vμo. Ito (1970) cho r»ng c¸c gi¸ trÞ thùc nghiÖm f = 1,5 cho kÕt qu¶ hîp lý ®èi víi ®ª vμ gi¶m ®i theo ®é réng 2a cña cöa vμo. KÕt hîp kÕt qu¶ nμy víi ph−¬ng tr×nh (2.28) cã thÓ kÕt luËn r»ng tæn thÊt cét n−íc ch¾n sãng thÇn t¹i Ofunato. §Ó tham kh¶o thªm h·y chó ý r»ng khi A = 0,5 m , h = 10 m vμ f ®−îc lÊy b»ng 1 th× β = 10 −2 . B©y ®ñ lín sÏ lo¹i bá ph¶n øng nghÞch cña c¶ng, nghÜa lμ ph¶n øng cña c¶ng cuèi cïng gi¶m ®i theo ®é réng cña cöa vμo. giê ta xÐt mét vÞnh h×nh vu«ng víi B = L . Mét sè sè Ýt hμi tù nhiªn bËc thÊp nhÊt cña vÞnh ®ãng kÝn lμ: B¶ng 2.1 YÕu tè suy gi¶m theo ph−¬ng tr×nh (2.45) k11 L = 51 / 2 π . k10 L = π , k01 L = k20 L = 2π vμ m, n ( 0, 0 ) (1, 0) (2, 0) , (0, 1) (1, 1) ~ Víi cöa vμo hÑp vμ 2a / B = 3 × 10 −2 , hÖ sè suy gi¶m vμ tham π 2π 5π kB 0,55 ~ ~ sè 16 β / (k a) 2 ®−îc tr×nh bμy trong b¶ng 2.1 ®èi víi c¸c gi¸ trÞ β 2a k B ~ −2 −2 −2 −2 ka = 0,825 × 10 4,71 × 10 9,42 × 10 10,53 × 10 −2 B2 kh«ng lín h¬n 10 . C¸c gi¸ trÞ ®−îc ®¸nh dÊu b»ng + tr¸i víi −2 gi¶ thiÕt lμ 16 β / (ka) 2 ≤ O (1) vμ hÖ sè suy gi¶m ®−îc tÝnh to¸n β = 10 2350 72,1 18,0 14,43 −3 β = 10 23,5 0,721 0,18 1,44 kh«ng ®¸ng tin cËy vÒ mÆt ®Þnh l−îng. Do ®ã, cÇn mét phÐp xÊp −4 16 β β = 10 xØ kh¸c. 23,5 0,721 0,18 0,144 ~2 −5 (k a) 2,35 0,0721 0,018 0,0144 β = 10 6.2.5 Suy gi¶m lín do ma s¸t −2 β = 10 ~ 0,04 0,209 0,373 0,406 B¶ng 2.1 cho thÊy gi¸ trÞ cña 16 β /(k a) 2 cã thÓ rÊt lín ®èi −3 β = 10 0,122 0,517 0,748 0,781 víi hμi céng h−ëng bËc thÊp nhÊt hay ®èi víi cöa vμo hÑp. Tõ ~ −4 σ β = 10 0,336 0,865 0,959 0,966 ph−¬ng tr×nh (2.21) gi¸ trÞ cña W = f S U / ω a còng lín vμ cã thÓ ~ σ f =0 −5 0,707 0,983 0,996 0,996 β = 10 ®−îc xÊp xØ theo c¸c bËc ®¹i l−îng dÉn ®Çu lμ + Theo Mei, Liu vμ Ippen (1974). Tc. Waterway, Port, Coastal and (4β) 1 / 2 W≅ Ocean Division , (2.46) ka 173
Theo b¶ng 2.1, gi¶ thiÕt suy gi¶m nhá do ma s¸t W ≤ O (1) (m = n = 0) vμ cho hμi m = 1 , n = 0 ®−îc vÏ nh− lμ c¸c hμm cña ®é réng chuÈn ho¸ cña cöa vμo 2a / B . Mét lÇn n÷a sù ph¶n øng kh«ng phï hîp víi hμi Helmholtz vμ ta cÇn nhËn nghiÖm chÝnh c¶ng gi¶m theo 2a / B ®èi víi gi¸ trÞ cè ®Þnh cña β . x¸c H×nh 2.1 Ph¶n øng b×nh ph−¬ng trung b×nh σ vμ c−êng ®é th«ng l−îng chuÈn ho¸ Q ω / 2 gA cña dao ®éng ®iÒu hoμ c¬ b¶n nh− lμ hμm cña kL ( = kB ) . §é −2 4 réng cöa vμo chuÈn ho¸ 2a / B = 3 × 10 . β = 0 : ®−êng liÒn nÐt; β = 10 : 2 ®−êng g¹ch nèi, β = 10 : ®−êng chÊm g¹ch (Unluala vμ Mei, 1975) 6.2.6 C¸c kÕt qu¶ sè ®èi víi W tæng qu¸t V× phÇn thùc cña D tØ lÖ víi ®é suy gi¶m toμn phÇn, c¸c hÖ ~ sè cña W 4 , W 3 vμ W 2 trong ph−¬ng tr×nh (2.21) lμ nh÷ng sè H×nh 2.2 Sù khuÕch ®¹i céng h−ëng trung b×nh σ cña d−¬ng; chØ cã thÓ tån t¹i mét nghiÖm d−¬ng, thùc. Sau khi gi¶i hμi c¬ b¶n ®èi víi hμi Helmholtz (Unluala vμ Mei, 1975) ®−îc W b»ng sè, ph¶n øng b×nh ph−¬ng trung b×nh ®èi víi dao ®éng ®iÒu hoμ c¬ b¶n ®−îc tÝnh tõ ph−¬ng tr×nh (2.28) mμ Phô lôc 6.A: C¸c phÐp xÊp xØ tÝch ph©n ®èi víi kh«ng gi¶ thiÕt ka
(A.1) ®−îc gi¶ sö t−¬ng ®−¬ng víi kÝch th−íc ®é dμi sãng tíi nªn chóng ta ph¶i cã Tõ ph−¬ng tr×nh (2.14) rót ra 2πa a a 1 iω  i   −  H 0 (k y − y ' )dydy ' α=
   πka 2 γ  ctg K n L 1   sin nα   2 ∞ ctg kL + 2   I = − ln   + ln 16 − 3 . F=  K B + 2nπ   nα  . (A.9) (A.11)   kB   4B     n =1    n Chuçi thø nhÊt ë vÕ ph¶i cña ph−¬ng tr×nh (A.8) cã thÓ ®−îc xÊp Tãm l¹i tÝch ph©n trong ph−¬ng tr×nh (A.1) b»ng xØ lÊy tæng trong d¹ng gÇn nhÊt. B»ng c¸ch s¾p xÕp l¹i d−íi ®©y, a iω  i    M (y y') dydy' ≅ − g  − 2 + F − I  + O(k 1 a 2 ln ka) . 2 (A.12) 2 1  sin nα  ∞ ∞   4a 2 1 1 1 F'≡ −    n 3 (cos 2nα − 1) , = −a π 1 n  nα  2πα 2 1 theo Collin (1960, tr. 579) cã thÓ thÊy r»ng ∞ ∞ cos nz z 2 3 1  ln z − z 2 + O ( z 4 ) +  3 , = n 1n 3 2 4 1 Do ®ã 1  (2α) 2  Tμi liÖu tham kh¶o 3 F'= ln 2α − (2α) 2 + O(α) 4  2 2πα  2  4 Abbot M. B. (1979). Computational Hydraulics, Pitman, New York. [ ] 1 3 =  ln 2α −  1 + O(α 2 ) Ablowitz, M. J. and A. C. Newell (1973). The decay of the continuous spectrum π 2 for solutions of the Korteweg-deVries equation. J. Math. Phys. 14: 1277-  1  4 πa 3   2  2πα  = −  1 + O  ln  . 1284. π B B 2     Ablowitz M. J., D. J. Kaup, A. C. Newell and H. Segur (1974). The inverse Thay vμo ph−¬ng tr×nh (A.8) vμ kÕt hîp víi c¸c ph−¬ng tr×nh scattering transform - Fourier analysis for nonlinear problems. Studies Appl. (A.7) vμ (A.9), ta ®−îc Math. Llll 4: 249-336. a 1 Ablowitz M. J. and H. Segur (1981). Solitons and the Inverse Scattering  Mdydy' = 4a 2 Transform, Society Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia. −a [ ] iω  3  1  4 πa 3  i 1 Abramowitz M. and I. A. Stegun (1972). Handbook of Mathematical Functions, =≅ −  F +  ln −  + O (ka) 2 ln ka − +  ln γka −  π 2 π g B 2 2  Dover, New York. iω  i    πka 2 γ     + ln 16 − 3 + O(ka) 2 ln(ka). Adams N. K. (1941). The Physics and Chemistry of Surfaces, Oxford University − + F + ln  =−    g 2   4B  Press, London.       Aranha J. A., C. C. Mei and D. K. P. Yue (1979). Some properties of a hybrid (A.10) element method for water waves. Int. J. Num. Methods Eng. 14: 1627-1641. V× ln 16 − 3 = −0,2274 vμ ka 2 / B
Benjamin T. B. and M. J. Lighthill (1954). On cnoidal waves and bores. Proc. R. 1918-1939. Soc. Lond. A 244: 448-460. Arthur R. S. (1946). Refraction of water waves by islands and shoals with Benney D. J. (1962). Nonlinear gravity wave interactions. J. Fluid Mech. 14: circular bottom contours. Trans. Am. Geophys. Union 27: 168-177. 574-584. Arthur R. S. (1962). A note on the dynamics of rip currents. J. Geophys. Res. 67: Benney D. J. (1966). Long nonlinear waves in fluid flows. J. Math. Phys. 45: 52- 2777-2779. 63. Atkin R. J. and R. E. Craine (1976). Continuum theory of mixture: applications. Benney D. J. and J. C. Luke (1964). On the interactions of permanent waves of J. Inst. Math. Appl. 17: 153-207. finite amplitude. J. Math. Phys. 43: 309-313. Bagnold R. A. (1946). Sand movement by waves: some small scale experiments Benney D. J. and A. C. Newell (1967). The propagation of nonlinear wave with sand of very low density. J. Inst. Civil Eng. 27: 457. envelopes. J. Math. Phys. 46: 133-139. Bai K. J. and R. Yeung (1974). Numerical solutions of free-surface and flow Benney D. J. and G. J. Roskes (1969). Wave instabilities. Studies Appl. Math 48: problems. Proc.10th Symp. Naval Hydrodyn. Office of Naval Research, 609- 377-385. 641. Berger U. and S. Kohlhase (1976). Mach reflection as a diffraction problem. Bartholomeuz E. F. (1958). The reflection of long waves at a step. Proc. Proc. 15th Conf. Coastal Eng. ASCE 1: 796-814. Cambridge Philos. Soc. 54: 106-118. Berkhoff J. C. W. (1972). Computation of combined refraction-diffraction. Proc. Batchelor G. K. (1967). An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge 13th Conf. Coastal Eng. ASCE 1: 471-490. University Press, London. Bessho M. (1965). On the wave-free distribution in the oscillation problem of the Battjes J. A. (1972). Set up due to irregular waves. Proc. 13th Conf. Coastal Eng. ship. J. Zosen Kiokai 117: 127-138. ASCE 2: 1993-2004. Bessho M. (1967). On the two-dimensional theory of the rolling motion of ships. Battjes J. A. (1974a). Computation of set-up long shore currents, run-up and Mem. Defense Acad. Yokoyuka 7: 105-125. overtopping due to wind generated waves. Communications on Hydraulics, Dept. of Civil Engineering, Delft University of Technology Report 74-2. Bigg G. R. (1982). Diffraction and trapping of waves by cavities and slender bodies. Ph. D. thesis, Depart. of Applied Mathematics, University of Battjes J. A. (1974b). Surf similarity. Proc. 14th Conf. Coastal Eng. ASCE 466- Adelaide, Australia. 480. Biot M. A. (1941). General theory of three-dimensional consolidation. J. Appl. Battjes J. A. (1975). Modeling of turbulence in the surf zone. Proc. Symp. Phys. 12: 155-164. Modeling Techniques ASCE. 1050-1061. Biot M. A. (1956). Theory of propagation of elastic waves in a fluid saturated Benjamin T. B. (1967). Instability of periodic wave trains in nonlinear dispersive porous solid I. Low frequency range. II. High frequency range. J. Acoust. systems. Proc. R. Soc. Lond. A 299: 59-75. Soc. Am. 28: 168-191. Benjamin T. B. and J. E. Feir (1967). The disintegration of wave trains on deep Boczar-Karakiewicz B. (1972). Transformation of wave profile in shallow water water. J. Fluid Mech. 27: 417-430. 177