ET 2060 Định lý lấy mẫu ( TS. Đặng Quang Hiếu )

Chia sẻ: Nguyễn Ngọc Minh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

166
lượt xem 42
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Định lý lấy mẫu lấy mẫu chuẩn hóa −−−− x(t) − − − → x(nTs ) − − − − → x[n] −−− Ts x(t) x(nTs ) t nTs “Nếu tín hiệu x(t) không có thành phần tần số nào lớn hơn B 1 hertz thì nó được hoàn toàn xác định tại các mẫu cách nhau 2B giây.” – Claude Shannon. Chứng minh định lý lấy mẫu (1) X (jΩ)

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ET 2060 Định lý lấy mẫu ( TS. Đặng Quang Hiếu )

ET 2060 Định lý lấy mẫu TS. Đặng Quang Hiếu http://ss.edabk.org Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Điện tử - Viễn thông 2011-2012 Định lý lấy mẫu lấy mẫu chuẩn hóa x (t ) − − − → x (nTs ) − − − − → x [n] −−− −−−− Ts x (t ) x (nTs ) t nTs “Nếu tín hiệu x (t ) không có thành phần tần số nào lớn hơn B hertz thì nó được hoàn toàn xác định tại các mẫu cách nhau 21 B giây.” – Claude Shannon.
Chứng minh định lý lấy mẫu (1) X (j Ω) Ω −2π B 2π B Gọi X (j Ω) là phổ của x (t ). Khi đó: ∞ 2π B 1 1 j Ωt X (j Ω)e j Ωt d Ω x (t ) = X (j Ω)e dΩ = 2π 2π −∞ −2π B n với n ∈ Z, ta có: Nếu thay t = 2B 2π B 1 n X (j Ω)e j Ω 2B d Ω x (n/2B ) = 2π −2π B Chứng minh định lý lấy mẫu (2) ˜ X (j Ω) Ω −6π B −2π B 2π B 6π B ∞ ∞ j 42π nΩ n ˜ cn e j Ω 2B X (j Ω) = cn e = πB n=−∞ n=−∞ 2π B 2π B 1 1 2π n ˜ X (j Ω)e −j 4πB nΩ d Ω = X (j Ω)e −j Ω 2B d Ω cn = 4π B 4π B −2π B −2π B 1 ˜ x (n/2B ) → cn = x (−n/2B ) → X (j Ω) → X (j Ω) → x (t ) QED!!! 2B
Cách tiếp cận khác Coi lấy mẫu là phép nhân của x (t ) với hàm xung đơn vị tuần hoàn với chu kỳ Ts . xs (t ) = x (t )p (t ) x (t ) p (t ) t t xs (t ) t Phổ của tín hiệu sau lấy mẫu ∞ 1 2π 2π [X (j Ω)∗P (j Ω)], δ(Ω−k Xs (j Ω) = với P (j Ω) = ) 2π Ts Ts k =−∞ ∞ 1 2π =⇒ Xs (j Ω) = X (j (Ω − k Ωs )), Ωs = Ts Ts k =−∞ X (j Ω) P (j Ω) 1 2π Ts Ω Ω − Ωs Ωs Xs (j Ω) 1 Ts Ω −2Ωs − Ωs Ωs 2Ωs
Khôi phục lại tín hiệu Cho tín hiệu xs (t ) qua bộ lọc thông thấp lý tưởng với Ωc = Ωs /2 > B Ts , |Ω| ≤ Ωc H (j Ω) = 0, |Ω| > Ωc Ts sin(Ωc t ) h(t ) = πt Ta có: ∞ x (t ) = xs (t ) ∗ h(t ) = x (nTs )h(t − nTs ) n=−∞ ∞ Ωc Ts sin(Ωc (t − nTs )) = x (nTs ) Ωc (t − nTs ) π n=−∞