Giáo trình Cơ học chất lỏng: Phần 1

Chia sẻ: AndromedaShun _AndromedaShun | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:109

Thêm vào BST

Báo xấu

43
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 của giáo trình "Cơ học chất lỏng" có nội dung gồm 5 chương trình bày kiến thức về: động học chất lỏng; các phương trình cơ bản của động lực học chất lỏng lý tưởng; thủy tĩnh; chuyển động phẳng không xoáy của chất lỏng không nén được; chuyển động xoáy của chất lỏng lý tưởng;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Cơ học chất lỏng: Phần 1

TRẦN V Á N C Ú C C ơ H O C C H A T L Õ N G NHẢ XUẤT BẢN ĐAI HOC QUỐC G IA HÀ NỘI
TRẤN VĂN CÚC C0 HỌC CHẤT LỎNG m (In lần th ứ 2) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
NHÒXUAtbồn ĐẠI HỌCọuốc GIAhAnội 16 Hàng Chuối - Hai Bà Trung - Hà Nội Điện thoại:
MỤC LỤC Tran tị Lời nói đầu 9 C h ư ơ n g L ĐỘNG HỌC CHẤT LỎNG 1i 1.1. Các khái niệm và các quan điểm nghiên cứu 11 / . / . / . H ạ t iòìIỊỊ và k h ô n g g iu n c h ấ t lò n g 11 /. / .2- C á i q u a n đ iể n ì n g h iê n á m 11 1.2. Một số khái niệm vể lý thuyết trường 14 12 .1 . Trường vô hướỉHỊ 15 I 2.2. Trường véc tơ 15 1.3. Sự phân bố vận tô'c trong chất lỏng 18 1.4. Phương trình liên tục 22 / .4 .Ị . P h ư ơ tìiị tr ìn h liê n tụ c th e o b iế n L a g r a n g e 22 l .4 .2 . P h ư ơ n g tr ìn h liê n tụ c th e o b iế n E u l e r 23 1.5. Đặc trưng của chuyên động khóng xoáy và xoáy 25 / . 5 / . Chuyền độ/iỊỊ không xoáy (chuyển dộng có thê 25 Ị .5 2. Chuyển dộng có xo á y 28 Bài tập 29 C h ư ỉ m g 2. C Á C P H Ư Ơ N G T R Ì N H c o BẢ N CỦA 39 ĐỘNG L ự c HỌC CHẤT LONG LÝ TƯỞNG 2.1. Lực tác dụng trong chất lỏng 39 2.2. Phương trình tổng quát của chuyển động 40 2 .2 . ỉ ■Á p s u ấ t tlm v đ ộ n \ị trom> c h ấ t ỈỎ/HỊ /ý tư ở n g 41 2 .2 .2 . P hươiìỊỊ tr ìn h tổ n iị q u á t c ù a c h ấ t lõ n g lý tưởtoỊ 42
2.3. Phương trình trạng thái của chât lòng lý tương 44 2 .3 . Ỉ . C ỉ u ĩ t l ò i i t Ị t ừ á p 44 2.3.2. Pliươiiạ trình rtyiiỊỊ thái k h ô n lị n é n đ ư ợ c 54 2.7.2. C h ủ ) tỏuv, n é n đ ư ợ c 55 2.8. Các (rường hơp đơn giản của chuyến động chất lóng lý 55 tường 2 .8 .1 . C h u v ể n íĩộiiìị d ừ tig 55 2.8.2. Chuyển d ộ m f khỏmỊ xoáy 58 2.9. ú h g dụng các lích phân 59 2 .9 .1 . S ự tồ n tụ i c ù a t'M ' til'll p h ú n B e r n o u lli. L ú iỊra n tỊe- 59 C o m 7i V. B rrn o n lli-ỈL u le r 2.9.2. Cỏn lị thứi T oris selli 60 2 .9 .3 . ÚiiiỊ dụ/HỊ (ỉô i vớ i c h ấ t k h i 61 2.9.4. ÔniỊ Pirot 62 2 .9 .5 . Ô n ỵ V e IItu r i 62 Bài tập 63 C h ư ơ n g 3. THUỶ TĨNH 68 3.1. Phương trình cân bằng 68 3.2. Điểu kiện cùa lực ngoài 69 3.3. Công thức tính áp lực lên vật rán 70 3.3.]. C hát IỎIHỊ nặng không nén 7] 3.3.2. Á p lực ỉêtì thành p/uìiiiỊ 71 3.3.3. Á p lực /én thành co m ! 72
3.4. Oil'll kiện ón định của vàt nổi trong chất lỏng 73 3.4 /. Đ ịnh lỉỉậĩ A n himt'dt’ 73 3 .4 .2 . Đ iề n kiệ/ỉ ô n đ ịn h n i a v ậ t n ố i 74 Bài lộp 74 C h ư ơ iig 4 . CHUYỂN ĐỘNG PHẢN.CÌ k h ô n g x o á y 7X CỦ A C H Ấ T L Ỏ N G K H Ô N G NÉN Đ ư ợ c 4.1. Một số khái niệm cúa hàm biến phức 78 4 . 1 1 . M ật p h a n g Ịìììứí 78 4 .1 .2 . H ù m h iế n p h ứ t■ 79 4.1.3. Phép lìiến hình hào iỊÌác 80 4.1.4. T ú 7i phân phứt XI 4.2. Hàm dòng, thế vận tốc 82 4.3. Vận tốc phức và thê phức 84 4 .3 .1 . S ự liê n h ệ ìỊÌữơ h à m ilòm>vù t h ể v ậ n tố c 84 4.3.2. Vận tôcpliửi và t h ể phức 84 4.3.3. M ột sô ví dụ 85 4.3.4. Đ iểm ntỊHồii và điểm hút 87 4 3 . 5 . L ư ỡ n g c ự c - Đ iể m x o á y 88 Bài tẠp 99 C h ư ơ n g 5. CHUYẾN ĐỘNG XOÁY 103 CỦA CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG 5.1. Các định lý vổ xoáy 103 5 .1 . ỉ . C h u y ể n d ộ n g x o á y 103 5 .1 .2 . Đ ịn h iý T iô m Xơn 104 5.2. Các phương trình về xoáy 105 5.2 /. P hư ơ ittỊ tr ìn h F r itn ia n 105 5.2.2. P h ư ơ in Ị tr ìn h H e m h o ltz 106 5.3. Sự hình thành xoáy 107
C h ư ơ n g 6. SựCH UYEN đ ộ n g s ó n g 110 CỦA CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG 6 . 1. Các phương Tinh c« bán của chuyến động sóng 110 6.1.1. Định nghĩa 110 6 . Ị .2. P h ư ơ ìi# tr ìn h s ó n g tr ọ n g lự c 110 6.2. Sóng phảng 114 6 .2 .1 . S ó n g 114 6 .2 .2 . Sóriiị tiế n 118 6 .2 .3 . S ó n ịỊ tr ơ u g ( h ú t lỏ n g ( ó đ ộ s á u h ữ u liạ n 120 Chương 7. CHẤT LỎNG KHÔNG NÉNĐ ược 123 7. [. Hệ phương tình Navier-Stock 123 7.1.1. T'en.xơ vận tôi hiến dạn í> vừ len.xơ ibìỊị xuất 123 7.1.2. H ệ phươìiìị trình NuYÌer-Stock 129 7.2. Nghiêm giải tích của hệ phương trình Navier-Stock 132 7.2.1. Dỏm; giữa hai bàn phỏng sotHỊ SOHỊỈ (Dòng Couette) 132 7 .2 .2 . D o n g P o is e n ille 135 7.3. Vé điểu kiện biẻn trong các bài toán Ihuỷ động lực học [38 của chất lỏng thực 7.4 Trường hợp tổng quát cùa dòng dừng một chiéu 139 7 .4 .1 . D ò n g íỉừ tìỉị 139 7 .4 .2 . D ò n x k h ô n g d ừ n g 143 7.5. Dòng phảng dừng giũa hai mặt trụ 144 7 .5 .1 . B à i to á n 144 7 .5 .2 . ứ n g thiH g 147 Bài tập í 47 6
C h ư ơ n g 8. L Ớ P B IÊ N 153 X. I. Khái niệm lớp bién 153 8.2. Hệ phương trình lớp biên 155 8.3. Giái hệ phương trình lớp biên 160 S J . 1. Một sốphươHỊị pháp ụừi hệ phiìơtiỊỊ trìnli lớ}) biên 160 H ệ th ứ c tíc h p h â n K a r m u n 163 C h ư ơ n g 9. CHUYỂN ĐỘNG R ố i 166 9.1. Trạng thái chuyển đóng rối của chất lòng 166 9.2. Hệ phương trình Reynold 167 9.2. ỉ . Các điều kiện trmnỊ bình 167 9 .2 .2 . H ệ p h ư ơ n g tr ìn h R e w o l d 169 9.3. Một sổ' khái niệm 171 9.3 ỉ . Hệ sô m a sút vôi 171 9.3.2. Phiin bô vận tốc Lo\ịưrit 173 C h ư ơ n g 10. LÝ THUYẾT TƯƠNG T ự VÀ THỨ NGUYÊN 178 10.1. Tương tự và mò hình hoá 178 Ỉ O . Ị . l . T ư ơ m ; t ự h ìn h h ọ c 179 Ị 0 .1 .2 . T ư ơ n g t ự đ ộ n g h ọ c 179 1 0 .ỉ .3. Tươriụ: tự đ ộ tìỊỊ lự c h ọ c 180 10.2. Lý thuyết thư nguyẻn 184 1 0 .2 .ỉ . C úc đụ i I uợihị có thứ tiguyên và không có th ứ 184 nguyên ỉ 0 .2 2 T h ứ nguyên ỉ 84 10.2.3. C ông thức rốHỊị quát cùa th ứ nguyên 185 Bài tập 188 Hướng dẫn và trả lời một sô bài tập 190 Tài liệu tham kháo 220 7
LỜI NÓI ĐẦU Giáo trình nàv giới thiệu nhữns kiến thức cơ bản về Cơ học chất lòng, được biên soạn dựa trên những bài giảng nhiều nám của chúng tòi cho sinh viên ngành Cơ học. ngành Khí tượng, Hải dương và Tbuý vãn của trường Đại học Tổng hợp trước đây và trường Đại học Khoa học Tự nhiên. Đại học Quốc gia Hà Nội hiện nay. Cơ học chất lỏng có liên quan đến nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ ihuật. Vi vậy, việc biên soạn một giáo trình để đáp ứng được tất cả các đối tượng quan tâm là khó thực hiện. Hem nữa, do khuôn khổ giáo trinh có hạn nên chúng tôi chỉ giới hạn trình bày chù yếu phần chất lỏng không nén được, còn phần chất lỏng nén được (chất khí) sẽ được trình bày dưới dạng chuyên để. Giáo trình gồm mười chương. Chương đầu giới thiệu một số khái niệm về động học chất lòng và các quan điểm nghiên cứu. Nàm chương tiếp theo trình bày các vấn đề cơ bản của chuyển động chát lỏng lý tưởng. Chương bảy, chương tám trình bày phương pháp thiết lập hệ phương trình cho chuyển động chất lỏng thực và một số trường hợp giải được hệ phương trình đó mà có ứng đụng kỹ thuật. Chương chín trình bày cách thiết lập hệ phương trình và môt số đặc trưng cho chất lỏng chuyển động rối. Chương mười trình bày lý thuyết thứ nguyên và tương tự. Sau một số chương chúng tỏi có đưa vào một số bài tập để người đọc biết vận dụng lý thuyết vào việ: ííiài các bài toán cụ thể. 9
Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng giáo trình này không tránh khỏi thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận dược ý kiến đóng góp của các đồng nghiộp và độc giả dể giáo trình được hoàn thiện hơn trong lần xuất bản sau. nn * »’ l á c giá 10
C hương 1 ĐỘNG ■ HỌC « CHẤT LỎNG 1.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ CÁC QUAN ĐIEM NGHỈẼN cứu 1.1.1. Hạt lông và không gian chát lỏng Ta định nghĩa hạt lỏng là một thể tích chất lỏng đượe giới hạn bởi mặt đơn liên i' đù bé CÒI1 không gian chất lỏng là một thê’ tích chất lỏng hữu hạn được lấp dẩy liên tục bời các hạt lỏng, trong đó được gắn một hệ toạ độ Descartes hoặc một hộ toạ độ cong trực giao. 1.1.2. Các quan điếm nghiên cứu a ) Q u a n đ iể m L a g r a n g e Theo Lagrange dối tượng nghiên cứu là chính các hạt lỏng. Quá trình nghiên cứu bao gồm: - Sự thay đổi theo (hòi gian các đại lượng có hướng và vô hưóng đặc trưng cho hạt lỏng chẳng hạn vận tốc, gia tốc, khối lượng riêng... - Khảo sát sự biến thiên chính các đại lượng ấy khi chuyển từ hạt lòng này đến các hạt lỏng khác. Như vậy theo Lagrange các đại lượng đặc trưng cho hạt lỏng là những hàm của thời gian và các số đánh dấu hạt lỏng riêng biệt đang xét. Những số đánh dấu ẩy có thể chọn ià toạ độ Descartes X '„ y „ , z„ của hạl lỏng tại một ỉhời điểm i„ nào đó. Với quan niệm như vậy có thế xem toạ độ .V, V. - của một hạt lỏng bất kỳ là hàm xác định của thời gian t và các toạ độ ban dầu của chính các hạt ấy: 11
X — x( \ f ), ) y =y(x0,y0.zli,r) , 1 .1 . 1 ) z — z ( x tị , y fị,Z(),t). Thay cho các toạ độ .v„, yn. zn ta có thể lấy trong thêtích lỏrụ đang xét ba đại lượng a . b,
bì Quart điếm Euler Theo Euler đối lương nghiên cứu khống phái chính chát lỏng mà là không gian c ố định dirơe lấp dầy bới chất lỏng chuyến động. Quá trình nghiên cứu bao gốm; - Sự biến thiên theo thời gian các đặc tnmg cùa chuyên đông cùa chát lỏng tại một điếm cô' định của không gian. - Sự biến thiên của chính các đại lượng ấy từ các điểm này sang diểm khác cùa không gian. Nói cách khác các đặc trưng của chuyển động là hàm của thời gian và của toạ độ điểm, nghĩa là hàm cúa bốn dối số -V.y,z,t. Các biến đó được gọi là biến Euler. Chảng hạn vectơ vận tốc: V = F( r , t ) hay dưới dang các thành phần: '\ = f , { x , y , z . t ) - Vv = / :( * > > '• - • ') ( 1 . 1 -5 ) ?: - f Ả x > y ^ A Tương tự khối lượng riềng: P=fẢ-x-y-z>t)- 1.13. Sự liên hệ giữa biến Lagrange và biến Euler Từ (1.1.2), theo già thiết ta có thể giải đơn trị: a -G i(x,y,z,t) • h = G 2( x , y , 2 ,t) (1.1.6) I =G,{x.y,z.tỴ Các hệ thức (1.1.6) là mối liên hệ giữa biến Lagrange với biến Euler Mặt khác từ hệ (1.1.5) ta có: 13
dt ” = V.2-.0 at dz .( \ a = »'-• = / , ( - ' • y - Z ' t y dt Tích phân các phương trình trên ta được: A* —FỊịi Ị ,c ),( Ị ,/) - y = F2( c , , c 2 X ị , í) (1.1.7) z = F?(r/Iọ . f ỉ , 4 trong đó C/, Cị, c , là các hằng s ố tích phân. Nếu đăi a =C/ , b ~ c 2. c= c\ị thì ta lại biểu diễn được các biến Euler qua các biến Lagrange. 1.2. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ LÝ THUYẾT TRƯỜNG Một số đặc trưng của chuyển động của chất lỏng là các đại lượng vectơ và vô hướng. Vì vây cần nhắc lại một sô' kiến thức về lý thuyết trường. 1.2.1. Trường vô hướng Cho D là một tập hợp trong không gian R ’ (ờ đày ta xét chủ yếu không gian thực ba chiểu). Nếu mỗi điểm M e D có tương ứng một sô' thựcp ( M ) (đại lượng vô hướng p ( M ) nào đó) thì ta gọi ( D , p ) là một trường vô hướng. Chẳng hạn trường mật đô, trường nhiệt độ... trong chất lỏng là các trường vô hướng. Giả sử (Đ ,p ) là một trường vô hưóng tập s, = [ M e D . ọ ị M ) = í'} được gọi là mặt mức của trường vô hướng. Chẳng hạn trường đang xét là trường nhiệt độ thì 5 . chính là mặt đẳng nhiột (c=cons't). 14
Giá sừ hàm p( M ) c ó các đạo hàm riêng theo các biẻn V, V. ; trong hệ toạ độ Descartes ba chiểu, vectơ với ba thành phần ' d ọ
trong đó »\.v ,v. là thành phần cùa vectơ vận tốc V. Từ phương trình cùa đường dòng ta thủy nếu biết dược vận lốc tại mỗi điểm thì la lập được phương trình đường dòng và ngược lại. Trong vật lý đường dòng còn gọi là đường sức. Nói chung đường dòng không trùng với quỹ đạo cùa chuyển động, trong trường hợp chuyển động là dừng (không phụ thuộc thời gian) thì dường dòng trùng với quỹ đạo. b ) T h ô n g lư ợ n g v e c tơ Giả sử s là một mặt cong hai phía nàm trong Q . Ta gọi thông lượng của trường vectơ đi qua mặt s theo hướng vectơ pháp tuyến n là đại lượng: 3 = ị ị \ \ xd y d z + V y J z d x + v .d x d v = ị ị v . ĩ u i S . s s Nếu [q . v ) là trường vận tốc chất lòng dừng thì 3 chính là thê tích chất lỏng chảy qua mặt s trong một dcm vị thơi gian. Nếu mặt s kín, theo công thức Ostrogradsky ta có: 3 = J j J divVdxdydz V trong đó V là thể tích lỏng được giới hạn bởi mặt s, I- \7 div V =_ H----- —+ d— v. - ôx õy d: và được gọi là phân kỳ vận tốc (divergence). Trong trường hợp này 3 chính là thể tích chất lỏng chuyển qua mặt kín s . Già sử div V liên rục và div V >0 tại M n. khi đó có thế tìm được một lân cận của M 0 trong đó div V >0. Điểm M 0 như vậy gọi là điểm nguồn. Ngược lại nếu trong lân cận cùa M fì mà div V
c) ỉ.ư u sô vận tóc Cìiá sir V lit một dường cong trong Q . Đại lượiig: I= + \ \ i l \ +v.
V A V = I-O/V' v . v = A (loán tứ Laplace). 1 .3 . S ự« P H Â N B Ổ V Ậ■N T Ố C T R O N G C H A T L O N G Trong động học cố thế vận tốc cùa một điếm bát kỳ CÌKI cố thế có dạng: V = v„ +tÕAp (J.3.I) trong đó ỉ,.( ià vân tốc tịnh liên cùa điểm trong cố thê dược chọn làm cực, (0 là vận lốc góc cùa cố thế quay quanh trục quay tức thời đi qua điểm cưc, P là bán kính vectư tương đối, V - — . vái ĩ là clr bán kính vectơ tuyột đối ( P [à khoáng cách từ điếm cực đến diòni điins xéi. ĩ là khoáng cách từ điếm đanc xét đến một diốm cỏ' định hay là gốc toa độ cô dinh). Tìr (I.3.1), ta có ihẻ xác dịiìh dược dịch chuyên yêu tó í l r dưới dạng: d ĩ = dr0 + {(0 A P )dt . ( l .3.2) Bây giờ ta xc> vận tốc. sự dịch chuyến cúa chất lòng. Xéi tường tượng một hạt ỉỏng bé giới hạn bởi rnột mặi đơn liên và xét nó tại hai vị irí liỏn tiếp tại thời điếm t và t+ilr, cách nhau một khoảng thời gian vò vùng bé Jr. Tại t ta xét hai điểm tuỳ ý o và A và chọn chắng hạn o làm cực. Giả sử /Ị r |C là hệ toụ độ cố định (HTmh I ). Ký hiệu bán kính vectơ cúa các dicin 0 , A đỏi với hệ loạ độ cô' dịnh tà r{l. f và p = O A . Tại r+(lr các điểm O A tương ihig sẽ là 0 A . các bán kính vectơ tương t'mg sẽ là còn p ' - 0 ’A ' . Khi dó dịch chuyển yếu tố của o và ,4 sẽ là: d ĩ t) - Fn ' - fn ; (If = r ' - r ; (lộ = p' - P IX
tioim ctc d p !à dịch ehuycn yếu tỏ tương đối cùa A dối với (). Vì: ộ - ĩ ' - rỏ ; P = ĩ - r„ =>
với: p = U -n .;) t/p = {JZ,.