Giáo trình Giải tích số - Lê Minh Lưu

Chia sẻ: Trần Ý Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:77

1
382
lượt xem
181
download

Giáo trình Giải tích số - Lê Minh Lưu

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Giải tích số do Lê Minh Lưu biên soạn gồm 7 chương: Chương 1 lý thuyết sai số, chương 2 xấp xỉ tốt nhất, chương 3 xấp xỉ bằng hàm đa thức nội suy, chương 4 tính gần đúng đạo hàm và tích phân, chương 5 giải phương trình phi tuyến, chương 6 giải phương trình đại số tuyến tính, chương 7 giải gần đúng phương trình vi phân.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Giải tích số - Lê Minh Lưu

  1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO (Giáo trình dùng cho sinh viên Đại học, Cao đ ẳng ) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC
  2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÊ MINH LƯU GIẢI TÍCH SỐ Giáo trình dùng cho sinh viên Đại học, Cao đẳng ( Tái bản lần thứ 10) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC
  3. 711/GD-01/4415/307-00 Mã số: 8L711I9
  4. Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Ch-¬ng 1 Lý thuyÕt sai sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.1 C¸c lo¹i sai sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Quy t¾c thu gän sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Ch÷ sè ch¾c, kh«ng ch¾c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Hai bµi to¸n vÒ sai sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Sai sè c¸c phÐp to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Ch-¬ng 2 XÊp xØ tèt nhÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1 XÊp xØ tèt nhÊt trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 XÊp xØ tèt nhÊt trong kh«ng gian c¸c hµm liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 XÊp xØ tèt nhÊt trong kh«ng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ch-¬ng 3 XÊp xØ hµm b»ng ®a thøc néi suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1 Bµi to¸n néi suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 3.2 Gi¶i hÖ ®¹i sè tuyÕn tÝnh ®Ó x¸c ®Þnh ®a thøc néi suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3 Ph-¬ng ph¸p néi suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.4 Tr-êng hîp c¸c mèc néi suy c¸ch ®Òu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 3.5 Sai sè cña p-¬ng ph¸p néi suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.6 Chän mèc néi suy tèi -u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 Ch-¬ng 4 TÝnh gÇn ®óng ®¹o hµm vµ tÝch ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1 Dïng néi suy Lagrange tÝnh gÇn ®óng ®¹o hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2 TÝnh gÇn ®óng tÝch ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Ch-¬ng 5 Gi¶i ph-¬ng tr×nh phi tuyÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.1 Ph-¬ng ph¸p ®å thÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.2 Ph-¬ng ph¸p chia ®«i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.3 Ph-¬ng ph¸p lÆp ®¬n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 5.4 Ph-¬ng ph¸p d©y cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.5 Ph-¬ng ph¸p tiÕp tuyÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.6 Gi¶i ®a thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.7 Gi¶i hÖ hai ph-¬ng tr×nh phi tuyÕn b»ng ph-¬ng ph¸p lÆp ®¬n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 Ch-¬ng 6 Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.1 Mét vµi kh¸i niÖm cÇn thiÕt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
  5. Gi¶i tÝch sè 2 6.2 Ph-¬ng ph¸p Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.3 Ph-¬ng ph¸p c¨n sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.4 Ph-¬ng ph¸p lÆp ®¬n gi¶i hÖ ®¹i sè tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.5 Ph-¬ng ph¸p Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.6 Ph-¬ng ph¸p Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.7 Ph-¬ng ph¸p Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Ch-¬ng 7 Gi¶i gÇn ®óng ph-¬ng tr×nh vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 7.1 Ph-¬ng ph¸p xÊp xØ liªn tiÕp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 7.2 Ph-¬ng ph¸p chuçi nguyªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7.3 Ph-¬ng ph¸p Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 7.4 Ph-¬ng ph¸p Euler c¶i tiÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7.5 Ph-¬ng ph¸p Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
  6. Gi¶i tÝch sè 3 Ch-¬ng 1 Lý ThuyÕt Sai Sè 1.1 C¸c lo¹i sai sè Trªn thùc tÕ khi ®o mét ®¹i l-îng hoÆc x¸c ®Þnh mét ®¹i l-îng mµ ta ký hiÖu lµ a∗ , th«ng th-êng kh«ng x¸c ®Þnh ®-îc gi¸ trÞ ®óng mµ chØ biÕt ®-îc gi¸ trÞ gÇn ®óng a. VËy ta ®· gÆp ph¶i sai sè. Cã nhiÒu lo¹i sai sè: 1. Sai sè thùc sù: §¹i l-îng := | a − a ∗ | gäi lµ sai sè thùc sù cña a. 2. Sai sè tuyÖt ®èi: NÕu biÕt ≥ 0 sao cho a ≤ a∗ ≤ a + a− a a th× gäi lµ sai sè tuyÖt ®èi cña a. a 3. Sai sè t-¬ng ®èi: §¹i l-îng a δa := |a| gäi lµ sai sè t-¬ng ®èi cña a. 1.2 Qui t¾c thu gän sè Gi¶ sö ta cã sè gÇn ®óng a ®-îc viÕt d-íi d¹ng thËp ph©n a = ±(βp 10p + ... + βj 10j + ... + βp−s 10p−s ) trong ®ã βj ∈ {0, 1, 2, ..., 9}, βp > 0. Ta muèn thu gän sè a ®Õn hµng thø j . Gäi sè a lµ sè thu gän ®Õn hµng thø j cña sè a vµ phÇn vøt bá lµ µ. §Æt: a = βp 10p + ... + βj +1 10j +1 + β j 10j . Trong ®ã: β j b»ng βj + 1 nÕu 0, 5 × 10j < µ < 10j vµ b»ng βj nÕu 0 ≤ µ < 0, 5 × 10j . Tr-êng hîp µ = 0.5 × 10j th× β j = βj nÕu βj ch½n vµ β j = βj + 1 nÕu βj lÎ. Nh- vËy sai sè thu gän lµ ®¹i l-îng Γa ≥ 0 tháa |a − a| ≤ Γa .
  7. Gi¶i tÝch sè 4 Do a = ±(βp 10p + ... + βj 10j + µ), a = ±(βp 10p + ... + βj 10j + β j 10j ), ta cã |a − a| = |(βj − β j ) × 10j + µ| < 0.5 × 10j . VÝ dô: Sè π 3, 1415 3, 142 3, 14. Chó ý 1. Sai sè tuyÖt ®èi kh«ng ®Æc tr-ng cho ®é chÝnh x¸c cña phÐp ®o mµ chØ cho phÐp ta h×nh dung ®-îc ®é gÇn nhau gi÷a gi¸ trÞ ®óng vµ gi¸ trÞ gÇn ®óng. 2. Sai sè tuyÖt ®èi cïng thø nguyªn víi ®¹i l-îng ®o. 3. Sai sè t-¬ng ®èi ®Æc tr-ng cho ®é chÝnh x¸c cña phÐp ®o vµ kh«ng cã thø nguyªn. 4. Sau khi thu gän sè th× sai sè tuyÖt ®èi t¨ng lªn. Gäi a∗ lµ gi¸ trÞ ®óng, a lµ gi¸ trÞ gÇn ®óng vµ gäi a lµ sè sau khi thu gän cña a th× |a∗ − a| ≤ |a∗ − a| + |a − a| ≤ + Γa . a 1.3 Ch÷ sè ch¾c vµ kh«ng ch¾c Gi¶ sö cã sè gÇn ®óng a viÕt ë d¹ng a = ±(βp 10p + ... + βj 10j + ... + βp−s 10p−s ). Víi sai sè tuyÖt ®èi cña a lµ a . Cho sè 0 < ω ≤ 1. NÕu a ≤ ω × 10i th× ch÷ sè βi gäi lµ ch÷ sè ch¾c, ng-îc l¹i ch÷ sè βi gäi lµ ch÷ sè kh«ng ch¾c. Ch÷ sè ch¾c víi ω = 1 gäi lµ ch¾c theo nghÜa réng. Ch÷ sè ch¾c víi ω = 0, 56 gäi lµ ch¾c theo nghÜa hÑp. Chó ý: • NÕu βi lµ ch÷ sè ch¾c th× βj , ∀j ≥ i còng lµ ch÷ sè ch¾c. • NÕu βi kh«ng ch¾c th× βj , ∀j ≤ i còng kh«ng ch¾c. • Mét ch÷ sè lµ ch¾c sau khi thu gän sè cã thÓ nã kh«ng cßn lµ ch¾c. • Trong kü thuËt, ng-êi ta th-êng dïng ω = 1 vµ nÕu ch÷ sè lµ ch¾c th× sau thu gän nã vÉn lµ ch¾c (0, 56 ≤ ω ≤ 1). • Khi tÝnh to¸n, ta th-êng gi÷ l¹i c¸c ch÷ sè ch¾c vµ lÊy phô thªm tõ 1 ®Õn 2 ch÷ sè kh«ng ch¾c vµ cã ký hiÖu riªng ®Ó chØ c¸c ch÷ sè kh«ng ch¾c nµy.
  8. Gi¶i tÝch sè 5 • Sai sè t-¬ng ®èi cña mét sè kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ dÊu phÈy cña nã (dÊu chÊm thËp ph©n). 1.4 Hai bµi to¸n vÒ sai sè XÐt sè gÇn ®óng viÕt ë d¹ng thËp ph©n a = ±(βp 10p + βp−1 10p−1 + ... + βp−s 10p−s ). Cã hai bµi to¸n ®Æt ra: Bµi to¸n 1: BiÕt sè ch÷ sè ch¾c cña a lµ γa , t×m sai sè t-¬ng ®èi δa cña a. Gäi a0 lµ sè a mµ sau khi dêi dÊu phÈy sao cho ch÷ sè ch¾c cuèi ë hµng ®¬n vÞ vµ toµn ch÷ sè ch¾c. Ta cã βp × 10γa −1 ≤ a0 ≤ (βp + 1) × 10γa −1 ≤ 10γa . VËy 1 1 ≤ δa ≤ . (βp + 1) × 10γa −1 βp × 10γ1 −1 NÕu kh«ng biÕt βp th× lÊy 1 1 ≤ δa ≤ s−1 . 10s 10 Bµi to¸n 2: BiÕt sai sè t-¬ng ®èi lµ δa , t×m sè ch÷ sè ch¾c γa . Gi¶ sö biÕt δa > 0, ta viÕt δa = λ10−m víi 0.1 < λ < 1 vµ m lµ sè nguyªn. §Æt am lµ sè a nh-ng dêi dÊu chÊm thËp ph©n sao cho am cã m + 1 ch÷ sè tr-íc dÊu chÊm thËp ph©n. Ta cã: am ≤ (βp + 1) × 10m , suy ra = am δam = am δa = am λ10−m ≤ λ(βp + 1). a Bëi v× 0, 2 < λ(βp + 1) ≤ 10. VËy cã hai tr-êng hîp x¶y ra a. NÕu λ(βp + 1) ≤ 1 th× ≤ 1 vµ am cã m + 1 ch÷ sè ch¾c. am b. NÕu λ × (βp + 1) > 1 th× ≤ 10 vµ am cã m ch÷ sè ch¾c. am
  9. Gi¶i tÝch sè 6 λ Cuèi cïng ta cã thÓ kÕt luËn, nÕu δa = 10m , 0.1 < λ ≤ 1 vµ λ(βp + 1) ≤ 1 th× a cã m + 1 ch÷ sè ch¾c, ng-îc l¹i a cã m ch÷ sè ch¾c. 1.5 Sai sè c¸c phÐp to¸n Gi¶ sö ph¶i t×m ®¹i l-îng y theo c«ng thøc y = f (x1 , x2 , ..., xn ). Gäi x∗ , y ∗ , i = 1, 2, ..., n vµ xi , y, i = 1, 2, ..., n lµ c¸c gi¸ trÞ ®óng vµ gÇn ®óng. NÕu f i kh¶ vi liªn tôc ta cã |y − y ∗ | = |f (x1 , ..., xn ) − f (x∗ , ..., x∗ )| 1 n n |∂f (x1 , ..., θi , ..., xn )| |x i − x ∗ |, = i ∂xi i=1 [xi , x∗ ], i = 1, 2, ..., n. Ta cã thÓ coi (do f kh¶ vi liªn tôc vµ x∗ kh¸ gÇn xi ), ë ®©y θi ∈ i i ∂ f (x1 , ..., θi , ..., xn ) ∂ f (x1 , ..., xn ) . ∂xi ∂xi Do ®ã n ∂ f (x1 , ..., xn ) = xi , y ∂xi i=1 vµ n ∂ ln f (x1 , ..., xn ) y δy = = xi . |y | ∂xi i=1 a. Sai sè phÐp tÝnh céng, trõ: n y = f (x1 , x2 ..., xn ) = xi , i=1 n ∂f (x1 , x2 ..., xn ) =1⇒ = xi . y ∂xi i=1 Gi¶ sö xm = maxi=1,n { xi }, vµ ch÷ sè ch¾c cuèi cña xm ë hµng thø k, ( = xm 10k ). Ta cã: = 10k . ≥ y xm Do ®ã khi lµm phÐp céng, trõ nªn qui trßn c¸c xi ®Õn møc gi÷ l¹i 1 hoÆc 2 ch÷ sè bªn ph¶i hµng thø k . Chó ý: Khi trõ hai sè gÇn nhau cÇn lÊy c¸c sè víi nhiÒu ch÷ sè ch¾c v× khi trõ hai sè gÇn nhau kÕt qu¶ mÊt chÝnh x¸c.
  10. Gi¶i tÝch sè 7 b. Sai sè phÐp to¸n nh©n, chia: Gi¶ sö x1 , ..., xp y= = f (x1 , ..., xp , ..., xn ). xp+1 , ..., xn Khi ®ã p n ln y = ln xi − ln xj i=1 j =p+1 suy ra n δy = δxi . i=1 NÕu δxm = maxi=1,n {δxi } vµ sè ch÷ sè ch¾c cña xm lµ k th× δy ≥ δxm vµ sè ch÷ sè ch¾c cña y kh«ng v-ît qu¸ k . V× vËy khi lµm phÐp to¸n nh©n, chia ta chØ cÇn lÊy k + 1 hoÆc k + 2 ch÷ sè lµ ®ñ. c. Sai sè phÐp lòy thõa, khai c¨n vµ nghÞch ®¶o: Cho y = xα , α ∈ R, d ln y δy = = |α|δx. x dx • NÕu α > 1 th× δy > δx tøc lµ phÐp lòy thõa lµm gi¶m ®é chÝnh x¸c. • NÕu 0 < α < 1 th× δy < δx tøc lµ phÐp khai c¨n lµm t¨ng ®é chÝnh x¸c. • NÕu α = −1 th× δy = δx vµ phÐp nghÞch ®¶o cã ®é chÝnh x¸c kh«ng ®æi.
  11. Gi¶i tÝch sè 8 Ch-¬ng 2 XÊp XØ Tèt NhÊt 2.1. XÊp xØ tèt nhÊt trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn Gi¶ sö X lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn. L ⊂ X lµ ®a t¹p tuyÕn tÝnh ®ãng cña X vµ f ∈ X. Bµi to¸n ®Æt ra h·y t×m phÇn tö f ∗ ∈ L sao cho: f − f ∗ = inf g−f . g ∈L §Þnh lý 2.1.1 NÕu L lµ kh«ng gian con h÷u h¹n chiÒu cña X th× víi mäi f ∈ X lu«n tån t¹i f ∗ ∈ L tháa f − f ∗ = inf g − f . g ∈L (PhÇn tö f ∗ gäi lµ phÈn tö xÊp xØ tèt nhÊt f trªn L). Chøng minh: XÐt Ω = {g ∈ L : g ≤ 2 f } ⊂ L. DÔ thÊy Ω lµ tËp ®ãng, giíi néi trong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu nªn Ω lµ Compact. XÐt hµm φ(g ) := f − g . Ta cã |φ(g ) − φ(h)| = | f − g − f − h | ≤ (f − g ) − (f − h) = h − g . Do φ lµ hµm liªn tôc trªn tËp Compact Ω nªn hµm φ ®¹t cùc tiÓu trªn Ω. Tõ ®ã ∃f ∗ ∈ Ω : φ(f ∗ ) = min φ(g ). g ∈Ω MÆt kh¸c: NÕu g ∈ L \ Ω tøc lµ g kh«ng thuéc Ω th× g−f ≥ g − f >2 f − f = f = f −θ (ë ®©y θ chØ phÇn tö kh«ng cña kh«ng gian X ). Bëi vËy ∀g ∈ L\Ω, th× g −f > f −θ , tøc lµ inf g−h ≥ f −θ . g ∈L\Ω Suy ra f − f ∗ = min f −g g ∈Ω
  12. Gi¶i tÝch sè 9 ≤ f −θ ≤ inf g−h . g ∈L\Ω Do ®ã f − f ∗ = min f −g . g ∈L §Þnh lý ®-îc chøng minh. Chó ý: Sinh viªn cã thÓ tham kh¶o mét chøng minh kh¸c sau ®©y khi (trong ®Þnh lý trªn) ®· biÕt c¬ së cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh L ®Ó thÊy râ h¬n ý nghÜa vÊn ®Ò. Gi¶ sö {g1 , g2 , ..., gn } lµ c¸c phÇn tö ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong X . §Æt (bao tuyÕn tÝnh cña c¸c phÇn tö {g1 , g2 , ..., gn } trong X ) n £{g1 , g2 , ..., gn } := { ai gi , ai ∈ R}. i=1 DÔ thÊy £{g1 , g2 , ..., gn } lµ kh«ng gian con tuyÕn tÝnh h÷u h¹n chiÒu trong X . §Æt L = £{g1 , g2 , ..., gn }. XÐt phiÕn hµm n ci gi , c = (c1 , c2 , ..., cn ) ∈ Rn . F0 (c) := i=1 1 KÝ hiÖu | c |= ( n=1 c2 ) 2 vµ ®Æt K = {c ∈ Rn , | c |= 1} th× K ⊂ Rn lµ tËp compact i i trong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu. Do F0 (c) lµ hµm liªn tôc trªn tËp compact nªn ®¹t cùc tiÓu t¹i c0 ∈ K tøc lµ 0 ≤ m := F0 (c0 ) = min F0 (c). c∈K Bëi m kh«ng thÓ lµ 0 v× m = 0 th× F0 (c0 ) = n=1 c0i gi = 0, tøc lµ c0i = 0, ∀i. §iÒu i nµy kÐo theo | c0 |= 0 lµ m©u thuÉn (v× c0 ∈ K ). XÐt hµm n F (c) = ci gi − f . i=1 NÕu f ∈ L th× lÊy f ∗ = f . NÕu f kh«ng thuéc L th× inf F (c) = α > 0; c∈Rn n n F (c) = ci gi − f ≥ ci gi − f i=1 i=1 n ci =| c | gi − f . |c| i=1
  13. Gi¶i tÝch sè 10 §Æt c = ( |cci| , ci , ..., |cci| ) th× | c |= 1, tøc lµ c ∈ K . Tõ trªn ta cã |c| F (c) =| c | F0 (c)− f ≥m|c|− f . DÔ thÊy r»ng m | c | − f → ∞ khi | c |→ ∞. Theo ®Þnh nghÜa giíi h¹n, tån t¹i M > 0, ∀c ∈ Rn , | c |> M th× F (c) > α + 1. Bëi qu¶ cÇu ®ãng B (0, M ) := {c ∈ Rn , | c |≤ M } lµ tËp compact trong Rn . H¬n n÷a F (c) lµ hµm liªn tôc nªn nã ®¹t cùc trÞ trªn B (0, M ). Tøc lµ tån t¹i c ∈ B (0, M ) sao cho F (ˆ) = α. LÊy ˆ c n f∗ = ci gi , ˆ i=1 dÔ thÊy f ∗ lµ phÇn tö xÊp xØ tèt nhÊt f trong L. VÝ dô: XÐt X = L2 [0, 1]. xÐt hÖ hµm {g0 = x0 , g1 = x1 , g2 = x2 , ..., gn = xn }. §Æt n ai xi , ai ∈ R} L := £{g1 , g2 , ..., gn } = i=0 lµ tËp c¸c ®a thøc thùc bËc kh«ng qu¸ n vµ L lµ kh«ng gian con h÷u h¹n chiÒu cña L2 [0, 1]. Theo §Þnh lý 2.1.1 víi mäi f ∈ L2 [0, 1] lu«n tån t¹i ®a thøc bÆc kh«ng qu¸ n lµ Q∗ sao cho n f − Q∗ L2 [0,1] = min f − g L2 [0,1] . n g ∈L Tøc lµ 1 1 1 1 2 2 Q∗ (x)|2 dx 2 |f ( x ) − = min |f (x) − g (x)| dx . n g ∈L 0 0 §Þnh nghÜa 2.1.2 Kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn X ®-îc gäi lµ låi chÆt (ngÆt) nÕu ∀x, y ∈ X, x = y = 1, x + y = 2 , th× x = y. §Þnh lý 2.1.3 NÕu X lµ kh«ng gian låi chÆt vµ L lµ kh«ng gian con h÷u h¹n chiÒu cña X th× phÇn tö xÊp xØ tèt nhÊt f ∗ lµ duy nhÊt. Chøng minh: §Æt = min f −g , g ∈L
  14. Gi¶i tÝch sè 11 cã hai tr-êng hîp x¶y ra 1) Tr-êng hîp = 0 ⇒ f ∈ L vµ f ∗ = f . Tøc f ∗ lµ duy nhÊt. ∗ ∗ ∗ ∗ 2) Tr-êng hîp = 0 th× f ∈ L vµ > 0. Gi¶ thiÕt ph¶n chøng, tån t¹i f1 vµ f2 , f1 = f2 / ®Òu lµ xÊp xØ tèt nhÊt f . Khi ®ã ∗ f − f1 = , ∗ f − f2 = . Ta cã: ∗ ∗ ∗ ∗ f1 + f2 f − f1 f − f2 ≤ f− ≤ + 2 2 2 = + =. 2 2 Suy ra ∗ ∗ f1 + f2 f− =. 2 (f ∗ +f ∗ ) Tõ ®ã phÇn tö 1 2 2 còng lµ phÇn tö xÊp xØ tèt nhÊt f trªn L. B©y giê ta xÐt hai phÇn tö trong X lµ f −f1 vµ f −f2 . DÔ kiÓm tra r»ng 2 2 ∗ ∗ f − f1 f − f2 = = 1, vµ h¬n n÷a ∗ ∗ ∗ ∗ f − f1 f − f2 2f − (f1 + f2 ) + = ∗ ∗ f1 +f1 ∗ ∗ f− 2 f1 + f2 2. 2 =2 = f− = = 2. 2 Bëi X lµ låi chÆt nªn ∗ ∗ f − f1 f − f2 ≡ . ∗ ∗ VËy f1 = f2 vµ ®Þnh lý ®-îc chøng minh. Chó ý: a. NÕu X lµ låi chÆt th× víi hai ®iÓm kh¸c nhau trªn mÆt cÇu ®¬n vÞ, ®o¹n th¼ng nèi hai ®iÓm ®ã kh«ng cã ®iÓm chung nµo kh¸c víi mÆt cÇu trõ chÝnh hai ®iÓm nµy (ý nghÜa h×nh häc cña kh«ng gian låi chÆt). b. Kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu Rn vµ kh«ng gian Hilbert lµ låi chÆt. c. Kh«ng gian C[0,1] (kh«ng gian c¸c hµm liªn tôc trªn ®o¹n [0, 1]) kh«ng låi chÆt. ThËt vËy, chØ cÇn lÊy phÇn tö y1 (x) = 1, y2 (x) = x, ta cã y1 , y2 ∈ C[0,1] vµ y1 = 1, y2 = 1. H¬n n÷a, dÔ thÊy y1 + y2 = maxx∈[0,1] |1 + x| = 2 nh-ng y1 = y2 , vËy kh«ng gian
  15. Gi¶i tÝch sè 12 C[0,1]] kh«ng låi chÆt. d. NÕu tån t¹i phÇn tö xÊp xØ tèi nhÊt f ∗ cña f ta ®Æt f − f ∗ := En(f ). 2.2 XÊp xØ tèt nhÊt trong kh«ng gian c¸c hµm liªn tôc C[a,b] Ký hiÖu C[a,b] lµ kh«ng gian c¸c hµm liªn tôc trªn [a, b] vµ L lµ tËp mäi ®a thøc bËc kh«ng qu¸ n. §Þnh lý 2.2.1 (Wallee' - Poussin) Gi¶ sö f ∈ C[a,b] vµ Qn ∈ L. NÕu tån t¹i n + 2 ®iÓm ph©n biÖt a ≤ x0 < x1 < ... < xn+1 ≤ b, sao cho sign{(−1)i (f (xi ) − Qn (xi ))} = const, i = 0, 1, 2, ..., n + 1, th× := min |f (xi ) − Qn (xi )| ≤ En (f ), i=0,n+1 ë ®©y En (f ) := minQ∈L f −Q . Chøng minh: NÕu: µ := min |f (xi ) − Qn (xi )| = 0, i=0,n+1 th× ®Þnh lý lµ hiÓn nhiªn. NÕu µ > 0 ta chøng minh b»ng ph¶n chøng. Gi¶ sö ng-îc l¹i En (f ) < µ = min |f (xi ) − Qn (xi )|. i=0,n+1 XÐt P ∈ L lµ xÊp xØ tèt nhÊt f trªn L. Khi ®ã: f − P = En (f ) < min |f (xi ) − Qn (xi )|. i=0,n+1 Ta cã |P (xi ) − f (xi )| ≤ P − f < min |f (xi ) − Qn (xi )| i ≤ |Q(xi ) − f (xi )|. Suy ra sign[Q(xi ) − P (xi )] = sign{[Q(xi ) − f (xi )] + [f (xi ) − P (xi )]}
  16. Gi¶i tÝch sè 13 = sign[Q(xi ) − f (xi )], i = 0, 1, 2, ..., n + 1. Tõ ®ã ®a thøc bËc n lµ (Qn − P ) ®æi dÊu n + 2 lÇn trªn [a, b] nªn nã cã Ýt nhÊt (n + 1) nghiÖm, vËy Qn (x) ≡ P (x). XÐt µ = min |f (xi ) − Qn (xi )| > max |f (x) − Qn (x)| x∈[a,b] i=0,n+1 ≥ min |f (xi ) − Qn (xi )| = µ. i=0,n+1 §iÒu nµy lµ m©u thuÉn vµ ®Þnh lý ®-îc chøng minh. §Þnh lý sau ®©y lµ kh¸ quan träng vÒ phÇn tö xÊp xØ tèt nhÊt trong C[a,b] v× r»ng ngoµi viÖc nã chØ ra ®-îc phÇn tö xÊp xØ tèt nhÊt cña f liªn tôc mµ nã cßn cho ta c¸ch x¸c ®Þnh ®a thøc xÊp xØ tèt nhÊt Qn (x). §Þnh lý 2.2.2 (Chebyshev) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó Qn lµ ®a thøc bËc kh«ng qu¸ n xÊp xØ tèt nhÊt cña f ∈ C[a,b] lµ tån t¹i (n + 2) ®iÓm ph©n biÖt, a ≤ x0 < x1 < ... < xn+1 ≤ b, sao cho f (xi ) − Qn (xi ) = α(−1)i f −Q , i = 0, 1, 2, ..., n + 1, α = ±1. (Víi α = 1 hoÆc α = −1 vµ kh«ng phô thuéc vµo i. D·y ®iÓm {xi }n=0 ®-îc gäi lµ d·y +1 i ®iÓm Chebyshev.) §Þnh lý nµy cã chøng minh kh¸ phøc t¹p. Chøng minh chi tiÕt sinh viªn cã thÓ t×m trong c¸c tµi liÖu tham kh¶o. D-íi ®©y chØ tr×nh bµy ng¾n gän ®Ó ng-êi ®äc h×nh dung ý t-ëng vµ kü thuËt cña ph-¬ng ph¸p chøng minh. a. §iÒu kiÖn ®ñ: §Æt ν = f − Qn , µ = min |f (xi ) − Qn (xi )|. i=0,n+1 Tõ gi¶ thiÕt vµ §Þnh lý Wallee'-Poussin ta cã ν = µ = min |f (xi ) − Qn (xi )| i ≤ En(f ) ≤ f − Qn = µ. VËy En(f ) = f − Qn .
  17. Gi¶i tÝch sè 14 Tøc lµ Qn lµ ®a thøc xÊp xØ tèt nhÊt f . b. §iÒu kiÖn cÇn. Ta x©y dùng n + 2 ®iÓm Chebyshev nh- sau ν = f − Qn = En(f ). §Æt g = f − Qn vµ lÊy y0 = a, y1 = min{y : g (y ) = ν }. Kh«ng mÊt tæng qu¸t, xem g (y1 ) = ν. y2 = min {y : g (y ) = −ν }; y ∈[y1 ,b] .................................. min {y : g (y ) = (−1)m ν }. ym = y ∈[ym−1 ,b] Nh- vËy ta ®· x©y dùng ®-îc d·y {yn }m=0 b»ng quy n¹p. NÕu m < n + 2 th× b»ng c¸ch n x©y dùng c¸c d·y phï hîp ng-êi ta chøng minh ®-îc r»ng tr-êng hîp nµy kh«ng x¶y ra. VËy m ≥ n + 2. Khi ®ã ta chØ cÇn lÊy {y0 , y1 , ..., yn+1 } lµm d·y ®iÓm Chebyshev vµ §Þnh lý ®-îc chøng minh. Ta ®· biÕt kh«ng gian C[a,b] kh«ng låi chÆt nªn vÊn ®Ò ®Æt ra lµ liÖu ®Þnh lý duy nhÊt vÒ phÇn tö xÊp xØ tèt nhÊt cßn ®óng trong C[a,b] kh«ng? C©u tr¶ lêi lµ vÉn ®óng. §iÒu ®ã ®-îc chØ ra trong ®Þnh lý sau: §Þnh lý 2.2.3 §a thøc xÊp xØ ®Òu tèt nhÊt cña f ∈ C[a,b] trªn L lµ duy nhÊt. Chøng minh: Gi¶ sö Pn ∈ L, Qn ∈ L ®Òu lµ c¸c ®a thøc xÊp xØ tèt nhÊt cña f vµ Pn = Qn . XÐt ®a thøc Pn + Qn ∈ L, 2 ta cã P n + Qn En (f ) ≤ −f 2 1 1 ≤ f − Pn + f − Qn 2 2 1 1 = En (f ) + En (f ) = En (f ). 2 2 VËy Pn + Qn − f = En (f ). 2
  18. Gi¶i tÝch sè 15 §iÒu nµy suy ra ®a thøc Pn +Qn còng lµ ®a thøc xÊp xØ tèt nhÊt f trªn L. Gi¶ sö d·y 2 {xi }n=0 lµ d·y Chebyshev øng víi Pn +Qn th× +1 i 2 Pn (xi ) + Qn (xi ) − f (xi ) = En (f ), i = 0, 1, 2, ..., n + 1. 2 Bëi vËy 2En (f ) = |P (xi ) − f (xi ) + Q(xi ) − f (xi )| ≤ |P (xi ) − f (xi )| + |Q(xi ) − f (xi )| ≤ P −f + Q − f = 2En (f ). Tõ ®ã, |P (xi ) − f (xi )| = |Q(xi ) − f (xi )| = En (f ), ∀i. Suy ra P (xi ) − f (xi ) = λi (Q(xi ) − f (xi )), λi = ±1. Ta cã, 2En (f ) = |P (xi ) − f (xi ) + λi (P (xi ) − f (xi ))| = (1 + λi )|P (xi ) − f (xi )|. Suy ra 1 + λi = 2 tøc lµ λi = 1. Cuèi cïng ta cã: Pn (xi ) − f (xi ) = Qn (xi ) − f (xi ), ∀i ⇒ Pn (xi ) = Qn (xi ), ∀i. Bëi Pn (x) vµ Qn (x) lµ c¸c ®a thøc bËc n trïng nhau trªn n + 2 ®iÓm nªn Pn (x) = Qn (x) vµ ®Þnh lý ®-îc chøng minh. §Þnh lý 2.2.4 XÊp xØ tèt nhÊt cña mét hµm ch¼n (lÎ) còng lµ mét hµm ch¼n (lÎ). Chøng minh: Gi¶ sö f lµ ch¼n th× khi thay x bëi −x ta nhËn ®-îc | f (−x) − f ∗ (−x) |=| f (x) − f ∗ (−x) |≤ En (f ), ∀x. Tõ ®ã f ∗ (−x) còng lµ xÊp xØ tèt nhÊt f . Bëi phÇn tö xÊp xØ tèt nhÊt lµ duy nhÊt ta suy ra f ∗ (x) = f ∗ (−x), ∀x. Tøc lµ f ∗ lµ hµm ch½n. a. XÊp xØ ®a thøc bËc kh«ng Q0 (x) Cho f ∈ C [a, b]. H·y t×m ®a thøc bËc kh«ng Q0 (x) xÊp xØ tèt nhÊt hµm liªn tôc f trªn ®o¹n [a, b]. §Æt m := min f (x), M := max f (x). x∈[a,b] x∈[a,b] Khi ®ã m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b].
  19. Gi¶i tÝch sè 16 M +m Bëi Q0 (x) lµ ®a thøc bËc kh«ng tøc lµ hµm h»ng nªn ta lÊy Q0 (x) = vµ chØ ra r»ng 2 ®a thøc nµy chÝnh lµ ®a thøc xÊp xØ tèt nhÊt f (x). Ta cã M −m M −m − ≤ f ( x) − Q 0 ( x) ≤ , 2 2 vËy M −m | f (x) − Q0 (x) |≤ , ∀x ∈ [a, b]. 2 Gi¶ sö f (x0 ) = m, f (x1 ) = M, x0 , x1 ∈ [a, b]. DÔ thÊy r»ng x0 vµ x1 lµ d·y ®iÓm Chebyshev bëi M −m f (x0 ) − Q0 (x0 ) = − , 2 M −m f (x1 ) − Q0 (x1 ) = . 2 Theo §Þnh lý Chebyshev, Q0 lµ xÊp xØ tèt nhÊt cña f trªn [a, b]. b. XÊp xØ tèt nhÊt ®a thøc bËc mét Q1 (x) XÐt hµm f (x) låi liªn tôc trªn [a, b]. NÕu f (x) lµ tuyÕn tÝnh th× ®a thøc xÊp xØ tèt nhÊt còng lµ f (x). Gi¶ sö f (x) kh«ng lµ hµm tuyÕn tÝnh vµ Q1 (x) = px + q lµ ®a thøc xÊp xØ tèt nhÊt f (x). §Æt U (x) := f (x) − (px + q ) th× U (x) còng lµ hµm låi nªn ®¹t cùc trÞ t¹i ®iÓm c ∈ [a, b] duy nhÊt. Theo §Þnh lý Chebyshev th× cã ba ®iÓm Chebyshev lu©n phiªn, vËy hai ®iÓm ®Çu vµ cuèi ph¶i lµ a vµ b. §iÓm cßn l¹i lµ ®iÓm c ∈ (a, b) mµ t¹i ®ã U (x) ®¹t cùc trÞ. Ta cã U (a) = f (a) − (pa + q ) = α f − Q1 , U (c) = f (c) − (pc + q ) = −α f − Q1 , U (b) = f (b) − (pb + q ) =α f − Q1 ; α = ±1. Tõ U (b) − U (a) = f (b) − f (a) − p(b − a) = 0. Suy ra f (b) − f (a) p= . b−a §Ó tÝnh q ta xÐt 0 = U (a) + U (c) = f (a) − (pa + q ) + f (c) − (pc + q )
  20. Gi¶i tÝch sè 17 = f (a) + f (c) − p(a + c) − 2q. VËy f (b) − f (a) 2q = f (a) + f (c) − (a + c) b−a Suy ra f (a) + f (c) (f (b) − f (a))(a + c) q= − . 2 2(b − a) Cuèi cïng ta dÔ kiÓm tra r»ng ®a thøc Q1 (x) = px + q tháa c¸c ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý Chebyshev. 2.3 XÊp xØ tèt nhÊt trong kh«ng gian Hilbert XÐt kh«ng gian Hilbert H vµ {ei }∞ lµ hÖ trùc chuÈn ®Çy ®ñ, tøc lµ i=1 < ei , ej >= δij , i, j ∈ N vµ Span(ei ) = H. Víi mçi x ∈ H lËp tæng Fourier n Sn := ci ei , i=1 ë ®©y ci :=< x, ei > lµ hÖ sè Fourier cña x. Víi mçi n ∈ N, 2 2 2 0 ≤ x − Sn =x −2 < Sn , x > + Sn n 2 c2 . =x − i i=1 VËy n c2 ≤ x 2 , ∀n ∈ N. i i=1 n 2 §iÒu nµy chØ ra chuçi i=1 ci héi tô vµ cã bÊt ®¼ng thøc Bessel ∞ c2 ≤ x 2 . i i=1 Chóng ta ®· biÕt lµ chuçi Fourier ∞ ci ei héi tô vµ h¬n n÷a x = ∞ ci ei . i=1 i=1 B©y giê, gi¶ sö H0 lµ mét kh«ng gian con ®ãng cña kh«ng gian Hilbert H vµ x ∈ H. Bµi to¸n ®Æt ra lµ t×m h0 ∈ H0 sao cho x − h0 = inf x − h0 = d(x, H0 ). h∈H0

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản