Giáo trình Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace - ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Nam Định

Chia sẻ: Mucnang222 Mucnang222 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:233

Thêm vào BST

Báo xấu

73
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Hàm phức và phép biến đổi Laplace được biên soạn theo chương trình hiện hành, dùng cho sinh viên các ngành Điện - Điện tử. Với các nội dung chính như: Hàm biến phức, Tích phân phức, Lý thuyết chuỗi và lý thuyết thặng dư, Phép biến đổi Laplace. Mời các bạn đọc cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace - ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Nam Định

LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết về hàm biến phức và phép biến đổi Laplace là một phần quan trọng của kiến thức toán học mà các kỹ sư và các nhà khoa học cần phải nắm vững. Đó là vì hàm biến phức và phép biến đổi Laplace cho ta nhiều phương pháp dễ dàng và hiệu nghiệm để giải các bài toán trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Giáo trình Hàm phức và phép biến đổi Laplace được biên soạn theo chương trình hiện hành, dùng cho sinh viên các ngành Điện - Điện tử, Điện tự động và Kỹ thuật điện - Trường Đại học sư phạm kỹ thuật Nam Định. Giáo trình gồm bốn chương: Chương 1 là chương "Hàm biến phức". Trong chương này, được bổ sung và chính xác hóa khái niệm mà ở cấp phổ thông còn đề cập sơ sài hoặc không được đề cập đến. Cốt lõi của chương này cần nắm được các dạng đại số, lượng giác, dạng mũ của số phức và các phép toán; khái niệm hàm biến phức, giới hạn, sự liên tục của hàm biến phức, một số hàm biến phức cơ bản. Chương 2 là chương "Tích phân phức". Phần này, bạn đọc cần nắm được khái niệm, các tính chất cơ bản của tích phân phức; các cách tính tích phân phức. Chương 3 là chương "Lý thuyết chuỗi và lý thuyết thặng dư". Bạn đọc cần nắm được khái niệm, tính chất của chuỗi số phức, chuỗi hàm phức và một số chuỗi hàm phức quan trọng như chuỗi Taylor, chuỗi Laurent, chuỗi Fourier. Biết khai triển một hàm số thành chuỗi Taylor, chuỗi Laurent, chuỗi Fourier. Chương 4 là chương "Phép biến đổi Laplace". Ban đầu, lý thuyết về phép biến đối Laplace xuất hiện khi người ta tìm cách chứng minh một số "quy tắc toán tử" do Heaviside sử dụng cuối thế kỉ 19 để giải một số phương trình trong lý thuyết điện từ. Về sau, trong khoảng đầu thế kỉ 20, sự cố gắng đó đã thành công nhờ các công trình của Bromwich, Carson và nhiều nhà toán học khác với công cụ là hàm biến phức. Trong chương này chỉ trình bày các kiến thức mở đầu hết sức sơ đẳng của phép biến đổi Laplace; đó là khái niệm, tính chất của phép biến đổi Laplace và biến đổi Laplace ngược, cách tìm biến đổi Laplace và Laplace ngược của các hàm cơ bản và một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace như: 1
giải phương trình, hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng, đặc biệt là ứng dụng trong giải tích mạch điện qua đó giúp người học thấy được tầm quan trọng của môn học đối với chuyên ngành của mình. Với mục đích tinh giản nhưng vẫn khoa học, đầy đủ do đó có một số định lý chúng tôi không trình bày phần chứng minh và một số mục chúng tôi đưa vào để các sinh viên khá tự nghiên cứu thêm. Cuối mỗi chương có phần bài tập, phần hướng dẫn và đáp số để người học củng cố kiến thức và kiểm tra kết quả học tập của mình. Giáo trình được biên soạn lần đầu nên không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc để giáo trình được hoàn thiện hơn. Cuối cùng, chúng tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Khoa học và hợp tác quốc tế, các bạn đồng nghiệp Bộ môn Toán - Trường Đại học sư phạm kỹ thuật Nam Định đã nhiệt tình giúp đỡ để hoàn thành giáo trình này. Nam Định, 2010 Các tác giả 2
MỤC LỤC Chương 1. Hàm biến phức 9 1.1. Số phức 9 1.1.1. Các khái niệm 9 1.1.2. Các phép toán 10 1.2. Biểu diễn hình học của số phức 16 1.2.1. Biểu diễn hình học của số phức 16 1.2.2. Biểu diễn hình học cácphép toán 19 1.2.3. Dạng lượng giác của số phức 21 1.2.4. Dạng mũ của số phức 27 1.2.5. Mặt phẳng phức mở rộng 28 1.3. Các khái niệm hình học 29 1.3.1. Khoảng cách 29 1.3.2. Lân cận 29 1.3.3. Điểm 30 1.3.4. Tập 30 1.3.5. Đường 32 1.3.6. Miền 33 1.4. Hàm một biến phức 34 1.4.1. Khái niệm 34 1.4.2. Biểu diễn hình học của hàm phức 35 3
1.5. Giới hạn của hàm phức 37 1.5.1. Khái niệm 37 1.5.2. Tính chất 38 1.6. Sự liên tục của hàm biến phức 40 1.6.1. Hàm số liên tục 40 1.6.2. Hàm số liên tục đều 42 1.6.3. Tính chất của hàm số liên tục 42 1.7. Đạo hàm của hàm một biến phức 43 1.7.1. Khái niệm 43 1.7.2. Tính chất 44 1.7.3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm 50 1.7.4. Hàm giải tích 52 1.7.5. Hàm điều hòa 53 1.7.6. Quan hệ giữa hàm giải tích và hàm điều hòa 54 1.8. Các hàm số sơ cấp 55 1.8.1. Hàm lũy thừa 55 1.8.2. Hàm căn bậc n 55 1.8.3. Hàm mũ 55 1.8.4. Hàm Loganepe 55 1.8.5. Các hàm số lượng giác 56 1.8.6. Các hàm Hypebolic 57 4
1.8.7. Hàm phân tuyến tính 57 1.8.8. Hàm Jiucopski 58 1.9. Bài tập chương 1 58 1.10. Hướng dẫn và đáp số bài tập chương 1 66 Chương 2. Tích phân phức 75 2.1. Khái niệm và các tính chất cơ bản 75 2.1.1. Khái niệm 75 2.1.2. Các tính chất của tích phân phức 75 2.2. Tính tích phân phức bằng cách đưa về tích phân đường loại 2 76 2.3. Tích phân Cauchy 79 2.3.1. Các định lí Cauchy về tích phân của hàm giải tích trên đường cong 79 kín 2.3.2. Công thức tích phân Cauchy 81 2.4. Tích phân loại Cauchy 84 2.5. Tích phân bất định 85 2.5.1. Tích phân không phục thuộc đường đi 85 2.5.2. Tích phân bất định 87 2.5.3. Công thức Newton – Leibnitz 88 2.6. Một số định lí quan trọng về hàm giải tích 89 2.6.1. Định lí giá trị trung bình 89 2.6.2. Nguyên lí môđun cực đại 89 5
2.6.3. Bổ đề Schwartz 89 2.6.4. Định lí Liouville 90 2.7. Bài tập chương 2 90 2.8. Hướng dẫn và đáp số bài tập chương 2 92 Chương 3. Lý thuyết chuỗi và thặng dư 93 3.1. Chuỗi số phức 93 3.1.1. Dãy số phức 93 3.1.2. Chuỗi số phức 94 3.2. Chuỗi hàm phức 96 3.2.1. Khái niệm 96 3.2.2. Tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều 97 3.3. Chuỗi Taylor 98 3.3.1. Chuỗi lũy thừa 98 3.3.2. Chuỗi Taylor 99 3.3.3. Khai triển một hàm thành chuỗi Taylor 100 3.3.4. Không –điểm và định lí về tính duy nhất của hàm giải tích 102 3.4. Chuỗi Laurent 103 3.4.1. Khái niệm 103 3.4.2. Khai triển một hàm thành chuỗi Laurent 103 3.5. Chuỗi Fourier 106 3.5.1. Chuỗi lượng giác 106 6
3.5.2. Xác định các hệ số theo phương pháp Euler – Fourier 107 3.5.3. Tính chất của chuỗi Fourier 108 3.5.4. Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier 111 3.5.5. Chuỗi Fourier phức 115 3.5.6. Biến đổi Fourier 117 3.6. Điểm bất thường cô lập 120 3.6.1. Khái niệm 120 3.6.2. Phân loại điểm bất thường cô lập 120 3.6.3. Mối liên hệ giữa chuỗi Laurent và điểm bất thường cô lập 122 3.7. Lý thuyết thặng dư 122 3.7.1. Khái niệm 122 3.7.2. Tính thặng dư dựa vào khai triển Laurent 122 3.7.3. Thặng dư tại cực điểm đơn 123 3.7.4. Thặng dư tại cực điểm cấp m 124 3.8. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư 126 3.8.1. Ứng dụng thặng dư tính tích phân phức 126 3.8.2. Ứng dụng thặng dư tính tích phân thực suy rộng 129 3.9. Bài tập chương 3 137 3.10. Hướng dẫn và đáp số bài tập chương 3 143 Chương 4. Phép biến đổi Laplace 150 4.1. Phép biến đổi Laplace 150 7
4.1.1. Khái niệm 150 4.1.2. Điều kiện để phép biến đổi Laplace tồn tại 152 4.1.3. Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng 152 4.1.4. Các tính chất của phép biến đổi Laplace 155 4.2. Phép biến đổi Laplace ngược 165 4.2.1. Khái niệm 165 4.2.2. Các tính chất của phép biến đổi Laplace ngược 165 4.3. Cách tìm phép biến đổi Laplace ngược 170 4.3.1. Sử dụng tính chất của biến đổi thuận và tính duy nhất của biến đổi 170 ngược 4.3.2. Khai triển Heaviside 171 4.4. Bảng các cặp biến đổi Laplace thông dụng 175 4.5. Ứng dụng của phép biến đổi Laplace 176 4.5.1. Ứng dụng giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng 177 4.5.2. Ứng dụng giải hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng 185 4.5.3. Các hàm kì dị và biến đổi Laplace của chúng 190 4.5.4. Ứng dụng trong giải tích mạch điện 205 4.6. Bài tập chương 4 223 4.7. Hướng dẫn và đáp số bài tập chương 4 228 Tài liệu tham khảo 231 8
Chương 1 HÀM BIẾN PHỨC 1.1. Số phức 1.1.1. Các khái niệm Chúng ta đã biết rằng trong tập hợp số thực, các phương trình bậc hai với biệt số   0 không có nghiệm thực, chẳng hạn phương trình bậc hai đơn giản nhất không có nghiệm thực là phương trình x2  1  0 . Tuy nhiên, thực tế các hiện tượng trong tự nhiên, trong kỹ thuật dẫn đến việc giải phương trình bậc hai với biệt số   0 vẫn xảy ra tức là phương trình vẫn có nghiệm. Để mở rộng tập hợp số thực người ta đưa ra khái niệm số i ( gọi là đơn vị ảo ) là nghiệm của phương trình x2  1  0 . Định nghĩa 1. Mỗi biểu thức dạng z  a  ib trong đó a, b  ¡ , i 2  1 được gọi là một số phức. a gọi là phần thực của số phức z . Ký hiệu Re z b gọi là phần ảo của số phức z . Ký hiệu Im z Tập hợp các số phức ký hiệu là £ . Vậy £   z  a  ib a, b  ¡ , i 2  1 Ví dụ 1. Trong các số sau, những số nào là số phức: 1  3i,1  3i, 5i,1 Tất cả các số trên đều là số phức. Chú ý. Nếu b  0 khi đó z  a là số thực. Vậy ¡  £ Nếu a  0 khi đó z  ib gọi là số thuần ảo. Định nghĩa 2. (Hai số phức bằng nhau) 9
Hai số phức z1  a1  ib1 , z2  a2  ib2 gọi là bằng nhau nếu a1  a2   b1  b2 Định nghĩa 3.( Số phức liên hợp) Số phức z  a  ib gọi là số phức liên hợp của số phức z  a  ib *) Tính chất: 1) Re z  Re z 2) Im  z   Im  z  3) z  z Ví dụ 2. a) Số phức liên hợp của số phức z  2  3i là z  2  3i b) Số phức liên hợp của số phức z  1  i là c) Số phức liên hợp của số phức z  4  3i là z  4  3i Định nghĩa 4. ( Số phức đối ) Số phức  z  a  ib được gọi là số phức đối của số phức z  a  ib Ví dụ 3. a) Số phức đối của số phức z  1  5i là  z  1  5i b) Số phức đối của số phức z  2i là  z  2i 1.1.2. Các phép toán a. Phép cộng Ta gọi tổng của hai số phức z1  a1  ib1 , z2  a2  ib2 là số phức z   a1  a2   i  b1  b2  Ký hiệu: z  z1  z2 10
*) Tính chất: z1 , z2 , z3 £ 1) z1  z2  z2  z1 2) z1   z2  z3    z1  z2   z3 Ví dụ 1. 1  3i    2  i   1  2  i 3 1  3  2i b. Phép trừ Cho hai số phức z1  a1  ib1 , z2  a2  ib2 , ta gọi số phức z là hiệu của hai số phức z1 và z2 nếu z1  z2  z Ký hiệu: z  z1  z2 Ví dụ 2. 1  i    2  3i   1  2  i  1  3  1  4i c. Phép nhân Ta gọi tích của hai số phức z1  a1  ib1 , z2  a2  ib2 là số phức z xác định bởi z   a1a2  b1b2   i  a1b2  a2b1  Ký hiệu: z  z1. z2 *) Tính chất: z1 , z2 , z3 £ 1) z1 z2  z2 z1 2) z1  z2 z3    z1 z2  z3 3) z1  z2  z3   z1 z2  z1 z3 4)  1 z   z Ví dụ 3.  2  2i  . 4  3i    24  23  i  23  24  2  14i 11
d. Phép chia Cho hai số phức z1  a1  ib1 , z2  a2  ib2 , nếu z2  0 . Khi đó ta có thể tìm được một số phức z  x  iy sao cho z2 z  z1 . Theo định nghĩa phép nhân ta có hệ phương trình: a2 x  b2 y  a1  (1) b2 x  a2 y  b1 Ta có a2 b2  a22  b22  0 b2 a2 vì z2  0 . Nên hệ ( 1) có nghiệm duy nhất. Số phức z gọi là thương của hai số phức z1 và z2 . z1 Ký hiệu: z  z2 a1a2  b1b2 b a b a Giải hệ (1) ta được z   i 1 22 22 1 a2  b2 2 2 a2  b2 Chú ý. Trong khi giải bài tập ta có thể tìm thương của hai số phức z1 và z2 bằng cách nhân z1 z z với 2 z2 z2 Ví dụ 4. 3  5i  3  5i  2  i  1 13    i 2i  2  i  2  i  5 5 e. Lũy thừa bậc n của số phức Tích của n số phức z gọi là lũy thừa bậc n của số phức z . Ký hiệu: z n 12
Vậy zn  { zz...z n Ví dụ 5. 1  i 3  3  1  3i 3  3i 2  3 3i 3  8 f. Căn bậc n của số phức Số phức  được gọi là căn bậc n của số phức z nếu  n  z Ký hiệu:   n z Ví dụ 6. Cho z  a  ib . Tìm z , áp dụng tìm 3  4i Giải Giả sử w  x  iy  z  a  ib   x  iy   a  ib 2  a  a 2  b2  x    x2  y 2  a  2    2 xy  b  a  a 2  b 2 y    2 Nếu b>0 thì x,y cùng dấu; nếu b
b) 1  i 1  i  c)  3  5i    2  3i  d)  2  7i    3  i  2  5i e) 1 i Giải a) i3  i 2i  1.i  i     1 2 2 i4  i2 1   i   1 i  i 2 2 i 5  i 4i  i 2 b) 1  i 1  i   12  i 2  1   1  2 c) 3  5i    2  3i   3  2  i 5  3  5  2i d)  2  7i   3  i    2  3  i  7  i   5  8i 2  5i  2  5i 1  i   2  5  i  2  5 3 7 e)     i 1 i 1  i 1  i  2 2 2 Ví dụ 8. Tìm các số thực x, y thỏa mãn phương trình: 3x  i  2  i    x  iy 1  2i   5  6i Giải Biến đổi vế trái: 3x  i  2  i    x  iy 1  2i   6 x  1  3x  2 i  x  2 y   2 x  y  i  7 x  2 y  1  5x  y  2  i Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau suy ra: 7 x  2 y  1  5   5x  y  2  6 14
20 36 Giải hệ trên ta được: x  ,y 17 17 Ví dụ 9. Thực hiện các phép tính sau: a) i1721 1 i b) 1 i c) (1  i 3)3 Giải a) i1721   i 2  i  i 860 1  i   1  2i  i 2  i 2 1 i b)  1  i 1  i 1  i  1 i2    3i    3i  3 2 3 c) 1  i 3  1  3 3i  3  8 Ví dụ 10. Giải phương trình sau: 2 z 2  2 z  5  0 Giải Ta có   1  10  9   3i  2 1  3i Suy ra z  2 Ví dụ 11. Giải hệ phương trình  z1  iz2  1  2 z1  z2  1  i Giải 1 i Đặt A   2 1 suy ra A  1  2i  0 . Sử dụng phương pháp Cramer ta được 15
1 i 1  i 1 4  3i z1   1  2i 5 1 i 2 1 i 3  i z2   1  2i 5 Vậy nghiệm của hệ là:  4  3i  z1  5   z  3i  2 5 1.2. Biểu diễn hình học của số phức 1.2.1. Biểu diễn hình học của số phức Xét mặt phẳng tương ứng với hệ tọa độ Descartes Oxy và ta biểu diễn số phức z  a  ib bởi một điểm M (a, b) trong mặt phẳng xOy. Như vậy, các số thực sẽ được biểu diễn bởi các điểm trên trục Ox, các số thuần ảo được biểu diễn bởi các điểm trên Oy. Khi đó mặt phẳng xOy còn gọi là mặt phẳng phức, Ox gọi là trục thực, Oy gọi là trục ảo. Ngược lại, với mỗi điểm M có tọa độ là (a, b) của mặt phẳng xOy ta đặt tương ứng với số phức z  a  ib . Vậy có sự tương ứng 1 -1 giữa tập số phức £ và tập tất cả các điểm của mặt phẳng. Ta gọi: uuuur r  OM là môđun của số phức z. Ký hiệu là z  là góc có cạnh đầu là Ox, cạnh cuối là tia Oz gọi là argument của số phức z . Ký hiệu Argz . Số phức z  0 có vô số argument sai khác nhau 2k , k ¢ Nếu 0    2 gọi là argument chính của z . Ký hiệu argz 16
*)Tính chất: 1) Hai số phức bằng nhau có môđun và argument bằng nhau. 2) z  z 3) z z  z 2 4) z1 z2  z1 z2 z1 z 5)  1 z2 z2 6) z1  z2  z1  z2 Ví dụ 1. Tìm môđun của các số phức sau: a) 1-4i b) (2+i)(3-2i) Giải a) 1  4i  12  42  17 b)  2  i 3  2i    2  i  3  2i   5 13  65 Ví dụ 2. Tìm môđun và argument các số phức sau: a) z1  1  i 3 b) z2  1  i 3 Giải  3 2 a) Ta có z1  12  2 3 Argz1  arctan  2 k 1 vì z1 ở góc phần tư thứ nhất 17
y z1 3 O 1 x Hình 1.1 nên  Argz1   2k  k  ¢  3 b) Ta có  1   2 2 z2    3 2  3 Argz2  arctan   2k  1  1 vì z2 ở góc phần tư thứ ba y -1 O x z2  3 Hình 1.2 nên  Argz2    2k  1   k  ¢  3 18
1.2.2.Biểu diễn hình học các phép toán a. Phép cộng ur r r Cho hai véctơ z1  a1  ib1 và z2  a2  ib2 và các véctơ tương ứng v1  a1i  b1 j , uur r r v2  a2i  b2 j . Tổng 2 số phức z1  z2   a1  a 2   i  b1  b2  ur r r r Tổng 2 véctơ v1  v2  (a1  a2 )i  (b1  b2 ) j ur r Vậy tổng z1  z2 tương ứng với véctơ tổng v1  v2 y ur uur ur v1  v2 v1 uur v2 O x Hình 1.3 b. Khoảng cách giữa hai điểm Khoảng cách giữa 2 điểm M1  a1 , b1  , M 2 a2 , b2  bằng môđun của số phức z1  z2 và ur uur bằng v1  v2 ur uur  a2  a1   b2  b1  2 2 M1M 2  z1  z2  v1  v2  y ur uur ur v1  v2 v1 uur v2 O x uur v2 Hình 1.4 19
c. Tích của số phức và số thực r r r Cho z  a  ib và véctơ tương ứng v  ai  bj ,   ¡ thì tích  z  a  ib tương ứng r r r với véctơ v   ai  bj ,   ¡ . r r r r Nếu   0 thì v , v cùng hướng và v   v y M’(a’;b’) M(a;b) O x Hình 1.5 r r r r Nếu   0 thì v , v ngược hướng và v   v y M(a;b) O x M’(a’;b’) Hình 1.6 r r Nếu   0 thì v  0 Ví dụ. Biểu diễn hình học các hệ thức sau trên mặt phẳng phức: a)  5  4i    3  3i   8  i b) 2  3  2i   6  4i 20