Giáo trình thuỷ khí _ Chuyển động thế phẳng

Chia sẻ: Hoàng Văn Nhật | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

142
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích: Nghiên cứu một số đặc trưng động lực học của chuyển động thế phẳng của chất lỏng lý tưởng Phương pháp: Sử dụng lý thuyết hàm biến phức 8.1- ứng dụng hàm biến phức I. Thế phức: Dòng chất lỏng lý tưởng chuyển động có thế khi thoả mãn điều kiện

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình thuỷ khí _ Chuyển động thế phẳng

Giáo trình thuỷ khí Chuyển động thế phẳng 1
chuyển động thế phẳng Chương 8 Mục đích: Nghiên cứu một số đặc trưng động lực học của chuyển động thế phẳng của chất lỏng lý tưởng Phương pháp: Sử dụng lý thuyết hàm biến phức 8.1- ứng dụng hàm biến phức I. Thế phức: Dòng chất lỏng lý tưởng chuyển động có thế khi thoả mãn điều kiện: rot u  0 Khi đó ta đưa vào hàm thế vận tốc , trong đó các thành phần vận tốc được xác định:  (i=x,y,z) (1) ui  i Vectơ vận tốc: u  grad d 2 d Ta giả thiết ; ; là liên tục theo toạ độ dt 2 dt Ta nhận thấy bất kỳ hàm  + C nào cũng thoả mãn (1) : thế của trường vận tốc chính xác đến hằng số. =(x,y,z); Đối với chuyển động thế dừng: khi =(x,y,z)=const ta được phương trình mặt đẳng thế (mặt có thế bằng nhau) Lý thuyết giải tích vectơ cho thấy: vectơ grad vuông góc với mặt =const do đó trên mặt đẳng thế vecơ vận tốc tại mọi điểm sẽ vuông góc với nó. Xét chuyển động thế, phẳng, dừng, khi đó chất lỏng di chuyển trong mặt phẳng xOy, thế vận tốc  được xác định như sau: 2
  ; uy  ux  y x Phương trình các đường đẳng thế trong mặt phẳng xOy sẽ là: (x,y) = C   Gọi hàm (x,y) thoả mãn điều kiện: u x  ; uy   y x Biểu thức (x,y) = C là phương trình đường dòng   Hàm thế và hàm dòng thoả mãn phương trình Laplace; bởi vì: u y u x Từ điều kiện không xoáy: rot x u   0 x x  2  2  ta có  0 x 2 y 2 u x u y Từ phương trình liên tục:  0 x y  2  2 ta có  0 x 2 y 2 Như vậy hàm thế và hàm dòng là các hàm điều hoà (Laplace=0) Ta nhận thấy hàm thế và hàm dòng thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemann (điều kiện trực giao giữa đường dòng và đường đẳng thế)        0 x x y y Trong lý thuyết hàm biến phức, nếu  và  là các hàm điều hoà và thoả mãn điều kiện Cauchy- Riemann thì hàm phức (x,y) + i (x,y) là hàm của 1 biến số phức z z= x+iy=r(cos+isin )=e.exp(i) với Như vậy tồn tại hàm phức W(z)= (x,y) + i (x,y) và còn gọi là thế phứy c. z 3 i  x 1
Hình 1 II. Vận tốc phức Lý thuyết hàm biến phức cho: dW dW dW   dz dx d(iy ) dW nghĩa là đạo hàm và đạo hàm theo 2 phương của trục dz thực và trục ảo bằng nhau, ta có thể chứng minh: dW    i  u x  iu y  u dx x x   dW dW  i  i   u x  iu y  u d iy  y y dy u=ux+iuy gọi là vận tốc phức; u = ux+iuy gọi là vận tốc liên hợp; mặt phẳng (ux,uy) gọi là mặt phẳng vận tốc. Kết luận: Để khảo sát chuyển động thế phẳng của chất lỏng lý tưởng ta áp dụng lý thuyết hàm biến phức, mỗi thế phức tương ứng với 1 chuyển động nào đấy của chất lỏng; ngược lại, một chuyển động thế sẽ được biểu diễn bằng một thế phức nào đấy. Từ đấy ta có 2 loại bài toán: - Xác định chuyển động (trường vận tốc) khi cho biết thế phức. - Xác định thế phức khi cho biết đường biên của vật bị bao quanh và vận tốc ở vô cùng. 8.2 – Một số chuyển động đơn giản: 4
I. Chuyển động phẳng: Thế phức W z   az  a x  iy  trong đó a là hằng số. Ta có 2 cas: a) a là số thực a1  Wz   a 1z  a 1 x  iy     i Do đó  = a1x và  = a1y Đường đẳng thế:  = a1x = Const là họ các đường thẳng song song với trục y. Các đường dòng:  = a1y = Const là họ các đường thẳng song song với trục y.     Các thành phần vận tốc: u x    a1 uy   0 x y y x Vậy ta có chuyển động thẳng theo phương x (hình2a) =con y y =con =cons  u t u x= x x =cons t Hình 2b Hình 2a b) a là số ảo: a = ia1 (a1 là số thực); tương tự như trên, ta tìm được: Đường đẳng thế:  = - a1y = Const là họ các đường thẳng song song với trục x. 5
Các đường dòng:  = a1x = Const là họ các đường thẳng song song với trục y.     Các thành phần vận tốc: u x   0 uy    a 1 x y y x So với cas a thì các đường dòng và các đường đẳng thế đổi chỗ cho nhau; các hình chiếu vận tốc cũng đổi chỗ cho nhau. c) a là số phức: a = a1 + ia2 (a1; a2 là số thực dương) Thế phức có dạng: W z   az  a 1  ia 2 x  iy   a 1 x  a 2 y  ia 2 x  a 1 y     i   a 1 x  a 2 y    a 2 x  a 1 y  Vậy Ta có ux = a1 uy = - a2 a1 Đường đẳng thế:  = a1x - a2y = Const hay y  xC a2 a2 x  C' Các đường dòng:  = a2x + a1y = Const hay y   a1 Đây là phương trình các đường thẳng nghiêng vuông góc với nhau (hình 2b) II. Điểm nguồn và điểm hút: Thế phức: W z   a ln z  a ln( rei )  a ln r  a ln ei  a ln r  ia    i Hàm thế vận tốc: =alnr =const  : r = const: đường đẳng thế là họ các vòng tròn có tâm trùng với gốc toạ độ =a : =const   = const: đường Hàm dòng: dòng là họ đường thẳng đi qua gốc toạ độ Các thành phần vận tốc của chuyển động biểu diễn dưới dạng toạ độ trụ: 6
  a  a ln r   ur  r r r 1  u  0 r  Như vậy chỉ có thành phần vận tốc theo phương bán kính, ur dương khi có chiều hướng từ tâm ra ngoài tức là a dương, khi đó ta có các đường dòng đi từ tâm ra: điểm nguồn. Ngược lại, ur âm (tức là a âm) khi có chiều hướng từ ngoài vào tâm, khi đó ta có các đường dòng đi ngoài vào tâm : điểm hút. Tại tâm ta có r=0, khi đó ur có giá trị bằng , ta gọi đây là điểm đặt biệt. Lưu lượng điểm nguồn hay điểm hút được xác định như sau: 2 2 a Q   u r rd   r rd  2a 0 0 Như vậy hằng số a của thế phức có thể biểu diễn qua Q Q: a 2 Q Thế phức có dạng Wz  ln z 2 =con st =con st III Chuyển động xoáy (xoáy thế vận tốc): Xét thế phức W=a lnz trong đó a là số ảo: a=ia1 (a1 là số thực) W=a lnz =ia1lnz=ia1ln(rei)=+i 7
Trong trường hợp này ta có: Hàm thế vận tốc: =-a1 =const   : = const: đường đẳng thế là họ đường thẳng đi qua gốc toạ độ = a1lnr: =const  Hàm dòng: r = const: đường dòng là họ các vòng tròn có tâm trùng với gốc toạ độ (chuyển động xoáy) Các thành phần vận tốc của chuyển động biểu diễn dưới dạng toạ độ trụ:     a 1   0 ur  r r a 1   1 u  r  r ý nghĩa của a1: ta định nghĩa 2 a1 2r  2a 1 :lưu số vận tốc (circular).    u s ds   u  .rd   r 0 i  Thay vào biểu thức của thế phức: ¦ W   ln z  ln z 2 2 i   Vận tốc u   nghĩa là u   r   const 2 r 2 Một chuyển động như thế ứng với dòng có lưu số vận tốc quanh sợi xoáy. Trong chuyển động phẳng đây là dòng quanh 1 điểm xoáy nằm ở tâm toạ độ. IV Chuyển động lưỡng cực: m1 Khảo sát thé phức: Wz  2 z x  iy   m x  iy  m Thay z=x+iy ta có Wz  2 x  iy x  iy  2 x 2  y 2 m x m y Suy ra   và    2 2 2 x  y 2 2 2 x  y Phương trình đường đẳng thế: x2 + y2 = Cx: họ cácvòng tròn có tâm nằm trên trục x và đi qua gốc toạ độ 8
Phương trình đường dòng: x2 + y2 = Cy: họ cácvòng tròn có tâm nằm trên trục y và đi qua gốc toạ độ Chuyển động này là chuyển động lưỡng cực, m gọi là moment của lưỡng cực =con st =cons t 8.3- dòng bao quanh trụ tròn không có lưu số vận tốc (=0) I. Thế phức: Xét thế phức tổng hợp của thế phức chuyển động thẳng song song với trục x và lưỡng cực. m1 W z   V z   2 z Ta xác định phần thực và phần ảo của W(z) m x  iy  m 1 W z   V x  iy    V x  iy       2  x  iy  2 x 2  y 2   m x m y  i V y    V x  2 2      2 2 2 x  y    x y 2          II. Đường dòng Phương trình đường dòng:   m 1  V   y  const  C 2  2   2 x  y   9
Cho C=0, ta có phương trình đường dòng ‘không’ gồm 2 đường: y = 0: trục hoành Ox m x 2  y2  : vòng tròn có tâm là gốc toạ độ và 2V m là bán kính. Thay đường dòng ‘không’ bằng a 2V thành rắn thì ta được dòng phẳng bao quanh trụ tròn với vận tốc ở vô cùng V vuông góc với trục hình trụ. III. Phân bố vận tốc và áp suất Biểu diễn thế vận tốc dưới dạng toạ độ trụ: m 1    r cos  V   2 r 2   m m  a 2 V Với a  2V 2  a2    V r cos 1  2    r   Các thành phần vận tốc có dạng:  a2   ur   V 1  2  cos  r  r  a2   u   V 1  2  sin  r  r Trên mặt trụ r = a: ur = 0; u = -2Vsin; như vậy vận tốc trên mặt trụ là theo phương tiếp tuyến với mặt  = 0 và  trụ và biến đổi theo qui luật sin. Tại 10
(tại A và B) ta có uA = uB = 0; A và B gọi là 2 điểm tới hạn (điểm dừng) + Xác định phân bố áp suất trên mặt trụ: Viết phương trình Bernoulli cho đường dòng ‘không’ qua 2 mặt cắt: một ở vô cùng có V ; p ; một qua mặt trụ có u;p: 2 u 2 V p   p Do u  2V sin   2 2 V 2  u2  V 2 p  p   1  2   p   1  4 sin 2  2  V  2   Hình chiếu của áp lực lên 1 phân tố diện tích ds.1=a.d.1 sẽ là: dY   p sin   a  d  2 2 Y  0 dY    p  sin   a  d  0 2 2 2 V  1  4 sin sin   d  0 2 Y   p  a  sin   d  a 2 0 0 dX   p cos   a  d  2 X    p  cos   a  d  0 0 Như vậy khi dòng thế của chất lỏng bao quanh trụ tròn sẽ không có 1 lực nào tác dụng lên trụ. (Nghịch lý Dalambert) Trong thực tế, khi dòng chất lỏng thực chảy bao quanh trụ tròn, phân bố áp suất sẽ không đối xứng qua trục y nữa nên xuất hiện lực cản theo phương chuyển động: hình tròn có dạng khí động xấu. p  p  1  4 sin 2  : hệ số áp suất Gọi C p  1 2 V 2 11
Khảo sát Cp; ta nhận thấy nếu qui ước góc tính từ điểm tới hạn A theo chiều kim đồng hồ thì : 1 2 Tại A (=0) : Cp=1  p  p   V 2 1 Tại  = 90o Cp= 3: lớn nhất.  p  p   3 V 2 2 Tại 2 đoạn 0    90o và 90o     : phân bố áp suất là như nhau. Trong thực nghiệm, do xuất hiện lực ma sát nhớt nên chất lỏng không thể chảy bao quanh hình trụ một cách dần đều không có điểm rời như trong chất lỏng lý tưởng: Dòng chất lỏng sau khi bị chia đôi tại A sẽ bao bề mặt hình trụ đến điểm S ( = 82o với dòng chảy tầng và  = 120o với dòng chảy rối). sau đó dòng chảy tách khỏi mặt trụ, nhường chỗ cho chất lỏng từ phía sau ùa tới. có lưu số vận tốc (0) 8.4- dòng bao quanh trụ tròn I. Thế phức: Xét thế phức tổng hợp của thế phức dòng bao quanh trụ tròn không có lưu số vận tốc và chuyển động xoáy a2    Wz   V  z     ln z z  2i  Ta xác định phần thực và phần ảo của W(z) để tìm thế vận tốc và hàm dòng:  a2     V 1  2 r cos      2 r   a2     V 1  2 r sin   ln r   2 r  Do đó 12
 a2    V 1  2 r cos  ur    r r    a2     V 1  2  sin   u    r   2r r  Trên mặt trụ r = a ta có: ur  0  u   2V sin   2 a Ta tìm điểm tới hạn trên mặt trụ (điểm tại đó vận tốc bằng 0); tại đó u=0, do đó:   u   2V sin    0  sin   2 a 4aV Ta có các trường hợp sau: a) Khi =0: dòng bao quanh trụ tròn không có lưu số vận tốc, vị trí 2 điểm tới hạn ứng với sin*=0 tương *=0 và *=180o (điểm A và B) ứng với b)Khi  4V a: 2 điểm tới hạn nằm trên mặt trụ tại 2 vị trí đối xứng nhau qua trục y, trong khoảng 0 *  c) Khi =4V a: hai điểm A, B trùng nhau trên trục y tại góc *=90o d) Khi 4V a: A, B nằm trên trục y nhưng một điểm ở ngoài trụ tròn còn điểm kia nằm trong trụ tròn. Trong cả 4 trường hợp các đường dòng đối xứng qua y nhưng không đối xứng qua x. Vì vậy đối với dòng bao quanh trụ tròn có lưu số vận tốc hình chiếu của vectow áp lực trên trục x bằng 0 còn hình chiếu trên trục y là: 13
Y  a  p  sin  d 2 2 2 V V      Pt Berrnoulli  p  p     2aV  2 sin   2 2   2 V 2 Y   d  V  sin  0 Như vậy vectơ chính của áp lực chỉ có một thành phần vuông góc với vận tốc ở vô cùng và có giá trị bằng - V (Định lý Giucốpxki về lực nâng). Điều này giải thích khi một vật hình trụ hay hình tròn quay trong chất lỏng thực chuyển động ta có thể xem như dòng bao quanh nó có lưu số vận tốc và do đó xuất hiện lực ngang vuông góc với vận tốc của chất lỏng tác dụng lên vật đó: Hiệu ứng Mắcnut (quả bóng xoáy) 5. dòng bao quanh profil cánh Bài toán ngược: Tìm thế phức khi biết đường biên của vật và vận tốc ở xa vô cùng. Việc tìm thế phức cho dòng bao quanh profil cánh và những vật có hình dạng khác nhau là rất khó khăn  người ta sử dụng dòng bao quanh 1 vật đơn giản (trụ tròn) đã được nghiên cứu kỹ để làm chuẩn để tìm các thông số của dòng bao quanh các vật có hình dạng bất kỳ. I. Phép biến hình bảo giác. Dòng chất lỏng lý tưởng không nén được bao quanh profil cánh có thể nghiên cứu bằng phương pháp biến hình bảo giác. Phép biến hình bảo giác là phép biến đổi từ bề mặt này sang bề mặt khác trong đó góc giữa các đường được bảo toàn. 14
Trong lý thuyết hàm biến phức vấn đề cơ bản của phương pháp biến hình bảo giác là việc biến đổi từ hình này sang hình kia và thiết lập mối quan hệ giữa hai hình đó. Bài toán: Tìm dòng bao quanh profil cánh C trong mặt phẳng z mà chưa biết thế phức W(z). Ta khảo sát vòng tròn C1 có bán kính trong mặt phẳng =+i (mặt phẳng ánh xạ), vòng tròn a có tâm trùng với gốc toạ độ. Thế phức W1 của dòng này đã biết. Xét hàm biến phức z=f() thực hiện phép biến hình từ miền ngoài chu tuyến C của profil cánh sang miền ngoài chu vi vòng tròn C1. y  L L C1 C a B1  B 1  x V V 1  Z Hàm biến đổi z=f() phải thoả mãn các điều kiện sau để có phép biến đổi 1-1: + Các điểm ở xa vô cùng trong mp z sẽ chuyển sang các điểm ở xa vô cùng trong mp  + Phương vận tốc ở xa vô cùng trong 2 mp là không đổi Do dòng bao quanh hình trụ không song song với trục x nên lấy vận tốc liên hợp V  Vx  iVy Thế phức của dòng có lưu số vận tốc bao quanh trụ tròn: V1 a 2 1   W1     V1    ln       2i   15
Do W(z)=W[f()]=W1() nên V a 2    Wz   m   V    ln      với z=f()  2i   dz  f '   m  Trong đó d  dW1 dW dz dW f '   hay u1  u.f '     Do d dz d dz Ta có dz  u .d = .d =phthực  u. =phầnthực  u.dz =phthực 1 d 1 L1 L1 L  lưu số vận tốc theo mọi đường cong kín bao quanh profil sẽ không đổi khi thực hiện phép biến hình bảo giác Vậy phép biến hình bảo giác là phép biến đổ i từ bề mặt này sang bề mặt khác trong đó góc giữa các đường được bảo toàn. a2 1  z  f        2  Ví dụ:Xét hàm biến đổi (Phép biến    đổi Joukovski) a2  1  a 2 ia 2  1 z  x  iy     i       i  2  2   2 2 2   i       2  a 2  a 2  1 1  x    2  y   2  2   2  2   2      Xét các trường hợp sau: 1) Vòng tròn trong mp  có tâm trùng với gốc toạ độ và bán  2  2  a 2 kính a. Phương trình vòng tròn là 16
Thay biểu thức trên vào hàm biến đổi x,y ta có: x=, y=0. Vì  trong mp  thay đổi từ -a đến +a nên pt x= xác định đoạn thẳng dài 2a 2) Vòng tròn có tâm khác a, tâm ở trên trục thực   profil đối xứng trong mp z y  3) Vòng tròn có tâm khác a, tâm không ở trên 2 trục toạ R độ  profil cánh cong đuôi nhọn trong mp z O  x Kết luận: Khi cho biết các giá trị a, bán kính vòng biến hình R và tâm  của nó thì có thể tZ được trong mp Z một ìm profil cánh nào đó: profil Joukovski y R  a a O x    Z 17
II. Giả thuyết Joukovski - Traplighin Từ công thức V a 2    Wz   m   V    ln       2i   ta thấy phụ thuộc vào giá trị  sẽ có nhiều dạng dòng bao quanh profil cánh C, nghĩa là bài toán có vô số nghiệm. Mỗi giá trị của  ứng với một dạng dòng với các điểm tới hạn xác định Muốn bài toán có một nghiệm duy nhất phải đưa ra giả thuyết về việc chọn trị số của . y  L L C1 C a B1  B 1  x V V 1  Z Nếu điểm tới hạn sau B1 trên hình trụ không chuyển sang nằm tại điểm đuôi B của profil thì chính tại đuôi cánh sẽ có thể xuất hiện vận tốc rất lớn. Từ đó Joukovski - Traplighin đưa ra giả thuyết: tại điểm đuôi cánh B chỉ tồn tại dòng bao quanh yếu có vận tốc hữu hạn (thường là bằng 0: điểm dừng). Từ gi ả thuyết này đã đặt ra điều kiện hạn chế cho giá trị của : phải chọn  như thế nào để vận tốc tại đuôi cánh B là hữu hạn. 18
III. Lực của dòng chất lỏng lý tưởng tác dụng lên cánh đơn Định lý Joukovski: Nếu có dòng chảy có vận tốc y V bao quanh profil cánh và  lưu số vận tốc dọc theo profil cánh là  thì hợp lực R x của áp lực chất lỏng tác dụng lên profil cánh sẽ có V V trị số , còn phương Z chiều được xác định bằng một góc 90o ngược chiều . cách quay vectơ V Về mặt vật lý ta nhận thấy lực nâng tác dụng lên cánh là do chuyển động vòng của dòng chất lỏng xung quanh cánh đó (lưu số vận tốc), do ảnh hưởng của chuyển động vòng này mà vận tốc trên lưng cánh lớn hơn vận tốc ở dưới bụng cánh, từ đó sinh ra sự chênh lệch về áp suất, áp suất ở bụng cánh lớn hơn áp suất ở lưng cánh tạo thành một lực đẩy từ dưới lên. 19