Giáo trình thủy lực biển ( Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội ) - Phụ lục

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

64
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ TEN XƠ VÀ GIẢI TÍCH TEN XƠ 1.CÁC KHÁI NIỆM VỀ VÉC TƠ VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI TOẠ ĐỘ 1.1. Hệ toạ độ và biến đổi toạ độ Hệ toạ độ Trong hình học Ơclit chúng ta cho rằng các đại lượng y 1 , y 2 , y 3 các các toạ độ trong hệ Đề-các trực giao. Các đại lượng

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình thủy lực biển ( Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội ) - Phụ lục

PHỤ LỤC MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ TEN XƠ VÀ GIẢI TÍCH TEN XƠ 1 .CÁC KHÁI NI Ệ M V Ề V ÉC T Ơ V À PHÉP BI Ế N Đ Ổ I TO Ạ Đ Ộ 1 .1. H ệ t o ạ đ ộ v à bi ế n đ ổ i to ạ đ ộ Hệ toạ độ T rong hình h ọ c Ơ clit chúng ta cho r ằ ng các đ ạ i l ượ ng y 1 , y 2 , y 3 c ác các to ạ đ ộ t rong h ệ Đ ề -các tr ự c giao. Các đ ạ i l ượ ng 1 2 3 α α x (y , y , y ) x = ( 1) đ ượ c xác đ ị nh nh ư c ác to ạ đ ộ c ong x α t rong trong mi ề n V n ế u nh ư h àm (1) cho phép bi ế n đ ổ i ngh ị ch đ ả o α α y y (x , x , x ) 1 2 3 = ( 2) M ặ t x α = c onst đ ượ c g ọ i là m ặ t t ạ o đ ộ v à đ ườ ng cong mà trên đ ó ch ỉ c ó m ộ t to ạ đ ộ d uy nh ấ t bi ế n đ ổ i đ ượ c g ọ i là đ ườ ng to ạ đ ộ . x3 e3 e2 M 1 e x2 O x1 Hình 1. H ệ t o ạ đ ộ v à véc t ơ c ơ s ở c ủ a h ệ t o ạ đ ộ 203
Cho đ i ể m c ố đ ị nh O là g ố c to ạ đ ộ v à bán kính véc t ơ OM , ng ườ i ta đ ư a ra đ ị nh ngh ĩ a các véc t ơ c ơ s ở e 1 , e 2 , e 3 n h ư s au: ∂OM eα = ( 3) α ∂x Theo đ ị nh ngh ĩ a trong hình h ọ c gi ả i tích đ ây chính là các véc t ơ t i ế p tuy ế n v ớ i đ ườ ng to ạ đ ộ x α t ạ i đ i ể m M. Đ ố i v ớ i các véc t ơ a b ấ t k ỳ t a có th ể p hân tích v ề d ạ ng thành ph ầ n thông qua các véc t ơ c ơ s ở : a =a e +a e +a e 1 1 2 2 3 3 eα B ên c ạ nh các véc t ơ c ơ s ở n g ườ i ta còn đ ư a ra đ ị nh ngh ĩ a v ề đ ố i véc α e tơ cơ sở t heo m ố i t ươ ng quan hàm nh ư s au: eα e = δ α α β . ⎧0 ↔ α ≠ β δ β =⎨ t rong đ ó ⎩1 ↔ α = β .α T rong tr ườ ng h ợ p đ ó véc t ơ a b ấ t k ỳ t a có th ể p hân tích v ề d ạ ng thành α e ph ầ n thông qua các véc t ơ c ơ s ở n h ư s au: α 1 2 3 a = a e + a e + a e = aα e 1 2 3 C ác thành ph ầ n a α đ ượ c g ọ i là các thành ph ầ n covariant và a α t ươ ng ứ ng là contrecovariant. Đ ố i v ớ i h ệ t o ạ đ ộ Đ ề -các thì các thành ph ầ n này hoàn toàn t ươ ng đ ươ ng. Trong các công th ứ c có ch ứ a tích các s ố h ạ ng kèm theo ch ỉ s ố , n ế u các ch ỉ s ố t rùng nhau thì đ ó là t ổ ng c ủ a các thành ph ầ n v ớ i các ch ỉ s ố b i ế n đ ổ i t ừ 1 đ ế n 3. T ạ i đ i ể m M t ừ h ai h ệ v éc t ơ c ơ s ở t a có th ể t hu đ ượ c m ộ t ma tr ậ n đ ố i x ứ ng: αβ α β mαβ = eα eβ m =e e và 204
T ừ c ác bi ể u th ứ c này ta có: α α α α β mαβ a = eα eβ a = a eα eβ = a eβ = aα e eβ = a β e eβ = aβ v à t ươ ng t ự αβ α αβ α α m aβ = a m eβ = e , mαβ e = eβ . , Đ ồ ng th ờ i ta c ũ ng thu đ ượ c: = δ .α ωβ ω mαβ m ωβ mαβ m đ i ề u này cho ta th ấ y hai ma tr ậ n và n gh ị ch đ ả o nhau. Trên các c ơ s ở đ ị nh ngh ĩ a và h ệ q u ả n êu trên chúng ta có th ể đ ư a ra bi ể u th ứ c tích vô h ướ ng hai véc t ơ n h ư s au: α β αβ β a b = mαβ a b =m aα bβ = aα b . Ta c ũ ng có th ể v i ế t công th ứ c tính kho ả ng cách gi ữ a hai đ i ể m M’(x α +dx α ) và M(x α ), bi ế t r ằ ng ∂OM ∂ xα xα eα xα ds = OM ' − OM = =d d từ đó α β ds 2 = mαβ d x dx B i ế n đ ổ i to ạ đ ộ C ho r ằ ng c ũ ng trong mi ề n V nêu trên ta có th ể x ác đ ị nh m ộ t h ệ t o ạ đ ộ k hác liên quan t ớ i x α t heo các h ệ t h ứ c m ớ i: α' α' α α 1 2 3 1' 2' 3' x x (x , x , x ) x x (x , x , x ) = = và ( 4) Nh ư v ậ y t ươ ng t ự n h ư t rên ta c ũ ng thu đ ượ c các véc t ơ c ơ s ở v à các ma α' α 'β ' α' tr ậ n c ơ s ở t ươ ng ứ ng eα ' , e , mα 'β ' , m c ùng v ớ i các thành ph ầ n véc t ơ a , aα ' 205
D ự a vào đ ị nh ngh ĩ a véc t ơ c ơ s ở t a có các bi ể u th ứ c liên quan gi ữ a hai h ệ t o ạ đ ộ n êu trên α α ∂OM ∂ x ∂x ∂OM eα eα = = = ( 5) α' α α' α' ' ∂x ∂x ∂x ∂x và ng ượ c l ạ i α' α' ∂OM ∂ x ∂x ∂OM eα = eα = = ( 6) α α' α α ' ∂x ∂x ∂x ∂x Tuy các thành ph ầ n to ạ đ ộ c ủ a m ộ t véc t ơ p h ụ t hu ộ c vào h ệ t o ạ đ ộ l ự a ch ọ n, nh ư ng b ả n thân véc t ơ l à không đ ổ i vì v ậ y đ ố i v ớ i m ộ t véc t ơ b ấ t k ỳ t a a = aα eα = aα eα . có: ' ' S ử d ụ ng công th ứ c (6) ta có: α' ∂x α' α a a = ( 7) α ∂x và hoàn toàn t ươ ng t ự α ∂x aα aα = ( 8) α' ' ∂x Nh ư v ậ y gi ữ a hai h ệ t o ạ đ ộ n êu trên t ồ n t ạ i m ộ t ma tr ậ n chuy ể n đ ổ i A nh ư s au: α α' ∂x ∂x α α' Aα Aα = ∂ = và α' α .' . ∂x x α α' a a aα C ác công th ứ c (7) và (8) c ũ ng là đ i ề u ki ệ n đ ể t ậ p h ợ p 3 s ố , và , aα là các thành ph ầ n c ủ a m ộ t véc t ơ a . ' Đ ể l àm rõ đ i ề u này chúng ta d ẫ n ra m ộ t ví d ụ c h ứ ng minh r ằ ng ba đ ạ i l ượ ng đ ạ o hàm riêng theo các bi ế n to ạ đ ộ c ủ a m ộ t đ ạ i l ượ ng vô h ướ ng ϕ b ấ t k ỳ l à các thành ph ầ n c ủ a m ộ t véc t ơ . Ta có th ể v i ế t 206
α α ∂ϕ ∂ x ∂x ∂ϕ ∂ϕ = = α' α α' α' α ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x và α' α' ∂ϕ ∂ x ∂x ∂ϕ ∂ϕ = = α α' α α α' ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x N h ư v ậ y chúng hoàn toàn tuân theo các đ i ề u ki ệ n (7) và (8) do đ ó 3 đ ạ i ∂ϕ l ượ ng l à thành ph ầ n c ủ a m ộ t véc t ơ , véc t ơ đ ó đ ượ c g ọ i là gradient c ủ a α ∂x hàm vô h ướ ng ϕ v à thông th ườ ng đ ượ c vi ế t trong d ạ ng sau: ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ α 1 2 3 ∇ϕ = e +∂ e e e + = α 1 2 3 ∂x x ∂x ∂x P h ụ t hu ộ c vào tính ch ấ t c ủ a bài toán ng ườ i ta có th ể c h ọ n các to ạ đ ộ c ovariant ho ặ c contrecovariant. 2.TEN-X Ơ V À M Ộ T S Ố P HÉP TÍNH TOÁN TEN-X Ơ 2 .1. Đ ị nh ngh ĩ a v ề t en-x ơ T rong khi nghiên c ứ u và gi ả i quy ế t các bài toán v ậ t lý và c ơ h ọ c, các khái ni ệ m v ề đ ạ i l ượ ng vô h ướ ng và véc t ơ c h ư a cho phép mô t ả đ ượ c đ ầ y đ ủ t ấ t c ả c ác y ế u t ố v à đ ặ c tr ư ng c ơ b ả n. Ví d ụ , khi m ộ t véc t ơ l ự c tác đ ộ ng lên m ộ t b ề m ặ t b ấ t k ỳ t ạ i m ộ t đ i ể m M, ta c ầ n ph ả i bi ế t véc t ơ p háp tuy ế n c ủ a b ề m ặ t t ạ i đ i ể m đ ó. Chúng ta đ ã bi ế t l ự c tác đ ộ ng lên b ề m ặ t theo h ướ ng x α s ẽ đ ượ c xác đ ị nh theo véc t ơ s ứ c c ă ng hay áp l ự c theo h ướ ng đ ó: α α α α α β α pn pβn p n+p n+p n 1 2 3 F = = = . . .1 .2 .3 N h ư v ậ y đ ể x ác đ ị nh đ ầ y đ ủ l ự c m ặ t tác đ ộ ng lên m ộ t đ i ể m M c ủ a b ề m ặ t α p β . Chín đ ạ i l ượ ng này có th ể v i ế t trong h ệ t o ạ đ ộ x α ’ t heo ta c ầ n 9 đ ạ i l ượ ng . quy lu ậ t đ ã đ ượ c trình bày trong các công th ứ c (7) và (8) trên c ơ s ở c ho r ằ ng các thành ph ầ n c ủ a véc t ơ c ó th ể t hay đ ổ i ph ụ t hu ộ c vào h ệ t o ạ đ ộ n h ư ng b ả n thân véc t ơ l ạ i không đ ổ i: 207
α' β ∂x ∂x α' α pβ pβ = α β' ∂x ∂x .' . Đ i ề u này hoàn toàn t ươ ng t ự t rong phép chuy ể n đ ổ i ng ượ c l ạ i c ủ a h ệ t o ạ độ. T ươ ng t ự n h ư k hi đ ư a ra đ ị nh ngh ĩ a véc t ơ đ ố i v ớ i t ậ p h ợ p 3 đ ạ i l ượ ng a α , α pβ . ng ờ i ta c ũ ng đ ư a ra khái ni ệ m ten-x ơ b ậ c hai cho 9 đ ạ i l ượ ng Thông . th ườ ng ten-x ơ b ậ c hai đ ượ c vi ế t trong d ạ ng p . Đ i ề u này c ũ ng có th ể á p d ụ ng αβ qγ : đ ố i v ớ i 27 đ ạ i l ượ ng .. α' β γ ∂x ∂x ∂x α 'β ' αβ qγ qγ = ( 10) α β' γ' ∂x ∂x ∂x .. ' .. là thành ph ầ n c ủ a m ộ t ten-x ơ b ậ c ba. Đ i ề u ki ệ n t ươ ng t ự ( 10) là c ơ s ở đ ể đ ư a ra đ ị nh ngh ĩ a ten-x ơ c ác b ậ c khác nhau, trong đ ó ta d ễ d àng nh ậ n th ấ y các đ ạ i l ượ ng vô h ướ ng là ten-x ơ b ậ c không và véc t ơ l à ten-x ơ b ậ c nh ấ t. 2 .2. M ộ t s ố t ính ch ấ t c ơ b ả n c ủ a ten-x ơ a . H ai ten-x ơ đ ượ c xem là b ằ ng nhau n ế u nh ư t rong cùng m ộ t h ệ t o ạ đ ộ c ác thành ph ầ n t ươ ng ứ ng c ủ a các ten-x ơ đ ó nh ư n hau. b. T en-x ơ đ ượ c xem là đ ố i x ứ ng theo các c ặ p ch ỉ s ố t rên ho ặ c d ướ i t ươ ng ứ ng αβ βα n ế u nh ư k hi hoán v ị c húng các thành ph ầ n đ ó không thay đ ổ i giá tr ị : A = A . N ế u nh ư k hi hoán v ị c ác thành ph ầ n đ ó ch ỉ đ ổ i d ấ u mà không thay đ ổ i giá tr ị αβ βα t uy ệ t đ ố i thì ten-x ơ đ ó đ ượ c g ọ i là b ấ t đ ố i x ứ ng: A = − A . c. T ổ ng hai ten-x ơ c ùng lo ạ i đ ượ c xác đ ị nh theo công th ứ c sau: α α α C βγ = A βγ + B βγ . . . T ích c ủ a hai ten-x ơ A v à B l à ten-x ơ C c ó các thành ph ầ n nh ư s au: d. ..γνμ ..γ νμ Cαβ Aαβ B ω = ...ω .. 208
e. K hi có các ch ỉ s ố t rùng nhau là bi ể u th ứ c t ổ ng theo các ch ỉ s ố đ ó và k ế t qu ả c ho ta m ộ t ten-x ơ m ớ i: . βλ ..αβλ Aν Aνα = V ớ i m ộ t ten-x ơ B b ấ t k ỳ n ế u ta có: f. α ..α βγ =C Aβγ B ..α Aβγ v ớ i C l à ten-x ơ t hì các đ ạ i l ượ ng c ũ ng là thành ph ầ n c ủ a m ộ t ten-x ơ A . 2 .3. M ộ t s ố t en-x ơ đ ặ c tr ư ng T en-x ơ δ a. δ α D ự a vào phép bi ế n đ ổ i các công th ứ c liên quan t ớ i các thành ph ầ n ta .β có: α β' β β' β' β ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x δ = δ .α ' = β β' = α' β α' β β α' .α ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x δ α ( trong khi bi ế n đ ổ i đ ã cho các ch ỉ s ố α = β t rong thành ph ầ n ). .β δ α Hoàn toàn t ươ ng t ự c ó th ể v i ế t công th ứ c đ ố i v ớ i : .β α α' ∂x ∂x δ β = α' β .α ∂x ∂x N h ư v ậ y theo đ ị nh ngh ĩ a thì δ c ũ ng là m ộ t ten-x ơ . b. T en-x ơ m etric m C húng ta có th ể c h ứ ng minh m ộ t cách hoàn toàn t ươ ng t ự c ác công th ứ c ωβ thành ph ầ n mαβ v à m đ ã d ẫ n ra trên đ ây. 209
T en-x ơ ε c. T en-x ơ ε đ ượ c xác đ ị nh b ở i các thành ph ầ n theo các công th ứ c sau: 1 ε e ,ε αβγ = αβγ αβγ m eαβγ = m mαβ : m = mαβ , trong đ ó: m là đ ị nh th ứ c c ủ a ma tr ậ n ⎧0 (i ) ⎪ αβγ e = ⎨1 (ii ) ⎪− 1 (iii ) ⎩ v ớ i các đ i ề u ki ệ n t ươ ng ứ ng: (i) n ế u nh ư h ai ch ỉ s ố b ằ ng nhau; (ii) n ế u nh ư 3 c h ỉ s ố t ạ o thành hoán v ị c h ẵ n 1,2,3 và (iii) – ba ch ỉ s ố t ạ o thành hoán v ị l ẻ 1 ,2,3. D ự a vào đ ị nh ngh ĩ a này ta có th ể c h ứ ng minh r ằ ng tích véc t ơ c ủ a hai véc t ơ c ũ ng là m ộ t véc t ơ . Th ự c v ậ y: eα ) × (b eβ ) = ε αβγ a b eα α β β γ a ×b = (a Trong khi bi ế n đ ổ i đ ã s ử d ụ ng đ ị nh ngh ĩ a tích h ỗ n h ợ p ba véc t ơ (a b c ) = ε α β γ abc αβγ v à đ ị nh ngh ĩ a c ủ a các véc t ơ c ơ s ở : 1 e ×e = (e1 e2e3)e 2 3 2 e × e = (e e e )e 3 1 1 2 3 3 e ×e = (e1 e2e3)e 1 2 210
3. M Ộ T S Ố Q UY T Ắ C VÀ PHÉP TÍNH TEN-X Ơ 3 .1. Đ ạ o hàm a. Đ ạ o hàm c ủ a m ộ t t ổ ng các ten-x ơ b ằ ng t ổ ng các đ ạ o hàm b. Đ ạ o hàm c ủ a m ộ t tích tuân theo quy lu ậ t sau: (A B μ ) = (∇χ A β )B μ + A β (∇χ B μ ) α γ α γ α γ ∇χ .β . . . . . Đ ạ o hàm c ủ a các ten-x ơ m , δ , ε b ằ ng không. c. 3 .2. M ộ t s ố t oán t ử đ ạ o hàm ten-x ơ a. D ivergence (div) α ( ) ∂a ∂ 1 α β α α + Γαβ a = div(a ) = ∇α a = ma α α ∂x m ∂x γ Γαβ trong đ ó l à ký hi ệ u Cristofel: ∂eα γ Γαβ eγ = ∂ β x h ay 1 γχ ⎛ ∂ mχα ∂ mχβ ∂ mαβ ⎞ ⎟ ⎜ γ Γαβ 2 m ⎜ ∂ xβ = + + χ⎟ α ∂x ∂x ⎠ ⎝ N h ư v ậ y div c ủ a m ộ t véc t ơ l à m ộ t đ ạ i l ượ ng vô h ướ ng. áp d ụ ng toán t ử d iv đ ố i v ớ i m ộ t ten-x ơ b ậ c hai cho ta m ộ t véc t ơ : αβ ( )+ Γ ∂a ∂ 1 αβ αβ χν αβ νμ χ β β + Γ χα a + Γ χν a ∇α a ma a = = α α νμ ∂x m ∂x b. Gradient 211
Nh ư đ ã trình bày ở p h ầ n tr ướ c gradient c ủ a m ộ t đ ạ i l ượ ng vô h ướ ng là m ộ t véc t ơ . Có th ể v i ế t trong d ạ ng khai tri ể n sau: ∂ϕ ∇ϕ = ∇α ϕ α αβ e =m eβ α ∂x N h ư v ậ y áp d ụ ng toán t ử g radient làm t ă ng b ậ c ten-x ơ , gradient c ủ a m ộ t l à ∇α a β . véc t ơ l à m ộ t ten-x ơ b ậ c hai v ớ i các thành ph ầ n c ủ a ∇a c. Laplace Laplace c ủ a m ộ t đ ạ i l ượ ng vô h ướ ng c ũ ng là m ộ t đ ạ i l ượ ng vô h ướ ng ∂2 ϕ ∂ϕ Δ ϕ = m ∇α ∇β ϕ = m αβ αβ αβ χ Γαβ ∂ −m = α β χ ∂x ∂x x αβ ϕ ⎡ ∂⎤ () ∂⎢ 1 ⎥ = div ∇ϕ mm = m ∂x ⎢ ∂x ⎥ χ β ⎣ ⎦ L aplace c ủ a m ộ t véc t ơ l à m ộ t véc t ơ : Δ a = ∇(div a ) − rot (rot a ) , trong đ ó rot c ủ a m ộ t véc t ơ đ ượ c hình thành t ừ m ộ t ten-x ơ b ấ t đ ố i x ứ ng sau đ ây: ∇α a β − ∇β aα . C ác thành ph ầ n c ủ a véc t ơ r ot đ ượ c xác đ ị nh nh ư s au: 1 αβγ ω 2ε aβ ) = ε α αβγ (∇β aγ − ∇γ ∇β aγ = V ớ i α = 1 , ta thu đ ượ c thành ph ầ n th ứ n h ấ t c ủ a véc t ơ r ot: ∂ a3 ∂ a2 1 ω 1 a. − = ( ) l à thành ph ầ n th ứ n h ấ t c ủ a xoáy v ậ n t ố c m ∂ x2 ∂ x3 3 .3. M ộ t s ố t hí d ụ t ính toán ten-x ơ t rong h ệ t o ạ đ ộ t r ự c giao T heo đ ị nh ngh ĩ a, đ ố i v ớ i h ệ t o ạ đ ộ t r ự c giao ta có: 212
i≠ j ⎧ ⎪0 khi m = eie j = ⎨ 2 ⎪hi i= j ij khi ⎩ trong đ ó h i l à đ ộ d ài c ủ a véc t ơ c ơ s ở t ươ ng ứ ng th ườ ng đ ợ c g ọ i là h ệ s ố L amê. H ệ s ố n ày đ ượ c xác đ ị nh t ừ t en-x ơ m n h ư s au: h= mi ii K hi chuy ể n t ừ h ệ t o ạ đ ộ Đ ề c ác α ’ sang h ệ t o ạ đ ộ m ớ i α t a có: α β ∂x ∂x mα β mαβ = α' β' '' ∂x ∂x v à t ừ đ ây khi i=j α α ∂x ∂x m = i i ii ∂x ∂x S ử d ụ ng k ế t qu ả t rên có th ể đ ư a ra ví d ụ đ ố i v ớ i công th ứ c tính div: ⎞⎫ ⎧⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∧ ∧ ∧ ⎜ h h a ⎟ ∂⎜ h h a ⎟ ∂⎜ h1 h2 a ⎟ ⎪ ⎪ ∂⎜ 2 3 1 ⎟ ⎜ 3 1 2⎟ ⎜ 3⎟ ⎠⎪ ⎪⎝ 1 ⎠+ ⎝ ⎠+ ⎝ div a = ⎬ ⎨ h1 h2 h3 ⎪ ∂ x 1 2 3 ∂x ∂x ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ∧ aα là a t rong đ ó thành ph ầ n c ủ a véc t ơ t heo các véc t ơ c ơ s ở m ớ i xác đ ị nh theo công th ứ c sau: 1 1 1 u e, u e, u e = = = 1 1 2 2 3 3 m m m 11 22 33 a C ó th ể v i ế t bi ể u th ứ c div c ho h ệ t o ạ đ ộ c ầ u trên c ơ s ở c ác công th ứ c trên đ ây. Chúng ta đ ề u bi ế t t ươ ng quan gi ữ a to ạ đ ộ Đ ề c ác và to ạ đ ộ c ầ u đ ượ c mô t ả n h ư s au: 213
= r sin θ cos ϕ x 1 = r sin θ sin ϕ x 2 = r cos θ x 3 T a có th ể t ìm đ ượ c giá tr ị h ệ s ố L amê theo đ ị nh ngh ĩ a: h1 = 1, h2= r, h3 = r sin θ . Nh ư v ậ y v ậ n t ố c trong h ệ t o ạ đ ộ c ầ u s ẽ l à: ∂r 1' ∂x v1 = vr = h1 = ∂t ∂t ∂θ 2' ∂x v2 = vθ = h2 =r ∂t ∂t ∂ϕ 3' ∂x = r sinθ v3 = vϕ = h3 ∂t ∂t v à đ ố i v ớ i div ( )⎤ + 1 ⎡ ∂ r vr ⎡∂ ⎤ ∂ vϕ 2 1 1 (sinθ divv = 2⎢ vθ ⎥ ⎥ + ⎢ sinθ ∂ ϕ r sinθ ⎢ ∂θ r ⎢ ∂r r ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ H oàn toàn t ươ ng t ự t a có th ể v i ế t các ph ươ ng trình thu ỷ n hi ệ t đ ộ ng l ự c trong các h ệ t o ạ đ ộ k hác nhau s ử d ụ ng các công th ứ c và toán t ử c ơ b ả n c ủ a gi ả t ích ten-x ơ . 214