HÌNH HỌC PHẲNG

Chia sẻ: Paradise9 Paradise9 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

121
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài 1: Cho DABC ( A  90 ), đờng cao AH. Đờng tròn đờng kính AH cắt các cạnh AB, AC lần lợt tại E và F a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật. b) Chứng minh tứ giác EFCB nội tiếp. c) Đờng thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của BC. d) CMR: Nếu SABC = 2. SAEHF thì tam giác ABC vuông cân.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: HÌNH HỌC PHẲNG

HÌNH HỌC PHẲNG  0 Bài 1: Cho DABC ( A  90 ), đờng cao AH. Đờng tròn đờng kính AH cắt các cạnh AB, AC lần lợt tại E và F a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật. b) Chứng minh tứ giác EFCB nội tiếp. c) Đờng thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của BC. d) CMR: Nếu SABC = 2. SAEHF thì tam giác ABC vuông cân. Bài 2: Cho tam giác ABC (AB > AC ) nội tiếp (O). Vẽ đờng phân giác của góc A cắt (O) tại M. Nối OM cắt BC tại I. b) BMA  AMC và a) Chứng minh DBMC cân. ABC  ACB  BMC c) Đờng cao AH và BP của tam giác ABC cắt nhau tại Q. Chứng minh OI // AH. d) Trên AH lấy điểm D sao cho AD = MO. Tứ giác OMDA là hình gì ? e) Chứng minh AM là phân giác của góc OAH. f) OM kéo dài cắt (O) tại N. Vẽ OE vuông góc với NC. Chứng minh 1 OE  MB 2 . g) Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp. Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác OICE. h) Chứng minh các tứ giác ABHP và QPCH nội tiếp. i) Từ C vẽ tiếp tuyến của (O) cắt BM kéo dài tại K. Chứng minh CM là phân giác của góc BCK. k) So sánh các góc KMC và KCB với góc A.
l) Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM tại S. Chứng minh tam giác BMS cân tại M.  m) Chứng minh S  EOI  MOC ; CBC  NCM ; ABF  AON n) Từ A kẻ AF // BC, F thuộc (O). Chứng minh BF = CA. Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đờng tròn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại D, E. Gọi I là giao điểm của BE và CD. a) Chứng minh AI vuông góc với BC. b) Chứng minh IDE  IAE d) Cho BAC = 600. c) Chứng minh : AE . EC = BE . EI. Chứng minh DDOE đều. Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Đờng cao AH của tam giác ABC cắt (O) tại D, AO kéo dài cắt (O) tại E. a) Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân. b) Gọi M là điểm chình giữa của cung DE, OM cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của BC. c) Tính bán kính của (O) biết BC = 24 cm và IM = 8 cm. Bài 5: Trên nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB lấy hai điểm M và N sao cho các cung AM, MN, NB bằng nhau. Gọi P là giao điểm của AM và BN, H là giao điểm của AN với BM. Chứng minh rằng a) Tứ giác AMNB là hình thang cân. b) PH ^ AB. Từ đó suy ra P, H, O thẳng hàng. c) ON là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính PH.
Bài 6: Cho (O, R) , dây cung AB < 2R. G ọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Kẻ hai dây MC, MD lần lợt cắt AB tại E và F. Chứng minh rằng a) Tam giác MAE đồng dạng tam giác MCA và ME . MC = MF . MD. AB  R 3 b) Tứ giác CEFD nội tiếp. c) Khi thì tam giác OAM đều. Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A ( AB > AC ), đờng cao AH. Vẽ đ- ờng tròn tâm I đờng kính BH cắt AB tại E, đờng tròn tâm K đờng kính CH cắt AC tại F. a) Tứ giác AEHF là hình gì ? b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp. c) Chứng minh AE . AB = AF . AC. d) Chứmg minh EF là tiếp tuyến chung của (O) và (I). e) Gọi Ax là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh Ax // EF. Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm D thuộc AB. Qua B vẽ đ- ờng thẳng vuông góc với CD tại H, đờng thẳng BH cắt CA tại E. a) Chứng minh tứ giác AHBC nội tiếp. b) Tính góc AHE. c) Chứng minh tam giác EAH và EBC đồng dạng. e) Chứng minh AD = AE. f) Khi điểm D di chuyển trên cạnh AB thì điểm H di chuyển trên đờng nào ?
Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD ). Gọi E là giao điểm của AB và CD, F là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: a) EF ^ AC b) DA . DF = DC . DE c) Tứ giác BDFE nội tiếp. Bài 10: Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O). Vẽ bán kính OK // BA ( K và A nằm cùng phía đối với BC ). Tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại C cắt OK tại I. a) Chứng minh IA là tiếp tuyến của (O). b) Chứng minh CK là tia phân giác của góc ACI. c) Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm. Tính OI, CI. Bài 11: Cho đoạn thẳng AB và O là trung điểm của AB. Vẽ về cùng phía với AB các tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Các điểm M, N theo thứ tự di chuyển trên Ax và By sao cho MON = 900. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng : a) AB là tiếp tuyến của (I; IO). b) MO là tia phân giác của góc AMN. c) MN là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính AB. d) Khi các điểm M, N di chuyển trên Ax, By thì tích AM. BN không dổi. Bài 12: Cho (O;R) và (O’; r)tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đờng tròn ( B thuộc (O); C thuộc (O’) ). Tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn tại A cắt BC tại M. a) Chứng minh A, B, C thuộc đờng tròn tâm M.
b) Đờng thẳng OO’ có vị trí tơng đối gì với (M) nói trên? c) Xác định tâm đờng tròn đi qua ba điểm O, O’ , M. d) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua ba điểm O, O’, M. Bài 13: Cho (O) và (O’) tiếp xúcngoài tại A. Đờng thẳng Ô’ cắt (O) và (O’) theo thứ tự tạu B và C ( khác A ). Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài của hai đờng tròn ( D thuộc (O); E thuộc (O’)). M là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng: a) Góc DME là góc vuông. b) MA là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn. c) MD . MB = ME . MC. Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đờng cao BD, CE , M là trung điểm của BC. a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp. b) Chứng minh DADE và DABC đồng dạng . c) Kẻ tiếp tuyến Ax với (O). Chứng minh Ax // DE. d) Chứng minh rằng nếu BAC = 600 thì tam giác DME là tam giác đều. Bài 15: Cho (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Vẽ các tiếp tuyến AB và AC, cát tuyến ADE. Gọi H là trung điểm của DE. a) Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp. b) Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHA. c) Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh: AB2 = AI . AH. d) BH cắt (O) tại K . Chứng minh AE // CK.
Bài 16: Cho (O), đờng tròn AB. Vẽ tiếp tuyến xBy. Gọi C,D là hai điểm di động trên hai nửa mặt phẳng bờ AB đối nhau. Tia AC cắt Bx tại M, tia AD cắt By tại N. a) Chứng minh các tam giác ACD và AMN đồng dạng b) Tứ giác MNDC nội tiếp. c) Chứng minh AC. AM = AD. AN và tích này không đổi khi C, D di động. Bài 17: Xét nửa đờng tròn (O), đờng kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax và dây AC bất kỳ. Tia phân giác của góc CAx cắt nửa đờng tròn tại D, các tia AD và BC cắt nhau tại E. a) Chứng minh tam giác ABE cân tại B. b) Các dây AC và BD cắt nhau tại K. Chứng minh EK ^ AB. c) Tia BD cắt tia Ax tại F. Chứng minh tứ giác AKEF là hình thoi. Bài 18: Cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong nửa đờng tròn (O ; R). Hai tiếp tuyến tại B và D cắt nhau tại T. a) Chứng minh rằng OT // AB. b) Chứng minh ba điểm O, C, T thẳng hàng. c) Tính chu vi và diện tích tam giác TBD theo R. d) Tính diện tích hình giới hạn bởi hai cạnh TB, TD và cung BCD theo R. Bài 19: Hai đờngtròn (O) và (O’) có bán kính R và R’ ( R > R’) tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC và BC là hai đờng kính đi qua C của (O) và (O’). DE là dây cung của (O) vuông góc với AB tại trung điểm của M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của đờng thẳng DC với (O’) là F.
a) Tứ giác AEBD là hình gì ? b) Chứng minh rằng ba điểm B, E, F thẳng hàng. c) Chứng minh tứ giác MDBF nội tiếp. d) DB cắt (O’) tại G. Chứng minh DF, EG, AB đồng qui. 1 MF  DE 2 e) Chứng minh và MF là tiếp tuyến của (O’). Bài 20: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AC. Trên đoạn OC lấy một điểm B và vẽ đờng tròn tâm O’ đờng kính BC. Gọi M là trung điểm của AB. Từ M kẻ dây cung DE vuông góc với AB, DC cắt (O’) tại I. a) Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ? b) Chứng minh BI // AD. c) Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng và MD = MI. d) Xác định và giải thích vị trí tơng đối của đờng thẳng MI với (O’). Bài 21: Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN của đờng tròn đó. Gọi I là trung điểm của dây MN. a) Chứng minh 5 điểm A,B,I,O,C cùng nằm trên một đờng tròn. b) Nếu AB = OB thì tứ giác ABOC là hình gì ? Tại sao ? Tính diện tích hình tròn và độ dài đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo bán kính R của (O). Bài 22: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tia phân giác của góc A cắt BC tại D, cắt (O) tại E. Tiếp tuyến của đờng tròn tại A cắt đờng thẳng BC tại M. a) Chứng minh MA = MD. b) Gọi I là điểm đối xứng với D qua M, gọi F là giao điểm của IA với (O). Chứng minh E, O, F thẳng hàng.
Bài 23: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đờng kính MC. Đờng thẳng BM cắt (O) tại D. Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại S. a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp và CA là tia phân giác của góc SCB. b) Gọi E là giao điểm của BC với (O). Chứng minh các đờng thẳng BA, EM, CD đồng qui. c) Chứng minh DM là phân giác của góc ADE. d) Chứng minh M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE. Bài 24: Cho tam giác ABC vuông tại A. a) Nêu cách dựng (O) qua A và tiếp xúc với BC tại B. Nêu cách dựng (O’) qua tiếp xúc với BC tại C. b) Hai đờng tròn (O) và (O’) ở vị trí tơng đối nào ? c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tiếp tuyến chung của (O) và (O’). d) Cho AB = 36cm, AC = 48 cm. Tính độ dài BC và các bán kính của (O), (O’). Bài 25: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, bán kính OC vuông góc với AB. Gọi M là một điểm di động trên cung BC ( M ạ B, M ạ C). AM cắt OC tại N. a) Chứng minh rằng tích AM. AN không đổi. b) Vẽ CD ^ AM . Chứng minh các tứ giác MNOB và AODC nội tiếp. c) Xác định vị trí của điểm M trên cung BC để tam giác COD cân tại D.
Bài 26: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), H là trực tâm của tam giác ABC, M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. a) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành. b) Gọi N và E lần lợt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC. Chứng minh ba điểm N. H , E thẳng hàng. c) Xác định vị trí của M để NE có độ dài lớn nhất. Bài 27: Cho (O, R) và (O’, r) tiếp xúc ngoài tại M ( R > r ). Đờng thẳng OO’ cắt (O) tại C, cắt (O’) tại D. Tiếp tuyến chung ngoài AB ( A  (O),B  (O') ) cắt đòng thẳng OO’ tại H. Tiếp tuyến chung của 2 đờng tròn ở M cắt AB tại I. a) Chứng minh các tam giác OIO’ và AMB là các tam giác vuông. Chứng minh AB  2 R.r . b) Tia AM cắt (O’) tại A’, tia BM cắt (O) tại B’. Chứng minh ba điểm A, O, B’ và A’ , O’ , B thẳng hàng và CD2 = BB’2 + AA’2. c) Gọi N và N’ lần lợt là giao điểm của AM với OI và BM với O’I. Tính độ dài các đoạn thẳng MI, AB, OI, O’I, OH, O’H theo R và r. Bài 28: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, một điểm C ( khác A, B ) nằm trên đờng tròn. Tiếp tuyến Cx của (O) cắt tia AB tại I. Phân giác góc CIA cắt OC tại O’. a) Chứng minh (O’, O’C) vừa tiếp xúc với (O) vừa tiếp xúc với đờng thẳng AB. b) Gọi D, E theo thứ tự là giao điểm thứ hai của CA, CB với (O’). Chứng minh D, O’, E thẳng hàng . c) Tìm vị trí của C sao cho đờng tròn ngoại tiếp tam giác OCI tiếp xúc với AC.
Bài 29: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đ- ờng tròn. C và D là hai điểm di động trên nửa đờng tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt tại E và F ( F nằm giữa B và E ). a) Chứng minh DABF ~ DBDF b) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp. c) Khi D và C di động trên nửa đờng tròn, chứng tỏ rằng AC. AE = AD . AF không đổi Bài 30: Cho (O). Vẽ hai dây AB và CD vuông góc tại M ở bên trong (O). Từ A vẽ một đờng thẳng vuông góc với BC tại H, cắt CD tại E. F là điểm đối xứng của C qua AB. Tia AF cắt tia BD tại K. Chứng minh rằng: a) MAH  MCB b) Tam giác ADE cân. c) Tứ giác AHBK nội tiếp. Bài 31. Cho đoạn thẳng AB và C là một điểm nằm giữa A và B. Ngời ta kẻ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax và By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy một điểm I. Tia Cz vuông góc với tia CI tại C và cắt By tại K. Đờng tròn đờng kính IC cắt IK tại P. Chứng minh: a) Tứ giác CPKB nội tiếp. b) AI.BK = AC.CB. c) DAPB vuông. d) Giả sử A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất. Bài 32: Cho (O) và một điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với (O). (B, C, M, N cùng thuộc (O); AM < AN). Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đờng thẳng CE với (O). a) Chứng minh bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Chứng minh AOC  BIC c) Chứng minh BI // MN. c) Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất. Bài 33: Cho tam giác ABC vuông ở A (AB < AC), đờng cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy D sao cho HD = HB. Vẽ CE vuông góc với AD (E ẻ AD). a) Chứng minh tứ giác AHCE nội tiếp. b) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHCE. c) Chứng minh CH là tia phân giác của góc ACE. d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng CA, CH và cung nhỏ AH của đờng tròn nói trên biết AC = 6cm; ACB = 30o. Bài 34: Cho (O) có đờng kính BC. Gọi A là một điểm thuộc cung BC ( AB  AC ). D là điểm thuộc bán kính OC. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC ở E, cắt tia BA ở F. a) Chứng minh tứ giác ADCF nội tiếp. b) Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh: AME  2.ACB c) Chứng minh AM là tiếp tuyến của (O). d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng BC, BA và cung nhỏ AC của (O) biết BC = 8cm; ABC = 60o Bài 35: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R, điểm M di chuyển trên nửa đờng tròn. Ngời ta vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với (O) tại M và tiếp xúc với AB tại N. Đờng tròn này cắt MA, MB lần lợt tại các điểm thứ hai C, D. a) Chứng minh CD // AB. b) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đờng thẳng MN đi qua một điểm K cố định. c) Chứng minh tích KM.KN cố định.
d) Gọi giao điểm của các tia CN, DN với KB, KA lần lợt là C', D'. Tìm vị trí của M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ nhất có thể đợc. Bài 36: Cho một đờng tròn đờng kính AB, các điểm C, D ở trên đờng tròn sao cho C, D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi các điểm chính giữa các cung AC, AD lần lợt là M, N. Giao điểm của MN với AC, AD lần lợt là H, I. Giao điểm của MD với CN là K. a) Chứng minh: DNKD và DMAK cân. b) Chứng minh tứ giác MCKH nội tiếp đợc. Suy ra KH // AD. c) So sánh các góc CAK với góc DAK. d) Tìm một hệ thức giữa số đo AC, số đo AD là điều kiện cần và đủ để AK // ND. Bài 37: Cho (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A và tiếp tuyến chung Ax. Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt tại B, C và cắt Ax tại điểm M. Kẻ các đờng kính BO1D, CO2E. a) Chứng minh M là trung điểm BC. b) Chứng minh DO1MO2 vuông. c) Chứng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng. d) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với d. Bài 38: Cho hai đờng tròn tâm O và O’ có R > R’ tiếp xúc ngoài tại C. Kẻ các đờng kính COA và CO’B. Qua trung điểm M của AB, dựng DE ^ AB. a) Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ? b) Nối D với C cắt đờng tròn tâm O’ tại F. CMR ba điểm B, F, E thẳng hàng c) Nối D với B cắt đờng tròn tâm O’ tại G. CMR EC đi qua G d) *Xét vị trí của MF đối với đờng tròn tâm O’, vị trí của AE với đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCFE
Bài 39: Cho nửa đờng tròn đờng kính COD = 2R. Dựng Cx, Dy vuông góc với CD. Từ điểm E bất kì trên nửa đờng tròn, dựng tiếp tuyến với đờng tròn, cắt Cx tại P, cắt Dy tại Q. a) Chứng minh D POQ vuông; DPOQ đồng dạng với DCED b) Tính tích CP.DQ theo R c) Khi R POQ 25  PC= 2 . CMR CED 16 d) Tính thể tích của hình giới hạn bởi nửa đờng tròn tâm O và hình thang vuông CPQD khi chúng cùng quay theo một chiều và trọn một vòng quanh CD Bài 40: Cho đờng tròn tâm O bán kính R có hai đờng kính AOB, COD vuông góc với nhau. Lấy điểm E bất kì trên OA, nối CE cắt đờng tròn tại F. Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đờng tròn, qua E dựng Ey vuông góc với OA. Gọi I là giao điểm của Fx và Ey . a) Chứng minh I,F,E,O cùng nằm trên một đờng tròn. b) Tứ giác CEIO là hình gì ? c) Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nào ? Bài 41: Cho đờng tròn tâm O và một điểm A trên đờng tròn. Qua A dựng tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy một điểm Q bất kì, dựng tiếp tuyến QB. a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp đợc b) Gọi E là trung điểm của QO , tìm quỹ tích của E khi Q chuyển động trên Ax. c) Hạ BK ^ Ax, BK cắt QO tại H. CMR tứ giác OBHA là hình thoi và suy ra quỹ tích của điểm H Bài 42: Cho D ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O. Các đờng cao AD, BK cắt nhau tại H, BK kéo dài cắt đờng trong tại F. Vẽ đờng kính BOE. a) Tứ giác AFEC là hình gì ? Tại sao ?
b) Gọi I là trung điểm của AC, chứng minh H, I, E thẳng hàng BH c) Chứng minh rằng OI = 2 và H; F đối xứng nhau qua AC Bài 43: Cho (O,R) và (O’,R’ ), (với R > R’ ) tiếp xúc trong tại A. Đờng nối tâm cắt đờng tròn O’ và đờng tròn O tại B và C. Qua trung điểm P của BC dựng dây MN vuông góc với BC. Nối A với M cắt đờng tròn O’ tại E. a) So sánh AMO với NMC b) Chứng minh N, B, E thẳng hàng và O’P = R; OP = R’ c) Xét vị trí của PE với đờng tròn tâm O’ Bài 44: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB. Lấy B làm tâm vẽ đờng tròn bán kính OB. Đờng tròn này cắt đờng tròn O tại C và D a) Tứ giác ODBC là hình gì ? Tại sao ? b) Chứng minh OC ^ AD; OD ^ AC c) CMR trực tâm của tam giác CDB nằm trên đờng tròn tâm B Bài 45: Cho đờng tròn tâm O và một đờng thẳng d cắt đờng tròn đó tại hai điểm cố định A và B. Từ một điểm M bất kì trên đờng thẳng d nằm ngoài đoạn AB ngời ta kẻ hai tiếp tuyến với đờng tròn là MP và MQ ( P, Q là các tiếp điểm ). a) Tính các góc của DMPQ biết rằng góc giữa hai tiếp tuyến MP và 0 MQ là 45 . b) Gọi I là trung điểm AB. Chứng minh 5 điểm M, P, Q, O, I cùng nằm trên một đờng tròn . c) Tìm quỹ tích tâm đờng tròn ngoại tiếp DMPQ khi M chạy trên d Bài 46: Cho D ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, tia phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại E và cắt đờng tròn tại M. Chứng minh: a) OM ^ BC
b) Dựng tia phân giác ngoài Ax của góc A. Chứng minh Ax đi qua một điểm cố định c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài tại F. Chứng minh FB . EC = FC . EB  Bài 47: Cho D ABC ( AB = AC, A < 900 ), một cung tròn BC nằm trong DABC và tiếp xúc với AB, AC tại B và C. Trên cung BC lấy điểm M rồi hạ các đờng vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tơng ứng BC, CA, AB. Gọi P là giao điểm của MB, IK và Q là giao điểm của MC, IH. Chứng minh rằng a) Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc b) Tia đối của tia MI là phân giác góc HMK c) Tứ giác MPIQ nội tiếp đợc. Suy ra PQ // BC Bài 48: Cho DABC (AC > AB ; BAC > 900) I, K theo thứ tự là các trung điểm của AB, AC. Các đờng tròn đờng kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đờng tròn (K) tại điểm thứ hai E; tia CA cắt đờng tròn (I) tại điểm thứ hai F. Chứng minh a) Ba điểm B, C, D thẳng hàng b) Tứ giác BFEC nội tiếp đợc c) Chứng minh ba đờng thẳng AD, BF, CE đồng quy Bài 49: Cho đờng tròn (O;R) và điểm A với OA = R 2 , một đờng thẳng (d) quay quanh A cắt (O) tại M, N; gọi I là trung điểm của đoạn MN . a) Chứng minh OI ^ MN. Suy ra I di chuyển trên một cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B, C thuộc (O) b) Tính theo R độ dài AB, AC. Suy ra A, O, B, C là bốn đỉnh của hình vuông c) Tính diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi đoạn AB, AC và cung nhỏ BC của (O)
Bài 50: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R, C là trung điểm của cung AB. Trên cung AC lấy điểm F bất kì. Trên dây BF lấy điểm E sao cho BE = AF. a) D AFC và D BEC có quan hệ với nhau nh thế nào ? Tại sao ? b) Chứng minh DFEC vuông cân c) Gọi D là giao điểm của đờng thẳng AC với tiếp tuyến tại B của nửa đờng tròn. CMR tứ giác BECD nội tiếp đợc Bài 51: Cho đờng tròn (O;R) và hai đờng kính AB, CD vuông góc với nhau. E là một điểm bất kì trên cung nhỏ BD ( E  B;E  D ) EC cắt AB ở M, EA cắt CD ở N. Chứng minh b) AM.CN = 2R2 a) DAMC đồng dạng DANC. CN c) Giả sử AM = 3MB. Tính tỉ số ND Bài 52: Một điểm M nằm trên đờng tròn tâm (O) đờng kính AB. Gọi H, I lần lợt là hai điểm chính giữa các cung AM, MB; gọi Q là trung điểm của dây MB, K là giao điểm của AM, HI. a) Tính độ lớn góc HKM b) Vẽ IP ^ AM tại P. Chứng minh IP tiếp xúc với đờng tròn (O) c) Dựng hình bình hành APQR. Tìm tập hợp điểm R khi M di động trên nửa đờng tròn (O) đờng kính AB Bài 53: Gọi O là trung điểm cạnh BC của D ABC đều. Vẽ xOy = 600 sao cho tia Ox, Oy cắt cạnh AB, AC lần lợt tại M, N. Chứng minh rằng: a) DOBM đồng dạng D NCO, từ đó suy ra BC2 = 4 BM.CN b) MO, NO theo thứ tự là tia phân giác các góc BMN, MNC .
c) Đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định, khi góc xOy quay xung quanh O sao cho các tia Ox,Oy vẫn cắt các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC Bài 54: Cho M là điểm bất kì trên nửa đờng tròn tâm (O) đờng kính AB = 2R ( M  A,B ). Vẽ các tiếp tuyến Ax, By, Mz của nửa đờng tròn đó. Đờng Mz cắt Ax, By lần lợt tại N và P. Đờng thẳng AM cắt By tại C và đờng thẳng BM cắt Ax tại D. Chứng minh a) Tứ giác AOMN nội tiếp đờng tròn và NP = AN + BP b) N và P lần lợt là trung điểm các đoạn thẳng AD và BC c) AD.BC = 4R2 d) Xác định vị trí M để t giác ABCD có diện tích nhỏ nhất Bài 55: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tâm (O) và I là điểm chính giữa cung AB (cung AB không chứa C và D ). Dây ID, IC cắt AB lần lợt tại M và N. a) CMR tứ giác DMNC nội tiếp trong đờng tròn b) IC và AD cắt nhau tại E; ID và BC cắt nhau tại F. Chứng minh EF // AB Bài 56: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AC. Trên đoạn OC lấy điểm B ( B  C ) và vẽ đờng tròn tâm (O’) đờng kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB, DC cắt đ ờng tròn (O’) tại I. a) Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ? b) Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng c) Chứng minh MI là tiếp tuyến của đờng tròn (O’) và MI2 = MB.MC Bài 57: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AB = 2R và một điểm M di động trên một nửa đờng tròn. Ngời ta vẽ một đờng tròn tâm (E) tiếp xúc với đờng
tròn (O) tại M và tiếp xúc với đờng kính AB tại N. Đờng tròn này cắt MA, MB lần lợt tại các điểm thứ hai C, D. Chứng minh a) CD // AB b) KM.KN không đổi c) MN là tia phân giác của góc AMB và đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm K cố định. Bài 58: Cho một đờng tròn đờng kính AB, các điểm C, D ở trên đờng tròn sao cho C, D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi các điểm chính giữa các cung AC, AD lần lợt là M, N; giao điểm của MN với AC, AD lần lợt là H, I; giao điểm của MD với CN là K a) CMR: NKD; MAK cân b) CMR tứ giác MCKH nội tiếp đợc . Suy ra KH // AD c) So sánh góc CAK với góc DAK Bài 59: Cho ba điểm A, B, C trên một đờng thẳng theo thứ tự ấy và đờng thẳng (d) vuông góc vớ i AC tại A. Vẽ đờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì. Tia CM cắt đờng thẳng d tại D; tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai N; tia DB cắt đờng tròn tại điểm thứ hai P. a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp đợc b) CMR: CM.CD không phụ thuộc vị trí của M c) Tứ giác APND là hình gì ? Tại sao ? Bài 60: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đờng tròn và P là điểm chính giữa của cung AB không chứa C và D. Hai dây PC và PD lần lợt cắt dây AB tại E và F. Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I; các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K. CMR: a) CID  CKD b) Tứ giác CDFE nội tiếp đợc
c) IK // AB c) Đờng tròn (AFD) tiếp xúc với PA tại A Bài 61: Cho (O; R) trên đó có một dây AB = R 2 cố định và một điểm M di động trên cung lớn AB sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB; P, Q lần lợt là các giao điểm thứ hai của các đờng thẳng AH, BH với đờng tròn (O); S là giao điểm của các đờng thẳng PB, QA. a) CMR: PQ là đờng kính của đờng tròn (O) b) Tứ giác AMBS là hình gì ? Tại sao ? c) Chứng minh độ dài SH không đổi Bài 62: Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB, kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P sao cho AP > R. Kẻ tiếp tuyến PM (M là tiếp điểm ). a) CMR: BM // OP b) Đờngthẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N. Tứ giác OBNP là hình gì ? Tại sao ? c) Gọi K là giao điểm của AN với OP; I là giao điểm của ON với PM; J là giao điểm của PN với OM. CMR : K, I, J thẳng hàng d) Xác định vị trí của P sao cho K nằm trên đờng tròn (O) Bài 63: Cho đờng tròn (O; R), hai đờng kính AB và CD vuông góc nhau. Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O), đờng thẳng CM cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai N. Đờng thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đờng tròn (O) ở điểm P. Chứng minh rằng a) Tứ giác OMNP nội tiếp đợc b) Tứ giác CMPO là hình gì ? Tại sao ? c) CM. CN không đổi d) Khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên mộtđờng thẳng cố định
Bài 64: Cho hai đờng tròn (O), (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Các đờng thẳng AO, AO’ cắt đờng tròn (O) lần lợt tại các điểm thứ hai C, D và cắt đ- ờng tròn (O’) lần lợt tại các điểm thứ hai E, F . a) CMR: B, F, C thẳng hàng b) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc c) Chứng minh A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đờng tròn (O), (O’) Bài 65: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa đờng tròn (M khác A và B). Đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt đờng trung trực của đoạn AB tại I. Đ ờng tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đờng thẳng d tại C và D (D nằm trong góc BOM). Chứng minh rằng a) Các tia OC, OD là các tia phân giác của các góc AOM, BOM. AMB b) CA và DB vuông góc với AB c) đồng dạng COD d) AC.BD = R2 Bài 66: Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB và một điểm M bất kỳ trên đ- ờng tròn. Gọi các điểm chính giữa của các cung AM , MB lần lợt là H, I . Cãc dây AM và HI cắt nhau tại K . a) Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi b) Hạ    . Chứng minh IP là tiếp tuyến của (O; R) c) Gọi Q là trung điểm của dây MB. Vẽ hình bình hành APQS. Chứng minh S thuộc đờng tròn (O; R) d) CMR khi M di động thì thì đờng thẳng HI luôn luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định.