Hướng dẫn giải bài toán lớp 9 - Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Chia sẻ: Lê Huyền Trang | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

100
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung của tài liệu trình bày các bài toán và phương pháp giải toán hệ thức lượng trong tam giác vuông, hệ thức về cạnh và đường cao. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh, phục vụ công tác ôn luyện củng cố kiến thức môn Toán lớp 9.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hướng dẫn giải bài toán lớp 9 - Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

CHƯƠNG 1 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Hệ thức về cạnh và đường cao KIẾN THỨC CƠ BẢN Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ngoài việc nắm vững các kiến thức về định lý Talet, về các trường hợp đồng dạng của tam giác, cần phải nắm vững các kiến thức sau: Tam giác A BC vuông tại A , đường cao A H , ta có: A 1) a 2 = b2 + c 2 . 2) b2 = a.b '; c 2 = a .c ' b c h 3) h 2 = b '.c ' H b' 4) a .h = b.c . B c' C a 1 1 1 5) 2 = 2 + 2 . h b c b ' b2 6) = 2 . Chú ý: Diện a a 1 tích tam giác vuông: S = ab 2 Ví dụ 1. Cho tam giác A BC vuông tại A , đường cao A H . Biết A B : A C = 3 : 4 và A B + A C = 21cm . a) Tính các cạnh của tam giác A BC . b) Tính độ dài các đoạn A H , BH ,CH . A Giải: a). Theo giả thiết: A B : A C = 3 : 4 , B H C AB AC AB +AC suy ra = = = 3 . Do đó A B = 3.3 = 9 ( cm ) ; A C = 3.4 = 12 ( cm ) . 3 4 3+4 Tam giác A BC vuông tại A , theo định lý Pythagore ta có: BC 2 = A B 2 + A C 2 = 92 + 122 = 225 , suy ra BC = 15cm .
A B .A C 9.12 b) Tam giác A BC vuông tại A , ta có A H .BC = A B .A C , suy ra A H = = = 7, 2 ( cm ) . BC 15 A H 2 = BH .HC . Đặt BH = x ( 0 < x < 9) thì HC = 15 - x , ta có: 2 ( 7, 2) = x ( 15 - x ) ￛ x - 15x + 51, 84 = 0 ￛ x ( x - 5, 4) = 9, 6 ( x - 5, 4) = 0 2 ￛ ( x - 5, 4) ( x - 9, 6) = 0 ￛ x = 5, 4 hoặc x = 9, 6 (loại) Vậy BH = 5, 4cm . Từ đó HC = BC - BH = 9, 6 ( cm ) . Chú ý: Có thể tính BH như sau: AB2 92 A B = BH .BC suy ra BH = 2 = = 5, 4 ( cm ) . BC 15 Ví dụ 2: Cho tam giác cân A BC có đáy BC = 2a , cạnh bên bằng b(b > a) . a) Tính diện tích tam giác A BC AK b) Dựng BK ^ A C . Tính tỷ số . AC Giải: a). Gọi H là trung điểm của BC . Theo định lý Pitago ta có: A H 2 = A C 2 - HC 2 = b2 - a 2 A 1 1 Suy ra S A BC = BC .A H = a b2 - a 2 2 2 K ￛ A H = b2 - a 2 1 1 b). Ta có BC .A H = BK .A C = S A BC B H C 2 2 BC .A H 2a 2 Suy ra BK = = b - a 2 . Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông A KB ta có: AC b 2 4a 2 2 b2 - 2a 2 ( ) . Suy ra A K = b2 - 2a 2 do đó 2 2 2 2 b 2 A K = A B - BK = b - 2 b - a = b2 ( ) b AK b2 - 2a 2 = . AC b2
Ví dụ 3: Cho tam giác A BC với các đỉnh A , B ,C và các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng là: a, b, c . a) Tính diện tích tam giác A BC theo a b) Chứng minh: a 2 + b2 + c 2 ￛ 4 3S Giải: A a). Ta giả sử góc A là góc lớn nhất của tam giác A BC ￛ B ,C là các góc nhọn. Suy ra chân đường cao hạ từ A lên BC là điểm B H C H thuộc cạnh BC . Ta có: B C = BH + HC . Áp dụng định lý Pi ta go cho các tam giác vuông A HB , A HC ta có: A B 2 = A H 2 + HB 2 , A C 2 = A H 2 + HC 2 Trừ hai đẳng thức trên ta có: 2 2 c 2 - b2 = HB 2 - HC 2 = ( HB + HC ) ( HB - HC ) = a . ( HB - HC ) ￛ HB - HC = c - b ta cũng a a 2 + c 2 - b2 có: HB + HC = a ￛ BH = . Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông 2a ￛ a 2 + c 2 - b2 ￛￛ2 ￛ a 2 + c 2 - b2 ￛￛￛￛ a 2 + c 2 - b2 ￛￛ A HB ￛ A H = c - ￛￛￛ 2 2 ￛￛ = ￛￛc - ￛￛￛc + ￛￛￛￛ 2a ￛￛￛￛￛ 2a ￛￛￛￛￛ 2a ￛￛￛ 2￹ ￛ2 ￹ 2 2ￛￛ( a + c ) - b ￺ ￛb - ( a - c ) ￛ￺ ( a + b + c ) ( a + c - b) ( b + a - c ) ( b + c - a ) =ￛ ￺ .ￛￛ￺ = Đặt 2p = a + b + c ￛ 2a ￺ ￛ 2a ￛ￺ 4a 2 ￛￛ ￺￻ ￛￛￛￛ￺￻ 16p ( p - a ) ( p - b) ( p - c ) p ( p - a ) ( p - b) ( p - c ) thì A H 2 = ￛ AH = 2 . Từ đó tính được 4a 2 a 1 S = BC .A H = p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c ) 2
b). Từ câu a ) ta có: S = p ( p - a ) ( p - b) ( p - c ) . Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 3 ￛ p - a + p - b + p - c ￛￛ p3 p3 p2 ￛ ( p - a ) ( p - b) ( p - c ) ￛￛￛￛ = 27 . Suy ra S ￛￛ p. 27 = . Hay ￛ 3 ￛￛ 3 3 2 ( a + b + c) 2 S ￛ ( ) . Mặt khác ta dễ chứng minh được: ( a + b + c ) ￛ 3 a 2 + b2 + c 2 suy ra 12 3 S ￛ ( 3 a 2 + b2 + c 2 ) ￛ a 2 + b2 + c 2 ￛ 4 3S 12 3 Dấu bằng xảy ra hki và chỉ khi tam giác A BC đều. Ví dụ 4. Cho tam giác nhọn A BC đường cao CK ; H là trực tâm của tam giác. Gọi M là một điểm trên CK sao cho A ? MB = 900 . S , S 1, S 2 theo thứ tự là diện tích các tam giác A MB , A BC và A BH . Chứng minh rằng S = S 1.S 2 . Giải: A D Tam giác A MB vuông tại M có M MK ^ A B nên MK 2 = A K .BK (1). H D A HK : D CBK vì có B C K A? KH = CKB ? ? H = KCB = 900 ; KA ? AK HK (cùng phụ với A? BC ). Suy ra = , do đó A K .KB = CK .KH (2) CK BK Từ (1) và (2) suy ra MK 2 = CK .HK nên MK = CK .HK ; 1 1 1 1 S A MB = .A B .MK = A B . CK .HK = A B .CK . A B .HK = S 1S 2 . 2 2 2 2 Vậy S = S 1.S 2 . Ví dụ 5. Cho hình thang A BCD có A? = D ? = 900 , B? = 600 , CD = 30cm , CA ^ CB . Tính diện tích của hình thang. Giải:
? D = A? BC = 600 (cùng phụ với CA Ta có CA ? B ), vì thế trong tam giác vuông A CD ta có A C = 2A D . 2 Theo định lý Pythagore thì: A C 2 = A D 2 + DC 2 hay ( 2A D ) = A D 2 + 302 Suy ra 3A D 2 = 900 ￛ A D 2 = 300 nên A D = 10 3 ( cm ) . Kẻ CH ^ A B . Tứ giác A HCD là hình chữ nhật vì có A? = D ? =H ? = 900 , suy ra A H = CD = 30cm ;CH = A D = 10 3 ( cm ) . 2 Tam giác A CB vuông tại C , ta có: CH 2 = HA .HB , suy ra HB = CH = 2 ( 10 3 ) = 300 = 10 ( cm ) , HA 30 30 do đó A B = A H + HB = 30 + 10 = 40 ( cm ) . 1 1 S A BCD = CH ( A B + CD ) .10 3. ( 40 + 30) = 350 3 cm 2 . 2 2 ( ) Vậy diện tích hình thang A BCD bằng 350 3cm 2 . Tỉ số lượng giác của góc nhọn KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn a (hình) được định nghĩa như sau: AB AC AB AC sin a = ; cos a = ; t an a = ; cot a = BC BC AC B AB + Nếu a là một góc nhọn thì Cạnh huyền Cạnh đối 0 < sin a < 1; 0 < cos a < 1; α t an a > 0; cot a > 0 A Cạnh kề C 2. Với hai góc a, b mà a + b = 900 , ta có: sin a = cos b; cos a = sin b; t an a = cot b; cot a = t an b . Nếu hai góc nhọn a và b có sin a = sin b hoặc cos a = cos b thì a = b . 3. sin 2 a + cos2 a = 1; tga. cot ga = 1 .
4. Với một số góc đặc biệt ta có: sin 300 = cos 600 = 1 ; sin 450 = cos 450 = 2 2 2 3 1 cos 300 = sin 600 = ; cot 600 = t an 300 = t an 450 = cot 450 = 1; cot 300 = t an 600 = 3 . 2 3 5 Ví dụ 1. Biết sin a = . Tính cos a, t an a và cot a . 13 Giải: C Cách 1. Xét D A BC vuông tại A . AC 5 Đặt B? = a . Ta có: sin a = = BC 13 A α B AC BC suy ra = = k , do đó 5 13 A C = 5k , BC = 13k . Tam giác A BC vuông tại A nên: 2 2 A B 2 = BC 2 - A C 2 = ( 13k ) - ( 5k ) = 144k 2 , suy ra A B = 12k . AB 12k 12 AC 5k 5 AB 12k 12 Vậy cos a = = = ; t an a = = = ; cot a = = = BC 13k 13 AB 12k 12 AC 5k 5 5 25 Cách 2. Ta có sin a = suy ra sin 2 a = , mà sin 2 a + cos2 a = 1 , do đó 13 169 25 144 12 cos2 a = 1 - sin 2 a = 1 - = , suy ra cos a = . 169 169 13 sin a 5 12 5 13 5 cos a 12 5 12 13 12 t an a = = : = . = ; cot a = = : = . = . cos a 13 13 13 12 12 sin a 13 13 13 5 5 Ở cách giải thứ nhất ta biểu thị độ dài các cạnh của tam giác A BC theo đại lượng k rồi sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính cos a, t an a, cot a . Ở cách giải thứ hai, ta sử dụng 5 giả thiết sin a = để tính sin 2 a rồi tính cos a từ sin 2 a + cos2 a = 1 . Sau đó ta tính t an a và 13 cot a qua sin a và cos a . Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn A BC hai đường cao A D và BE cắt nhau tại H . Biết HD : HA = 1 : 2 . Chứng minh rằng tgB .tgC = 3 . A Giải: E H B C D
AD AD Ta có: tgB = ; tgC = . BD CD A D2 Suy ra t an B . t an C = (1) BD .CD ? HBD ? D (cùng phụ với A = CA ? CB ); HDB ? = A? DC = 900 . DH BD Do đó D BDH : D A DC (g.g), suy ra = , do đó BD .DC = DH .A D (2). Từ (1) và (2) suy ra DC AD A D2 AD HD 1 HD 1 t an B . t an C = = (3). Theo giả thiết = suy ra = hay DH .A D DH AH 2 A H + HD 2 +1 HD 1 3HD = , suy ra A D = 3HD . Thay vào (3) ta được: t an B . t an C = =3. AD 3 DH 12 Ví dụ 3. Biết sin a. cos a = . Tính sin a, cos a . 25 Giải: 12 Biết sin a. cos a = . Để tính sin a, cos a ta cần tính sin a + cos a rồi giải phương trình với ẩn là 25 sin a hoặc cos a . 2 12 49 7 Ta có: ( sin a + cos a ) = sin 2 a + cos2 a + 2 sin a. cos a = 1 + 2. = . Suy ra sin a + cos a = 25 25 5 7 ￛ7 ￛￛ 12 7 12 nên sin a = - cos a . Từ đó ta có: cos a ￛￛￛ - cos a ￛￛ = ￛ cos a - cos2 a = 5 ￛ5 ￛￛ 25 5 25 ￛ 25 cos2 a - 35 cos a + 12 = 0 ￛ 5 cos a ( 5 cos a - 4) - 3 ( 5 cos a - 4) = 0 ￛ ( 5 cos a - 4) ( 5 cos a - 3) = 0 . Suy ra cos a = 4 hoặc cos a = 3 . 5 5 4 12 4 3 + Nếu cos a = thì sin a = : = . 5 25 5 5 3 12 3 4 + Nếu cos a = thì sin a = : = . 5 25 5 5 3 4 4 3 Vậy sin a = , cos a = hoặc sin a = , cos a = . 5 5 5 5 Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cos in góc kề. b) Cạnh góc vuông kia nhân với t an của góc đối hay nhân với cot của góc kề. b = a . sin B = a cos C ; c = a. sin C = a . cos B ;b = c.tgB = c. cot gC ; c = b.tgC = b. cot gC 2. Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và các góc chưa biết của tam giác vuông đó. Ví dụ 1. Cho tam giác A BC có A B = 16, A C = 14 và B? = 600 . a) Tính độ dài cạnh BC b) Tính diện tích tam giác A BC . Giải: A a). Kẻ đường cao A H . 1 Xét tam giác vuông A BH , ta có: BH = A B . cos B = A B . cos 600 = 16. =8 B 600 2 C H 3 A H = A B . sin B = A B . sin 600 = 16. = 8 3 . Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông 2 A HC ta có: 2 HC 2 = A C 2 - A H 2 = 142 - 8 3 ( ) = 196 - 192 = 4 . Suy ra HC = 2 . Vậy BC = CH + HB = 2 + 8 = 10 . 1 1 b) Cách 1. S A BC = BC .A H = .10.8 3 = 40 3 (đvdt) 2 2 Cách 2. S 1 1 3 A BC = BC .BA . sin B = .10.16. = 40 3 (đvdt) 2 2 2 Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác A BC biết A? BC = 450 , A ? CB = 600 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác A BC là R . Giải: A Giả thiết có các góc có số đo đặc biệt , nhưng tam giác A BC là tam giác thường nên ta sẽ tạo ra tam giác vuông bằng cách. Dựng các đường 600 450 C H B thẳng qua C , B lần lượt vuông góc với D
A C , A B . Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng trên. Khi đó tam giác A BD và A CD là các tam giác vuông và 4 điểm A , B ,C , D cùng nằm trên đường tròn đường kính A D = 2R . Ta có: A B = A D . sin 600 = A D . 3 = R 3 . Kẻ đường cao A H suy ra H ￛ BC .Tức là: 2 BC = BH + CH . Tam giác A HB vuông góc tại H nên AB 2 3 2 R 6 . Mặt khác tam giác A H = BH = A B . sin 450 = = AD . = A CH vuông tại H 2 2 2 2 2 2 2 nên A C = A H + CH ￛ CH = R ￛ BC = ( R 1+ 2 ) . Từ đó tính được diện tích 2 2 S = ( R2 3 + 3 ). 4 Ví dụ 3: Cho tam giác A BC với các đỉnh A , B ,C và các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng là: a, b, c . Chứng minh rằng: a) a 2 = b2 + c 2 - 2bc cos A b) Gọi D là chân đường phân giác trong góc A . Chứng minh: ￛA ￛ 2bc. cos ￛￛￛￛￛￛￛ 2 ￛￛ AD = b +c Giải: B a). Dựng đường cao BH của tam giác c a ABC ta có: Cách 1: Giả sử H thuộc cạnh A C . A C H b Ta có: A C = A H + HC . Áp dụng định lý Pi ta go cho các tam giác vuông A HB , BHC ta có: A B 2 = A H 2 + HB 2 , BC 2 = BH 2 + HC 2 Trừ hai đẳng thức trên ta có:
2 2 c 2 - a 2 = HA 2 - HC 2 = ( HA + HC ) ( HA - HC ) = b. ( HA - HC ) ￛ HA - HC = c - a ta cũng có: b b2 + c 2 - a 2 HA + HC = b ￛ A H = . Xét tam giác vuông A HB ta có: 2b AH b2 + c 2 - a 2 cos A = = ￛ a 2 = b2 + c 2 - 2bc cos A . AB 2bc Cách 2: Xét tam giác vuông CHB ta có: 2 BC 2 = BH 2 + HC 2 = BH 2 + ( A C - A H ) = BH 2 + A H 2 + A C 2 - 2A C .A H Ta có: A H = CB . cos A suy ra BC 2 = BH 2 + A H 2 + A C 2 - 2A C .CB . cos A hay ￛ BC 2 = BA 2 + +A C 2 - 2A C .CB . cos A ￛ a 2 = b2 + c 2 - 2bc cos A b). Để chứng minh bài toán ta cần kết quả sau: + sin 2a = 2 sin a. cos a 1 + S = ab sin C 2 *) Thật vậy xét tam giác vuông A BC , A? = 900 , gọi M là trung điểm của BC , dựng đường cao A H . ? CB = a ￛ A? MB = 2a . Đặt A A AH h Ta có sin a = sin C = = AC b b h AC b cos a = cosC = = B H 2α M α C BC a AH h 2h sin 2a = sin A? MH = = = AM a a . Từ đó ta 2 suy ra: sin 2a = 2 sin a. cos a . *) Xét tam giác A BC . Dựng đường cao BE ta có: A 1 1 E S A BC = BE .A C = BE .b (1) 2 2 Mặt khác trong tam giác vuông A EB BE ta có: sin A = ￛ BE = c. sin A B C AB thay vào (1)
1 Ta có: S = ab sin C 2 Trở lại bài toán: A 1 1 ￛA ￛ Ta có S A BD = A D .A B sin A1 = A D .c. sin ￛￛￛￛￛ 1 2 2 2 ￛￛ 2 ￛￛ b c 1 1 ￛA ￛ S A CD = A D .A C sin A 2 = A D .b. sin ￛￛￛￛￛ 2 2 ￛￛ 2 ￛￛ B D C Suy ra S A BC = S A CD + S A BD = 1 ￛA ￛ 1 = A D sin ￛￛￛￛￛￛￛￛc + b￹￻￺ . Mặt khác S A BC = bc sin A ￛ 2 ￛ 2 ￛￛ 2 A ￛA ￛ 2bc cos bc sin A 2 A D sin ￛￛￛￛￛￛￛￛc + b￹￻￺ = bc sin A ￛ A D = = ￛ 2 ￛￛￛ A ￛￛ c +b ( b + c ) sin ￛￛￛￛ 2 ￛￛￛￛ Chú ý rằng: Ta chứng minh được kết quả sau: cos 2a = 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sin 2 a . Thật vậy xét tam giác vuông A BC , A? = 900 , gọi M là trung điểm của BC , dựng đường cao A H . ? CB = a ￛ A? MB = 2a . Đặt A A AC b AB c Ta có : cos a = cos C = = sin a = sin C = = , BC a c b BC a A M 2 + MB 2 - A B 2 cos 2a = cos A? MH = 2α 2A M .MB B a M α C 2 2 a a + - c2 ￛ c ￛￛ 2 ￛ b ￛￛ 2 4 4 a 2 - 2c 2 ￛ a 2 - b2 ￛ = = = 1 - 2 ￛￛￛￛ = 1 - 2. = 2 ￛￛￛ - 1 . Từ đó suy ra a a a2 ￛa ￛￛ a2 ￛￛ a ￛￛ 2 . 2 2 cos 2a = 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sin 2 a ￛ 2 A ￛ Áp dụng a = b + c - 2bc cos A ￛ a = b + c - 2bc ￛￛ2 cos 2 2 2 2 2 2 - 1ￛￛￛ . ￛￛ 2 ￛￛ 2 A b2 + c 2 - a 2 2 2 A ( b + c ) - a 2 . Thay vào công thức đường phân giác ta có: ￛ 2 cos = + 1 ￛ cos = 2 2bc 2 4bc
2 A 2bc (b + c) - a2 2bc cos bc (b + c - a) (b + c + a) . Áp dụng bất đẳng thức Cô si AD = 2 = 4bc = c +b b +c b +c ta có: bc ￛ b + c ￛ A D ￛ (b + c - a) (b + c + a) = p( p - a ) với 2p = a + b + c . 2 2 Áp dụng công thức: a 2 = b2 + c 2 - 2bc cos A . Ta cũng chứng minh được hệ thức rất quan trọng trong hình học phẳng ( Định lý Stewart) đó là: ‘’Cho điểm D nằm trên cạnh BC của tam giác A BC khi đó ta có: ( A B 2 .CD + A C 2 .BD = BC A B 2 + BD .DC ’’ ) A + Thật vậy :Ta giả kẻ A H ^ BC không mất tính tổng quát, ta giả sử D nằm trong đoạn B H D C HC . Khi đó ta có: A B 2 = A D 2 + BD 2 - 2A D .BD . cos A? DB = A D 2 + BD 2 - 2DB .DH (1) Tương tự ta có: A C 2 = A D 2 + DC 2 + 2DH .DC (2). Nhân đẳng thức (1) với DC đẳng thức (2) với BD rồi cộng lại theo vế ta có: ( A B 2 .CD + A C 2 .BD = BC A B 2 + BD .DC ) Ví dụ 3. Không dùng máy tính và bảng số hãy chứng minh rằng 6+ 2. sin 750 = 4 Giải: A Vẽ tam giác A BC vuông tại A với BC = 2a ( a là một độ dài tùy ý) B H I C , C? = 150 , suy ra B? = 750 . Gọi I là trung điểm của BC , ta có
IA = IB = IC = a . Vì A? IB là góc ngoài tại đỉnh I của tam giác cân IA C nên A? IB = 2C? = 300 . a Kẻ A H ^ BC thì IH = A I . cos 300 = a 3 ; A H = A I . cos 300 = ; 2 2 CH = CI + IH = a + a 3 a 2+ 3 . = ( ) 2 2 Tam giác A HC vuông tại H , theo định lý Pythagore, ta có: 2 2 2 2 ( a2 2 + 3 ) a2 ( a2 4 + 4 3 + 3 + 1 = ) 4a 2 2 + 3 ( ) = a 2 2 + 3 , suy ( ) A C = CH + A H = + = 4 4 4 4 AC a 2+ 3 2+ 3 4 +2 3 ra A C = a 2 + 3 . sin 750 = sin B = = = = BC 2a 2 2 2 2 = ( 3 +1 ) = 3 +1 = 2 ( 3 +1 )= 6 + 2 . Vậy 2 2 2 2 2 2. 2 4 6+ 2. sin 750 = 4