Không gian Hilbert- ôn thi cao học

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

388
lượt xem 145
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong toán học, không gian Hilbert là một dạng tổng quát hóa của không gian Euclid mà không bị giới hạn về vấn đề hữu hạn chiều. Đó là một không gian có tích vô hướng, nghĩa là trong đó có khái niệm về khoảng cách và góc (đặc biệt là khái niệm trực giao hay vuông góc). Hơn nữa, nó thỏa mãn một yêu cầu nữa là tính đầy đủ để chắc chắn rằng giới hạn là tồn tại khi cần, làm các định nghĩa khác nhau trong tính toán vi tích phân dễ dàng hơn. Các không...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Không gian Hilbert- ôn thi cao học

GI I TÍCH (CƠ S ) Chuyên ngành: Gi i Tích, PPDH Toán Ph n 2. Không gian đ nh chu n Ánh x tuy n tính liên t c §3. Không gian Hilbert (Phiên b n đã ch nh s a) PGS TS Nguy n Bích Huy Ngày 1 tháng 3 năm 2006 I. Ph n lý thuy t 1 Tích vô hư ng, không gian Hilbert 1.1 Đ nh nghĩa Đ nh nghĩa 1 1. Cho không gian vectơ X trên trư ng s K(K = R ho c K = C).M t ánh x t X × X vào K, (x, y) → x, y đư c g i là m t tích vô hư ng trên X n u nó th a mãn các đi u ki n sau: (a) x, x ≥ 0 ∀x ∈ X x, x = 0 ⇔ x = θ (b) y, x = x, y ( y, x = x, y n u K = R), ∀x, y ∈ X (c) x + x , y = x, y + x , y ∀x, x , y ∈ X (d) λx, y = λ x, y ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ K 1
T các tính ch t i) - iv) ta cũng có: x, y + y = x, y + x, y , x, λy = λ x, y 2. N u ., . là m t tích vô hư ng trên X thì ánh x x → x, x là m t chu n trên X, g i là chu n sinh b i tích vô hư ng. 3. N u ., . là tích vô hư ng trên X thì c p(X, ., . ) g i là m t không gian ti n Hilbert (hay không gian Unita, không gian v i tích vô hư ng). S h i t , khái ni m t p m ,...,trong (X, ., . ) luôn đư c g n v i chu n sinh b i ., . . N u không gian đ nh chu n tương ng đ y đ thì ta nói (X, ., . ) là không gian Hilbert. 1.2 Các tính ch t 1. B t đ ng th c Cauchy - Schwartz: | x, y | ≤ x . y 2. x + y 2 + x − y 2 = 2( x 2 + y 2) (đ ng th c bình hành). 3. N u lim xn = a, lim yn = b thì lim xn, yn = a, b Ví d 1 1. Trong C[a, b] các hàm th c liên t c trên [a, b] thì ánh x b (x, y) → x, y = x(t)y(t)dt a là m t tích vô hư ng. Không gian (C[a, b], ., . ) không là không gian Hilbert.(xây d ng ví d tương t ph n không gian met- ric) 2. Trong l2, v i x = {λk }, y = {αk }, ta đ nh nghĩa ∞ x, y = λk αk k=1 thì ., . là tích vô hư ng, (l2, ., . ) là không gian Hilbert. 2
2 S tr c giao 2.1 Đ nh nghĩa Đ nh nghĩa 2 Cho không gian v i tích vô hư ng (X, ., . ) và x, y ∈ X, φ = M ⊂ X. 1. Ta nói x tr c giao v i y (vi t x⊥y) n u x, y 2. N u x⊥y ∀y ∈ M thì ta vi t x⊥M . Ta ký hi u M ⊥ = {x ∈ X : x ⊥ M } . 2.2 Các tính ch t 1. N u x ⊥ M thì x ⊥ M ( M ch không gian con sinh b i M) 2. N u x ⊥ yn ∀n ∈ N∗ và lim yn = y thì x ⊥ y. Suy ra n u x ⊥ M thì cũng có x ⊥ M . 3. M ⊥ là m t không gian con đóng. 4. N u x1, . . . , xn đôi n t tr c giao thì 2 2 x1 + . . . + xn = x1 + . . . + xn 2(đ ng th c Pythagore) Đ nh lý 1 (v phân tích tr c giao) N u M là m t không gian con đóng c a không gian Hilbert (X, ., . ) thì m i x ∈ X có duy nh t phân tích d ng x = y + z, y ∈ M, z ∈ M ⊥ (1) Ph n t y trong (1) g i là hình chi u tr c giao c a x lên M và có tính ch t x − y = inf x − y . y ∈M 3
3 H tr c chu n. Chu i Fourier 3.1 Đ nh nghĩa Cho không gian Hilbert (X, ., . ) 1. H {e1, e2, . . .} ⊂ X g i là m t h tr c chu n n u 0 n ui=j ei, ej = 1 n ui=j Như v y, {en} là h tr c chu n n u en = 1 ∀n ∈ N∗ và ei ⊥ ej (i = j). 2. H tr c chu n {en} g i là đ y đ , n u nó có tính ch t sau: (x ⊥ en ∀n = 1, 2, . . .) ⇒ x = θ. 3. N u {en} là h tr c chu n thì chu i ∞ x, en · en g i là chu i n=1 Fourier c a ph n t x theo h chu n {en}. Đ nh lý 2 Cho {en} là h tr c chu n trong không gian Hilbert (X, ., . ) và {λn} là m t dãy s . Ta xét chu i ∞ λnen (2) n=1 Ta có: ∞ 2 1. Chu i (2) h i t khi và ch khi n=1 |λn | < ∞. 2. Gi s chu i (2) h i t và có t ng x thì ∞ x 2 = |λn|2, x, en = λn ∀n ∈ N∗ n=1 4
Đ nh lý 3 Chu i Fourier c a m i ph n t x ∈ X theo h tr c chu n {en} là h i t và ta có ∞ | x, en |2 ≤ x2 (b t d ng th c Bessel). n=1 Ý nghĩa c a h tr c chu n đ y đ đư c làm rõ trong đ nh lý sau. Đ nh lý 4 Cho {en} là h tr c chu n. Các m nh đ sau là tương đương: 1. H {en} đ y đ 2. ∞ x= x, en en, ∀x ∈ X. n=1 3. ∞ 2 x = | x, en |2 ∀x ∈ X (đ ng th c Parseval) n=1 II. Ph n Bài t p ∞ Bài t p 1 Trong không gian l1 các dãy s th c x = {λk }, k=1 |λk | < ∞ ta đ nh nghĩa ∞ x, y = λk · αk , x = {λk } ∈ l1, y = {αk } ∈ l1 k=1 1. Ch ng minh ., . là m t tích vô hư ng trên l1. 2. (l1, ., . ) không là không gian Hilbert. Gi i 5
1. Trư c tiên ta c n ki m tra x, y xác đ nh ∀x, y ∈ l1. Th t v y, vì lim αk = 0 nên {αk } b ch n: ∃M ∈ R, |αk | ≤ M ∀k ∈ N∗. Do đó ∞ ∞ |λk αk | ≤ M |λk | < ∞ k=1 k=1 và chu i đ nh nghĩa x, y h i t . Các đi u ki n c a tích vô hư ng d dàng ki m tra. 1 2. Chu n sinh b i ., . s là x = ( ∞ λ2 ) 2 , x = {λk }. k=1 k 1 1 Xét dãy {xn} ⊂ l1 v i xn = {1, 2 , . . . , n , 0, 0, . . .}. • Ta có {xn} là dãy Cauchy vì v i n > m: 1 1 xn − xm = {0, . . . , 0, , . . . , , 0, 0, . . .} m+1 n n 1 1 ⇒ xn − xm = ( 2 ) 2 −→ 0 (khi n, m → ∞) k k=m+1 • Ta ch ng minh {xn} không h i t . Gi s trái l i t n t i a = {αk } ∈ l1 sao cho lim xn − a = 0. C đ nh k ∈ N∗, khi n ≥ k, ta có 1 | − αk | ≤ xn − a k T đây ta có αk = k 1 ∀k ∈ N∗, vô lý vì dãy { k }k ∈ l1. 1 / V y l1 v i tích vô hư ng trên không là không gian Hilbert. Bài t p 2 Cho không gian Hilbert X và X0 là không gian con đóng c a X, A : X0 → Y là ánh x tuy n tính liên t c(Y là m t không gian đ nh chu n). Ch ng minh t n t i ánh x tuy n tính liên t c B : X → Y sao cho B(x) = A(x) ∀x ∈ X0, B = A 6
Gi i • Ta đ nh nghĩa ánh x A như sau. Theo đ nh lý v phân tích tr c giao, m i x ∈ X có duy nh t phân tích ⊥ x = y + z, y ∈ X0, z ∈ X0 (3) và ta đ t B(x) := A(y). Vì phân tích d ng (3) c a x ∈ X0 là x = x + θ nên ta có ngay B(x) = A(x) ∀x ∈ X0 • Ta ki m tra B là tuy n tính: v i x, x ∈ X, α, α ∈ K ta vi t phân tích (3) và ⊥ x =y +z, y ∈ X0, z ∈ X0 Khi đó: αx + α x = (αy + α y ) + (αz + α z ) ∈X0 ⊥ ∈X0 ⇒ B(αx + α x ) = A(αy + α y ) = αA(y) + α A(y ) = αB(x) + α B(x ). • Ti p theo ta ch ng minh B liên t c và B = A . T (3) và đ nh lý Pythagore ta có x 2 = y 2 + z 2, do đó: B(x) = A(y) ≤ A · y (Do A liên t c) ⇒ B(x) ≤ A · x , ∀x ∈ X V y B liên t c và B ≤ A . M t khác ta có: B = supx∈X, x =1 B(x) ≥ supx∈X0, x =1 B(x) = supx∈X0, x =1 A(x) = A Vy B = A . 7
Bài t p 3 Cho h tr c chu n {en} trong không gian Hilbert X. Xét dãy ánh x Pn :X −→ X n Pn(x) = x, ek ek , x ∈ X, n ∈ N∗. k=1 1. Ch ng minh Pn(x) là hình chi u tr c giao c a x lên Xn := e1, . . . , en . 2. Gi s h {en} đ y đ . Ch ng minh limn→∞ ||Pn(x)−I(x)|| = 0 ∀x ∈ X nhưng ||Pn −I|| 0(I : X → X là ánh x đ ng nh t) Gi i 1. Ta có: x = Pn(x) + (x − Pn(x)), Pn(x) ∈ Xn. ⊥ Do đó ch còn ph i ch ng minh x − Pn(x) ∈ Xn hay x − Pn(x) ⊥ Xn. Vì Xn sinh b i {e1, . . . , en} nên ch c n ch ng minh x − Pn(x) ⊥ ei ∀i = 1, . . . , n.Th t v y: n x−Pn(x), ei = x, ei − x, ek ek , ei = x, ei − x, ei = 0 k=1 2. – Do đ ng th c Parseval, ta có ∀x ∈ X: ∞ n x= x, ek · ek = lim x, ek · ek = lim Pn(x) n→∞ n→∞ k=1 k=1 –Đ t ∞ Qn(x) = I(x)−Pn(x) = x, ek ·ek , x ∈ X, n = 1, 2 . . . k=n+1 8
Ta có Qn(x) tuy n tính và ∞ ||Qn(x)||2 = | x, ek |2 ≤ ||x||2 (bđt Bessel) k=n+1 ⇒ Qn liên t c, ||Qn|| ≤ 1 ||Qn (en+1 || M t khác, Qn(en+1) = en+1 và ||Qn|| ≥ ||en+1 || = 1 nên ta có ||Qn|| = 1 hay ||I − Pn|| = 1 Bài t p 4 Cho {en} là h tr c chu n trong không gian Hilbert X và {λn} là dãy s . 1. Gi s {λn} là dãy b ch n. Ch ng minh r ng ∞ A(x) = λn x, en · en x∈X (4) n=1 là ánh x tuy n tính liên t c t X vào X và ||A|| = supn∈N∗ |λn| 2. Gi s chu i trong (4) h i t ∀x ∈ X. Ch ng minh {λn} là dãy b ch n. Gi i 1. Đ t M = supn∈N∗ |λn| Đ u tiên ta ki m tra A xác đ nh hay ch ng minh chu i trong (4) h i t . Ta có ∞ ∞ |λn x, en |2 ≤ M 2 | x, en |2 ≤ M 2 · ||x||2 (5) n=1 n=1 nên theo đ nh lý 2, chu i trong (4) h i t . D ki m tra A là ánh x tuy n tính. T đ nh lý 2 và (5) ta có 9
∞ 2 ||A(x)|| = |λ x, en |2 ≤ M 2 · ||x||2 ∀x ∈ X n=1 ⇒ A liên t c, ||A|| ≤ M M c khác ta có: A(ek ) = λk ek và ||A(ek )|| ≤ ||A|| ∀k ∈ N∗ nên ||A|| ≥ |λk | ∀k ∈ N∗. Do đó ||A|| ≥ M . V y ||A|| = M đpcm. 2. T gi thi t và đ nh lý 2, ta có ∞ |λn|2 · | x, en |2 < ∞ ∀x ∈ X. (6) n=1 N u {λn} không b ch n thì ta tìm đư c dãy con {λnk }k sao cho |λnk | > k(k ∈ N∗). Ta có ∞ ∞ ∞ 1 1 1 ≤ ⇒ ∃a := en (theo đ nh lý 2) |λnk |2 k2 λn k k k=1 k=1 k=1 Ta có 1 λnk n u n = nk a, en = 0 n u n ∈ {n1, n2, . . .} / do đó: ∞ ∞ 1 |λn|2 · | a, en |2 = |λnk |2 · =∞ n=1 |λnk |2 k=1 Ta g p mâu thu n v i (6). 10