Kì thi thử đại học năm học 2010 -2011 môn toán - đề 8

Chia sẻ: Ngo Quang Do | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

77
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'kì thi thử đại học năm học 2010 -2011 môn toán - đề 8', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kì thi thử đại học năm học 2010 -2011 môn toán - đề 8

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2010-2011 Môn: Toán A. Thời gian: 180 phút ( Không kể giao đề). I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm). 2x + 4 Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = . 1− x 1) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số trên. 2) Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k. Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M, N và MN = 3 10 . Câu II (2 điểm): 1) Giải phương trình: sin 3 x − 3sin 2 x − cos 2 x + 3sin x + 3cos x − 2 = 0 .  x 2 + y 2 + xy + 1 = 4 y 2) Giải hệ phương trình:  .  y( x + y) = 2 x + 7 y + 2 2 2 π Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = 3sin x − 2 cos x dx 2 ∫ (sin x + cos x)3 0 Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện MNABCD biết SA=AB=a và góc hợp bởi đường thẳng AN và mp(ABCD) bằng 300 . Câu V (1 điểm): Cho các số dương a, b, c : ab + bc + ca = 3. 1 1 1 1 + + ≤ . Chứng minh rằng: 1 + a (b + c) 1 + b (c + a ) 1 + c (a + b) abc 2 2 2 II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)). 1. Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn (C ) : x 2 + y 2 – 2 x – 2 y + 1 = 0, (C ') : x 2 + y 2 + 4 x – 5 = 0 cùng đi qua M(1; 0). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C ), (C ') lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB. 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3). Câu VII.a (1 điểm): Khai triển đa thức: (1 − 3 x) = a0 + a1 x + a2 x + ... + a20 x . Tính tổng: S = a0 + 2 a1 + 3 a2 + ... + 21 a20 . 20 2 20 2. Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm H (1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B là K (0; 2) , trung điểm cạnh AB là M (3;1) . xyz == 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1 ) : và 112 x +1 y z −1 == (d 2 ) : . −2 1 1 Tìm tọa độ các điểm M thuộc (d1 ) và N thuộc (d 2 ) sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng ( P) : x – y + z + 2010 = 0 độ dài đoạn MN bằng 2.  2 log1− x (− xy − 2 x + y + 2) + log 2 + y ( x 2 − 2 x + 1) = 6  Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình  log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + 4) =1 
………………………………….....................HẾT…………………………………………………… Câu Phần Nội dung Điể m Làm đúng, đủ các bước theo Sơ đồ khảo sát hàm số cho điểm tối đa. I 1,0 (2,0) 1(1,0) 2(1,0) Từ giả thiết ta có: (d ) : y = k ( x − 1) + 1. Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình 0,25 sau có hai nghiệm ( x1 ; y1 ), ( x2 ; y2 ) phân biệt sao cho ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = 90(*) 2 2  2x + 4 kx 2 − (2k − 3) x + k + 3 = 0 = k ( x − 1) + 1  ( I ) . Ta có: ( I ) ⇔   −x +1 y = k ( x − 1) + 1   y = k ( x − 1) + 1  Dễ có (I) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 3 kx 2 − (2k − 3) x + k + 3 = 0(**) có hai nghiệm phân biệt. Khi đó dễ có được k ≠ 0, k < . 8 Ta biến đổi (*) trở thành: (1 + k ) ( x2 − x1 ) = 90⇔ (1 + k )[( x2 + x1 ) − 4 x2 x1 ] = 90(***) 2 2 2 2 2k − 3 k +3 Theo định lí Viet cho (**) ta có: x1 + x2 = , x1 x2 = , thế vào (***) ta có 0,5 k k phương trình: 8k 3 + 27k 2 + 8k − 3 = 0 ⇔ (k + 3)(8k 2 + 3k − 1) = 0 −3 + 41 −3 − 41 ⇔ k = −3, k = , k= . 16 16 0,25 KL: Vậy có 3 giá trị của k thoả mãn như trên. Phần Nội dung Điể Câu m sin 3 x − 3sin 2 x − cos 2 x + 3sin x + 3cos x − 2 = 0 ⇔ II (sin 3 x + sin x) + 2sin x − 3sin 2 x − (cos 2 x + 2 − 3cos x) = 0 (2,0) 1(1,0) 0,25 ⇔ 2sin 2 x.cos x + 2sin x − 6.sin .cos x − (2 cos 2 x − 3cos x + 1) = 0 ⇔ 2sin x.cos 2 x + 2sin x − 6.sin .cos x − (2 cos 2 x − 3cos x + 1) = 0  1  sin x = 2  0,25 ⇔ (2sin x − 1)(2 cos 2 x − 3cos x + 1) = 0 ⇔  cos x = 1  1 cos x =  2 π   x = 6 + k 2π 1 +) sin x = ⇔  , (k ∈ Z ).  x = 5π + k 2π 2   6 π   x = 3 + k 2π 1 +) cos x = ⇔  , (k ∈ Z ).  x = − π + k 2π 2   3 0,25 +) cos x = 1 ⇔ x = k 2π , (k ∈ Z ). KL:Vậy phương trình có 5 họ nghiệm như trên. 0,25
2(1,0)  x2 + 1 +x+ y = 4   x 2 + y 2 + xy + 1 = 4 y y  Dễ thấy y ≠ 0 , ta có:  ⇔ 0,25 .  y( x + y) = 2 x + 7 y + 2 2 2 ( x + y ) 2 − 2 x + 1 = 7 2  y   u+v = 4  u = 4−v  v = 3, u = 1 x2 + 1 ⇔ 2 ⇔ 0,25 Đặ t u = , v = x + y ta có hệ:  2 v − 2u = 7 v + 2v − 15 = 0  v = −5, u = 9 y +) Với v = 3, u = 1 ta có hệ:  x = 1, y = 2  x2 + 1 = y  x2 + 1 = y  x2 + x − 2 = 0 ⇔ ⇔ ⇔  0,25 .  x = −2, y = 5 x+ y =3  y = 3− x  y = 3− x  x2 + 1 = 9 y  x2 + 1 = 9 y  x 2 + 9 x + 46 = 0 +) Với v = −5, u = 9 ta có hệ:  ⇔ ⇔ , hệ  x + y = −5  y = −5 − x  y = −5 − x này vô nghiệm. KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( x; y ) = {(1; 2), (−2; 5)}. 0,25 Câu Phần Nội dung Điể m π π π III 0,25 Đặ t x = − t ⇒ dx = −dt , x = 0 ⇒ t = , x = ⇒ t = 0. (1,0) 2 2 2 π π π Suy ra: I = 3sin x − 2 cos x dx = 3cos t − 2sin t dt = 3cos x − 2sin x dx (Do tích phân 2 2 2 ∫ (sin x + cos x)3 ∫ (cos t + sin t )3 ∫ (cos x + sin x)3 0,25 0 0 0 không phụ thuộc vào kí hiệu cảu biến số). π π π Suy ra: 2 I = I + I = 3sin x − 2 cos x dx + 3cos x − 2sin x dx = 2 2 2 1 ∫ (sin x + cos x)3 ∫ (cos x + sin x)3 ∫ (sin x + cos x) 2 dx = 0 0 0 π π ππ π 1 2 2   1 1 1 d  x − ÷ = tan  x − ÷ 2 = 1 . KL: Vậy I = 1 . 0,5 =∫ dx = ∫ π π 0 2 cos 2  x −  cos 2  x − ÷  4 2  4 0 20 2  ÷  4  4 Câu Phần Nội dung Điể m + Trong mp(SAC) kẻ AG cắt SC tại M, trong mp(SBD) kẻ BG cắt SD tại N. IV + Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên dễ có (1,0) S SG 2 = suy ra G cũng là trọng tâm tam giác SBD. SO 3 0,25 Từ đó suy ra M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD. N 1 1 + Dễ có: VS . ABD = VS . BCD = VS . ABCD = V . 2 2 Theo công thức tỷ số thể tích ta có: M G VS . ABN SA SB SN 11 1 D = = 1.1. = ⇒ VS . ABN = V .. A VS . ABD SA SB SD 22 4 VS . BMN SB SM SN 11 1 1 = = 1. . = ⇒ VS . ABN = V . . O VS . BCD SB SC SD 22 4 8 Từ đó suy ra: C B 0,25
3 VS . ABMN = VS . ABN + VS . BMN = V . 8 1 + Ta có: V = SA.dt ( ABCD ) ; mà theo giả thiết SA ⊥ ( ABCD) nên góc hợp bởi AN với 3 · mp(ABCD) chính là góc NAD , lại có N là trung điểm của SC nên tam giác NAD cân tại SA · · N, suy ra NAD = NDA = 300. Suy ra: AD = =a 3. tan 300 1 1 33 Suy ra: V = SA.dt ( ABCD ) = a.a.a 3 = a. 3 3 3 5 3a 3 3 5 0,5 Suy ra: thể tích cần tìm là: VMNABCD = VS . ABCD − VS . ABMN = V − V = V = . 8 8 24 Câu Phần Nội dung Điể m V 0,25 Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có: 3 = ab + bc + ca ≥ 3 3 (abc) 2 ⇒ abc ≤ 1 . (1,0) 1 1 Suy ra: 1 + a (b + c ) ≥ abc + a (b + c) = a( ab + bc + ca ) = 3a ⇒ ≤ 2 2 (1). 1 + a (b + c) 3a 2 1 1 1 1 0,25 ≤ ≤ (2), (3). Tương tự ta có: 1 + b (c + a ) 3b 1 + c (a + b) 3c 2 2 Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có: 1 1 1 1 ab + bc + ca 1 1 1 1 + + ≤ ( + + )= = W. 1 + a (b + c) 1 + b (c + a) 1 + c (a + b) 3 c b c 2 2 2 3abc abc Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi abc = 1, ab + bc + ca = 3 ⇒ a = b = c = 1, (a, b, c > 0). 0,5 Câu Phần Nội dung Điể m + Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và R = 1, R ' = 3 , đường VI a 1(1,0) thẳng (d) qua M có phương trình a ( x − 1) + b( y − 0) = 0 ⇔ ax + by − a = 0, ( a 2 + b 2 ≠ 0)(*) 0,25 (2,0) . + Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM. Khi đó ta có: MA = 2MB ⇔ IA2 − IH 2 = 2 I ' A2 − I ' H '2 0,25 ⇔ 1 − ( d ( I ;d ) ) = 4[9 − ( d ( I ';d ) ) ] , 2 2 IA > IH . 9a 2 b2 ⇔ 4 ( d ( I ';d ) ) − ( d ( I ;d ) ) = 35 ⇔ 4. 2 2 −2 = 35 a 2 + b2 a + b2 0,25 36a − b 2 2 ⇔ = 35 ⇔ a 2 = 36b 2 a +b 2 2  a = −6 Dễ thấy b ≠ 0 nên chọn b = 1 ⇒  0,25 .  a=6 Kiểm tra điều kiện IA > IH rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn. uuur uuu r 2(1,0) + Ta có: AB = (2; 2; −2), AC = (0; 2; 2). Suy ra phương trình mặt phẳng trung trực của 0,25 AB, AC là: x + y − z − 1 = 0, y + z − 3 = 0. r uuu uuu rr + Vecto pháp tuyến của mp(ABC) là n =  AB, AC  = (8; −4; 4). Suy ra (ABC):   0,25 2x − y + z +1 = 0 .
 x + y − z −1 = 0 x = 0   + Giải hệ:  y + z − 3 = 0 ⇒  y = 2 . Suy ra tâm đường tròn là I (0; 2;1). 0,5 2 x − y + z + 1 = 0  z = 1   Bán kính là R = IA = (−1 − 0) 2 + (0 − 2) 2 + (1 − 1) 2 = 5. Phần Nội dung Điể Câu m VII 0,25 + Ta có: ( x (1 − 3x ) 20 ) ′ = a0 + 2a1 x + 3a2 x 2 + ... + 21a20 x 20 . .a ⇔ (1 − 3x ) 20 − 60 x(1 − 3 x)19 = a0 + 2a1 x + 3a2 x 2 + ... + 21a20 x 20 (*). (1,0) 0,25 0,25 Nhận thấy: ak x = ak (− x) do đó thay x = −1 vào cả hai vế của (*) ta có: k k S = a0 + 2 a1 + 3 a2 + ... + 21 a20 = 422 . 0,25 Câu Phần Nội dung Điể m + Đường thẳng AC vuông góc với HK nên nhận VI A uuur b 1(1,0) HK = (−1; 2) làm vtpt và AC đi qua K nên (2,0) ( AC ) : x − 2 y + 4 = 0. Ta cũng dễ có: 0,25 ( BK ) : 2 x + y − 2 = 0 . + Do A ∈ AC , B ∈ BK nên giả sử M A(2a − 4; a ), B (b; 2 − 2b). Mặt khác M (3;1) là K H trung điểm của AB nên ta có hệ:  2a − 4 + b = 6 2a + b = 10 a = 4 ⇔ ⇔ .   a + 2 − 2b = 2  a − 2b = 0 b = 2 0,5 Suy ra: A(4; 4), B(2; − 2). B C uuu r ( AB ) : 3x − y − 8 = 0 . + Suy ra: AB = (−2; − 6) , suy ra: uuu r + Đường thẳng BC qua B và vuông góc với AH nên nhận HA = (3; 4) , suy ra: ( BC ) : 3 x + 4 y + 2 = 0. KL: Vậy : ( AC ) : x − 2 y + 4 = 0, ( AB ) : 3 x − y − 8 = 0 , ( BC ) : 3 x + 4 y + 2 = 0. 0,25 2(1,0) + M , N ∈ (d1 ), (d 2 ) nên ta giả sử uuuu r 0,25 M (t1 ; t1 ; 2t1 ), N (−1 − 2t2 ; t2 ;1 + t2 ) ⇒ NM = (t1 + 2t2 + 1; t1 − t2 ; 2t1 − t 2 − 1) . uu uuuu rr + MN song song mp(P) nên: nP .NM = 0 ⇔ 1.(t1 + 2t2 + 1) − 1.(t1 − t2 ) + 1(2t1 − t2 − 1) = 0 uuuur 0,25 ⇔ t2 = −t1 ⇒ NM = (−t1 + 1; 2t1;3t1 − 1) .  t1 = 0 + Ta có: MN = 2 ⇔ (−t1 + 1) + (2t1 ) + (3t1 − 1) = 2 ⇔ 7t − 4t1 = 0 ⇔  2 2 2 2 . t1 = 4 1 0,25  7 448 1 43 + Suy ra: M (0; 0; 0), N (−1; 0;1) hoặc M ( ; ; ), N ( ; − ; ) . 777 7 77 + Kiểm tra lại thấy cả hai trường hợp trên không có trường hợp nào M ∈ ( P ). 0,25 KL: Vậy có hai cặp M, N như trên thoả mãn. Phần Nội dung Điể Câu m
VII. 0,25  − xy − 2 x + y + 2 > 0, x 2 − 2 x + 1 > 0, y + 5 > 0, x + 4 > 0 (I ) . + Điều kiện:  b 0 < 1 − x ≠ 1, 0 < 2 + y ≠ 1  (1,0) 2 log1− x [(1 − x)( y + 2)] + 2 log 2+ y (1 − x) = 6  + Ta có: ( I ) ⇔  log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + 4) =1  log1− x ( y + 2) + log 2+ y (1 − x) − 2 = 0 (1)  ⇔ 0,25 log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + 4) = 1 (2).  1 + Đặt log 2+ y (1 − x ) = t thì (1) trở thành: t + − 2 = 0 ⇔ (t − 1) = 0 ⇔ t = 1. 2 t Với t = 1 ta có: 1 − x = y + 2 ⇔ y = − x − 1 (3). Thế vào (2) ta có: −x + 4 −x + 4 log1− x (− x + 4) − log1− x ( x + 4) = 1 ⇔ log1− x =1⇔ = 1 − x ⇔ x2 + 2 x = 0 x+4 x+4  x=0  y = −1 ⇔ . Suy ra:  .  x = −2  y =1 0,25 + Kiểm tra thấy chỉ có x = −2, y = 1 thoả mãn điều kiện trên. Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = −2, y = 1 . 0,25