1. M ĐUỞ Ầ
Lý do ch n đ tàiọ ề
Trong nh ng năm qua tr ng THPT Nh Thanh r t coi tr ng vi c b iữ ườ ư ấ ọ ệ ồ
d ng, nâng cao năng l c nghiên c u khoa h c cho giáo viên thông qua nhi uưỡ ự ứ ọ ề
hình th c nh : đi m i sinh ho t t nhóm chuyên môn theo h ng nghiên c uứ ư ổ ớ ạ ổ ướ ứ
bài h c, ng d ng công ngh thông tin trong các ti t d y, phát đng phongọ ứ ụ ệ ế ạ ộ
trào vi t chuyên đ, sáng ki n kinh nghi m gi ng d y, nghiên c u các đ tàiế ề ế ệ ả ạ ứ ề
khoa h c s ph m ng d ng, t ch c ho t đng ngo i khoá.ọ ư ạ ứ ụ ổ ứ ạ ộ ạ
Đi v i môn toán có nhi u đn v ki n th c giáo viên ph i tích c c trauố ớ ề ơ ị ế ứ ả ự
d i, b i d ng đi m i ph ng pháp thì m i đt hi u qu khi truy n t iồ ồ ưỡ ổ ớ ươ ớ ạ ệ ả ề ả
ki n th c cho h c sinh. Hi n nay c u trúc đ thi THPT Qu c Gia có nh ngế ứ ọ ệ ấ ề ố ữ
câu h i phân lo i r t khó, vì v y m i giáo viên ph i tìm tòi, tìm ra ph ngỏ ạ ấ ậ ỗ ả ươ
pháp m i đ h c sinh có th gi i quy t các bài toán khó này m t cách hi uớ ể ọ ể ả ế ộ ệ
qu nh t trong các đ thi h c sinh gi i, thi THPT Qu c Gia. ả ấ ề ọ ỏ ố
Bài toán tìm c c tr c a bi u th c nhi u bi n là bài toán khó nh t trong cácự ị ủ ể ứ ề ế ấ
đ thi h c sinh gi i và thi THPT Qu c Gia, ph n l n h c sinh không gi iề ọ ỏ ố ầ ớ ọ ả
quy t đc, nguyên nhân chính là vì d ng toán này quá khó ch có m t ph nế ượ ạ ỉ ộ ầ
nh có th làm đc, tuy nhiên n u giáo viên h ng d n cho h c sinh m tỏ ể ượ ế ướ ẫ ọ ộ
cách h th ng và ph ng pháp rõ ràng, tôi tin r ng s có nhi u h c sinh làmệ ố ươ ằ ẽ ề ọ
đc bài toán này. V i lý do nh v y, tôi m nh d n ch n đ tài ượ ớ ư ậ ạ ạ ọ ề “K năngỹ
d n bi n đ gi i bài toán tìm c c tr c a bi u th c, nh m nâng cao hi uồ ế ể ả ự ị ủ ể ứ ằ ệ
qu c a vi c ôn t p h c sinh gi i và thi THPT Qu c Gia t i tr ng THPTả ủ ệ ậ ọ ỏ ố ạ ườ
Nh Thanh”.ư
M c đích nghiên c uụ ứ
Rèn luy n k năng tìm c c tr c a bi u th c nhi u bi n, k năng đánh giáệ ỹ ự ị ủ ể ứ ề ế ỹ
bi u th c b ng b t đng th c trong bài toán tìm c c tr .ể ứ ằ ấ ẳ ứ ự ị
Đi t ng nghiên c uố ượ ứ
Nghiên c u b t đng th c, các h qu c a các b t đng th c AM-GM,ứ ấ ẳ ứ ệ ả ủ ấ ẳ ứ
Bunhiacopski, Cauchy – Schwarz.
Nghiên c u các các bài toán tìm c c tr c a hàm s , c a bi u th c.ứ ự ị ủ ố ủ ể ứ
Ph ng pháp nghiên c uươ ứ
Nghiên c u tài li u, t nghiên c u. ứ ệ ự ứ
2. N I DUNG SÁNG KI N KINH NGHI MỘ Ế Ệ
2.1. C s lý lu n ơ ở ậ
Có nhi u cách đnh nghĩa khác nhau v k năng. Tuy nhiên h u h tề ị ề ỹ ầ ế
chúng ta đu th a nh n r ng k năng đc hình thành khi chúng ta áp d ngề ừ ậ ằ ỹ ượ ụ
ki n th c vào th c ti n, k năng h c đc do quá trình l p đi l p l i m tế ứ ự ễ ỹ ọ ượ ặ ặ ạ ộ
ho c m t nhóm hành đng nh t đnh nào đó. ặ ộ ộ ấ ị
Trong ho t đng d y h c môn toán nói riêng thì k năng đc th hi nạ ộ ạ ọ ỹ ượ ể ệ
qua ph ng pháp d y - h c, k năng trình bày, k năng thuy t trình... Trongươ ạ ọ ỹ ỹ ế
1
môn toán ngoài nh ng k năng chung v d y h c nó còn đc th hi n quaữ ỹ ề ạ ọ ượ ể ệ
nh ng y u t đc thù c a b môn ch ng h n: k năng gi i toán, k năng tínhữ ế ố ặ ủ ộ ẳ ạ ỹ ả ỹ
toán... k năng d n bi n trong bài toán tìm c c tr cũng không ph i là ngo iỹ ồ ế ự ị ả ạ
l . ệ
2.2. Th c tr ng c a v n đ nghiên c uự ạ ủ ấ ề ứ
Trong gi ng d y toán lâu nay t i tr ng THPT Nh Thanh đa s giáoả ạ ạ ườ ư ố
viên th c hi n r t t t công tác chuyên môn nh : Đi m i sinh ho t t , nhómự ệ ấ ố ư ổ ớ ạ ổ
chuyên môn theo h ng nghiên c u bài h c; phát đng phong trào vi t chuyênướ ứ ọ ộ ế
đ, các đ tài ...Tuy nhiên chuyên đ ề ề ề “K năng d n bi n đ gi i bài toán tìmỹ ồ ế ể ả
c c tr c a bi u th cự ị ủ ể ứ ” thì đa s giáo viên trong t ch a nghiên c u m t cáchố ổ ư ứ ộ
có h th ng.ệ ố
Đi v i h c sinh ch có m t s ít có ý th c t h c, ph n còn l i h c t pố ớ ọ ỉ ộ ố ứ ự ọ ầ ạ ọ ậ
th đng, không sáng t o, d a ch y u vào th y (cô) giáo. Đa s h c sinh cònụ ộ ạ ự ủ ế ầ ố ọ
ch a có ý th c v nghiên c u toán h c. Trong h c toán ph n l n h c sinh cònư ứ ề ứ ọ ọ ầ ớ ọ
r t y u v ph n b t đng th c, các ho t đng c a h c sinh ph n này chấ ế ề ầ ấ ẳ ứ ạ ộ ủ ọ ở ầ ủ
y u là ch ng minh các b t đng th c hay áp d ng các b t đng th c có s n.ế ứ ấ ẳ ứ ụ ấ ẳ ứ ẵ
Đó là nh ng đi u h n ch trong cách h c c a h c sinh t i tr ng THPT Nhữ ề ạ ế ọ ủ ọ ạ ườ ư
Thanh nói riêng và t i các tr ng THPT nói chung. ạ ườ
2.3. Các gi i pháp th c hi n đ gi i quy t v n đả ự ệ ể ả ế ấ ề
2.3.1. Đnh nghĩa giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm sị ị ớ ấ ỏ ấ ủ ố
Đnh nghĩa 1:ị Xét hàm s ốf(x) v i ớ
Dx
. Ta nói r ng ằM là giá tr l n nh t c aị ớ ấ ủ
f(x) trên D, n u nh th a mãn các đi u ki n sau:ế ư ỏ ề ệ
1.
,)( Mxf
Dx
2. T n t i ồ ạ
Dx
0
sao cho
Mxf )( 0
Khi đó ta kí hi u: ệ
)(max xfM Dx
Đnh nghĩa 2:ị Xét hàm s ốf(x) v i ớ
Dx
. Ta nói r ng ằm là giá tr nh nh t c aị ỏ ấ ủ
f(x) trên D, n u nh th a mãn các đi u ki n sau:ế ư ỏ ề ệ
1.
,)( mxf
Dx
2. T n t i ồ ạ
Dx
0
sao cho
Khi đó ta kí hi u: ệ
)(min xfm Dx
2.3.2. Các b t đng th c c b n th ng s d ngấ ẳ ứ ơ ả ườ ử ụ
B t đng th c Cauchy (hay AM – GM)ấ ẳ ứ
Cho
n
s d ng ố ươ
1 2
, ,..., n
a a a
ta có
1 2
1 2
.... . .....
nn
n
a a a a a a
n
+ + +
D u b ng x y ra khi và ch khi ấ ằ ả ỉ
1 2 .... n
a a a= = =
.
B t đng th c ấ ẳ ứ Cauchy – Schwarz (hay còn g i Bunhiacopski)ọ
Cho hai b s ộ ố
1 2 1 2
, ,..., R; , ,...,
n n
a a a b b b R� �
.
2
Ta có
( )
( ) ( )
22 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
... ... ...
n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + + + + + + +
D u b ng x y ra khi và ch khi ấ ằ ả ỉ
1 2
1 2
... n
n
aa a
b b b
= = =
B t đng th c Cauchy – Schwarz th ng s d ngấ ẳ ứ ườ ử ụ
Cho
0,, cba
và
0,, zyx
khi đó
zyx
cba
z
c
y
b
x
a
2
222
2.3.3. S d ng đi u ki n ban đu đ đánh giá đa v hàm s m t bi nử ụ ề ệ ầ ể ư ề ố ộ ế
Đi u ki n ban đu th ng g p:ề ệ ầ ườ ặ
0;
bxaxbax
0
0
0
;,
bybx
ayax
byax
bayx
0;,,
bzbybxazayaxbazyx
0
zyxyzyx
Nh n xét:ậ Vi c đánh giá đi u ki n ban đu c a bài toán là r t quan tr ng ệ ề ệ ầ ủ ấ ọ
trong vi c gi i bài toán c c tr c a bi u th c, giúp chúng ta rèn luy n k ệ ả ự ị ủ ể ứ ệ ỹ
năng chuy n bài toán c c tr nhi u bi n thành bài toán c c tr c a hàm s v iể ự ị ề ế ự ị ủ ố ớ
m t bi n.ộ ế
L i gi iờ ả
Ta có:
abcaccbbacbaabcaccbbacabcab 122 222222222222
2
Đt ặ
12
3
2
cba
cabcabx
Ta có:
0101113;1,,
cbaacbcababccbacba
505
xabcxabc
L i có: ạ
027930333
cbacabcababccba
273
xabc
. Do đó:
112225273
xxxabcx
.
Ta có:
2
572
2
5
2
172
2
172
22
x
x
x
x
x
abc
x
x
P
Xét hàm s ố
2
572
2
)( x
x
xf
,
12;11
x
Ta có:
0
72
2
1
)('
2
x
xf
12;11
x
nên
11
160
)11()( fxfP
V y ậ
11
160
max P
khi
3;2;1 cba
3
Bài 1 (Đ THPT QG 2015):ề Cho các s th c ố ự a, b, c thu c đo n ộ ạ
3;1
và th aỏ
mãn đi u ki n ề ệ
6
cba
. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th cị ớ ấ ủ ể ứ
abc
cabcab
abcaccbba
P2
17212
222222
Nh n xét:ậ Đây là bài toán r t hay. Ta ph i dùng hai l n gi thi t c a cácấ ả ầ ả ế ủ
bi nế
3;1;;
cba
đ tìm ra mi n giá tr c a ể ề ị ủ
cabcabx
và đánh giá đc P thôngượ
qua bi n x. Cũng t bài toán trên ph i chăng b ng vi c đánh giá đi u ki nế ừ ả ằ ệ ề ệ
ban đu chúng ta s gi i quy t đc m t l p các bài toán d ng này b ngầ ẽ ả ế ượ ộ ớ ạ ằ
cách đa v hàm s m t bi n, chính vì v y qua chuyên đ này tác gi mu nư ề ố ộ ế ậ ề ả ố
rèn luy n cho h c sinh k năng gi i toán c c tr b ng ph ng pháp d n bi n.ệ ọ ỹ ả ự ị ằ ươ ồ ế
L i gi iờ ả
Vì
2;1,, zyx
, nên ta có
42220221 yzxzyzyxxyzzyx
D u b ng x y ra khi ấ ằ ả
1
x
ho c ặ
2y
ho c ặ
2z
. Do đó
1
4
42
442
4
4
42
8
42
2
yz
zy
yzzyx
yzyzzyx
yz
zy
yzzyxyzzyx
zxyzxy
A
1
4
42
4
1
1
4
42
4
1
yz
zy
yzzy
yz
yz
zy
yzzyx
yz
A
1
42
44
4
1
yz
yz
yzyz
yz
A
Đt ặ
yzt
;
2;1t
Xét hàm s : ố
1
42
2
4
1)( 2
2
t
t
t
t
tf
v i ớ
2;1t
Ta có
0
9
2
27
4
1
2
2
84
)( 23
tt
t
tf
, nên f(t) đng bi n trên ồ ế
2;1
.
Suy ra
6
7
)2()( ftfA
V y ậ
6
7
max A
khi
2;1 zyx
L i gi iờ ả
Ta có
cbacbacba 3294327312 222222
(1)
M t khác ặ
0232 bcacabcbcba
cabcbcba 32
(2)
L i có ạ
012 acbcabcbbcacab
4
Bài 2: Cho
2;1,, zyx
. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c ị ớ ấ ủ ể ứ
1
4
42
8
22
2
yz
zy
yzzyxzyxxyz
zxyzxy
A
Bài 3: Cho các s th c không âm ố ự a, b, c th a mãn ỏ
3,2,1 cba
. Tìm giá tr ị
l n nh t c a bi u th cớ ấ ủ ể ứ
827312
8
8
321
22
222
cba
b
cabcb
b
cba
bcacab
B
cabcbbcacab 2
(3)
T (1), (2), (3) ta đcừ ượ
8)(8)(
8
)(1
2
cabcb
b
cabcb
b
cabcb
cabcb
B
8)(
8
)(1
2
cabcbcabcb
cabcb
B
Đt ặ
130)( tcabcbt
Xét hàm s ố
8
8
1
2
)(
tt
t
tf
v i ớ
13;0t
60
81
61032
8
8
1
2
)( 2222
t
tt
tt
tt
tf
,1)0( f
,
7
16
)6( f
21
47
)13( f
T đó suy ra ừ
7
16
max
7
16
)( BtfB
đt đc khi ạ ượ
3
2
,2,1 cba
L i gi iờ ả
T gi thi t ta có: ừ ả ế
x
zyzyzyxzyx 2
22 22
2
Do đó:
2
2
2
212
2
4
1
2
4
1
11 x
x
x
zyzy
Áp d ng b t đng th c Cauchy ta có: ụ ấ ẳ ứ
zyxzy
x
P
111
4
11
2
1
1
2
3
23
3
2
2
2
1
162
1
4
1
12
x
xxx
x
x
x
x
P
Xét hàm s : ố
3
23
1
162
)( x
xxx
xf
Ta có:
5
1
0
1
152
)(' 4
x
x
x
xf
.
L p b ng bi n thiên ta đc: ậ ả ế ượ
108
91
5
1
)(
fxfP
V y giá tr nh nh t c a P b ng ậ ị ỏ ấ ủ ằ
108
91
. Khi
5,
5
1 zyx
.
5
Bài 4: Cho x, y, z là các s th c d ng th a mãn ố ự ươ ỏ
22 zyxzy
. Tìm giá tr ị
nh nh t c a bi u th c ỏ ấ ủ ể ứ
zyx
zyx
P
111
4
1
1
1
1
1
1
222
Bài 5: Cho
0
cba
. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th cị ỏ ấ ủ ể ứ
222
222 111
accbba
cabcabcbaP