Kỹ thuật côsi ngược dấu

Chia sẻ: Võ Quang Hòa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

963
lượt xem 169
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Kỹ thuật côsi ngược dấu là một trong những kỹ thuật mới mẻ, khéo léo. Dùng để giải những bài toán BĐT khó khi giải theo phương pháp thông thường. Kỹ thuật côsi ngược dấu rất có hiệu quả trong các bài toán hoán vị.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kỹ thuật côsi ngược dấu

Kû thuËt c«si ng−îc dÊu Giáo viên : Nguy n Xuân Long Gi ng d y : Môn Toán K thu t CôSi ngư c d u là m t trong nh ng k thu t m i m , khéo léo. Dùng ñ gi i nh ng bài toán BðT khó khi gi i theo phương pháp thông thư ng. K thu t CôSi ngư c d u r t có hi u qu trong các bài toán hoán v . K thu t CôSi ngư c d u ñư c áp d ng d a vào tính ch t : 11 1 1 0< A≤ B⇒ ≥ ⇒− ≤− AB A B 1 1 1 1 Khi ñó : a, b > 0, a + b ≥ 2 ab ⇒ ≤ ⇒− ≥− a+b a+b ab 2 ab Các Bài toán áp d ng k thu t CôSi ngư c d u: D ng 1:  a , b, c > 0 1 1 1 3 +2 +2 ≥ Bài 1: Cho  CMR : a + b + c = 3 a +1 b +1 c +1 2 2 Nh n xét: Ta không th dung BðT CôSi m u ñư c vì: 1 1 a 2 + 1 ≥ 2a ⇒ 2 ≤ , ñây chi u BðT ñã ñ i , do ñó ta phân tích l i như sau: a + 1 2a a2 a2 1 a = 1− 2 ≥ 1− = 1 − ð n ñây chi u BðT ñúng v i chi u BðT c n ch ng a +1 a +1 2 2a 2 minh . LG: ta có: 1 a2 a2 a  a 2 + 1 = 1 − a 2 + 1 ≥ 1 − 2a = 1 − 2  1 b2 b2 b + 2 = 1− 2 ≥ 1− = 1−  b +1 b +1 2b 2 1 2 2 c c c = 1− 2 ≥ 1− = 1− 2  c +1 c +1 2c 2 1 1 1 1 33 +2 +2 ≥ 3 − (a + b + c) = 3 − = a +1 b +1 c +1 2 2 22 ð ng th c x y ra khi a=b=c=1  a , b, c , d > 0 1 1 1 1 +2 +2 +2 ≥2 Bài 2: Cho  CMR : a + b + c + d = 4 a +1 b +1 c +1 d +1 2 1
LG: Ta có: 1 a2 a2 a = 1− 2 ≥ 1− = 1− 2  a +1 a +1 2a 2 1 2 2 b b b  b 2 + 1 = 1 − b 2 + 1 ≥ 1 − 2b = 1 − 2  + 2 2  1 = 1− c ≥ 1− c = 1− c  c2 + 1 c2 + 1 2c 2  2 2  1 = 1− c ≥ 1− d = 1− d  d2 + 1 d 2 +1  2d 2 1 1 1 1 1 +2 +2 +2 ≥ 4 − (a + b + c + d ) = 2 a +1 b +1 c +1 d +1 2 2 ð ng th c x y ra khi a=b=c=d=1. ai > 0, i = 1, n  1 1 1 n +2 + ...... + 2 ≥ Bài 3(TQ) Cho  n CMR :  ∑ ai = n a1 + 1 a2 + 1 an + 1 2 2  i =1 (B n ñ c t ch ng minh) D ng 2:  a , b, c > 0 a b c 3 +2 +2 ≥ Bài 1: Cho  CMR : 2 a + b + c = 3 b +1 c +1 a +1 2 LG: Ta có; a ab 2 ab 2 ab =a− 2 ≥a− =a−  b2 + 1 b +1 2b 2  b 2 2 bc bc bc + 2 =b− 2 ≥b− =b−  c +1 c +1 2c 2 c 2 2 ca ca ca =c− 2 ≥c− =a− 2  a +1 c +1 2c 2 (a + b + c)2 a b c 1 +2 +2 ≥ (a + b + c) − (ab + bc + ca ) ≥ (a + b + c) − b2 + 1 c + 1 a + 1 2 2.3 ð ng th c xãy ra khi a=b=c=1. 1 Nh n xét: ab + bc + ca ≤ ( a + b + c ) 2 3 ( B n ñ c có th CM b ng cách bi n ñ i tương ñương).  a , b, c , d > 0 a b c d 3 +2 +2 +2 ≥ Bài 2: Cho  CMR : 2 a + b + c + d = 4 b +1 c +1 d +1 a +1 2 2
LG Ta có; a ab 2 ab 2 ab =a− 2 ≥a− =a− 2  b +1 b +1 2b 2 b 2 2 bc bc bc  c 2 + 1 = b − c 2 + 1 ≥ b − 2c = b − 2  + 2 2  c = c − cd ≥ c − cd = a − cd  d 2 +1 d 2 +1 2d 2  2 2  d = c − da ≥ c − da = a − ca  a2 + 1 a2 + 1  2a 2 a b c d 1 +2 +2 +2 ≥ (a + b + c + d ) − (ab + bc + cd + da) b +1 c +1 d +1 a +1 2 2 (a + b + c + d ) 2 ≥ (a + b + c + d ) − =2 2.4 ð ng th c xãy ra khi a=b=c=d=1. 1 B ñ : Cho a, b, c, d ≥ 0, CMR : ab + bc + cd + da ≤ ( a + b + c + d ) 2 4  a+b+c+d  (a + b + c + d ) 2 2 CM: Ta có: ab + bc + cd + da = (a + c )(b + d ) ≤  =   2 4 D ng 3: a+b+c a3 b3 c3 Bài 1: Cho a, b, c > 0, CMR : + 2 2+ 2 ≥ a +b b +c c +a 2 2 2 2 LG. Ta có:  a3 ab 2 ab 2 b =a− 2 ≥a− =a−  a2 + b2 a +b 2 2ab 2  b 3 2 2 bc bc c + 2 2 = b− 2 2 ≥ b− =b−  b +c b +c 2bc 2  c3 2 2 ca ca c =c− 2 ≥c− =b− 2  c +a c +a 2 2 2ca 2 ( a + b + c) a3 b3 c3 1 +2 +2 ≥ ( a + b + c) − ( a + b + c ) ≥ b +1 c +1 a +1 2 2 2 ð ng th c xãy ra khi a=b=c. a+b+c+d a3 b3 c3 d3 Bài 2: Cho a, b, c, d > 0, CMR : + 2 2+ 2 +2 ≥ a +b b +c c +d d +a 2 2 2 2 2 3
LG.  a3 ab 2 ab 2 b =a− 2 ≥a− =a− 2  a +3b a +b 2 2 2ab 2 b 2 2 bc bc c  b 2 + c 2 = b − b 2 + c 2 ≥ b − 2bc = b − 2  + 3 cd 2 bc 2 c d =c− 2 2 ≥c− =c−  c +d 2 2 c +d 2cd 2  3 2 2 d da da a =d− 2 ≥c− =d− d + a d +a  2 2 2 2da 2 (a + b + c + d ) a3 b3 c3 d3 1 +2 +2 +2 ≥ (a + b + c + d ) − (a + b + c + d ) ≥ b +1 c +1 d +1 a +1 2 2 2 ð ng th c xãy ra khi a=b=c=d. a+b+c a3 a3 a3 Bài 3: (TQ) Cho ai > 0, i = 1, n CMR : 2 1 2 + 2 2 2 + ...... + 3 1 3 ≥ a1 + a2 a2 + a3 an + a1 2 ( B n ñ c t gi i ) D ng 4: a+b+c+d a3 b3 c3 d3 Bài 1: Cho a, b, c, d > 0, CMR : + 2 2+ 2 +2 ≥ a +b b +c c +d d +a 2 2 2 2 2 (ðã CM) a+b+c+d 4 4 4 4 a b c d Bài 2: Cho a, b, c, d > 0, CMR : 3 +3 +3 +3 ≥ a + 2b b + 2c c + 2d d + 2a 3 3 3 3 3 LG.  a4 2ab3 2ab 2 2b =a− 3 ≥a− =a− 3  a + 2b a + 2b 3 3 2 3ab 3  4 3 2 b 2bc 2bc 2c  b3 + 2c3 = b − b3 + 2c3 ≥ b − 3bc 2 = b − 3  + c4 2cd 3 2bc 2 2d  =c− 3 ≥c− =c−  c + 2d 3 3 3 2 c +2d 3cd 3  4 3 2 d 2da 2da 2a =d− 3 ≥d− =d−  d + 2a d + 2a  3 3 3 2 3da 3 (a + b + c + d ) a4 b4 c4 d4 2 +3 +3 +3 ≥ (a + b + c + d ) − (a + b + c + d ) ≥ a + 2b b + 2c c + 2d d + 2a 3 3 3 3 3 3 3 ð ng th c xãy ra khi a=b=c=d. 4
Bài 10:(TQ) Cho a+b+c+d an bn cn dn a, b, c, d > 0, CMR : + n −1 + n −1 + n −1 ≥ n −1 n −1 n −1 n −1 n −1 a + (n − 2)b b + ( n − 2)c c + (n − 2)d d + (n − 2)a n −1 (B nñ ct ch ng minh) Bµi tËp ®Ò nghÞ :  a, b > 0 a b +2 ≥1 1, Cho:  CMR : 2 a + b = 2 b +1 a +1 a+b+c a2 b2 c2 2, Cho: a, b, c > 0, CMR : + + ≥ a +b b +c c +a 2  a , b, c , d > 0 a +1 b +1 c +1 d +1 + + + ≥4 3,Cho:  CMR : 2 a + b + c + d = 4 b + 1 c2 + 1 d 2 + 1 a2 + 1 a+b+c a3 b3 c3 4,Cho : a, b, c > 0, CMR : +2 +2 ≥ a + ab + b b + bc + c c + ca + a 2 2 2 2 3 a + .. + an n n a1 an 5,Cho : ai > 0, i = 1, n CMR : n −1 + .... + n −1 ≥1 n −1 n −1 a1 + (n − 2) a2 an + (n − 2)a1 n −1 5