1
Kû thuËt c«si ng−îc dÊu
Giáo viên : Nguyễn Xuân Long
Giảng dạy : Môn Toán
Kỹ thuật CôSi ngược dấu là một trong những kỹ thuật mới mẽ, khéo léo. Dùng ñể
giải những bài toán BðT khó khi giải theo phương pháp thông thường. Kỹ thuật CôSi
ngược dấu rất có hiệu quả trong các bài toán hoán vị.
Kỹ thuật CôSi ngược dấu ñược áp dụng dựa vào tính chất :
1 1 1 1
0A B
A B A B
< ≤ ⇒≥⇒− ≤ −
Khi ñó :
1 1 1 1
, 0, 2 2
a b a b ab a b a b
ab ab
> + ≥ ⇒≤⇒− ≥ −
+ +
Các Bài toán áp dụng kỹ thuật CôSi ngược dấu:
Dạng 1:
Bài 1: Cho
2 2 2
, , 0
1 1 1 3
:
3
1 1 1 2
a b c CMR
a b c abc
>
+ + = + + +
Nhận xét: Ta không thể dung BðT CôSi ở mẫu ñược vì:
2
2
1 1
1 2
1 2
a a
a a
+ ≥ ⇒≤
+
, Ở ñây chiều BðT ñã ñổi , do ñó ta phân tích lại như sau:
2 2
2 2
11 1 1
1 1 2 2
a a a
a a a
= − ≥ − = −
+ +
ðến ñây chiều BðT ñúng với chiều BðT cần chứng
minh .
LG: ta có:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
11 1 1
1 1 2 2
11 1 1
1 1 2 2
11 1 1
1 1 2 2
a a a
a a a
b b b
b b b
c c c
c c c
= − ≥ − = −
+ +
+ = − ≥ − = −
+ +
= − ≥ − = −
+ +
2 2 2
1 1 1 1 3 3
3 ( ) 3
1 1 1 2 2 2
abc
abc
+ + ≥ − + + = − =
+ + +
ðẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
Bài 2: Cho
2 2 2 2
, , , 0 1 1 1 1
: 2
41 1 1 1
a b c d CMR
a b c d a b c d
>
+ + + ≥
+ + + = + + + +
2
LG: Ta có:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
11 1 1
1 1 2 2
11 1 1
1 1 2 2
11 1 1
1 1 2 2
1 d
1 1 1
d 1 1 2d 2
a a a
a a a
b b b
b b b
c c c
c c c
c d
d
= − ≥ − = −
+ +
= − ≥ − = −
+ +
+
= − ≥ − = −
+ +
= − ≥ − = −
+ +
2 2 2 2
1 1 1 1 1
4 ( ) 2
1 1 1 1 2
a b c d
a b c d
+ + + ≥ − + + + =
+ + + +
ðẳng thức xảy ra khi a=b=c=d=1.
Bài 3(TQ) Cho
2 2 2
1 2
1
0, 1, 1 1 1
: ......
1 1 1 2
i
n
n
i
i
a i n
n
CMR a a a
a n
=
> =
+ + + ≥
+ + +
=
∑
(B
ạ
n
ñọ
c t
ự
ch
ứ
ng minh)
Dạng 2:
Bài 1: Cho
2 2 2
, , 0
3
:
3
1 1 1 2
a b c a b c
CMR
a b c b c a
>
+ + ≥
+ + = + + +
LG:
Ta có;
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
a ab ab ab
a a a
b b b
b bc bc bc
b b b
c c c
c ca ca ca
c c a
a c c
= − ≥ − = −
+ +
+ = − ≥ − = −
+ +
= − ≥ − = −
+ +
2
2 2 2
1 ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 2 2.3
a b c a b c
a b c ab bc ca a b c
b c a
+ +
+ + ≥ + + − + + ≥ + + −
+ + +
ðẳng thức xãy ra khi a=b=c=1.
Nhận xét:
( )
2
1
3
ab bc ca a b c
+ + ≤ + +
( Bạn ñọc có thể CM bằng cách biến ñổi tương ñương).
Bài 2: Cho
2 2 2 2
, , , 0
3
:
4
1 1 1 1 2
a b c d a b c d
CMR
a b c d b c d a
>
+ + + ≥
+ + + = + + + +
3
LG
Ta có;
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
d
1 1 2d 2
1 1 2 2
a ab ab ab
a a a
b b b
b bc bc bc
b b b
c c c
c cd c cd
c c a
d d
d da da ca
c c a
a a a
= − ≥ − = −
+ +
= − ≥ − = −
+ +
+
= − ≥ − = −
+ +
= − ≥ − = −
+ +
2 2 2 2
2
1
( ) ( )
1 1 d 1 1 2
( )
( ) 2
2.4
a b c d
a b c d ab bc cd da
b c a
a b c d
a b c d
+ + + ≥ + + + − + + +
+ + + +
+ + +
≥ + + + − =
ðẳng thức xãy ra khi a=b=c=d=1.
Bổ ñề : Cho
( )
2
1
, , , 0, :
4
a b c d CMR ab bc cd da a b c d
≥ + + + ≤ + + +
CM: Ta có:
2
2
( )
( )( ) 2 4
a b c d a b c d
ab bc cd da a c b d + + + + + +
+ + + = + + ≤ =
Dạng 3:
Bài 1: Cho
3 3 3
2 2 2 2 2 2
, , 0, :
2
a b c a b c
a b c CMR
a b b c c a
+ +
> + + ≥
+ + +
LG.
Ta có:
3 2 2
2 2 2 2
3 2 2
2 2 2 2
3 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
a ab ab b
a a a
a b a b ab
b bc bc c
b b b
b c b c bc
c ca ca c
c c b
c a c a ca
= − ≥ − = −
+ +
+ = − ≥ − = −
+ +
= − ≥ − = −
+ +
3 3 3
2 2 2
1 ( )
( ) ( )
1 1 1 2 2
a b c a b c
a b c a b c
b c a
+ +
+ + ≥ + + − + + ≥
+ + +
ðẳng thức xãy ra khi a=b=c.
Bài 2: Cho
3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
, , , 0, :
d 2
a b c d a b c d
a b c d CMR
a b b c c d a
+ + +
> + + + ≥
+ + + +
4
LG.
3 2 2
2 2 2 2
3 2 2
2 2 2 2
3 2 2
2 2 2 2
3 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
+d 2 2
d
2 2
a ab ab b
a a a
a b a b ab
b bc bc c
b b b
b c b c bc
c cd bc d
c c c
c d c cd
da da a
d c d
d a d a da
= − ≥ − = −
+ +
= − ≥ − = −
+ +
+
= − ≥ − = −
+
= − ≥ − = −
+ +
3 3 3 3
2 2 2 2
1 ( )
( ) ( )
1 1 1 1 2 2
a b c d a b c d
a b c d a b c d
b c d a
+ + +
+ + + ≥ + + + − + + + ≥
+ + + +
ðẳng thức xãy ra khi a=b=c=d.
Bài 3: (TQ) Cho
3 3 3
1 2 1
2 2 2 2 3 3
1 2 2 3 1
0, 1, : ...... 2
i
n
a a a
a b c
a i n CMR a a a a a a
+ +
> = + + + ≥
+ + +
( Bạn ñọc t ự giải )
Dạng 4:
Bài 1: Cho
3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
, , , 0, :
d 2
a b c d a b c d
a b c d CMR
a b b c c d a
+ + +
> + + + ≥
+ + + +
(ðã CM)
Bài 2: Cho
4 4 4 4
3 3 3 3 3 3 3 3
, , , 0, :
2 2 2d 2 3
a b c d a b c d
a b c d CMR
a b b c c d a
+ + +
> + + + ≥
+ + + +
LG.
4 3 2
3 3 3 3 2
4 3 2
3 3 3 3 2
4 3 2
3 3 3 3 2
4 3 2
3 3 3 3 2
2 2 2
2 2 3 3
2 2 2
2 2 3 3
2 2 2
2 +2d 3 3
d 2 2 2
2 2 3 3
a ab ab b
a a a
a b a b ab
b bc bc c
b b b
b c b c bc
c cd bc d
c c c
c d c cd
da da a
d d d
d a d a da
= − ≥ − = −
+ +
= − ≥ − = −
+ +
+
= − ≥ − = −
+
= − ≥ − = −
+ +
4 4 4 4
3 3 3 3 3 3 3 3
2 ( )
( ) ( )
2 2 2 2 3 3
a b c d a b c d
a b c d a b c d
a b b c c d d a
+ + +
+ + + ≥ + + + − + + + ≥
+ + + +
ðẳng thức xãy ra khi a=b=c=d.
5
Bài 10:(TQ) Cho
1 1 1 1 1 1 1 1
, , , 0, : ( 2) ( 2) ( 2)d ( 2) 1
n n n n
n n n n n n n n
a b c d a b c d
a b c d CMR a n b b n c c n d n a n
− − − − − − − −
+ + +
> + + + ≥
+ − + − + − + − −
( Bạn ñọc t ự chứng minh)
Bµi tËp ®Ò nghÞ :
1, Cho:
2 2
, 0
: 1
2
1 1
a b a b
CMR
a b b a
>
+ ≥
+ = + +
2, Cho:
2 2 2
, , 0, :
2
a b c a b c
a b c CMR
a b b c c a
+ +
> + + ≥
+ + +
3,Cho:
2 2 2 2
, , , 0 1 1 1 1
: 4
41 1 1 1
a b c d a b c d
CMR
a b c d b c d a
>
+ + + +
+ + + ≥
+ + + = + + + +
4,Cho :
3 3 3
2 2 2 2 2 2
, , 0, :
3
a b c a b c
a b c CMR
a ab b b bc c c ca a
+ +
> + + ≥
+ + + + + +
5,Cho :
1
1
1 1 1 1
1 2 1
..
0, 1, : ....
( 2) ( 2) 1
n
n
n n
in n n n
n
a a a
a
a i n CMR a n a a n a n
− − − −
+ +
> = + + ≥
+ − + − −