Luận văn KHÔNG GIAN MÊTRIC NIKODYM VÀ TÍNH CHẤT

Chia sẻ: Dinh Van Sao | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

147
lượt xem 46
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong toán học, một không gian mêtric (tiếng Anh: metric space) là một tập hợp mà trong đó khái niệm về khoảng cách giữa các phần tử được định nghĩa. Không gian mêtric gần nhất với hiểu biết trực quan của con người là không gian Euclid ba chiều. Mêtric Euclid của không gian này định nghĩa khoảng cách giữa hai điểm là độ dài đoạn thẳng nối chúng. Hình học của không gian phụ thuộc vào mêtric được chọn, và bằng các mêtric khác nhau, ta có thể xây dựng các hình học phi Euclid thú vị, chẳng hạn...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn KHÔNG GIAN MÊTRIC NIKODYM VÀ TÍNH CHẤT

Đ I H C HU TRƯ NG Đ I H C SƯ PH M HU Đinh Văn Phúc KHÔNG GIAN MÊTRIC NIKODYM VÀ TÍNH CH T B môn: Gi i tích KHÓA LU N T T NGHI P Ngư i hư ng d n: PGS.TS. Lê Văn H p Hu , Khóa h c 2009 - 2013
L I C M ƠN Khóa lu n này đư c hoàn thành không ch là k t qu c a s c g ng, n l c c a b n thân mà trư c h t là nh s giúp đ và hư ng d n t n tình, chu đáo c a th y giáo PGS.TS. Lê Văn H p, em xin bày t lòng bi t ơn chân thành và sâu s c đ n th y. Em xin thành c m ơn quý th y cô đã h t lòng d y d , giúp đ em trong su t nh ng năm qua. Em xin g i đ n gia đình, nh ng ngư i thân yêu và nh ng ngư i b n c a em l i bi t ơn chân thành sâu l ng, nh ng ngư i luôn sát cánh bên em, đ ng viên và t o m i đi u ki n cho em đư c h c t p cũng như trong su t quá trình hoàn thành khóa lu n này. Hu , ngày 6 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Đinh Văn Phúc
M cl c L im đ u 3 1 M TS KI N TH C CHU N B 5 1.1 T p thương và quan h tương đương . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Không gian đ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Hàm đo đư c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Tích phân coi như m t hàm t p . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7 Không gian Lp , 1 ≤ p < +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 KHÔNG GIAN MÊTRIC NIKODYM VÀ TÍNH CH T 15 2.1 Đ o hàm Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Không gian mêtric Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 K t lu n 42 Tài li u tham kh o 43 2
L IM Đ U Không gian mêtric và lý thuy t đ đo tích phân là m t ph n quan tr ng trong lý thuy t hàm s bi n s th c, chúng cùng v i gi i tích hàm làm n n t ng cho ki n th c toán h c c a sinh viên. Trong chương trình h c đ i h c, h c ph n không gian mêtric-không gian Tôpô đư c h c h c kì hai c a năm th hai, h c ph n lí thuy t đ đo và tích phân đư c h c h c kì m t năm th ba. Đây là nh ng h c ph n không th thi u đ i v i sinh viên ngành toán b c đ i h c, các h c ph n này giúp chúng em làm quen và n m đư c khái ni m, tính ch t c a không gian mêtric, không gian đ đo và lí thuy t tích phân...Đ c bi t là không gian mêtric có nh ng tính ch t thú v , g n gũi v i hình h c. Khóa lu n này đi sâu nghiên c u v m t trư ng h p đ c bi t c a không mêtric, đó là không gian mêtric Nikodym. Không gian mêtric Nikodym đư c xây d ng d a trên m t không gian đ đo h u h n và nó có m t s tính ch t khá thú v , có m i liên h ch t ch v i không gian đ đo. N i dung c a khóa lu n đ c p đ n khái ni m không gian mêtric Nikodym, các tính ch t c a không gian này đ ng th i ch ra m i liên h gi a nó v i không gian Lp , 1 ≤ p < ∞. N i dung nghiên c u c a em là d a trên cu n sách [7], trong đó các khái ni m, k t qu đư c nghiên c u và trình bày l i m t cách rõ ràng và đ y đ hơn. Tuy không ph i là nh ng k t qu m i đư c tìm th y, nhưng 3
4 v i tinh th n tìm tòi h c h i ki n th c m i, hy v ng đ tài này s đem l i nhi u ki n th c b ích cho b n thân và nhi u thú v cho đ c gi . N i dung khóa lu n g m hai chương: Chương I: M t s ki n th c chu n b . Chương II: Không gian mêtric Nikodym và tính ch t. Tuy đã có nhi u c g ng, song do h n ch v th i gian và năng l c b n thân nên khóa lu n không tránh kh i nh ng sai sót, r t mong đư c s quan tâm góp ý c a th y cô và các b n. Em xin chân thành c m ơn! Hu , ngày 6 tháng 05 năm 2013 Tác gi
Chương 1 M TS KI N TH C CHU N B 1.1 T p thương và quan h tương đương Đ nh nghĩa 1.1.1. Cho R là m t quan h hai ngôi trong A. Khi đó: i. R đư c g i là ph n x n u ∀x∈A, xRx. ii. R đư c g i là đ i x ng n u ∀x, y∈A, xRy ⇒ yRx. iii. R đư c g i là b c c u n u ∀x, y, z∈A, xRy và yRz ⇒ xRz . Đ nh nghĩa 1.1.2. M t quan h hai ngôi R trong A đư c g i là quan h tương đương n u R th a mãn ba tính ch t: ph n x , đ i x ng và b c c u. Quan h tương đương đư c ký hi u là ∼. Đ nh nghĩa 1.1.3. Cho ∼ là m t quan h tương đương trong X và x ∈X. Khi đó: i. T p h p x={ y∈X | y∼x} đư c g i là l p tương đương c a x theo quan ¯ 5
6 h ∼. ii. T p h p X/∼ = { x | x∈X} đư c g i là t p h p thương c a X trên ¯ quan h tương đương ∼. 1.2 Không gian mêtric Đ nh nghĩa 1.2.1. Gi s X là m t t p b t kỳ khác tr ng. Ta g i hàm s d: X×X → R là m t mêtric (hay kho ng cách) trên X n u hàm s này th a mãn ba tiên đ sau đây: 1. d(x, y ) 0, ∀x, y∈X ; d(x, y ) = 0 khi và ch khi x = y , 2. d(x, y ) = d(y, x) ( tính đ i x ng ), 3. d(x, z ) ≤ d(x, y ) + d(y, z ), ∀x, y, z∈X ( b t đ ng th c tam giác ). Khi đó t p X cùng v i mêtric d đã cho đư c g i là m t không gian mêtric và kí hi u là (X , d). Đ nh nghĩa 1.2.2. Không gian mêtric X đư c g i là tách đư c n u có m t t p con h u h n hay đ m đư c A ⊂ X trù m t kh p nơi. M nh đ 1.2.3. ([7]. MĐ 26, tr 204). Không gian con c a m t không gian mêtric tách đư c là tách đư c. Đ nh nghĩa 1.2.4. T p A ⊂ X đư c g i là compact n u v i m i dãy (xn )n ⊂ A đ u t n t i m t dãy con (xnk )k ⊂ (xn )n h i t v m t đi m x0 ∈ A. N u X là t p compact thì ta nói X là không gian compact. Đ nh nghĩa 1.2.5. Đ nh nghĩa không gian mêtric đ y đ . 1. Dãy (xn )n trong không gian mêtric X đư c g i là dãy cơ b n hay dãy Cauchy n u lim d(xm , xn ) = 0. Nói cách khác (xn )n là dãy cơ b n khi và m,n→0
7 ch khi: (∀ε > 0)(∃n0 )(∀m, n ≥ n0 ) : d(xm , xn ) < ε. 2. Không gian mêtric X đư c g i là không gian mêtric đ y đ n u m i dãy cơ b n c a nó đ u h i t trong X . Đ nh nghĩa 1.2.6. Cho M là m t t p con c a không gian mêtric X . Ta g i M là t p không đâu trù m t n u nó không trù m t trong b t kì hình c u nào c . Nói m t cách tương đương: ◦ ( M ⊂X là t p không đâu trù m t ) ⇔ ( M = ∅). Đ nh nghĩa 1.2.7. Gi s A là m t t p con c a không gian mêtric X . Ta g i A là t p thu c ph m trù I trong X n u t n t i m t dãy các t p không ∞ đâu trù m t A1 , A2 , ... sao cho A= ∪ An . n=1 T p A⊂X đư c g i là thu c ph m trù II n u nó không ph i là t p thu c ph m trù I. Đ nh lí 1.2.8. (Đ nh lí Baire-Category)([1]. ĐL 4.3.4, tr 58). Gi s X là m t không gian mêtric đ y đ . Khi đó X là t p thu c ph m trù II. H qu 1.2.9. Gi s X là m t không gian mêtric đ y đ và (An )n là ∞ dãy các t p con c a X sao cho X = ∪ An . Khi đó t n t i n0 ∈ N sao cho n=1 ◦ An0 = ∅. Đ nh lí 1.2.10. ([7]. ĐL 7, tr 213) Cho X là m t không gian mêtric đ y đ và (fn )n là m t dãy các hàm th c liên t c trên X h i t đi m trong X t i hàm f nh n giá tr th c thì có m t t p con D trù m t trong X sao cho (fn )n là liên t c đ ng b c và f là liên t c t i m i đi m trong D.
8 1.3 Không gian đ đo Đ nh nghĩa 1.3.1. M t đ i s là m t l p các t p con c a X ch a X , ∅ và kín đ i v i m i phép toán h u h n v t p h p ( phép h p và phép giao m t s h u h n t p, phép tr và phép tr đ i x ng hai t p). Đ nh lí 1.3.2. M t l p C là m t đ i s khi và ch khi C không r ng và th a mãn hai đi u ki n: a. A∈C , B∈C ⇒ A∪B ∈ C , b. A∈C , Ac = X\A∈ C . Đ nh nghĩa 1.3.3. M t σ -đ i s là m t l p t p các t p con c a X ch a X , ∅ và kín đ i v i m i phép toán h u h n hay đ m đư c v t p.Dĩ nhiên m t σ -đ i s cũng là m t đ i s . Đ nh lí 1.3.4. M t l p F là m t σ -đ i s khi và ch khi F không r ng và thõa mãn các đi u ki n: ∞ a. An ∈ F (n = 1, 2, 3, ...) ⇒ ∪ An ∈ F, n=1 b. A ∈ F ⇒Ac = X\A ∈ F . Đ nh nghĩa 1.3.5. (Hàm t p h p). Cho X là m t t p tùy ý, M là m t l p t p con c a X . M t hàm µ xác đ nh trên M g i là m t hàm t p. Hàm đó là c ng tính n u: A, B∈ M, A∩B =∅, A∪B∈ M ⇒ µ(A∪B )=µ(A)+µ(B ). B ng qui n p chúng ta ch ng minh đư c r ng n u µ là c ng tính thì nó cũng h u h n c ng tính t c là v i Ai ∈ M, i = 1, 2, 3, ...n, Ai ∩Aj = ∅, n ∪n Ai ∈ M thì µ(∪n Ai )= i=1 i=1 i=1 µAi . Hàm t p µ g i là σ -c ng tính n u Ai ∈ M, i = 1, 2, 3, ..., Ai ∩Aj = ∅,
9 ∞ ∞ ∞ i=j và ∪ Ai ∈ M thì µ( ∪ Ai )= µAi . i=1 i=1 i=1 Đ nh nghĩa 1.3.6. M t hàm t p µ g i là m t đ đo n u nó đư c xác đ nh trên m t đ i s C và th a mãn 3 đi u ki n sau: (i) µ(A) 0 v i m i A∈ C, (ii) µ(∅) = 0, (iii) µ là σ -c ng tính. M t đ đo µ g i là h u h n n u µ(X )
10 i. Ai ∈ C (i=1,2,3...), A1 ⊂A2 ⊂... ∞ ∞ ∪ Ai ∈ C ⇒ µ( ∪ Ai ) = lim µ(Ai ). i=1 i=1 i→∞ ii. Ai ∈ C (i=1,2,3...), A1 ⊃A2 ⊃... , µ(A1 )
11 1.5 Tích phân Lebesgue n Đ nh nghĩa 1.5.1. Tích phân c a hàm đơn gi n không âm f = i=1 αi χAi trên A theo đ đo µ, kí hi u là f (x)dµ hay g n hơn f dµ, là s A A n i=1 αi µAi . V y n f (x)dµ = i=1 αi µAi . A Rõ ràng r ng n u µA = 0 thì f dµ = 0. A ∗ Tích phân c a hàm đo đư c không âm. Cho f : A → R là m t hàm đo đư c và không âm trên A. Theo đ nh lí v c u trúc c a hàm đo đư c, t n t i m t dãy các hàm đơn gi n không âm (fn )n trên A sao cho 0 ≤ fn ≤ fn+1 m i n ∈ N và fn f, n → ∞. Gi i h n limn→∞ fn dµ t n t i không ph thu c (fn ) và là m t s th c A không âm hay +∞. Ta đi đ n đ nh nghĩa sau: Đ nh nghĩa 1.5.2. Tích phân c a hàm đo đư c không âm f trên A theo đ đo µ, kí hi u là f dµ hay f (x)dµ(x), là s limn→∞ fn dµ. V y A A A f dµ = limn→∞ fn dµ. A A ∗ Tích phân c a hàm đo đư c b t kì. Bây gi ta gi s f : A → R là đo đư c b t kì. Khi đó n u đ t f + = max{f, 0}, f − = −min{f, 0} thì f + và f − là nh ng hàm đo đư c không âm trên A và f = f + − f − . Theo Đ nh nghĩa 1.5.2, các tích phân f + dµ và f − dµ t n t i và là các s th c không âm hay +∞. M t cách A A t nhiên ta đi đ n đ nh nghĩa sau. Đ nh nghĩa 1.5.3. N u m t trong hai tích phân f + dµ và f − dµ là A A h u h n thì ta đ nh nghĩa tích phân c a f trên A (theo đ đo µ), kí hi u
12 là f dµ hay f (x)dµ(x), là s A A f + dµ − f − dµ. A A V y f dµ = f + dµ − f − dµ. A A A Đ ý là n u tích phân c a f trên A t n t i thì f dµ ∈ R. A N u f dµ ∈ R(nghĩa là f dµ t n t i và h u h n) thì ta nói f kh A A tích trên A. Lúc này c hai tích phân f + dµ và f − dµ đ u là nh ng s A A h u h n. Đ nh lí 1.5.4. (Đ nh lí h i t b ch n).([1]. ĐL 3.1.7, tr 221). Gi s (fn )n là dãy các hàm đo đư c trên A th a mãn |fn | ≤ g , m i n ∈ N và g là hàm kh tích trên A. N u (fn )n h i t h u kh p nơi hay h i t theo đ đo v m t hàm f trên A thì limn→∞ fn dµ = f dµ. A A 1.6 Tích phân coi như m t hàm t p Cho (X, F, µ) là m t không gian đ đo, f là hàm kh tích trên X . Khi đó ng v i m i t p A ∈ F có th xác đ nh s λ(A) = f dµ. A Như th ta có m t hàm t p λ. Hàm t p này cũng g i là tích phân b t đ nh c a f (x). Đ nh lí 1.6.1. ( [3]. ĐL 6, tr 86). Hàm t p λ là σ -c ng tính, nghĩa là ∞ n u A = ∪ An , các An ∈ F đôi m t r i nhau và n u có f dµ ( ch ng n=1 A h n n u f ≥ 0 ) thì ∞ f dµ = f dµ. A n=1 An Đ nh lí này cho ta th y r ng n u f là m t hàm kh tích, không âm thì
13 hàm t p λ xác đ nh như trên là m t đ đo trên σ -đ i s F . Rõ ràng n u µ(A) = 0 thì λ(A) = 0. 1.7 Không gian Lp, 1 ≤ p < +∞ Gi s (X, F, µ) là m t không gian đ đo. Cho 1 ≤ p < +∞, g i Lp (X, µ) là t p h p t t c các hàm đo đư c trên X sao cho |f (x)|p dµ < ∞. X Trong đó ta không phân bi t các hàm tương đương nhau ( nghĩa là b ng nhau h u kh p nơi ). N u X ⊂ Rn là t p h p đo đư c theo Lebesgue và µ là đ đo Lebesgue thì ta kí hi u Lp (X). Đ nh lí 1.7.1. ([4]. ĐL 1.1, tr 71). T p h p Lp (X, µ) v i hai phép toán c ng là t ng c a hai hàm và nhân là nhân m t hàm v i m t s t o thành m t không gian vectơ. Đ nh lí 1.7.2. ([4]. ĐL 1.5, tr 75). Cho (X, F, µ) là không gian đ đo, 1 ≤ p < +∞ khi đó hàm: 1 f = ( |f (x)|p dµ) p . X Xác đ nh m t chu n trên Lp (X, µ) và Lp (X, µ) là m t không gian tuy n tính đ nh chu n. Đ nh lí 1.7.3. ( Riesz-Fischer)([2]. ĐL 2.3, tr 57). Không gian Lp (X, µ), 1 ≤ p < +∞ là m t không gian Banach. H qu 1.7.4. ([4]. ĐL 1.7, tr 77). Cho 1 ≤ p < +∞. N u {fn } ⊂ Lp (X, µ) và limn→∞ f − fn = 0, thì t n t i m t dãy con {fnk } c a dãy {fn }, h i t h u kh p nơi v f trên X . Đ nh lí 1.7.5. ([4]. ĐL 1.8, tr 77).
14 Cho dãy {fn } ⊂ Lp (X, µ), 1 ≤ p < +∞. N u dãy {fn } đơn đi u tăng và h i t h u kh p nơi v f trên X thì limn→∞ f − fn = 0. Đ nh lí 1.7.6. ([7]. ĐL 7, tr 148). Cho E là m t t p đo đư cvà 1 ≤ p < ∞. Gi s (fn )n là m t dãy trong Lp (E) h i t đi m h u kh p nơi trên E t i hàm f thu c Lp (E) thì: fn → f trong Lp n u và ch n u limn→∞ |fn |p dµ = |f |p dµ. E E M nh đ 1.7.7. Cho S là hàm đơn gi n đo đư c trên X . S kh tích trên X khi và ch khi đ đo c a t p h p {x ∈ X : S(x) = 0} là h u h n. Đ nh lí 1.7.8. ([4]. ĐL 3.2, tr 81). T p h p S g m t t c các hàm đơn gi n kh tích trên X là trù m t trong Lp (X, µ), v i 1 ≤ p < +∞.
Chương 2 KHÔNG GIAN MÊTRIC NIKODYM VÀ TÍNH CH T 2.1 Đ o hàm Radon-Nikodym Cho (X, M, µ) là m t không gian đ đo và f là m t hàm không âm đo đư c đ i v i M, ta đ nh nghĩa m t hàm t p ν trên M như sau: ν(E) = f dµ v i m i E ∈ M. E Chúng ta đã bi t r ng khi đó ν là m t đ đo trên không gian đo đư c (X, M) và nó có tính ch t: n u E ∈ M và µ(E) = 0 thì ν(E) = 0. Đ nh nghĩa 2.1.1. Cho m t không gian đ đo (X, M, µ) và ν là m t đ đo. Đ đo ν mà th a mãn tính ch t n u E ∈ M và µ(E) = 0 kéo theo ν(E) = 0 thì ν đư c g i là tuy t đ i liên t c đ i v i µ và chúng ta kí hi u là: ν 0, t n t i m t δ > 0 sao cho v i b t kì t p E ∈ M, n u µ(E) < δ thì ν(E) < ε ( 2.2.0). 15
16 Ch ng minh. + Gi s ν tuy t đ i liên t c đ i v i µ và t n t i ε0 > 0, 1 dãy (En ) ⊂ M sao cho v i m i n, µ(En ) < 2n và ν(En ) ≥ ε0 . V i m i n, ∞ ta đ t An = ∪ Ek , thì (An )n là m t dãy gi m các t p trong M. T tính k=n đơn đi u c a ν và tính c ng tính đ m đư c c a µ ta có: ∞ ν(An ) = ν( ∪ Ek ) ≥ ν(En ) ≥ ε0 k=n ∞ ∞ 1 và µ(An ) = µ( ∪ Ek ) ≤ µ(Ek ) ≤ 2n−1 v i m i n. k=n k=n ∞ Đ t A∞ = ∩ An . Do tính đơn đi u c a đ đo µ, ta có: n=1 ∞ 1 µ(A∞ ) = µ( ∩ An ) ≤ µ(An ) ≤ 2n−1 , ∀n ∈ N. n=1 Cho n → ∞ ta đư c µ(A∞ ) = 0. M t khác ta có ν(A1 ) ≤ ν(X) < ∞ và (An )n là dãy gi m nên ∞ ν(A∞ ) = ν( ∩ An ) = limn→∞ ν(An ). Do ν(An ) ≥ ε0 v i m i n nên n=1 ν(A∞ ) = limn→∞ µ(An ) ≥ ε0 . Đi u này mâu thu n v i ν là tuy t đ i liên t c đ i v i µ v y ta có đi u ph i ch ng minh. + Gi s (2.2.0) đúng. Cho E ∈ M mà µ(E) = 0. Ta c n ch ng minh 1 ν(E) = 0. ∀ n ∈ N, l y εn = n thì theo gi thi t s t n t i δn > 0, sao cho 1 (2.2.0) nghi m đúng. Vì µ(E) = 0 < δn nên ν(E) < n , v i m i n ∈ N. Cho n → ∞ ta đư c ν(E) = 0. V y ν là tuy t đ i liên t c đ i v i µ. Đ nh nghĩa 2.1.3. (Đ đo D u). Cho m t không gian đo đư c (X, M). M t hàm t p ν trên M đư c g i là m t đ đo d u trên M n u nó th a mãn các đi u ki n dư i đây: 1. ν(E) ∈ (−∞; +∞] v i m i E ∈ M ho c ν(E) ∈ [−∞; +∞) v i m i E ∈ M, 2. ν(∅) = 0, 3. V i m i dãy (En ) đôi m t r i nhau trong M;
17 n∈N ν(En ) t n t i trong R và n∈N ν(En ) = ν(∪n∈N En ). N u ν là m t đ đo d u trong M, thì không gian (X, M, ν) đư c g i là không gian đ đo d u. M t đ đo d u µ g i là h u h n n u µ(X) ∈ R, σ -h u h n n u: ∞ X = ∪ Xi , Xi ∈ M, µ(Xi ) ∈ R. i=1 Chú ý: N u (En ) là m t dãy trong M trong không gian đ đo d u (X, M, ν), thì n∈N ν(En ) có th không t n t i trong R, cho nên không ph i khi nào (En ) đôi m t r i nhau thì t ng n∈N ν(En ) trong đi u ki n (3) c a đ nh nghĩa trên cũng t n t i. Bây gi cho E1 , E2 , ...En , Ei ∈ M. Khi n đó do đi u ki n (1) trong đ nh nghĩa trên nên i=1 ν(Ei ) luôn luôn t n t i trong R . N u E1 , E2 , ...En , Ei ∈ M, Ei ∩ Ej = ∅, i = 1, n, j = 1, n thì dãy (E1 , E2 , ...En , ∅, ∅...) là đôi m t r i nhau và t ν(∅) = 0 nên đi u ki n (3) trong đ nh nghĩa trên đư c th a mãn. Đ nh nghĩa 2.1.4. Cho không gian đ đo (X, M, µ) và f là hàm đo đư c trên t p D ∈ M. N u f + dµ − f − dµ t n t i trong R, thì ta nói r ng D D f là n a kh tích trên D đ i v i µ hay µ-n a kh tích trên D và xác đ nh f dµ = f + dµ − f − dµ. D D D M nh đ 2.1.5. Cho (X, M, µ) là m t không gian đ đo, cho f : X → R là m t hàm n a kh tích trên X , chúng ta xác đ nh m t hàm t p ν trên M b i: ν(E) = f dµ v i m i E ∈ M, thì ν là m t đ đo d u trên M. E Ch ng minh. Vì f là n a kh tích nên trong hai tích phân f + dµ X và f − dµ có m t tích phân là h u h n, không m t tính t ng quát gi s X + f dµ là h u h n. Khi đó v i m i E ∈ M ta có X
18 0≤ f + dµ ≤ f + dµ < +∞. Do v y E X ν(E) = f + dµ − f − dµ ∈ [−∞, +∞), t c là đi u ki n (1) trong đ nh E E nghĩa đư c th a mãn. Ta có ν(∅) = f dµ = 0 nên đi u ki n (2) th a mãn. ∅ ∞ Ta xét (En ) là dãy các t p đôi m t r i nhau trong M, ν(En ) t n n=1 ∞ t i trong R, đ t E = ∪ En , khi đó ta có: n=1 ∞ ∞ ν(E) = f dµ = f dµ = f dµ = ν(En ) v y đi u ki n (3) E ∞ n=1 En n=1 ∪ En n=1 đư c th a mãn. Do đó ν là m t đ đo d u. Đ nh nghĩa 2.1.6. (Đ o hàm Radon-Nikodym). Cho (X, M, µ ) là m t không gian đ đo, ν là m t đ đo d u trong không gian đo đư c (X, M). N u t n t i m t hàm f đo đư c trên X đ i v i M sao cho ν(E) = f dµ v i m i E ∈ M thì f đư c g i là đ o hàm E dν Radon-Nikodym c a ν đ i v i µ và ký hi u là dµ . Chú ý r ng n u m t đ o hàm Radon-Nikodym f c a ν đ i v i µ t n t i thì f dµ = ν(X) ∈ R. V y f không nh t thi t kh tích trên X đ i X v i µ. M nh đ 2.1.7. (i) Cho f là m t đ o hàm Radon-Nikodym c a m t đ đo d u ν đ i v i m t đ đo µ trên m t không gian đo đư c (X, M). N u g là m t hàm đo đư c trên X sao cho f = g h u kh p nơi trên X đ i v i µ, thì g cũng là m t đ o hàm Radon-Nikodym c a ν đ i v i µ. (ii) Cho µ là đ đo σ -h u h n và ν là m t đ đo d u trên m t không gian đo đư c (X, M). N u hai hàm đo đư c f và g là đ o hàm Radon-Nikodym c a ν đ i v i µ thì f = g h u kh p nơi trên X đ i v i µ.
19 Ch ng minh. (i) Chú ý r ng n u g là m t hàm đo đư c trên X sao cho f = g h u kh p nơi trên X thì v i m i E ∈ M chúng ta có gdµ = f dµ = ν(E). V y theo đ nh nghĩa g là đ o hàm Radon- E E Nikodym c a ν đ i v i µ. (ii) Đ ch ng minh (ii) ta đi ch ng minh m nh đ sau đây trư c: M nh đ 2.1.8. Cho (X, M, µ) là m t không gian đ đo σ -h u h n, f và g là hai hàm đo đư c µ-n a kh tích trên X sao cho f dµ = gdµ E E v i m i E ∈ M, thì f = g h u kh p nơi trên X . Ch ng minh. Do µ là σ -h u h n nên có m t dãy (An )n trong M sao ∞ cho An ∩ Am = ∅, ∪ An = X và µ(An ) < ∞, ∀n ∈ N. Ta s ch ng minh n=1 f = g h u kh p nơi trên m i An , ∀n ∈ N (1). Gi s (1) không đư c th a mãn khi đó có ít nh t m t trong hai t p E = {x ∈ An : f (x) < g(x)} và F = {x ∈ An : f (x) > g(x)} s có m t t p có đ đo dương. Gi s µ(E) > 0, khi đó ta bi u di n E = E ∪ E trong đó E = {x ∈ An : −∞ < f (x) < g(x)} và E = {x ∈ An : f (x) = −∞, g(x) > −∞}. Vì E ∩ E = ∅, nên s có ít nh t m t trong hai t p E , E có đ đo dương. + Xét trư ng h p µ(E ) > 0, bây gi ta có E = ∪m∈N ∪k∈N ∪l∈N Em,k,l 1 đây Em,k,l = {x ∈ An : −m ≤ f (x), f (x) + k ≤ g(x) ≤ l}. Vì 0 < µ(E ) ≤ m∈N k∈N l∈N µ(Em,k,l ) do đó s t n t i m0 , k0 , l0 sao cho µ(Em0 ,k0 ,l0 ) > 0, đ t E ∗ = Em0 ,k0 ,l0 thì ta có: (g − f )dµ ≥ 1 k0 µ(E ∗ ) > 0. E∗ Vì f và g là µ-n a kh tích trên E ∗ , chúng ta có (g − f )dµ E∗ 1 ∗ = gdµ − f dµ. Suy ra gdµ ≥ f dµ + k0 µ(E ) > f dµ. Mâu E∗ E∗ E∗ E∗ E∗ thu n v i gi thi t.