intTypePromotion=3

Luận văn: Một số phương pháp nghiên cứu bài toán điểm tới hạn

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

0
40
lượt xem
3
download

Luận văn: Một số phương pháp nghiên cứu bài toán điểm tới hạn

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn: Một số phương pháp nghiên cứu bài toán điểm tới hạn giới thiệu tới các bạn những nội dung về phương pháp trưởng giả Gradient; phương pháp sử dụng nguyên lý biến phân Ekeland; phương pháp sử dụng ánh xạ đa trị.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Luận văn: Một số phương pháp nghiên cứu bài toán điểm tới hạn

  1. Một số phương pháp nghiên cứu bài toán điểm tới hạn Võ Giang Giai Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM , 2004
  2. Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient CHÖÔNG I: PHÖÔNG PHAÙP TRÖÔØNG GIAÛ GRADIENT I. CAÙC ÑÒNH NGHÓA VAØ ÑÒNH LYÙ CÔ SÔÛ: Trong suoát chöông naøy, neáu khoâng noùi gì theâm thì ta luoân hieåu raèng X laø khoâng gian Banach vaø phieám haøm f : X → R thuoäc lôùp C 1 . Ñònh nghóa 1: Phieám haøm f goïi laø thoaû ñieàu kieän (C ) , neáu : ⎧⎪{ f (v n )} bò chaën ∀{v n } ⊂ X : ⎨ ⎪⎩nlim df (v n ) = 0 → +∞ thì ∃{vn } hoäi tuï k .‰ Ñaëc bieät: Neáu ñieàu kieän treân nghieäm ñuùng treân f ≥ α > 0 (töông öùng f ≤ −α < 0 ) thì ta noùi raèng f thoaû maõn ñieàu kieän (C + ) (töông öùng (C − ) ) .‰ Ñònh lyù 2: (a) Neáu f thoaû ñieàu kieän (C − ) thì: (∀k , α > 0, ∃r ≥ 0, δ > 0 : ∀v ∈ X ,− k < f (v ) < −α , v > r ⇒ df (v ) > δ ) (1) (b) Giaû söû f thoaû ñoàng thôøi 2 ñieàu kieän sau: (i). ∀k ,α > 0, ∃ r ≥ 0, δ > 0 : ∀v ∈ X ,− k < f (v ) < −α , v > r ⇒ df (v ) > δ ⎧⎪ f (v n ) < 0, ∀n ∈ N * (ii). Neáu ∀{v n } bò chaën ⊂ X : ⎨ ⎪⎩nlim df (v n ) = 0 → +∞ thì ∃{vn k } hoäi tuï. Khi ñoù f nghieäm ñuùng ñieàu kieän (C − ) . Chöùng minh: (a) Giaû söû f thoaû ñieàu kieän (C − ) nhöng khoâng thoaû (1) Trang 3
  3. Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient Vì vaäy ∃ k 0 ,α 0 > 0 vaø {v n } ⊂ X sao cho: ⎧ ⎪− k 0 < f (v n ) < −α 0 (2) ⎪ ⎨ vn > n (∀n ∈ N * ) (3) ⎪ ⎪ df (v n ) < 1 (4) ⎩ n Töø (2) vaø (4) suy ra ∃ {vn k } hoäi tuï (Vì f thoaû ñieàu kieän (C − ) ) Cuøng vôùi (3) ta coù v n ≥ nk ≥ k , ∀k ∈ N * k Do ñoù lim v nk = +∞ k → +∞ Ñieàu naøy daãn ñeán maâu thuaãn vôùi {vn } hoäi tuï. k (b) Xeùt daõy {v n } ⊂ X , { f (v n )} bò chaën döôùi, f (v n ) ≤ −α < 0, ∀n ∈ N * vaø lim df (v n ) = 0 (5) n → +∞ ta caàn chöùng minh ∃{vn } hoäi tuï. k Quaû vaäy, giaû söû {v n } khoâng bò chaën, töùc laø: { } ∃ v nk sao cho v nk ≥ k , ∀k ∈ N * Goïi − β < 0 laø moät chaën döôùi cuûa { f (v n )} thì: ( ) − β ≤ f v nk ≤ −α , v nk ≥ k , ∀k ∈ N * Theo ñieàu kieän (i) ∃δ > 0 (khoâng phuï thuoäc vaøo k) sao cho: ( ) > δ , ∀k ∈ N df v nk * Daãn ñeán maâu thuaãn vôùi ñieàu kieän (5) Töùc laø {v n } bò chaën Do ñoù theo ñieàu kieän (ii) ∃ {v n } hoäi tuï k .‰ Heä quaû 3: Neáu X laø khoâng gian ñònh chuaån höõu haïn chieàu thì ñieàu kieän (C − ) töông ñöông vôùi ñieàu kieän: ∀k, α > 0, ∃r ≥ 0, δ > 0 : ∀v ∈ X,− k < f (v ) < −α, v > r ⇒ df (v ) > δ Trang 4
  4. Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient Chöùng minh: Ta ñaõ bieát raèng trong khoâng gian höõu haïn chieàu: “Moïi daõy bò chaën ñeàu toàn taïi ít nhaát moät daõy con hoäi tuï”. Vì vaäy, neáu X laø höõu haïn chieàu thì keát hôïp vôùi ñònh lyù 2 ôû treân ta coù ngay heä quaû 3 .‰ Ñònh nghóa 4: Phieám haøm f goïi laø rieâng, neáu ∀ K laø taäp compact trong R thì f −1 (K ) laø taäp compact trong X .‰ Ñònh lyù 5: Neáu f thoaû ñieàu kieän (C ) thì söï thu heïp cuûa f treân taäp caùc ñieåm tôùi haïn cuûa noù laø rieâng. Chöùng minh: Goïi W = {v ∈ X / df (v ) = 0} vaø K laø taäp compact trong R Ta caàn chöùng minh W ∩ f −1 (K ) laø taäp compact trong X Quaû vaäy: Xeùt daõy {vn } ⊂ W ∩ f −1 (K ) ⎧ f (v n ) ⊂ K ⇔⎨ ⎩{v n } ⊂ W ⎧⎪{ f (v n )} bò chaën trong R ⇒⎨ ⎪⎩nlim df (v n ) = 0 → +∞ Hôn nöõa f thoaû ñieàu kieän (C ) , neân {vn } hoäi tuï veà v ∈ X k ( ) ⎧⎪ f v nk → f (v ) (Vì f thuoäc lôùp C 1 ) ⇒⎨ ⎪⎩df (v ) = klim → +∞ ( ) df v nk = 0 ⎧ f (v ) ∈ K (Vì K laø taäp Compact) ⇒⎨ ⎩df (v ) = 0 ⎧v ∈ f −1 (K ) ⇔⎨ ⇔ v ∈W ∩ f −1 (K ) ⎩v ∈ W Vaäy ∃{vn } hoäi tuï veà v ∈ W ∩ f −1 (K ) k .‰ Trang 5
  5. Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient Heä quaû 6: Neáu f thoaû ñieàu kieän (C ) vaø W = {v ∈ X / df (v ) = 0} thì f (W ) laø taäp ñoùng trong R. Chöùng minh: Xeùt daõy {y n } ⊂ f (W ) , y n → y ⇒ y n = f (v n ) vôùi {v n } ⊂ W ⎧{ f (v n )} bò chaën (Vì {y n } hoäi tuï) Nhö vaäy ⎪⎨ ⎪⎩nlim df (v n ) = 0 (Vì {vn } ⊂ W ) → +∞ Maët khaùc f thoaû ñieàu kieän (C ) , neân ∃ {vn } hoäi tuï veà v ∈ X k ( ) ⎧⎪ f v nk → f (v ) ⇒⎨ (Vì f thuoäc lôùp C 1 ) ⎪⎩df (v ) = klim → +∞ ( ) df v nk = 0 ⎧ y n → f (v ) ⇒⎨ k ⎩df (v ) = 0 ⎧ y = f (v ) ⇒⎨ ⎩df (v ) = 0 ⇒ y ∈ f (W ) Vaäy f (W ) laø taäp ñoùng trong R .‰ Ñònh lyù 7: Cho X laø khoâng gian Hilbert, f : X → R thuoäc lôùp C 2 . Khi ñoù ∀v ∈ X theo ñònh lyù Riesz ∃ ! ∇f (v ) ∈ X : df (v )(w) = ∇f (v ), w , ∀w ∈ X Xeùt baøi toaùn Cauchy: ⎧ dϕ ⎪ = −∇f (ϕ ) ⎨ dt (6) ⎪⎩ϕ (t 0 ) = v (t ∈ R ) 0 Khi ñoù toàn taïi khoaûng lôùn nhaát (ω − , ω + ) ( − ∞ ≤ ω − < ω + ≤ +∞ ) chöùa t 0 ñeå (6) coù duy nhaát nghieäm treân (xem ôû [4]) .‰ Trang 6
  6. Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient Ñònh lyù 8: Cho X laø khoâng gian Hilbert, f : X → R thuoäc lôùp C 2 thoaû ñieàu kieän (C ) , goïi ϕ laø nghieäm cuûa (6). Khi ñoù: (i). Hoaëc lim f (ϕ (t )) = −∞ (töông öùng lim f (ϕ (t )) = +∞ ) t →ω + t →ω − (ii). Hoaëc ω + = +∞ (töông öùng ω − = −∞ ) vaø toàn taïi q ∈ X , ⎧ lim ϕ (t n ) = q daõy t n → +∞ (töông öùng t n → −∞ ) sao cho: ⎪⎨n→+∞ ⎪⎩df (q ) = 0 Chöùng minh: Ñaët g (t ) = f (ϕ (t )), t ∈ (ω − , ω + ) Ta coù g , (t ) = − ∇f (ϕ (t )) ≤ 0 2 ⇒ g giaûm treân (ω − , ω + ) ⇒ lim g (t ) = c ∈ [− ∞,+∞ ) . t →ω + ∗ Neáu c = −∞ thì lim f (ϕ (t )) = −∞ t →ω + dϕ ∗ Neáu c > −∞ ta coù = −∇f (ϕ ) dt ⎧a ≤ s ≤ t < ω + t ⇒ ϕ (t ) − ϕ (s ) = ∫ ∇f (ϕ (t )).dr ,vôùi ⎨ s ⎩a coá ñònh ∈ (ω − , ω + ) t ≤ ∫ ∇f (ϕ (r )) dr s 1 1 ⎛t 2 ⎞ 2 ⎛t ⎞ 2 ≤ ⎜⎜ ∫ 1 dr ⎟⎟ .⎜⎜ ∫ ∇f (ϕ (r )) dr ⎟⎟ (Do baát ñaúng thöùc Holder) 2 ⎝s ⎠ ⎝s ⎠ 1 ⎛ ω+ ⎞ 2 ≤ (t − s ) 2 .⎜ ∫ ∇f (ϕ (r )) dr ⎟ 1 2 ⎜ ⎟ ⎝a ⎠ Vì vaäy neáu ω + < +∞ thì {ϕ (t )}t∈[a ,ω ) laø daõy Cauchy trong X + Do ñoù ϕ (t ) → v ∈ X (khi t → ω + ) Ñieàu naøy chöùng toû nghieäm phöông trình (6) coù theå keùo daøi veà beân phaûi cuûa ω + (Do ñònh lyù veà keùo daøi nghieäm) Daãn ñeán maâu thuaãn vôùi ñònh nghóa cuûa ω + Trang 7
  7. Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient Do ñoù ω + = +∞ +∞ ω+ Khi ñoù ∫ ∇fϕ (r ) dr = ∫ ∇f (ϕ (r )) dr ∈ [0,+∞ ) 2 2 a a Ta caàn chöùng minh luoân tìm ñöôïc daõy t n → +∞ : ∇f (ϕ (t n )) → 0 (7) Thaät vaäy, theo ñònh lyù trung bình: a+2n ∃t n ∈ [a + n, a + 2n] (n ∈ N ) sao cho * ∇f (ϕ (t n )) 2 = 1 n ∫ ∇f (ϕ (r )) 2 dr a+n +∞ ⇒ 0 ≤ ∇f (ϕ (t n )) ∫ ∇f (ϕ (n )) 1 ≤ dr → 0 (khi n → +∞ ) 2 2 n a ⇒ ∇f (ϕ (t n )) → 0 2 ⇒ ∇f (ϕ (t n )) → 0 Töùc laø (7) ñuùng. ⎧ Daõy { f (ϕ (t ))} hoäi tuï ⎪ Nhö vaäy ta coù n ⎨ ⎪ ∇f (ϕ (t n )) → 0 ⎩ Vì vaäy ∃ ϕ (t n ) → q ∈ X k (Vì f thoaû ñieàu kieän (C ) ) ⇒ ∇f (q ) = 0 (Vì f thuoäc lôùp C 2 ) Trong tröôøng hôïp t → ω − pheùp chöùng minh töông töï .‰ Heä quaû 9: Cho X laø khoâng gian Hilbert, f : X → R thuoäc lôùp C 2 bò chaën döôùi vaø thoaû ñieàu kieän (C ) . Khi ñoù f ñaït giaù nhoû nhaát treân X . Chöùng minh: Do f bò chaën döôùi neân ∃ inf { f (v ) / v ∈ X } = c ∈ R ⇒ ∃ {p n } ⊂ X : c ≤ f ( p n ) < c + , ∀n ∈ N * 1 n Goïi ϕ laø nghieäm cuûa (6) thoaû ϕ (0 ) = p n Trang 8
  8. Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient ⎧df (q n ) = 0 Khi ñoù theo ñònh lyù 8 ⎪ ∃ {q n } ⊂ X : ⎨ (∀n ∈ N )* ⎪⎩c ≤ f (q n ) ≤ f ( p n ) < c + n 1 Do ñoù ∃ q n → q k (vì f thoaû ñieàu kieän (C ) ) (vì c ≤ f (q n ) < c + 1 1 ⇒ f (q ) = c ≤ c + , ∀k ∈ N * ) k nk k Vaäy f ñaït giaù trò nhoû nhaát taïi q ∈ X .‰ II. ÑÒNH LYÙ MINIMAX: Ñònh nghóa 10: w ∈ X goïi laø vectô giaû gradient cuûa f taïi v ∈ X , neáu w thoaû ñoàng thôøi hai ñieàu kieän sau: (i). w ≤ 2 df (v ) (ii). df (v )(w) ≥ df (v ) 2 .‰ Ñònh nghóa 11: Cho φ ≠ S ⊂ X , Φ : S → X goïi laø tröôøng vectô giaû gradient cuûa f treân S , neáu ∀v ∈ S thì Φ (v ) laø vectô giaû gradient cuûa f taïi v .‰ Ñònh lyù 12: Cho W = {v ∈ X / df (v ) = 0} vaø X = X \ W thì ta luoân tìm ñöôïc haøm ~ ~ ~ Φ : X → X Lipschitz ñòa phöông treân X , ñoàng thôøi cuõng laø moät tröôøng vectô ~ giaû gradient cuûa f treân X . Chöùng minh: df (v ) = inf {df (v )(w) / w ∈ X , w = 1} neân: ~ ∀v ∈ X , tacoù ~ = 1 vaø df (v )(w ~∈ X : w ∃w ~ ) > 2 df (v ) 3 ⎧ ⎪⎪ w ≤ 2 df (v ) 3 Khi ñoù choïn w = df (v ) w~ ,ta ñöôïc 3 ⎨ (8) 2 ⎪df (v )(w) ≥ 3 df (v ) 2 ⎪⎩ 2 Trang 9
  9. Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient Hôn nöõa df lieân tuïc taïi v vaø df (v ) > 0 , neân toàn taïi quaû caàu môû Bv taâm v: df (v ) ≤ df (u ) ≤ f (v ) , ∀u ∈ Bv 5 7 (9) 6 6 Ta laïi choïn tieáp wv = w hoaëc wv = − w ñeå df (u )(w~ ) > 0 ⎧ wv ≤ 2 df (u ) Töø (8) vaø (9) ta coù ⎪⎨ , ∀u ∈ Bv (10) ⎪⎩df (u )(wv ) ≥ df (u ) 2 ~ Maø X = ∪ Bv laø paracompact, neân cuøng vôùi (10) suy ra ~ v∈ X toàn taïi phuû laøm mòn höõu haïn {Bv } cuûa X vaø wv ∈ X , i ∈ I sao cho: ~ ~ i i ⎧ wv ≤ 2 df (u ) ⎪ i ⎨ , ∀u ∈ Bvi (11) ⎪⎩ df (( ) u ) wvi ≥ df ( u ) 2 ~ ⎧ ⎫ ξ i (v ) = inf ⎨ v − w / w ∈ Χ \ B v i ⎬ ⎧ ⎩ ⎭ ⎪ ~ Ñaët ⎨ w v i ξ i (v ) ,v∈ X ⎪Φ (v ) = ∑ ⎩ i ∑ ξ j (v ) j ~ ~ Khi ñoù ∀v1 , v 2 ∈ X vaø ∀ε > 0 , ta luoân ∃wε ∈ X \ Bvi : v 2 − wε < ξ i (v 2 ) + ε ⇒ ξ i (v1 ) ≤ v1 − wε ≤ v1 − v 2 + v 2 − wε < ξ i (v 2 ) + ε + v1 − v 2 ⇒ ξ i (v1 ) − ξ i (v 2 ) < ε + v1 − v 2 , ∀ε > 0 ⇒ ξ i (v1 ) − ξ i (v 2 ) ≤ v1 − v 2 (12) Chöùng minh töông töï ξ i (v 2 ) − ξ i (v1 ) ≤ v 2 − v1 (13) Töø (12) vaø (13) ta coù ξ i (v1 ) − ξ i (v 2 ) ≤ v1 − v 2 (14) Töø (11) vaø (14) ta deã daøng kieåm tra ñöôïc raèng Φ thoaû maõn vaán ñeà ñaët ra. Vaäy ñònh lyù ñöôïc chöùng minh hoaøn toaøn .‰ Trang 10
  10. Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient Ñònh nghóa 13: ⎧ f c = {v ∈ X / f (v ) ≤ c} ⎪ −1 ⎪ f (c ) = {v ∈ X / f (v ) = c} ⎪ Cho c ∈ R vaø δ > 0 , ta ñaët ⎨W = {v ∈ X / df (v ) = 0} ⎪W = {v ∈ W / f (v ) = c} = W ∩ f −1 (c ) ⎪ c ⎪⎩U δ = {v ∈ X / d (v, Wc ) < δ } .‰ Boå ñeà 14: Cho φ ≠ A ⊂ X . Ta coù (i). d:X →R v d (v ) = d (v, A) lieân tuïc ñeàu. (ii). Neáu A ñoùng thì d (v ) = 0 ⇔ v ∈ A Chöùng minh: (i). ∀u, v ∈ X , ∀w ∈ A .Ta coù: d (u , w ) ≤ d (u , v ) + d (v, w ) ,vôùi d (u , v ) = u − v ⇒ d (u , A) ≤ d (u , w ) ≤ d (u , v ) + d (v, w ) ⇒ d (u , A) − d (u , v ) ≤ d (v, w) ⇒ d (u , A) − d (u , v ) ≤ d (v, A) (Do tính chaát caän döôùi) ⇔ d (u , A) − d (v, A) ≤ d (u , v ) Chöùng minh töông töï d (v, A) − d (u , A) ≤ d (v, u ) Vaäy d (u , A) − d (v, A) ≤ d (u , v ) , ∀u, v ∈ X (ii). Neáu v ∈ A thì 0 ≤ d (v, A) ≤ d (v, v ) = 0 ⇒ d (v, A) = 0 Ngöôïc laïi neáu d (v, A) = 0 thì ∃{vn } ⊂ A sao cho: 0 ≤ d (v, v n ) < 1 n ⇒ lim d (v, v n ) = 0 ⇒ vn → v n → +∞ Maø A ñoùng neân v ∈ A .‰ Trang 11
  11. Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient Boå ñeà 15: Cho f thoaû ñieàu kieän (C ) thì ∀δ > 0 , ∃ b, ε > 0 : ( ) df (v ) ≥ b , ∀v ∈ f c +ε \ f c −ε \ U δ = D 2 Chöùng minh: 2 ∗ Neáu v ∈ D \ W thì choïn b = w > 0 (Do (8), phaàn chöùng 3 minh cuûa ñònh lyù 12), ta coù ngay df (v ) ≥ b ∗ Neáu v ∈ D ∩ W . Giaû söû boå ñeà treân sai, töùc laø: ⎛ c + 1n c− ⎞ 1 ∃δ > 0 vaø v n ∈ ⎜ f ⎜ \ f n ⎟⎟ \ U δ ,( ∀n ∈ N * ) ⎝ ⎠ 2 ⎧ 1 1 ⎪c − n < f (v n ) < c + n ⎪ δ df (v n ) ≤ Töùc laø ⎪⎨d (v n , Wc ) ≥ 1 thoaû (15) n ⎪ 2 ⎪ 1 ⎪ df (v n ) ≤ n ⎩ Do ñoù ∃v n → v~ (vì f thoaû ñieàu kieän (C ) ) k Töø ñoù cuøng vôùi (15), cho k → +∞ ta ñöôïc: ⎧c ≤ f (~v) ≤ c ⎪ ⎨ ~ δ ⎪⎩d (v, Wc ) ≥ 2 (Do boå ñeà 14) ⎧f (~v) = c ⎪ ⇒⎨ ~ δ ⎪⎩d (v, Wc ) ≥ 2 ⎧~ v ∈ Wc ⎪ ⇒⎨ ~ δ ⎪⎩d (v, Wc ) ≥ 2 ⎧d (~v, Wc ) = 0 (Do boå ñeà 14) ⎪ ⇒⎨ ~ δ ⎪⎩d (v, Wc ) ≥ 2 Daãn ñeán maâu thuaãn Vaäy boå ñeà ñöôïc chöùng minh .‰ Trang 12
  12. Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient Nhaän xeùt: (i). Qua vieäc chöùng minh naøy, suy ra ñöôïc raèng: “Neáu c>0 (töông öùng c 0, ∀v ∈ X ) ∗ g thoaû ñieàu kieän Lipschitz ñòa phöông treân X (Do boå ñeà 14) ∗ 0 ≤ g (v ) ≤ 1 , ∀v ∈ X ⎧1, v ∈ B ∗ g (v ) = ⎨ ⎩0, v ∈ A Xaây döïng töông töï, ta coù theâm haøm h Lipschitz ñòa phöông treân X ⎧1, v ∈ X \ U δ ⎪ thoaû: 0 ≤ h(v ) ≤ 1, ∀v ∈ X vaø h(v ) = ⎨ . 8 ⎪⎩0, v ∈ U δ 4 Löu yù: Caùc keát quaû naøy seõ ñöôïc söû duïng cho caùc boå ñeà vaø ñònh lyù veà sau trong chöông naøy .‰ Boå ñeà 16: Φ(v ) = g (v ).h(v ).ξ ( Φ(v ) ).Φ(v ) ~ Ñaët ,v∈ X ⎧ Φ laø haøm soá tìm ñöôïc ôû ñònh lyù 12 ⎪ ⎪ ⎧1 vôùi ⎨ ⎪ ,t ≥ 1 ⎪ ξ (t ) = ⎨t ⎪⎩ ⎪⎩1,0 ≤ t < 1 Khi ñoù Φ laø haøm Lipschitz ñòa phöông treân X vaø Φ(v ) ≤ 1, ∀v ∈ X . ~ ~ Trang 13
  13. Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient Chöùng minh: ⎧1 ,t ≥ 1 ⎪ ∀v ∈ X , ta coù 0 ≤ g (v ), h(v ) ≤ 1 vaø ξ (t ) = ⎨ t ⎪⎩1 ,0 ≤ t < 1 Do ñoù: ∗ Neáu Φ (v ) < 1 thì: Φ(v ) = g (v ).h(v ).ξ ( Φ (v ) ). Φ (v ) ~ ≤ 1.1.1. Φ (v ) < 1 ∗ Neáu Φ (v ) > 1 thì: Φ(v ) = g (v ).h(v ).ξ ( Φ (v ) ). Φ (v ) ~ . Φ (v ) = 1 1 ≤ 1 .1 . Φ (v ) Φ(v ) ≤ 1, ∀v ∈ X ~ Nhö vaäy Maët khaùc g , h, Φ ñeàu laø caùc haøm Lipschitz ñòa phöông treân X vaø ξ laø haøm Lipschitz treân [0,+∞ ) . Khi ñoù ∀v ∈ X , ∃Bv (quaû caàu môû taâm v) sao cho g , h, Φ laø caùc haøm Lipschitz treân Bv , vì vaäy: Φ(v1 ) − Φ(v 2 ) ~ ~ = g (v1 ).h(v1 ).ξ ( Φ(v1 ) ).Φ(v1 ) − g (v 2 ).h(v 2 ).ξ ( Φ(v 2 ) ).Φ(v 2 ) ≤ g (v1 ).h(v1 ).ξ ( Φ(v1 ) ).[Φ(v1 ) − Φ(v 2 )] + + g (v1 ).h(v1 ).ξ ( Φ(v1 ) ) − ξ ( Φ(v2 ) ). Φ(v 2 ) + + g (v1 ). h(v1 ) − h(v 2 ).ξ ( Φ (v 2 ) ). Φ (v 2 ) + + g (v1 ) − g (v 2 ).h(v1 ).ξ ( Φ (v 2 ) ). Φ (v 2 ) ≤ Φ(v1 ) − Φ(v 2 ) .M v + K v . v1 − v 2 . M v + Lv . v1 − v 2 .M v (vôùi K v , Lv , N v laàn löôït laø caùc haèng soá Lipschitz cuûa h, g , Φ vaø M v > 0 laø chaën treân cuûa Φ (v 2 ) ) ≤ Φ (v1 ) − Φ (v 2 ) .M v + (K v + Lv ).M v . u − v ≤ N v . v1 − v 2 .M v + (K v + Lv ).M v . u − v ≤ M v .(K v + Lv + N v ). v1 − v 2 , ∀v1 , v 2 ∈ Bv Trang 14
  14. Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient ~ ⇒ Φ Lipschitz treân Bv ~ ⇒ Φ Lipschitz ñòa phöông treân X .‰ Boå ñeà 17: Xeùt haøm Φ ôû boå ñeà 16. Khi ñoù ∀v ∈ X , goïi ϕ (v,⋅) laø nghieäm cuûa baøi ~ toaùn Cauchy: ⎧ dϕ = −Φ (ϕ ) ~ ⎪ ⎨ dt ,vôùi (ω − , ω + ) ( − ∞ ≤ ω − < ω + ≤ +∞ ):khoaûng lôùn nhaát chöùa 0 ⎪⎩ϕ (v,0 ) = v Khi ñoù: (i). ϕ (v,⋅) xaùc ñònh treân R (ii). ϕ (v, t ) = v, ∀t ∈ R, ∀v ∉ f −1 ([c − ε , c + ε ]) (iii). f (ϕ (v, t )) ≤ f (v ), ∀v ∈ X , ∀t ≥ 0 Chöùng minh: Neáu ω + < +∞, ∀s, t ∈ (ω − , ω + ) , ta coù: t t ϕ (v, s ) − ϕ (v, t ) = ∫ Φ(ϕ (v, r ))dr ∫ Φ(ϕ (v, r )) dr ~ ~ ≤ ≤ s −t s s ⇒ {ϕ (v, t )}t∈(ω − ,ω + ) laø daõy Cauchy trong X ⇒ ϕ (v, t ) → v~ ∈ X (khi t → ω + ) Vì vaäy nghieäm baøi toaùn Cauchy treân coù theå keùo daøi veà beân phaûi cuûa ω + .Daãn ñeán maâu thuaãn vôùi giaû thieát Do ñoù ω + = +∞. Chöùng minh töông töï ω − = −∞. Hôn nöõa Φ Lipschitz ñòa phöông treân X neân ϕ (v,⋅) laø nghieäm duy nhaát ~ xaùc ñònh treân R ∗ Ta coù g (v ) = 0, ∀v ∈ A ⇒ Φ(v ) = 0, ∀v ∈ A ~ ⇒ ϕ (v, t ) = v, ∀v ∉ f −1 ([c − ε , c + ε ]), ∀t ∈ R ⎛d ⎞ (ϕ (v, t )) = df (ϕ (v, t )).⎜ ϕ (v, t )⎟ df ∗ dt ⎝ dt ⎠ Trang 15
  15. Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient ( = −df (ϕ (v, t )). Φ(ϕ (v, t )) ~ ) = −df (ϕ (v, t )).g (ϕ (v, t )).h(ϕ (v, t )).ξ ( Φ (ϕ (v, t )) ).Φ (v, t ) = − g (ϕ (v, t )).h(ϕ (v, t )).ξ ( Φ (ϕ (v, t )) ).df (ϕ (v, t )).Φ (ϕ (v, t )) ≤ − g (ϕ (v, t )).h(ϕ (v, t )).ξ ( Φ(ϕ (v, t )) ). df (ϕ (v, t )) 2 ≤ 0, ∀v ∈ X , ∀t ∈ R (Vì Φ laø tröôøng vectô giaû gradient cuûa f treân Χ neân ~ df (ϕ (v, t )).(Φ(ϕ (v, t ))) ≥ df (ϕ (v, t )) , ∀df (ϕ (v, t )) ≠ 0 ) 2 f (ϕ (v, t )) ≤ 0, ∀v ∈ X , ∀t ∈ R d Nhö vaäy dt ⇒ f (ϕ (v, t )) ≤ f (ϕ (v,0 )), ∀v ∈ X , ∀t ≥ 0 ⇒ f (ϕ (v, t )) ≤ f (v ), ∀v ∈ X , ∀t ≥ 0 .‰ Ñònh lyù 18: Cho f thoaû ñieàu kieän (C ) , Wc ⊂ ∪ laø taäp môû vaø giaû thieát cuûa boå ñeà 17. Khi ñoù (( ) ) ∃ε > 0 : ϕ f c +ε \ f c −ε \ ∪,1 ⊂ f c −ε . Chöùng minh: ∗ Tröôøng hôïp 1: Neáu Wc ≠ φ , ta coù: Wc = {v ∈ W / f (v ) = c} = W ∩ f −1 (c ) laø taäp compact (Do ñònh lyù 5) Ta seõ chöùng minh ∃δ > 0 : ∪ δ ⊂ ∪ (Giaû söû ngöôïc laïi thì ∃ v n ∈ ∪ 1 \ ∪ , ∀n ∈ N * n ⇒ d (v n ,Wc ) < 1 n ⇒ ∃{wn } ⊂ Wc : v n − wn < d (v n ,Wc ) + 1 2 < n n 2 ⇒ v n − wn < (16) n Maø Wc laø taäp compact neân ∃w n → w ∈ Wc ⊂ ∪ k (17) Trang 16
  16. Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient ⎧ 2 ⎪ v nk − w nk < Nhö vaäy ⎨ k ⎪w n → w ⎩ k ⇒ v nk − w ≤ v nk − wnk + wnk − w 2 < + wnk − w → 0 k ⇒ v nk → w (18) ⎧⎪v nk ∉ ∪ ⇒⎨ (Do (17) vaø (18)) ⎪⎩v nk → w ∈ ∪ Ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi ∪ laø taäp môû) Do ñoù ñeå chöùng minh ñònh lyù naøy, ta caàn chöùng minh: ϕ (( f c +ε \ f c −ε ) \ ∪ δ ,1) ⊂ f c −ε laø ñuû (Do ∪ δ ⊂ ∪ neân ϕ (( f c +ε \ f c −ε ) \ ∪,1) ⊂ ϕ (( f c +ε \ f c −ε ) \ ∪ δ ,1) ) ⇔ f (ϕ (v,1)) ( ) ≤ c − ε , ∀v ∈ f c +ε \ f c −ε \ ∪ δ ⇔ α (1) ≤ c −ε (19) (vôùi α (t ) = f (ϕ (v, t )), t ∈ R ) Ta caàn chöùng minh (19), quaû vaäy: ∀v ∈ ( f c +ε \ f c −ε ) \ ∪ δ vaø ∀0 < t ñuû beù, thì ϕ (v, s ) ∈ ( f c +ε \ f c −ε ) \ ∪ δ , ∀s ∈ [0, t ] 8 2 ⎧⎪ϕ (v, t ) ∉ f c −ε Luùc naøy ta coù ⎨ ⎪⎩v ∈ f c +ε ⎧ f (ϕ (v, t )) > c − ε ⇒ ⎨ ⎩ f (v ) ≤ c + ε ⎧α (t ) > c − ε ⇒ ⎨ ⎩α (0) ≤ c + ε ⇒ α (0 ) − α (t ) < 2ε (20) ⎛d ⎞ t t ⇒ 2ε > − ∫ α , (s )ds = − ∫ df (ϕ (v, s )).⎜ ϕ (v, s )⎟.ds 0 0 ⎝ dt ⎠ t = ∫ ξ ( Φ (ϕ (v, s )) ).df (ϕ (v, s )).(Φ (ϕ (v, s )))ds 0 Trang 17
  17. Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient (Vì ϕ (v, s ) ∈ ( f c +ε \ f c −ε ) \ ∪ δ neân g (ϕ (v, s )) = h(ϕ (v, s )) = 1 ) 8 t ≥ ∫ ξ ( Φ (ϕ (v, s )) ). df (ϕ (v, s )) ds 2 0 ~ (Vì Φ laø tröôøng vectô giaû gradient cuûa f treân Χ ) t ≥ b ∫ ξ ( Φ (ϕ (v, s )) ). df (ϕ (v, s )) .ds (Do boå ñeà 15) 0 t ξ ( Φ (ϕ (v, s )) ). Φ (ϕ (v, s )) .ds ) b 2 ∫0 ≥ ~ (Vì Φ laø tröôøng vectô giaû gradient cuûa f treân Χ ) t ξ ( Φ(ϕ (v, s )) ).Φ(ϕ (v, s )).ds b 2 ∫0 ≥ t ∫ Φ(ϕ (v, s )).ds b (Vì g (ϕ (v, s )) = h(ϕ (v, s )) = 1 ) ~ = 2 0 t ∫ dt ϕ (v, s )ds b d = 2 0 ϕ (v, t ) − v b = 2 4ε δ ⇒ ϕ (v, t ) − v < < b 8 δ ⇒ ϕ (v, t ) − v < 8 ⇒ ϕ (v, t ) ∉ ∪ δ (21) 2 δ (Vì ngöôïc laïi thì d (ϕ (v, t ), Wc ) < 2 Cuøng vôùi d (v,Wc ) ≥ δ (Vì v ∉ ∪ δ ) δ δ ⇒ < d (v,Wc ) − d (ϕ (v, t ),Wc ) ≤ v − ϕ (v, t ) < (Do boå ñeà 14) 2 8 ñi ñeán maâu thuaãn) Trang 18
  18. Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient Neáu (19) sai thì α (1) > c − ε ⇒ c − ε < α (1) < α (t ) < α (0 ) ≤ c + ε ⇒ c − ε < f (ϕ (v, t )) ≤ c + ε ⇒ ϕ (v, t ) ∈ f c +ε \ f c −ε (22) Töø (21) vaø (22) ta coù ϕ (v, t ) ∈ ( f c +ε \ f c −ε ) \ ∪ δ 2 ⇒ df (ϕ (v, t )) ≥ b > 0 (Do boå ñeà 15) α (t ) ≤ −ξ ( Φ(ϕ (v, t )) ). df (ϕ (v, t )) d ⇒ 2 dt (Do keát quaû chöùng minh cuûa boå ñeà 17) ⎧1 ⎪ ,t ≥ 1 Vì ξ (t ) = ⎨ t ⎪⎩1,0 ≤ t < 1 Neân: α (t ) ≤ − df (ϕ (v, t )) ≤ −b 2 d ∗ Neáu Φ (ϕ (v, t )) < 1 thì 2 dt df (ϕ (v, t )) 2 α (t ) ≤ − d 1 ∗ Neáu Φ (ϕ (v, t )) ≥ 1 thì ≤− dt Φ(ϕ (v, t )) 4 ~ (Vì Φ laø tröôøng vectô giaû gradient cuûa f treân Χ ) ⎧ 1⎫ ⎧ 1⎫ α (t ) ≤ max⎨− b 2 ,− ⎬ = − min ⎨b 2 , ⎬ d Nhö vaäy dt ⎩ 4⎭ ⎩ 4⎭ Baát ñaúng thöùc cuoái ñuùng vôùi 0 < t ñuû beù, neân ta coù theå xem: ⎧ 1⎫ α (t ) ≤ − min ⎨b 2 , ⎬, ∀t ∈ (0, δ ] d dt ⎩ 4⎭ δ δ ⎧ 1⎫ α (t )dt ≤ − ∫ min ⎨b 2 , ⎬dt d ⇒∫ 0 dt 0 ⎩ 4⎭ ⎛ δ⎞ ⇒ α (δ ) − α (0) ≤ − min⎜ δb 2 , ⎟ ⎝ 4⎠ ⎧ δ⎫ ⇒ α (0) − α (δ ) ≥ min ⎨δb 2 , ⎬ ⎩ 4⎭ Trang 19
  19. Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient δ Cuøng vôùi (20) ta coù 2ε > α (0) − α (δ ) ≥ min ⎧⎨δb 2 , ⎫⎬ ⎩ 4⎭ ⎧ δb 2 δ ⎫ ⇒ ε > min ⎨ , ⎬ ⎩ 2 8⎭ Daãn ñeán maâu thuaãn Töùc laø (19) ñuùng. ∗ Tröôøng hôïp 2: Neáu Wc = φ thì ∪ δ = φ : Ta coù (f c +ε \ f c −ε ) \ ∪ ⊂ f c + ε \ f c −ε = B Do ñoù ta chæ caàn chöùng minh ϕ (B,1) ⊂ f c −ε laø ñuû ⇔ f (ϕ (v,1)) ≤ c − ε , ∀v ∈ B ⇔ α (1) ≤ c − ε (23) ∀v ∈ B, ∀t ∈ [0, δ ] , ta coù α (1) ≤ α (t ) ≤ α (0 ) ≤ c + ε ⎧c − ε < α (t ) ≤ c + ε Neáu (23) sai thì α (1) > c − ε ,neân ⎨ ⎩α (0) ≤ c + ε ⎧c − ε < f (ϕ (v, t )) ≤ c + ε ⇒⎨ (24) ⎩α (0) − α (t ) < 2ε ⇒ ϕ (v, t ) ∈ B ⇒ df (ϕ (v, t )) ≥ b > 0 Chöùng minh töông töï nhö tröôøng hôïp Wc ≠ φ , ta ñöôïc: ⎧ δ⎫ α (0) − α (δ ) ≥ min ⎨δb 2 , ⎬ ⎩ 4⎭ ⎧ δb 2 δ ⎫ Cuøng vôùi (24) ta coù ε > min ⎨ , ⎬ ⎩ 2 4⎭ Daãn ñeán maâu thuaãn Töùc laø (23) ñuùng Vaäy ñònh lyù ñöôïc chöùng minh hoaøn toaøn .‰ Trang 20
  20. Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient Ñònh lyù 19 (ñònh lyù Deformation): Vôùi giaû thieát nhö ñònh lyù 18, ta coù keát quaû maïnh hôn ϕ ( f c +ε \ ∪,1) ⊂ f c −ε Chöùng minh: ∀v ∈ f c +ε \ ∪ ta coù 2 tröôøng hôïp sau: ∗ Neáu v ∈ f c −ε thì f (ϕ (v,1)) ≤ f (ϕ (v,0 )) (Do boå ñeà 17) = f (v ) ≤ c − ε ⇒ ϕ (v,1) ∈ f c −ε ∗ Neáu v ∉ f c −ε thì v ∈ ( f c + ε \ f c −ε ) \ ∪ ⇒ ϕ (v,1) ∈ f c −ε (Do ñònh lyù 18) Toùm laïi, ta luoân coù ϕ (v,1) ∈ f c +ε , ∀v ∈ f c +ε \ ∪ Hay ϕ ( f c +ε \ ∪,1) ⊂ f c −ε .‰ Nhaän xeùt: ∗ Qua vieäc chöùng minh ñònh lyù 18 vaø ñònh lyù 19 ta keát luaän ñöôïc raèng: “Vôùi giaû thieát nhö ñònh lyù 19 vaø t 0 > 0 cho tröôùc thì luoân ∃ε : ϕ ( f c +ε \ ∪, t 0 ) ⊂ f c −ε (khoâng nhaát thieát laø t 0 phaûi baèng 1)”. (25) ∗ Keát hôïp vôùi phaàn nhaän xeùt cuûa boå ñeà 15, ta cuõng keát luaän ñöôïc raèng: “Neáu c>0 (töông öùng c

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản