Luận văn: Một số ứng dụng của phương pháp tọa độ trong việc giải toán ở trường THPT

Chia sẻ: Bfvhgfff Bfvhgfff | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52

Thêm vào BST

Báo xấu

267
lượt xem 63
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn: Một số ứng dụng của phương pháp tọa độ trong việc giải toán ở trường THPT trình bày về các kiến thức chuẩn bị, một số bài toán giải bằng phương pháp tọa độ, như: các bài toán tính toán, các bài toán giải phương trình, hệ phương trình,...và một số bài toán vận dụng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: Một số ứng dụng của phương pháp tọa độ trong việc giải toán ở trường THPT

TR¦êng ®¹i häc hïng v−¬ng Khoa khoa häc tù nhiªn Mét sè øng dông cña ph−¬ng ph¸p to¹ ®é trong viÖc gi¶I to¸n ë tr−êng thpt Ng−êi h−íng dÉn: Ths. Nguy n Chí Thanh Ng−êi thùc hiÖn : Nguy n Phương Th o Líp K4 §HSP To¸n Phó Thä, Th¸ng 06 n¨m 2009
2 M CL C L i nói ñ u………………………………………………………………. .3 M c l c…………………………………………………………………… 4 Chương I: C¸c kiÕn thøc chuÈn bÞ .......................................................... 6 Chư¬ng II: M t s l p bài to¸n gi i b ng phương pháp to ñ 2.1. C¸c b i to¸n tÝnh to¸n ...................................................................... 15 2.2. C¸c b i to¸n gi¶i ph−¬ng tr×nh, hÖ ph−¬ng tr×nh.............................. 18 2.3. C¸c b i to¸n gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh, hÖ bÊt ph−¬ng tr×nh.................. 20 2.4. C¸c b i to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc ........................................... 22 2.5. C¸c b i to¸n t×m cùc trÞ .................................................................... 23 2.6. C¸c b i to¸n t×m quü tÝch ................................................................. 26 2.7. C¸c b i to¸n dùng h×nh..................................................................... 28 Chương III: M t s bài toán v n d ng ................................................... 30 K t lu n ...................................................................................................... 51 Tài li u tham kh o……………………………………………………….52 2
3 M Đ U 1. Lý do ch n ñ tài Hình h c gi i tích là môn h c cơ b n c a chương trình toán ph thông cũng như ñ i h c, nó là cơ s ñ h c t t các môn toán khác. Chính vì v y, vi c hi u và n m v ng môn h c này là r t c n thi t. Hình h c gi i tích ñư c sáng l p ra ñ ng th i do hai nhà bác h c ngư i Pháp là Descartes(1596- 16500 và Ferma(1601-1655). Đ c trưng c a môn h c này là dùng phương pháp t a ñ ñ gi i các bài toán hình h c. Ph bi n nư c ta t nh ng năm 90 c a th k XX, phương pháp t a ñ ñã ch ng t ưu ñi m c a mình. Phương pháp này không ch dùng ñ gi i các bài toán hình trong m t ph ng hay trong không gian 3 chi u mà còn gi i ñư c các bài toán trong không gian n chi u v i hình d ng ph c t p mà vi c v hình ñ gi i toán là ñi u không th . G n ñây, trong nhi u kì thi tuy n sinh ñ i h c, thi h c sinh gi i hay trên các t p chí toán h c có nhi u bài toán không liên quan t i hình h c nhưng ñư c gi i b ng phương pháp t a ñ . Đó là các bài toán gi i phương trình, h phương trình, b t phương trình. Ho c ñó là các bài toán ch ng minh b t ñ ng th c hay tìm c c tr . Đi u ñó ñã g i cho chúng tôi ñ xu t ñ tài: “M t s ng d ng c a phương pháp t a ñ trong vi c gi i toán trư ng THPT”. Qua vi c nghiên c u n i dung này, chúng tôi ñã có ñi u ki n c ng c l i ki n th c ñã h c, b sung thêm nhi u ñi u b ích. 3
4 Chương 1: C¸c kiÕn thøc chuÈn bÞ 1. Các khái ni m cơ b n. 1.1. Khái ni m h tr c t a ñ trong m t ph ng y H t a ñ afin (O; i , j ) có cơ s ( i, j ) g m hai y M(x, y) vectơ ñơn v vuông góc v i nhau ñư c g i là h t a ñ tr c chu n ( hay còn g i là h t a ñ j Descartes vuông gãc). KÝ hiÖu: Oxy (hình 1.1). O x x i 1.2. T a ñ vectơ- T a ñ ñi m Đ i v i h tr c t a ñ (O; i , j ), n u vectơ a ñư c Hình 1.1 vi t dư i d ng: a = xi+ y j thì c p s (x, y) ñư c g i là t a ñ c a vectơ a . Kí hi u: a =(x, y). Trong m t ph ng Oxy, t a ñ c a vectơ OM ñư c g i là t a ñ c a ñi m M. Kí hi u: M(x, y) ⇔ OM = xi + y j . 1.3. Phép tính vectơ: Trong m t ph ng cho các véctơ: a = (a1 , a2 ) ; b = (b1 , b2 ) v c¸c ®iÓm A(xA, yA); B(xB, yB) Ta có:  a = b1 • a= b ⇔  1   a 2 = b2  • a +b = (a1+ b1, a2+ b2) • a − b = ( a1 − b1 , a2 − b2 ) • k a = (ka1 , ka2 ) • a = a12 + a2 2 AB= ( x B − x A )2 + ( y B − y A) 2 • • a b ⇔ a1b2 = a2b1 . • a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 = 0 . 4
5 a1b1 + a2b2 • N u a , b khác 0 thì: cos( a, b ) = . a12 + a2 2 . b12 + b2 2 1.4. Các công th c liên quan §iÓm M( x , y )chia ño n AB theo t s k ≠ -1 ⇔ MA = k MB M M  x − kx  x = A B ⇔  M 1− k   y − ky y M = A B  1− k  x +x x = A B §iÓm I (x1 , y1) là trung ñi m c a ño n th ng AB ⇔  1  2  y +y y = A B  1 2  x +x +x  x = A B C §iÓm M là tr ng tâm cña ∆ ABC ⇔  M 3   y +y +y A B C y M =  3 Phương trình ñư ng th ng: Ax + By+ C =0 (1), A2 + B2 ≠ 0. §ư ng th ng cho b i (1) có vect¬ ph¸p tuyÕn n = ( A, B); vect¬ chØ ph−¬ng u (-B, A). Đư ng th ng ñi qua ñi m M ( x0 , y0 ) và có vectơ pháp tuy n n =( A, B) có phương trình là: A(x- x0 ) + B( y- y0) =0. Phương trình tham s c a ñ−êng th ng ñi qua ñi m M ( x0 , y0 ) và có  x = x0 + a t  vect¬ chØ ph−¬ng u ( a, b) là:   y = y0 + bt  Phương trình chính t c c a ñư ng th ng ñi qua ñi m M ( x0 , y0 ) và cã x − x0 y − y0 vectơ ch phương u ( a, b) là: = . a b Phương trình ñư ng th ng ñi qua ñi m M ( x0 , y0 ) và có h s góc k cho trư c: y = k(x- x0) + y0. 5
6 Phương trình ñư ng th ng ñi qua A( a, 0) và B(0, b) có phương trình: x y + = 1 . (cßn gäi l ph−¬ng tr×nh ®o¹n ch¾n) a b Cho chùm ñư ng th ng xác ñ nh b i hai ñư ng th ng c¾t nhau: (d1): A1 x + B1 y + C1 = 0 và ñư ng th ng (d2): A 2 x + B2 y + C2 = 0 . Khi ñó m i ñư ng th ng c a chùm có phương trình d¹ng: α ( A1 x + B1 y + C1 ) + β ( A2 x + B2 y + C2 ) = 0 v i α 2 + β 2 ≠ 0 . Kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm ®Õn mét ®−êng th¼ng Trong hÖ to¹ ®é trùc chuÈn cho ®−êng th¼ng (d1) cã ph−¬ng tr×nh: Ax + By +C = 0 v mét ®iÓm M( x0 , y0 ). Kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn ®−êng Ax0 + By0 + C th¼ng (d1) ®−îc tÝnh theo c«ng thøc: d(M, d1)= . A2 + B 2 Gãc gi÷a hai ®−êng th¼ng Trong hÖ to¹ ®é trùc chuÈn cho ®−êng th¼ng (a) cã ph−¬ng tr×nh: Ax + By +C = 0 v (a’) cã a n ph−¬ng tr×nh: A’x + B’y +C’ = 0. Khi ®ã: gãc α gi÷a hai ®−êng th¼ng (a) v (a’) ®−îc a' n' AA '+ BB ' tÝnh theo c«ng thøc: cos α = . Hình 1.2 A + B . A' + B ' 2 2 2 2 Nh− vËy: 2 ®−êng th¼ng (a) v (a’) vu«ng gãc víi nhau ⇔ AA '+ BB ' = 0 . §−êng trßn cã t©m I( a, b); b¸n kÝnh R > 0 cã ph−¬ng tr×nh l : (x- a) 2 + (y- b)2= R2. z 1.5. Khái ni m h tr c t a ñ trong không gian Cho 3 trôc täa ®é Ox, Oy, Oz ñôi m t vuông góc M víi nhau v chung mét ®iÓm gèc O. Gäi i , j , k k O l c¸c vect¬ ®¬n vÞ t−¬ng øng trªn c¸c trôc Ox, i j y Oy, Oz. HÖ 3 trôc nh− vËy gäi l hÖ täa ®é M' Descartes vu«ng gãc Oxyz, hay (O; i, j, k ). x 1.6. T a ñ vectơ - T a ñ ñi m Hình 1 .3 6
7 + Đ i v i h tr c t a ñ (O; i , j, k ),n u vectơ a ñư c vi t dư i d ng: a = xi+ y j + zk thì c p s (x, y, z) ñư c g i là t a ñ c a vectơ a , kí hi u: a =(x, y, z). + Trong không gian Oxyz, t a ñ c a vectơ OM ñư c g i là t a ñ c a ñi m M. Kí hi u: M(x, y, z) ⇔ OM = xi + y j + zk . 1.7. Phép tính vectơ: Trong không gian cho các véctơ: a = (a1 , a2 , a3 ) ; b = (b1 , b2 , b3 ) và các ñi m M 1 ( x1 , y1 , z1 ); M 2 ( x2 , y2 , z2 ). Ta có: a +b = ( a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ). a − b = ( a1 − b1 , a2 − b2 , a3 − b3 ) . k a = (ka1 , ka2 , ka 3 ) . M 1M 2 = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) . Kho ng cách d gi a hai ñi m M 1 ( x1 , y1 , z1 ) và M 2 ( x2 , y2 , z2 ) là ñ dài c a vectơ M 1 M 2 , ñư c xác ñ nh b i: d = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + ( z2 − z1 )2 . Đi m M(x, y, z) chia ño n th ng M1M2 theo t s k: MM 1 = k MM 2  x1 − kx2 x = 1− k  ñư c xác ñ nh b i công th c:  y1 − ky2 y =  1− k  z1 − kz2 z=  1− k • Đ c bi t: N u k= -1 thì M là trung ñi m c a ño n th ng M1M2. Khi ñó x +x y +y z +z t a ñ c a ñi m M là: M ( A B , A B , A B ) . 2 2 2 7
8 NÕu u = ( x1 , y1 , z1 ) ; v = ( x2 , y2 , z2 ) th×: u.v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 . • §Æc biÖt: u ⊥ v ⇔ u.v = 0 . NÕu u ≠ 0 , v ≠ 0 th×: cos( u, v ) = u.v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 . u.v x1 + y1 + z1 . x2 + y2 + z2 2 2 2 2 2 2 Tích vevtơ (hay tích có hư ng) c a hai vectơ u ( x1 , y1 , z1 ) và v ( x2 , y2 , z2 ) kí hi u là u, v  là m t vectơ xác ñ nh b i:   u,v =  y1 z1 z1 x1 x1 y1  .    y  z2 , z2 x2 , x2   y2   2 Các tính ch t: u và v c ng tuy n ⇔ u, v  = 0 .   u ⊥ u, v  và v ⊥ u, v      u, v  = u . v .sin α trong ñó α là góc gi a hai vectơ u và v .    u , v  = −  v, u       ku, v  = u, kv  = k u, v  k ∈ R.       u , v + t  = u , v  + u , t        §iÒu kiÖn cÇn v ®ñ ®Ó 3 vect¬ u , v , t ®ång ph¼ng l : u, v  t = 0 .   1.8. C¸c c«ng thøc liªn quan. DiÖn tÝch cña tam gi¸c cã c¸c ®Ønh A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), C(x3, y3, z3) ®−îc cho bëi c«ng thøc: A 1 S =  AB, AC . △ABC 2   B y2 −y1 z2 −z1 z2 −z1 x2 −x1 x2 −x1 y2 −y1 2 2 2 hay: S = + + C △A C y3 −y1 z3 −z1 z3 −z1 x3 −x1 x3 −x y3 −y1 B 1 ThÓ tÝch h×nh hép dùng trªn 3 vect¬ AB , AD , AA ' l : A D' C' Vhép=  AB; AD  . AA ' .   B' A' C D D 8 A B B C
9 ThÓ tÝch h×nh tø diÖn ABCD l : 1 V tø diÖn = AB; AC  . AD . 6  §iÓm G l träng t©m ∆ ABC khi v chØ khi: x +x +x y +y +y z +z +z G = ( A B C , A B C , A B C ). 3 3 3 §iÓm G l träng t©m tø diÖn ABCD khi v chØ khi: x +x +x +x y +y +y +y z +z +z +z G = ( A B C D , A B C D , A B C D ). 4 4 4 Vect¬ n ≠ 0 n»m trªn ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mp(P) gäi l vect¬ ph¸p tuyÕn cña (P). MÆt ph¼ng (P) qua M( x0 , y0 , z0 ) cã vect¬ ph¸p tuyÕn l n(A, B, C ) cã ph−¬ng tr×nh l : A(x - x0)+ B(y - y0)+ C(z - z0)= 0. Ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mp(P) l : Ax+By+Cz+D=0 víi ( A2 + B 2 + C 2 > 0 ). Mét sè tr−êng hîp ®Æc biÖt: mp: Ax + By + Cz = 0 qua O(0, 0, 0). mp: Ax + Cz+D = 0 song song víi Oy. mp: Ax+ D = 0 song song víi mp(yOz). mp: x= 0 l mp(yOz). ∆ ABC cã n =  AB, AC  l vect¬ ph¸p tuyÕn cña mp(ABC).   x y z Ph−¬ng tr×nh + + = 1 ®−îc gäi l ph−¬ng tr×nh ®o¹n ch¾n cña a b c mÆt ph¼ng qua A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c) (a.b.c ≠ 0). VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña 2 mÆt ph¼ng- Chïm mÆt ph¼ng Cho 2 mÆt ph¼ng (P): Ax+ By+ Cz+ D=0, (P’): A’x+ B’y+ C’z+ D’= 0. Khi ®ã: (P) ≡ (P’) ⇔ A:B:C:D=A’:B’:C’:D’  A : B : C = A ': B ': C ' (P) (P’) ⇔    A : B : C : D ≠ A ': B ': C ': D '  (P) c¾t (P’) ⇔ A:B:C ≠ A’:B’:C’ 9
10 NÕu (P) c¾t (P’) theo ®−êng th¼ng (∆) th× mäi mÆt ph¼ng qua (∆) cã ph−¬ng tr×nh: λ (Ax+ By+ Cz+D) + µ (A’x+ B’y+ C’z+ D’)=0, ( λ 2 + µ 2 ≠ 0 ). Ph−¬ng tr×nh cña ®−êng th¼ng: Cho 2 mÆt ph¼ng (P): Ax+ By+ Cz+ D=0, (P’): A’x+ B’y+ C’z+ D’= 0, (P) ∩ (P’)= (∆). Khi ®ã ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña (∆) l :  Ax + By + Cz + D = 0  (1)   A’x + B’y + C’z + D’ = 0  (2) mp(1) cã vect¬ ph¸p tuyÕn n1 = ( A, B, C ) , mp(2) cã vect¬ ph¸p tuyÕn n2 = ( A ', B ', C ') . Khi ®ã: u =  n1 , n 2  l vect¬ chØ ph−¬ng cña (∆).   §−êng th¼ng (∆) qua ®iÓm M( x0 , y0 , z0 ) cã vect¬ chØ ph−¬ng u (a, b, c)  x = x0 + at cã: + Ph−¬ng tr×nh tham sè l :  y = y0 + bt    z = z0 + ct x − x0 y − y0 z − z0 + Ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c l : = = (a.b.c ≠ 0). a b c VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña c¸c ®−êng th¼ng Cho ®−êng th¼ng (d) qua M0( x0 , y0 , z0 ) cã vect¬ chØ ph−¬ng u (a, b, c) , ®−êng th¼ng (d’) qua M( x '0 , y '0 , z '0 ) cã vect¬ chØ ph−¬ng u (a ', b ', c ') . Khi ®ã: + d v d’ ®ång ph¼ng ⇔ u, u ' MM 0 = 0 .   u Mo d  u, u ' MM 0 = 0 + d c¾t d’ ⇔     d' a : b : c ≠ a ': b ': c '  M u' + d d’ ⇔ a: b: c = a’: b’: c’ ≠ ( x0 '− x0 ) : ( y0 '− y0 ) : ( z0 '− z0 ) ( tøc l u, u ' cïng ph−¬ng nh−ng kh«ng cïng ph−¬ng M 0 M 0 ' ). + d ≡ d’ ⇔ u ; u ' ; M 0 M 0 ' cïng ph−¬ng. 10
11 ⇔ a: b: c = a’: b’: c’= ( x0 '− x0 ) : ( y0 '− y0 ) : ( z0 '− z0 ) . + d v d’ chÐo nhau ⇔ u, u ' MM 0 ≠ 0 .   VÞ trÝ t−¬ng ®èi gi÷a ®−êng th¼ng v mÆt ph¼ng  x = x0 + at  Cho ®−êng th¼ng (d):  y = y0 + bt qua M( x0 , y0 , z0 ) cã vect¬ chØ ph−¬ng   z = z0 + ct u (a, b, c) v mp(P): Ax + By + Cz + D=0 cã vect¬ ph¸p tuyÕn n = ( A, B, C ) ( A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 ). + (d) c¾t (P) khi v chØ khi: Aa + Bb + Cc ≠ 0.  Aa + Bb + Cc= 0 + (d) song song víi (P) khi v chØ khi:    Ax 0 + By0 + Cz 0 + D ≠ 0   Aa + Bb + Cc = 0 + (d) n»m trªn (P) khi v chØ khi:    Ax 0 + By0 + Cz 0 + D = 0  Kho¶ng c¸ch Trong kh«ng gian cho (P): Ax + By + Cz + D = 0 v ®iÓm M0 ( x0 , y0 , z0 ). Khi ®ã kho¶ng c¸ch tõ M0 tíi (P) ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau : Ax 0 + By0 + Cz0 + D d ( M 0 ,( P )) = . A2 + B 2 + C 2 Cho ®iÓm M1 v ®−êng th¼ng (d) ®i qua M0 v cã vect¬ chØ ph−¬ng u . Khi ®ã kho¶ng c¸ch tõ M1 tíi (d) ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau:   M 0 M 1; u  d (M 1 ,(d )) = M 1 H =  . u • Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng chÐo nhau: Trong kh«ng gian cho 2 ®−êng th¼ng chÐo nhau cã ph−¬ng tr×nh tham sè:  x = x0 + at  x = x '0 + a ' t u   Mo (d1):  y = y0 + bt (d2):  y = y '0 + b ' t ; d1    z = z0 + ct  z = z '0 + c ' t h Kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®−êng th¼ng (d1) v (d2) ®−îc Mo' u' d2 11
12 tÝnh theo c«ng thøc: a1 b1 c1 a1 ' b '1 c '1 d (d1 , d 2 ) = (u, u ', M M ') = 0 0 x '0 − x0 y '0 − y0 z '0 − z0 . u, u ' b1 c1 2 c1 a1 2 a1 b1 2   + + b '1 c '1 c '1 a1 ' a '1 b '1 Gãc Trong hÖ täa ®é trùc chuÈn Oxyz cho 2 ®−êng th¼ng (d) v (d’) cã vect¬ chØ ph−¬ng lÇn l−ît l : u = ( p, q, r) v u ' =(p’, q’, r’). Gãc gi÷a 2 ®−êng th¼ng (d) v (d’) ®−îc tÝnh theo c«ng thøc: pp '+ qq '+ rr ' cos((d), (d’)) = . p 2 + q 2 + r 2 . p '2 + q '2 + r '2 §Æc biÖt: (d) ⊥ (d’) ⇔ pp’ + qq’+ rr’ = 0. Gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng: Trong hÖ täa ®é trùc chuÈn Oxyz cho: (P): Ax + By + Cz + D = 0 ( A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 ), n = ( A, B, C ) v (P’): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 ( A '2 + B '2 + C '2 ≠ 0 ), n ' = ( A ', B ', C ') . Khi ®ã: Gãc α gi÷a (P) v (P’) ®−îc tÝnh theo c«ng thøc: AA '+ BB '+ CC ' (d) n cos α = . A2 + B 2 + C 2 . A '2 + B '2 + C '2 w (d') §Æc biÖt (P) ⊥ (P’) khi v chØ khi: P AA’ + BB’ + CC’ = 0. Gãc gi÷a ®−êng th¼ng v mÆt ph¼ng Trong kh«ng gian cho (P): Ax + By + Cz + D = 0, ( A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 )  x = x0 + at  v ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh:  y = y0 + bt , ( a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0 ).   z = z0 + ct 12
13 Khi ®ã: gãc ϕ gi÷a (d) v (P) ®−îc tÝnh theo c«ng thøc: Aa + Bb + Cc sin ϕ = , 0 ≤ ϕ ≤ 900. A + B +C . a +b +c 2 2 2 2 2 2 §Æc biÖt: (d) (P) hoÆc (d) ⊂ (P) khi v chØ khi: Aa+ Bb+ Cc = 0. 13
14 Chương 2: Mét sè líp bµi to¸n gi¶I b»ng ph−¬ng ph¸p to¹ ®é 2.1. Các bài toán tính toán Ph−¬ng ph¸p gi¶i: + Chän hÖ täa ®é thÝch hîp: - Trong mÆt ph¼ng, chän hÖ täa ®é cã 2 ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi nhau, gèc täa ®é l giao ®iÓm cña 2 ®−êng th¼ng ®ã. - Trong kh«ng gian, chän hÖ täa ®é cã ®Ønh v c¸c trôc Ox, Oy, Oz l tam diÖn vu«ng hoÆc ta vÏ thªm mét sè ®−êng ®Ó ®−îc mét tam diÖn vu«ng. G¾n c¸c trôc Ox, Oy, Oz thÝch hîp. + BiÓu diÔn c¸c ®iÓm ® cho qua hÖ täa ®é võa chän. T×m ph−¬ng tr×nh c¸c ®−êng, mÆt ® cho. + Sö dông c¸c kiÕn thøc h×nh häc gi¶i tÝch, ph−¬ng tr×nh ®−êng, mÆt, c¸c c«ng thøc tÝnh kho¶ng c¸ch, diÖn tÝch, gãc, thÓ tÝch ®Ó l m s¸ng tá yªu cÇu b i to¸n. B i 1. Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD.A’B’C’D’ cã 3 kÝch th−íc l a, b, c. H y tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng chéo nhau BD v CD’ theo c¸c kÝch th−íc a, b, c. Gi i: Chän hÖ to¹ ®é Oxyz sao cho c¸c tia Ox, Oy, Oz trïng víi c¸c tia AB, AD, AA’( Hình 2.1). Theo c¸ch ®Æt ®ã v theo b i ra ta cã: z A(0, 0, 0); B(a, 0, 0); D(0, b, 0); A’(0, 0, c); C(a, b, 0). A' D' V×: CD’ (A’BD) nªn d(CD’, BD) = d[C, (A’BD)]. c C' B' x y z MÆt ph¼ng A’BD cã ph−¬ng tr×nh: + + = 1. b y a b c a A D Do ®ã: d(CD’, BD) = d[C, (A’BD)]= x B C 14
15 1 +1 + 0 −1 abc = = 2 2 2 2 2 2. 1 1 1 + 2+ 2 a b +b c +c a 2 a b c abc VËy kho¶ng c¸ch gi÷a BD v CD’ b»ng . a b + c 2b 2 + a 2 c 2 2 2 B i 2. Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i C. Trªn c¸c c¹nh BC, CA, AB lÇn MB NC PA l−ît lÊy c¸c ®iÓm M, N, P sao cho: = = . MC NA PB Chøng minh r»ng: a) CP ⊥ MN. b) CP= MN. Gi i: Chän hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxy sao cho: O ≡ C, tia Ox ≡ CA, tia Oy ≡ CB (hình 2.2). Ta cã to¹ ®é c¸c ®iÓm: C(0, 0); A(1, 0); B(0, 1). MB NC PA Tõ gi¶ thiÕt ta ®Æt: = = = k ( k > 0). MC NA PB Do ®ã: y B  1  BM = k MC  CM = CB  1+ k M    CN = k NA  ⇒ CN = k CA  1+ k P  AP = k PB    1 k CP = CA + CB  1+ k 1+ k C N A x Hình 2.2  1  M (0, 1 + k )   k k −1 1 k ⇒  N( ,0) ⇒ MN ( , ) ; CP( , ).  1+ k 1+ k k 1+ k 1+ k  1 k  P( , )  1+ k 1+ k a ) Ta thÊy: MN .CP = 0 ⇒ MN ⊥ CP .  k   −1  k 2 +1 k 2 +1 2 2 2 2  1   k  b) MN =  + = ; CP =  + = 2 2     .  1+ k   1+ k  (1 + k )2  1+ k   1+ k  (1 + k )2 VËy MN= CP (®pcm). 15
16 B i 3. Cho h×nh chãp SABC cã ®¸y l tam gi¸c ®Òu cã c¹nh l 2a, c¹nh SC vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng(ABC) v cã SC= a. Gäi d1 l ®−êng th¼ng ®i qua ®Ønh S v trung ®iÓm E cña c¹nh BC, d2 l ®−êng th¼ng ®i qua C v trung ®iÓm D cña c¹nh AB. TÝnh gãc v kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng d1 v d2. Gi i: Chän hÖ trôc to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxyz sao cho: O ≡ C, c¸c ®iÓm D, S lÇn l−ît n»m trªn c¸c trôc Oy, Oz (Hình 2.3). Khi ®ã: Ox AB. Ta cã: a a 3 C(0, 0, 0); D(0, a 3 , 0); B(a, a 3 , 0); E( , , 0); S(0, 0, a). 2 2 a a 3 ⇒ CD =(0, a 3 , 0); SE =( , , -a). 2 2 C¸c ®−êng th¼ng d1 v d2 lÇn l−ît cã VTCP l SE v CD . 3 2 z a 2 6 ⇒ cos( SE , CD ) = = . a 3.a 2 4 S(0, 0, a) VËy gãc gi÷a 2 ®−êng th¼ng SE v CD l gãc 6 A tho¶ m n: cos( SE , CD )= . O 4 C §Ó tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®−êng th¼ng d2 SE, CD ta lËp ph−¬ng tr×nh mp(P) chøa CD E D x y d1 v song song víi SE. B Hình 2.3 Mp(P) qua C(0, 0, 0) nhËn SE v CD l m cÆp VTCP.  a 3 0 0 0 0 a 3   a2 3 Gäi n = CD, SE  =  = ( −a 3 , 0, - 2 ). a 3   , a,a  a 3  −a − a 2 2   2  2 2  a2 3 Do ®ã ph−¬ng tr×nh mp(P) l : −a 2 3 x- z =0. Tõ ®ã ta cã: 2 16
17 a3 3 2 a 5 d(d1, d2)= d(S, (P))= = . 3 4 5 3a + a 4 4 a 5 VËy kho¶ng c¸ch gi÷a SE v CD l d(d1, d2)= . 5 2.2. Các bài toán gi i phương trình, h phương trình Ph−¬ng ph¸p gi¶i: + Sö dông bÊt ®¼ng thøc vect¬: u + v ≤ u + v dÊu “ = ” x¶y ra ⇔ u = k.v (k >0), u − v ≥ u − v dÊu “=” x¶y ra ⇔ u = k .v (k > 0) + Sö dông sù t−¬ng giao cña c¸c ®−êng trong mÆt ph¼ng: Trong mÆt ph¼ng cho ph−¬ng tr×nh c¸c ®−êng y= f(x), y= ax+ b. Khi ®ã: nghiÖm cña f(x) = ax+ b l ho nh ®é giao ®iÓm cña 2 ®−êng y= f(x) v y= ax+ b. B i 4. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: x 2 + 2 x + 10 + x 2 − 6 x + 13 = 41 .(1) Gi¶i: Ta cã: (1) ⇔ ( x + 1)2 + 9 + ( x − 3)2 + 4 = 41 . Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy chän c¸c vect¬ cã to¹ ®é: u = ( x + 1,3) ⇒ u = ( x + 1)2 + 9 ; v = (− x + 3,2) ⇒ v = ( x − 3)2 + 4 . ⇒ u + v = ( x + 1)2 + 9 + ( x − 3)2 + 4 . MÆt kh¸c: u + v = ( x + 1 + 3 − x,3 + 2) = (4,5) ⇒ u + v = 42 + 52 = 41 . M : u + v ≥ u + v nªn: x 2 + 2 x + 10 + x 2 − 6 x + 13 ≥ 41 . x +1 3 DÊu “=” x¶y ra ⇔ u = kv víi k > 0 nªn : = ⇔ 2 x + 2 = 9 − 3x 3− x 2 7 ⇔ 5x = 7 ⇒ x = . 5 7 VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ® cho l : x = . 5 17
18 B i 5. T×m m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã 1 nghiÖm duy nhÊt: x2 + y2 − x − 6 y + 8 = 0 (1)   2  x + y − 2mx −1 = 0 (2) 2  Gi¶i: 1 Ph−¬ng tr×nh (1) l ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn(C), t©m I1( , 3); b¸n kÝnh 2 5 R1 = . Ph−¬ng tr×nh (2) l ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn (C’), t©m I2(m, 0); b¸n 2 kÝnh R2 = 1 + m2 . HÖ cã nghiÖm duy nhÊt khi v chØ khi (C) tiÕp xóc (C’). + Tr−êng hîp 1: (C) v (C’) tiÕp xóc ngo i nhau: ThÕ th×: I1I2 = R1+ R2. 2  1 5 Nh−ng: I1I2 =  m −  + 32 , R1+ R2 = + 1 + m2 , nªn ta cã:  2 2 2  1 5 5 37  m − 2  + 3 = 2 + 1 + m ⇔ 4 + m + 1 + 5(m + 1) = m − m + 4 2 2 2 2 2   ⇔ 5(m2 + 1) = 7 − m ⇔ 5(m2 + 1) = 49 − 14m + m 2 ( m ≤ 7).  m=2 ⇔ 2m + 7m − 22 = 0 ⇒  2  m = − 11   2 11 VËy cã hai gi¸ trÞ m = 2, m = - ®Ó hai ®−êng trßn ® cho tiÕp xóc ngo i 2 nhau. + Tr−êng hîp 2: (C) v (C’) tiÕp xóc trong: Tøc l : I1I2 = R1 − R2 hay: 2  1 5 1 5  m − 2  + 3 = 2 − m + 1 ⇔ m − m + 4 + 9 = m + 1 − 5(m + 1) + 4 2 2 2 2 2    m=2 ⇔ 2m + 7m − 22 = 0 ⇒  2  m = − 11   2 VËy cã hai gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ® cho cã nghiÖm duy nhÊt. 18
19 B i 6. BiÖn luËn sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh sau theo m: 4 − x 2 = mx + 2 − m Gi¶i: y Ta xÐt ®−êng cong y= 4 − x 2 (1) ( x ∈  −2,2  ) v   2 A ®−êng y= mx + 2 − m .(2) -2  y≥0 XÐt ®−êng cong: y = 4 − x2 ⇔  2  (I) B O 1 C x x + y = 4 2  Hình 2.4 ⇒ (I) l nöa phÝa trªn trôc Ox cña ®−êng trßn t©m O(0, 0) b¸n kÝnh R= 2 cã ph−¬ng tr×nh: x 2 + y 2 = 4 . XÐt: y= mx + 2 − m (2) l ®−êng th¼ng (∆) cã hÖ sè gãc k= m v víi mäi gi¸ trÞ cña m ®−êng th¼ng (∆) lu«n ®i qua ®iÓm A(1, 2). VËy ph−¬ng tr×nh ® cho cã nghiÖm khi ®−êng th¼ng (∆): y= mx + 2 − m c¾t nöa ®−êng trßn t©m O(0, 0), b¸n kÝnh R= 2 víi y > 0. XÐt (d) l tiÕp tuyÕn ®i qua A(1, 2), khi ®ã kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn (d) b»ng 2  4 ⇔ 2−m m = − 3 =2⇔  m2 + 1  m=0 2 G i 2 ñi m B(-2, 0) và C(2, 0), h s góc c a ñư ng th ng AB: kAB = ,h 3 s góc c a ñư ng th ng AC: kAC= -2. 2 4 V y: Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm khi 0 < m < ; -2 < m < − . 3 3 2 Phương trình có 1 nghi m khi < m; m< -2. 3 2.3. Các bài toán gi i b t phương trình, h b t phương trình Sö dông bÊt ®¼ng thøc vect¬: u.v ≤ u v ; u.v ≤ u v ; u − v ≥ u − v ; u+v+w ≤ u + v + w ; Sö dông sù t−¬ng giao cña c¸c ®−êng trong mÆt ph¼ng. B i 7 . Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: x + 1 + 2 x − 3 + 50 − 3x ≤ 12 . 19
20 Gi¶i:  3 50  TËp x¸c ®Þnh: x∈  ,  . 2 3  Trong không gian Oxyz chän: u = ( x + 1 , 2 x − 3 , 50 − 3x ). ⇒u= x + 1 + 2 x − 3 + 50 − 3x = 48 = 4 3 ; v = ( 1, 1, 1) ⇒ v = 3. Ta cã: u . v = 12 v u.v = x + 1 + 2 x − 3 + 50 − 3x . M u.v ≤ u . v hay x + 1 + 2 x − 3 + 50 − 3x ≤ 12 .  3 50  VËy bÊt ph−¬ng tr×nh ®óng víi x ∈  ,  . 2 3  m B i 8. Cho hÖ ph−¬ng tr×nh: B D 2  x2 − (3m −1) x + 2m2 − m < 0  x= m  (I)   x2 + m2 = 4 -2 I C O x 1. T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm. 2 x+ m- 2= 0 2. T×m m ®Ó hÖ cã ®óng mét nghiÖm. A -2 3. T×m m ®Ó hÖ cã hai nghiÖm ph©n biÖt. Gi¶i: Hình 2.5 ( x − m)( x − 2 + m) ≤ 0 (1) (I) ⇔     x 2 + m2 ≤ 4 (2) XÐt hÖ to¹ ®é Oxm, ta cã: + C¸c ®iÓm M(x, m) tho¶ m n (1) thuéc phÇn mÆt ph¼ng giíi h¹n bëi 2 ®−êng th¼ng x- m = 0 v x- 2+ m= 0. + C¸c ®iÓm M(x, m) tho¶ m n (2) thuéc phÇn trong h×nh trßn t©m O(0, 0) b¸n kÝnh R= 2 (kÓ c¶ ®−êng viÒn). + C¸c ®iÓm tho¶ m n hÖ thuéc miÒn g¹ch trong h×nh vÏ 2.5, víi to¹ ®é A, D  x−m =0  A(− 2, − 2) l nghiÖm cña hÖ:  2  ⇒  x + m = 4 2   D( 2, 2)  x − 2 + m = 0  B(0,2) To¹ ®é cña B, C l nghiÖm cña hÖ:  2  ⇒   x +m =4 2  C (2,0)  20