Luận văn: NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

Chia sẻ: Greengrass304 Greengrass304 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

132
lượt xem 35
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bất đẳng thức biến phân được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như kinh tế, kỹ thuật, vận trù học, vật lý toán. Gần đây, bài toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức biến phân (còn gọi là ràng buộc cân bằng) cũng là một đề tài được nhiều người quan tâm nghiên cứu vì vai trò quan trọng của nó trong lý thuyết toán học và trong ứng dụng thực tế.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN DŨNG NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN DŨNG NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60. 46. 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Môc lôc Më ®Çu 3 1 Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n 6 1.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n ........................ 6 1.2. Sù tån t¹i nghiÖm. ........................ 7 1.3. Mét sè bµi to¸n dÉn ®Õn bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n. . . . . . . . 14 1.3.1. Bµi to¸n quy ho¹ch låi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2. Bµi to¸n hÖ ph¬ng tr×nh . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.3. Bµi to¸n bï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Ph¬ng ph¸p chiÕu gi¶i bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu 20 2.1. §iÓm bÊt ®éng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Ph¬ng ph¸p ®¹o hµm t¨ng cêng . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3. Ph¬ng ph¸p h×nh chiÕu siªu ph¼ng. . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Ph¬ng ph¸p gi¶i bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n dùa vµo hµm ®¸nh gi¸ 33 3.1. Hµm ®¸nh gi¸ (Gap function) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.1. Hµm ®¸nh gi¸ Auslender . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
3.1.2. Hµm ®¸nh gi¸ Fukushima . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.3. Hµm ®¸nh gi¸ kh«ng rµng buéc ( D - Gap function ) . . 40 3.2. ThuËt to¸n dùa trªn hµm ®¸nh gi¸ . . . . . . . . . . . . . . . . 43 γcd (.) 3.2.1. ThuËt gi¶i to¸n dùa trªn hµm ®¸nh gi¸ . . . . . . 43 γc (.) 3.2.2. ThuËt to¸n dùa trªn hµm ®¸nh gi¸ Fukushima . . . 44 KÕt luËn 47 Tµi liÖu tham kh¶o 48 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Më ®Çu BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®îc øng dông réng r·i trong nhiÒu lÜnh vùc kh¸c nhau nh kinh tÕ, kü thuËt, vËn trï häc, vËt lý to¸n. GÇn ®©y, bµi to¸n tèi u víi rµng buéc bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (cßn gäi lµ rµng buéc c©n b»ng) còng lµ mét ®Ò tµi ®îc nhiÒu ngêi quan t©m nghiªn cøu v× vai trß quan träng cña nã trong lý thuyÕt to¸n häc vµ trong øng dông thùc tÕ. Mét trong nh÷ng híng nghiªn cøu quan träng cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n lµ viÖc x©y dùng ph¬ng ph¸p gi¶i. Cã rÊt nhiÒu ph¬ng ph¸p gi¶i bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®· ®îc nghiªn cøu nh: ph¬ng ph¸p ®Þa ph¬ng vµ toµn côc dùa trªn viÖc chuyÓn bµi to¸n vÒ hÖ ph¬ng tr×nh, ph¬ng ph¸p dùa trªn kü thuËt hµm ch¾n, ph¬ng ph¸p dùa trªn c¸ch tiÕp cËn ®iÓm bÊt ®éng... Môc ®Ých cña luËn v¨n nµy nh»m tr×nh bµy c¸c thuËt to¸n gi¶i bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n dùa trªn ph¬ng ph¸p h×nh chiÕu vµ ph¬ng ph¸p hµm ®¸nh gi¸. LuËn v¨n gåm 3 ch¬ng. Ch¬ng 1 tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n, ®iÒu kiÖn tån t¹i nghiÖm vµ mét sè bµi to¸n dÉn ®Õn bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n. Trong ch¬ng 2 sÏ giíi thiÖu thuËt to¸n h×nh chiÕu cho c¸c bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu, mµ cô thÓ lµ ph¬ng ph¸p ®¹o hµm t¨ng cêng vµ ph¬ng ph¸p h×nh chiÕu siªu ph¼ng. Ch¬ng 3 sÏ ®a ra c¸c thuËt gi¶i bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n dùa vµo hµm ®¸nh gi¸. C¸c thuËt to¸n dùa trªn hµm ®¸nh gi¸ Anslender vµ hµm ®¸nh gi¸ hiÖu chØnh Fukushima. 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Lêi c¶m ¬n B¶n luËn v¨n nµy ®îc hoµn thµnh díi sù híng dÉn cña GS. Lª Dòng Mu. T¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c nhÊt ®Õn ThÇy vÒ c«ng t¸c gi¶ng d¹y cïng víi sù híng dÉn tËn t×nh trong thêi gian t¸c gi¶ häc cao häc vµ hoµn thµnh luËn v¨n. Trong qu¸ tr×nh häc tËp, t¸c gi¶ ®· nhËn ®îc sù quan t©m gióp ®ì vµ sù gi¶ng d¹y nhiÖt t×nh cña PGS. §ç V¨n Lu, PGS. Lª ThÞ Thanh Nhµn, PGS. T¹ Duy Phîng, GS. TrÇn Vò ThiÖu, TS. NguyÔn ThÞ Thu Thñy, cïng nhiÒu ThÇy, C« c«ng t¸c t¹i ViÖn To¸n Häc, ViÖn C«ng NghÖ Th«ng Tin, Trêng ®¹i häc s ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn. t¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn c¸c ThÇy, c¸c C«. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n TS. NguyÔn ThÞ Thu Thñy ®· ®éng viªn, gióp ®ì t¸c gi¶ rÊt nhiÒu trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp. T¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi c¸c ThÇy, C« gi¸o Trêng §¹i häc Khoa häc - §¹i häc Th¸i Nguyªn. T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n BGH trêng Cao ®¼ng s ph¹m §¨kL¨k, BCN khoa Tù Nhiªn, ®· t¹o nhiÒu ®iÒu kiÖn thuËn lîi trong thêi gian t¸c gi¶ häc cao häc. T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c anh chÞ, c¸c b¹n häc viªn cao häc, b¹n bÌ, ®ång nghiÖp, c¸c häc trß. §Æc biÖt c¶m ¬n häc trß TrÇn ThÞ CÈm Nhung vµ NguyÔn ThÞ Th¹ch Th¶o, ®· gióp ®ì t¸c gi¶ rÊt nhiÒu trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ hoµn thµnh luËn v¨n. LuËn v¨n nµy sÏ kh«ng ®îc hoµn thµnh nÕu thiÕu sù th«ng c¶m, chia sÎ 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
vµ sù ®éng viªn kÞp thêi cña gia ®×nh. Xin göi tíi gia ®×nh lêi c¶m ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c. T¸c gi¶ Ph¹m V¨n Dòng 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Ch¬ng 1 Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (®îc viÕt t¾t lµ - VIP) lµ mét c«ng cô m¹nh, ®îc sö dông trong nhiÒu lÜnh vùc kh¸c nhau cña to¸n häc øng dông. NhiÒu bµi to¸n vÒ lý thuyÕt tèi u, kinh tÕ vµ vËt lý to¸n ®Òu dÉn ®Õn bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n. 1.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n Bµi to¸n VIP vÒ mÆt h×nh thøc ®îc ®Þnh nghÜa nh sau: Rn K ( Xem [7]. §Þnh nghÜa 1.1) Cho mét tËp con cña §Þnh nghÜa 1.1.1. F : K −→ Rn . vµ ¸nh x¹ V IP (K ; F ), Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®îc ký hiÖu lµ lµ bµi to¸n x∗ t×m sao cho: x∗ ∈ K, F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K. (1.1) x∗ tháa m·n (1.1) ®îc gäi lµ tËp nghiÖm cña V IP (K ; F ) TËp hîp nh÷ng ®iÓm SOL − V IP (K ; F ). vµ ký hiÖu lµ 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
K F Sau ®©y, chóng ta lu«n gi¶ sö r»ng lµ tËp låi ®ãng vµ lµ ¸nh x¹ liªn K. tôc trªn 1.2. Sù tån t¹i nghiÖm. K ⊂ Rn ( Xem [4]. §Þnh lý Brower) Cho compact vµ låi, §Þnh lý 1.2.1. F : K −→ K F ¸nh x¹ lµ liªn tôc, th× ph¶i cã mét ®iÓm bÊt ®éng. K lµ mét tËp con låi ®ãng cña kh«ng ( Xem [4]. Bæ ®Ò 2.1) Cho Bæ ®Ò 1.2.2. Rn . Khi ®ã víi mçi x ∈ Rn , cã duy nhÊt y ∈ K , gian sao cho: x − y = inf x − η (1.2) η ∈K K §iÓm y tháa m·n (1.2) ®îc gäi lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña x lªn vµ ta viÕt: y = P rK x. Chó ý r»ng: P rK x = x, ∀x ∈ K. ηk ∈ K ηk Chøng minh: Cho lµ mét d·y cùc tiÓu hãa, tøc lµ tháa m·n: lim ηk − x = d = inf η − x . (1.3) k →∞ η ∈K Tõ quy luËt h×nh b×nh hµnh, ta cã: 2 2 2 + 2 y 2 , x, y ∈ Rn . + x−y x+y =2 x ¸p dông c«ng thøc nµy th×: 1 2 2 2 − 4 x − (ηk + ηh ) 2 . ηk − ηh = 2 x − ηk + 2 x − ηh (1.4) 2 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
K Do lµ mét tËp låi nªn: 1 (ηk + ηh ) ∈ K, 2 vµ 1 d2 ≤ x − (ηk + ηh ) 2 , 2 v× vËy: 2 2 2 − 4d2 , ηk − ηh ≤ 2 x − ηk + 2 x − ηh vµ tõ (1.3) ta kÕt luËn r»ng: lim ηk − ηh = 0. k →∞ y∈K Do ®ã, cã mét gi¸ trÞ sao cho lim ηk = y. k →∞ Ngoµi ra, x − y = lim x − ηk = d. k →∞ y, y ∈ K §Ó thÊy y lµ duy nhÊt, chØ cÇn quan s¸t r»ng bÊt kú 2 gi¸ trÞ tháa ηk , ηh . §iÒu nµy m·n (1.2) th× cã thÓ ®a vµo c«ng thøc (1.4) thay vÞ trÝ cña cho thÊy 1 2 2 2 2 y−y =2 x−y +2 x−y − 4 x − (y + y ) 2 ≤ 4d2 − 4d2 = 0, hay: 2 y=y. K ( Xem [4]. §Þnh lý 2.3) Cho lµ tËp låi ®ãng trong kh«ng §Þnh lý 1.2.3. Rn , th× y = P rK x lµ h×nh chiÕu cña x lªn K gian khi vµ chØ khi: y ∈ K : y , η − y ≥ x, η − y ∀η ∈ K (1.5) 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
x ∈ Rn y = P rK x ∈ K , v× K Chøng minh: Cho vµ låi nªn (1 − t)y + tη = y + t(η − y ), ∀η ∈ K, 0 ≤ t ≤ 1 vµ v× vËy, theo bæ ®Ò 1.2.2, hµm: 2 2 − 2t(x − y, η − y ) + t2 η − y 2 φ(t) = x − y − t(η − y ) = x−y φ (0) ≥ 0, tøc lµ: ®¹t cùc tiÓu t¹i t=0, nªn x − y, η − y ≤ 0, η ∈ K, hoÆc: y , η − y ≥ x, η − y , η ∈ K. MÆt kh¸c, nÕu: y ∈ K : y , η − y ≥ x, η − y , η ∈ K, th×: 2 0 ≤ y − x, (η − x) + (x − y ) ≤ − x − y + y − x, η − x . V× vËy: 2 y−x ≤ y − x, η − x ≤ y − x η−x . Tãm l¹i: 2 y − x ≤ η − x , η ∈ K. K ( Xem [4]. HÖ qu¶ 2.4) Cho lµ mét tËp låi ®ãng trong HÖ qu¶ 1.2.4. Rn , th× P rK kh«ng gian lµ to¸n tö kh«ng gi¶n, tøc lµ: ≤ x − x , x, x ∈ Rn . P rK x − P rK x 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
x, x ∈ Rn , y = P rK x y = P rK x , Cho tríc cho vµ lóc Chøng minh: nµy: y ∈ K : y , η − y ≥ x, η − y , η ∈ K. y ∈ K : y , η − y ≥ x , η − y , η ∈ K. η=y η=y Ta chän cho bÊt ®¼ng thøc ®Çu vµ cho bÊt ®¼ng thøc thø hai, thªm vµo ®ã ta cã: 2 y−y = y − y ,y − y ≤ x − x ,y − y ≤ x − x y−y , hay: 2 y−y ≤ x−x . Dùa vµo ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Brower, ta chøng minh ®îc sù tån t¹i nghiÖm cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (1.1). K ⊂ Rn K ( Xem [4]. §Þnh lý 3.1) Cho kh¸c rçng, lµ tËp §Þnh lý 1.2.5. F : K −→ K compact vµ låi, ¸nh x¹ liªn tôc, khi ®ã bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc x∗ ∈ K biÕn ph©n (1.1) cã nghiÖm, tøc lµ tån t¹i tháa m·n: F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K. Φ b»ng c¸ch víi mçi x ∈ K Chøng minh: X©y dùng ¸nh x¹ ®Æt: Φ(x) := PK (x − F (x)). Ta cã: Φ : K −→ K. F K PK Φ liªn tôc. Do liªn tôc trªn vµ phÐp chiÕu liªn tôc nªn VËy theo ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Brower tån t¹i: x∗ = Φ(x∗ ). 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Φ, th×: Theo ®Þnh nghÜa cña x∗ = Φ(x∗ ) = PK (x∗ − F (x∗ )). Theo tÝnh chÊt cña h×nh chiÕu vµ ®Þnh lý 1.2.3, ta cã: F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K. VËy bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (1.1) cã nghiÖm. 2 Chó ý r»ng bµi to¸n (1.1) kh«ng ph¶i lu«n lu«n cã nghiÖm khi K kh«ng K = R, th× bµi to¸n bÞ chÆn, vÝ dô nÕu F (x)(y − x) ≥ 0 ∀y ∈ K F (x) = ex . kh«ng cã nghiÖm khi §Þnh lý sau ®©y lµ ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tån t¹i nghiÖm. K = ∅, ®Æt KR = K ∩ Cho tËp låi R trong ®ã R lµ h×nh cÇu ®ãng b¸n O ∈ Rn . Khi ®ã KR kÝnh R vµ t©m lµ tËp compact. VËy theo ®Þnh lý 1.2.5, ta cã: xR ∈ KR : F (xR ), y − xR ≥ 0 ∀y ∈ KR . (1.6) K ⊂ Rn lµ tËp låi, ®ãng vµ ¸nh ( Xem [4]. §Þnh lý 4.2) Cho §Þnh lý 1.2.6. x¹: F : K −→ Rn K. liªn tôc trªn §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tån t¹i nghiÖm cña bµi to¸n bÊt R>0 ®¼ng thøc biÕn ph©n (1.1) lµ tån t¹i mét sè sao cho cã mét nghiÖm xR ∈ KR cña bµi to¸n (1.6) tháa m·n: xR < R. (1.7) 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Chøng minh: Râ rµng lµ nÕu tån t¹i mét nghiÖm x cña bµi to¸n (1.1) th× x lµ mét nghiÖm cña bµi to¸n (1.6), miÔn lµ: x < R, v×: x ∈ KR ⊂ K. xR ∈ KR xR < R, th× xR Gi¶ sö tháa m·n còng lµ mét nghiÖm cña bµi to¸n (1.1). |xR | < R, y ∈ K, w = xR + ε(y − xR ) ∈ KR ε≥0 Qu¶ thËt, v× cho víi ®ñ nhá. V× vËy: xR ∈ KR ⊂ K : 0 ≤ F (xR ), w − xR = ε F (xR ), y − xR ∀y ∈ K. xK §iÒu nµy cã nghÜa lµ lµ mét nghiÖm cña bµi to¸n (1.1). 2 Tõ ®Þnh lý nµy ta cã thÓ rót ra ®îc nhiÒu ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó tån t¹i nghiÖm. Ta cÇn ®Õn kh¸i niÖm vÒ tÝnh chÊt tù bøc sau. F : K −→ Rn ( Xem [4]. HÖ qu¶ 4.3) NÕu tháa m·n: HÖ qu¶ 1.2.7. F (x) − F (x0 ), x − x0 →∞ |x − x0 | khi x ∈ K, x → +∞ (1.8) x0 K , th× tån t¹i mét nghiÖm ®èi víi bµi to¸n (1.6). víi nµo ®ã thuéc 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
H > |f (x0 )| vµ R > |x0 | sao cho: Chøng minh: Chän F (x) − F (x0 ), x − x0 ≥ H |x − x0 |, |x| ≥ R, x ∈ K, th×: F (x), x − x0 ≥ H |x − x0 | + F (x0 ), x − x0 ≥ H |x − x0 | − |F (x0 )), x − x0 | ≥ (H − |F (x0 )|)(|x| − |x0 |) > 0, |x| = R. (1.9) xR ∈ KR B©y giê, ta cho lµ nghiÖm cña bµi to¸n (1.6) th× F (xR ), xR − x0 ≥ − F (xR ), x0 − xR ≤ 0. |x| = R. Nãi c¸ch kh¸c, V× vËy, dùa vµo (1.9), ta cã 2 |x| < R. Th«ng thêng, nghiÖm cña bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n kh«ng ph¶i lµ duy nhÊt. Tuy vËy vÉn cã mét ®iÒu kiÖn rÊt c¬ b¶n ®¶m b¶o cho sù duy x, x ∈ K nhÊt. Gi¶ sö lµ hai nghiÖm kh¸c nhau cña bµi to¸n (1.1) th×: x ∈ K : F (x), y − x ≥ 0 ∀y ∈ K, x ∈ K : F (x ), y − x ≥ 0 ∀y ∈ K. Tõ ®©y ta thÊy, nÕu: F (x) − F (x ), x − x > 0 miÔn lµ x, x ∈ K, x = x (1.10) VËy, ®iÒu kiÖn (1.10) kÐo theo tÝnh duy nhÊt nghiÖm. §iÒu kiÖn (1.10) ®îc gäi lµ ®iÒu kiÖn ®¬n ®iÖu chÆt. 13 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
F : K −→ Rn ( Xem [4]. §Þnh nghÜa 4.5) Ta gäi ¸nh x¹ §Þnh nghÜa 1.2.8. K lµ ®¬n ®iÖu trªn nÕu: F (x) − F (x ), x − x ≥ 0 ∀x, x ∈ K. F Ta nãi lµ ®¬n ®iÖu chÆt nÕu ®¼ng thøc chØ x¶y ra khi x=x'. F : K1 −→ Rn ( Xem [4]. §Þnh lý 4.6) Cho lµ mét ¸nh x¹ §Þnh lý 1.2.9. K 1 ⊂ Rn K2 ⊂ K1 liªn tôc vµ ®¬n ®iÖu chÆt cña tËp låi ®ãng . Cho lµ mét tËp låi vµ ®ãng. Gi¶ sö tån t¹i nghiÖm cña bµi to¸n: xj ∈ Kj : F (xj ), y − xj ≥ 0, x ∈ Kj , J = 1, 2 F (x2 ) = 0 th× x1 = x2 (i) NÕu F (x2 ) = 0 vµ x1 = x2 th× siªu ph¼ng F (x2 ), y − x2 = 0 t¸ch x1 (ii) NÕu K2 . tõ 1.3. Mét sè bµi to¸n dÉn ®Õn bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n. Trong phÇn nµy, ta giíi thiÖu mét sè bµi to¸n cã liªn quan ®Õn bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n. §Æc biÖt, ta xÐt ®Õn mèi quan hÖ gi÷a hµm låi vµ to¸n tö ®¬n ®iÖu. f ∈ C 1 (K ), K ⊂ Rn , lµ tËp låi ®ãng, vµ ®Æt: Cho F (x) = gradf (x)(§¹o hµm cña f). 1.3.1. Bµi to¸n quy ho¹ch låi x∈ K ( Xem [4]. §Þnh lý 5.1) Gi¶ sö tån t¹i sao cho: §Þnh lý 1.3.1. f (x) = minf (y ). y ∈K 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
x lµ mét nghiÖm cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n. th× x ∈ K : F (x), y − x ≥ 0 víi y ∈ K. y∈K z = x + t(y − x) víi 0 ≤ t ≤ 1, Chøng minh: NÕu th× ϕ(t) = f (x + t(y − x)), 0 ≤ t ≤ 1 ®¹t cùc tiÓu khi t = 0. v× vËy hµm: Nªn, 2 0 ≤ ϕ (0) = g rad f (x), y − x = F (x), y − x . f §iÒu ®¶o l¹i còng ®óng nÕu lµ hµm låi, cô thÓ ta cã ®Þnh lý sau: f x tháa m·n: ( Xem [4]. §Þnh lý 5.2) Gi¶ sö låi vµ §Þnh lý 1.3.2. x ∈ K : F (x), y − x ≥ 0 ∀y ∈ K, th×: f (x) = minf (y ). y ∈K f Chøng minh: ThËt vËy, v× låi nªn, f (y ) ≥ f (x) + F (x), y − x ∀y ∈ K. Nhng: F (x), y − x ≥ 0, v× vËy: 2 f (y ) ≥ f (x). F : E −→ R1 , E ⊂ Rn , lµ mét ( Xem [4]. §Þnh lý 5.3) Cho §Þnh lý 1.3.3. F (x) = gradf (x) hµm låi kh¶ vi liªn tôc (låi chÆt). Th× sÏ ®¬n ®iÖu (®¬n ®iÖu chÆt). 15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
x, x ∈ E , Chøng minh: Cho tríc f (x) ≥ f (x ) + F (x ), x − x , vµ: f (x ) ≥ f (x) + F (x), x − x . Tõ ®ã ta cã: F (x ) − F (x), x − x ≥ 0, x, x ∈ E. F F f VËy ®¬n ®iÖu. C¸ch chøng minh ®¬n ®iÖu chÆt khi låi chÆt còng t¬ng tù. 2 Tuy nhiªn, kh«ng ph¶i tÊt c¶ c¸c to¸n tö ®¬n ®iÖu ®Òu lµ ®¹o hµm cña mét hµm låi. 1.3.2. Bµi to¸n hÖ ph¬ng tr×nh Rn , th×: Khi K lµ toµn bé tËp x∗ ∈ SOL − V IP (Rn ; F ) ⇔ F (x∗ ) = 0. ThËt vËy: • Víi x∗ ∈ Rn F (x∗ ) = 0, vµ suy ra: x∗ ∈ SOL − V IP (Rn ; F ) : 0, x − x∗ ≡ 0 ∀x ∈ Rn . V× vËy: Rn ∩ F −1 (0) = F −1 (0) ⊂ SOL − V IP (Rn ; F ). 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
• Ngîc l¹i: x∗ ∈ SOL − V IP (Rn ; F ) ⇒ F (x∗ ), d ≥ 0 ∀d ∈ Rn . d ≡ −F (x∗ ) ⇒ F (x∗ ) = 0. §Æc biÖt: Nãi c¸ch kh¸c: SOL − V IP (Rn ; F ) = F −1 (0). 1.3.3. Bµi to¸n bï ( Xem [7]. §Þnh nghÜa 1.2) Cho mét nãn låi K vµ ¸nh x¹ §Þnh nghÜa 1.3.4. F : K −→ Rn . N CP (K ; F ), lµ t×m x∗ ∈ K Bµi to¸n bï phi tuyÕn kÝ hiÖu lµ sao cho: x∗ ⊥ F (x∗ ) ∈ K ∗ , K (1.11) K∗ K , ®îc ®Þnh nghÜa lµ: trong ®ã lµ nãn ®èi ngÉu cña K ∗ ≡ {y ∈ Rn | y, x ≥ 0, ∀x ∈ K }, K∗ y y x (tøc lµ bao gåm mäi vector sao cho t¹o víi mäi vector bÊt kú K thuéc mét gãc kh«ng tï). x∗ ∈ K N CP (K ; F ) ( tháa m·n (1.11) TËp hîp nh÷ng gi¸ trÞ thâa m·n SOL − N CP (K ; F ). ®îc gäi lµ N CP (K ; F ) lµ nh sau: Râ rµng, mét bµi to¸n x∗ ∈ K, F (x∗ ) ∈ K ∗ F (x∗ ), x∗ = 0. vµ V IP (K ; F ) vµ N CP (K ; F ). KÕt qu¶ sau cho biÕt mèi liªn hÖ gi÷a Rn . K ( Xem [7]. MÖnh ®Ò 1.1) Cho lµ mét nãn låi trong MÖnh ®Ò 1.3.5. Ta cã: SOL − V IP (K ; F ) = SOL − N CP (K ; F ). 17 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Chøng minh: • =⇒ SOL − V IP (K ; F ) = SOL − N CP (K ; F ) Gi¶ sö: x∗ ∈ SOL − V IP (K ; F ), râ rµng, x∗ ∈ K. x = 0 ∈ K , trong (1.1) ta cã: B»ng c¸ch lÊy F (x∗ ), −x∗ ≥ 0 x = 2x∗ ∈ K , trong (1.1), ta cã ®îc: LÊy F (x∗ ), x∗ ≥ 0, suy ra: F (x∗ ), x∗ = 0, nãi c¸ch kh¸c ®iÒu nµy cho thÊy: F (x∗ ), x − x∗ = F (x∗ ), x − F (x∗ ), x∗ ≥ 0 ∀x ∈ K. =0 Tøc lµ: F (x∗ ), x ≥ 0 ∀x ∈ K, v× vËy: F (x∗ ) ∈ K. ThÕ nªn: x∗ ∈ SOL − N CP (K ; F ). 18 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn