Luận văn Thạc sĩ: Bài toán biên dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai trong không gian holder

Luận văn này giải quyết bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai, một vấn đề quan trọng trong giải tích toán học. Với nhận thức rằng nghiệm cổ điển của các phương trình này thường không tồn tại khi các hàm vế phải và hệ số chỉ liên tục, luận văn tập trung vào việc áp dụng lý thuyết Schauder, chứng minh rằng nghiệm luôn tồn tại trong không gian Holder nếu các hàm liên quan thuộc lớp Holder. Mục tiêu chính là trình bày một cách hệ thống tính giải được của bài toán này trong không gian Holder.

Luận văn hướng đến đối tượng là các sinh viên, nghiên cứu sinh và nhà khoa học trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng, giải tích toán học, đặc biệt là những người quan tâm đến bài toán biên elliptic, lý thuyết hàm Holder và lý thuyết giải được của phương trình vi phân.

Luận văn nghiên cứu sâu về bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai trong không gian Holder. Khởi đầu bằng lý do lựa chọn đề tài, luận văn chỉ ra rằng mặc dù nghiệm cổ điển của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai thường không tồn tại khi các hàm vế phải và hệ số chỉ là liên tục, nhà toán học Schauder đã chứng minh sự tồn tại của nghiệm trong lớp Holder (C^(2,α)) nếu các hàm này thuộc lớp Holder (C^α). Luận văn sử dụng phương pháp nghiên cứu chính là các đánh giá tiên nghiệm đối với thế vị Newton và phương pháp liên tục để chuyển kết quả từ phương trình Poisson sang các phương trình tổng quát hơn. Cụ thể, Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị cần thiết, bao gồm công thức tích phân từng phần, các công thức Green, khái niệm lớp hàm Holder, đánh giá Schauder cho thế vị Newton, cùng với phương pháp liên tục và làm trơn hàm số. Chương 2 đi sâu vào việc thiết lập các đánh giá Schauder cho nghiệm của bài toán biên Dirichlet, áp dụng trước hết cho phương trình Poisson, sau đó mở rộng cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai tổng quát. Dựa trên các đánh giá này, luận văn chứng minh tính giải được của bài toán biên Dirichlet cho cả phương trình Poisson và phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng tổng quát trong không gian Holder, đạt được mục tiêu trình bày tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic cấp hai dạng tổng quát.