BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 ======
PHÙNG MINH NGỌC
CÁC KÍCH THÍCH RIPPLON TRÊN BỀ MẶT
CỦA NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN
HAI THÀNH PHẦN
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN THỤ
HÀ NỘI - 2017
LỜI CẢM ƠN
Trƣớc khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Thụ ngƣời đã định hƣớng chọn đề tài và tận tình
hƣớng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các thầy
cô giáo giảng dạy chuyên ngành vật lí lí thuyết và vật lí toán trƣờng Đại học sƣ
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Cuối cùng, tôi xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã
động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình học tập để tôi
hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày tháng 9 năm 2017
Tác giả
Phùng Minh Ngọc
LỜI CAM ĐOAN
Dƣới sự hƣớng dẫn của TS. Nguyễn Văn Thụ luận văn Thạc sĩ chuyên
ngành vật lí lí thuyết và vật lí toán với đề tài“Các kích thích Ripplon trên bề
mặt của ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần ” đƣợc hoàn thành bởi chính
sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày tháng 9 năm 2017
Tác giả
Phùng Minh Ngọc
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Phƣơng trình Gross – Pitaevskii
Ngƣng tụ Bose – Einstein BEC (Bose – Einstein condensate) BdG Bogoliubov-de Genns DPA (Double – parabola approximation) Gần đúng parabol kép GPE (Gross – Pitaevskii equation)
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1
Chƣơng 1. TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSE –
EINSTEIN ................................................................................................... 3
1.1 . Thống kê Bose – Einstein ...................................................................... 3
1.2. Tổng quan nghiên cứu về ngƣng tụ Bose – Einstein ............................... 10
1.2.1 Thực nghiệm về ngƣng tụ Bose – Einstein ........................................ 10
1.2.2 Một số ứng dụng của ngƣng tụ Bose – Einstein ................................ 16
Chƣơng2. LÝ THUYẾT GROSS - PITAEVSKII ......................................... 24
2.1. Gần đúng trƣờng trung bình ................................................................... 24
2.2. Trạng thái cơ bản của ngƣng tụ Bose – Einstein hai thành phần. ............ 27
CHƢƠNG 3. SÓNG MAO DẪN TRÊN MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƢNG
TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN ............................................. 31
3.1 .Hệ phƣơng trình Bogoliubov-de Gennes. ............................................... 31
3.2. Gần đúng parabol kép ............................................................................ 32
3.2.1 Sơ lƣợc về gần đúng parabol kép ...................................................... 32
3.2.2 Trạng thái cơ bản trong gần đúng parabol kép .................................. 33
3.3. Sóng mao dẫn trong gần đúng parabol kép. ............................................ 34
KẾT LUẬN .................................................................................................. 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 39
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Albert Einstein (1897 -1955) là nhà vật lý ngƣời Đức. Ông đƣợc coi là một
trong những nhà khoa học có ảnh hƣởng nhất của thế kỉ 20 và là cha đẻ của vật
lý hiện đại. Nói tới Einstein không thể không nhắc tới hàng loạt những công
trình nghiên cứu của ông, một trong số đó là ngƣng tụ Bose – Einstein (Bose –
Einstein condensate – BEC) đƣợc tạo ra đầu tiên trên thế giới từ những nguyên
tử lạnh năm 1995. Bắt đầu từ năm 1924 khi nhà lý thuyết Ấn Độ Satyendra Nath
Bose suy ra định luật Planck cho bức xạ vật đen lúc xem photon nhƣ một chất
khí của nhiều hạt đồng nhất Satyendra Nath Bose chia sẻ ý tƣởng của mình với
Einstein và hai nhà khoa học đã tổng quát hóa lý thuyết của Bose cho một khí lý
tƣởng các nguyên tử và tiên đoán rằng nếu các nguyên tử bị làm đủ lạnh, bƣớc
sóng cùa chúng trở thành lớn đến mức chồng lên nhau. Các nguyên tử mất nhận
dạng các nhân và tạo nên một trạnh thái lƣợng tử vĩ mô hay nói cách khác một
siêu nguyên tử tức là một BEC.
Trong BEC, các kích thích bề mặt có vai trò rất quan trọng trong các ứng
dụng của nó, đặc biệt trong công nghệ điện tử. Để nghiên cứu các kích thích
này, chúng ta phải giải hệ bốn phƣơng trình vi phân bậc hai liên kết với nhau.
Hiện nay việc này chỉ có thể thực hiện đƣợc bằng cách tính số.Với mục đích đƣa
ra một gần đúng có thể giải giải tích đƣợc hệ phƣơng trình này, tôi chọn đề tài
“Các kích thích Ripplon trên bề mặt của ngưng tụ Bose – Einstein hai thành
phần ” làm đề tài nghiên cứu của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở lý thuyết về ngƣng tụ Bose - Einstein nghiên cứu các kích thích
Ripplon trên bề mặt của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành phần trong vật lý
thống kê và cơ học lƣợng tử nói riêng trong vật lý lý thuyết nói chung.
2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu các kích thích Ripplon trên bề mặt của ngƣng tụ Bose - Einstein
hai thành phần trên cơ sở thống kê Bose – Einstein, phƣơng trình Bogoliubov-de
Gennes tổng quát.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Phƣơng trình Bogoliubov-de Gennes.
Các kích thích Ripplon trên bề mặt của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành
phần.
5. Những đóng góp mới của đề tài
Các kích thích Ripplon trên bề mặt của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành
phần có những đóng góp quan trọng trong vật lý thống kê và cơ học lƣợng tử nói
riêng, trong vật lý lý thuyết nói chung.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng gần đúng parabol kép.
3
Chƣơng 1
TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN
1.1 . Thống kê Bose – Einstein
Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn
hạt có bao nhiêu hạt mà không cần biết cụ thể hạt nào ở trạng thái nào.
Từ công thức phân bố chính tắc lƣợng tử [1],
, (1.1)
trong đó là độ suy biến.
Nếu hệ gồm các hạt không tƣơng tác thì ta có
(1.2)
với là năng lƣợng của một hạt riêng lẻ của hệ và là số chứa đầy tức là số hạt
có cùng năng lƣợng .
Ta thấy số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ với xác suất khác
nhau. Độ suy biến trong (1.1) tìm đƣợc bằng cách tính số các trạng thái khác
nhau về phƣơng diện Vật lý ứng với cùng một giá trị , vì số hạt trong hệ
không phải là bất biến nên tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp thống kê cổ điển thay thế
cho phân bố chính tắc lƣợng tử ta có thể áp dụng phân bố Gibbs suy rộng hay
phân bố chính tắc lớn lƣợng tử.
Ta có phân bố chính tắc lớn lƣợng tử có dạng
, (1.3)
với , là thế hóa, là thế nhiệt động lớn.
Ta thấy rằng thừa số xuất hiện trong công thức (1.3) là vì có kể đến tính
4
không phân biệt của các trạng thái và tính đồng nhất của các hạt mà ta thu đƣợc
do hoán vị các hạt. Kí kiệu
(1.4)
Lúc đó (1.4) đƣợc viết lại nhƣ sau
(1.5)
Chúng ta có hai nhận xét về công thức (1.5) đó là:
Thứ nhất là vế phải của (1.5) ta có thể coi là hàm của các nên ta có thể
nhận thấy công thức đó nhƣ là xác suất để cho có hạt nằm trên mức , hạt
nằm trên mức , có nghĩa là, đó là xác suất lấp đầy. Vì vậy nhờ công thức này ta
có thể tìm đƣợc số hạt trung bình nằm trên các mức năng lƣợng nhƣ sau
. (1.6)
Thứ hai là đại lƣợng xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện
các trạng thái vật lý mới hoán vị (về tọa độ) của các hạt. Đối với các hệ boson và
fermion là các hệ đƣợc mô tả bởi các hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, phép
hoán vị tọa độ của các hạt không dẫn tới một trạng thái mới vì phép hoán vị chỉ
làm cho hàm sóng đổi dấu hoặc không đổi dấu và do đó không làm thay đổi
trạng thái lƣợng tử. Chính vì vậy đối với các hạt boson và hạt fermion ta có
. (1.7)
Ta đi tìm
Ta thấy tất cả các phép hoán vị khả dĩ của tọa độ của các hạt có cùng một năng
5
lƣợng trong phân bố Maxwell – Boltzmann. Do đó số tổng cộng các trạng thái
khác nhau về phƣơng diện vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng chia cho số hoán
vị trong các nhóm có cùng năng lƣợng tức là chia cho . Khi đó ta có
, (1.8)
ta thay giá trị của vào (1.4) thu đƣợc (1.7). Để có thể tính trị trung bình của
các số chứa đầy, nghĩa là số hạt trung bình nằm trên mức năng lƣợng khác nhau,
chúng ta gắn cho đại lƣợng trong công thức (1.5) chỉ số , có nghĩa là sẽ coi hệ
mà ta xét không phải chỉ có một thế hóa học mà là có cả một tập hợp thế hóa
học . Đến cuối phép tính ta cho .
Ta tiến hành phép thay thế nhƣ trên và có thể viết điều kiện chuẩn hóa
nhƣ sau
, (1.9)
với
, (1.10)
có nghĩa là
. (1.11)
Lúc đó đạo hàm của dựa vào (1.10) và (1.11) theo
(1.12)
Nếu trong biểu thức (1.12) ta đặt thì theo (1.6) vế phải của công
thức (1.12) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy tức là ta thu đƣợc
6
. (1.13)
Với hệ hạt boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kì (từ ) và
vì vậy theo (1.9) ta có
, (1.14)
khi đó
. (1.15)
Từ (1.13) chúng ta tìm đƣợc phân bố của các số chứa đầy trung bình nhƣ
sau:
, (1.16)
ở đây (1.16) là công thức của thống kê Bose – Einstein. Thế hóa học trong
công thức (1.16) đƣợc xác định từ điều kiện đó là
(1.17)
Theo công thức của thống kê Bose – Einstein, với khí lí tƣởng, ta có số hạt
trung bình có năng lƣợng trong khoảng từ sẽ bằng
, (1.18)
ở đây là số các mức năng lƣợng trong khoảng .
7
Ta đi tìm
Các hạt boson chứa trong thể tích có thể xem nhƣ các sóng dừng De
Broglie theo quan điểm lƣợng tử. Nên ta có thể xác định bằng cách áp
dụng công thức
,
cho ta số các sóng dừng có chiều dài (mô đun) của véctơ từ
. (1.19)
Ta có theo hệ thức De Broglie giữa xung lƣợng và véctơ sóng
(1.20)
từ đó (1.19) có thể đƣợc viết dƣới dạng nhƣ sau
. (1.21)
Với các hạt phi tƣơng đối tính, tức là hạt có vận tốc thì
từ đây suy ra
,
,
nên (1.21) sẽ có dạng
.
Ta thấy số trạng thái khả dĩ ứng với cùng một giá trị của spin của hạt
vì các hạt có thể có các định hƣớng spin khác nhau. Vì vậy, số các
mức năng lƣợng trong khoảng là
. (1.22)
Ta có, theo (1.18) số hạt trung bình có năng lƣợng trong khoảng
8
là
. (1.23)
Do số hạt toàn phần là vì vậy chúng ta có phƣơng trình sau
. (1.24)
Ta thấy về nguyên tắc phƣơng trình này cho ta xác định thế hóa học . Xét
một số tính chất tổng quát của thế hóa học đối với khí Bose lí tƣởng.Trƣớc
tiên ta chứng minh rằng
. (1.25)
Thật vậy, số hạt trung bình chỉ có thể là một số dƣơng, vì vậy, theo
(1.23), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.23) luôn luôn dƣơng có nghĩa
là khi , để cho luôn luôn lớn hơn 1 với mọi giá trị của .
Sau đó ta có thể chứng minh giảm dần khi nhiệt độ tăng lên. Áp dụng
quy tắc lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (1.24) ta thu đƣợc:
. (1.26)
Nhƣng do (1.24) nên , vì vậy biểu thức dƣới dấu tích phân ở vế phải
(1.26) luôn luôn dƣơng với mọi giá trị của , do đó . Ta thấy từ các tính
9
chất và của hàm ta có thể thấy thấy khi nhiệt độ giảm thì
tăng, tăng từ giá trị âm đến giá trị lớn hơn “nhƣng vẫn là âm” và khi tăng tới
nhiệt độ nào đó sẽ đạt giá trị cực đại bằng không ( ).
Xác định
Ta chọn . Lúc đó phƣơng trình (1.24) trở thành và
. (1.27)
Mà , vậy nên từ (1.27) và , ta có
. (1.28)
Ta thấy nhiệt độ đó là rất nhỏ đối với tất cả các khí Bose quen thuộc. Ví dụ nhƣ đối với 4He[1], ngay cả với khối lƣợng riêng của chất lỏng Hêli vào cỡ 120kg/m3 ta đƣợc . Tuy nhiên, sự tồn tại nhiệt độ có ý nghĩa =2,190
rất quan trọng. Chúng ta xét khoảng nhiệt độ để có thể hiểu ý nghĩa
của nó. Khi ta giảm nhiệt độ xuống tới thì thế hóa học tăng tới giá trị
, mà nên không thể giảm nữa, vì vậy trong khoảng nhiệt độ
thì ta có .
Khi nhiệt độ số hạt có năng lƣợng là
10
.(1.29)
So sánh (1.27) và (1.29) ta thấy
hay .
Ta thấy kết quả trên phải đƣợc đoán nhận vật lý một cách đặc biệt vì số hạt
toàn phần trong hệ là không đổi. Khi thì cho thấy rằng số hạt
toàn phần chỉ có một phần số hạt có thể phân bố theo các mức năng lƣợng
một cách tƣơng ứng với công thức (1.18), có nghĩa là
. (1.30)
Ta thấy các hạt còn lại , phải đƣợc phân bố nhƣ thế nào đó khác đi,
chẳng hạn nhƣ tất cả số đó nằm trên mức năng lƣợng thấp nhất, nghĩa là chúng
hình nhƣ nằm ở một pha khác mà ngƣời ta quy ƣớc gọi là pha ngưng tụ.
Vậy một phần các hạt của khí Bose sẽ nằm ở mức năng lƣợng thấp nhất
(năng lƣợng không) và các hạt còn lại sẽ đƣợc phân bố trên các mức khác theo
định luật ở các nhiệt độ thấp hơn . Hiện tƣợng mà ta vừa mô tả ở trên,
trong đó một số hạt của khí Bose chuyển xuống mức “năng lƣợng không” và hai
phần của khí Bose phân bố khác nhau theo năng lƣợng đƣợc gọi là sự ngưng tụ
Bose. Ở nhiệt độ không tuyệt đối ( ) tất cả các hạt bose sẽ nằm ở mức
không.
1.2 Tổng quan nghiên cứu về ngƣng tụ Bose – Einstein
1.2.1 Thực nghiệm về ngƣng tụ Bose – Einstein
Ngƣng tụ Bose – Einstein là một trạng thái vật chất của khí Boson loãng
bị làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không tuyệt đối (hay rất gần giá trị 0 K hay
11
-2730C). Dƣới những điều kiện này, một tỉ lệ lớn các boson tồn tại ở trạng thái
lƣợng tử thấp nhất, tại điểm mà các hiệu ứng lƣợng tử trở nên rõ rệt ở mức vĩ
mô. Mặc dù các thí nghiệm về sau cho thấy có những tƣơng tác phức tạp trong
hệ, trạng thái vật chất này lần đầu tiên đƣợc Satyendra Nath Bose và Albert
Einstein tiên đoán tồn tại trong năm 1924–1925. Bose đầu tiên gửi một bài báo
đến Einstein về thống kê lƣợng tử của lƣợng tử ánh sáng (ngày nay gọi
là photon). Einstein đã rất ấn tƣợng về bài viết này, ông dịch nó từ tiếng Anh
sang tiếng Đức và gửi bài viết của Bose đến tạp chí Zeitschrift für Physik và
đƣợc công bố bởi tạp chí này. (Bản nháp của Einstein, lúc đầu nghĩ là có thể bị
mất, đã đƣợc tìm thấy trong thƣ viện của Đại học Leidenvào năm 2005).
Einstein sau đó mở rộng ý tƣởng của Bose cho hệ hạt vật chất. Những nỗ lực của
Bose và Einstein cho kết quả về khái niệm khí Bose trong khuôn khổ lý thuyết
thống kê Bose – Einstein, miêu tả phân bố thống kê của những hạt đồng nhất với
spin nguyên, mà sau này Paul Dirac gọi là các boson. Các hạt boson bao gồm
photon cũng nhƣ các nguyên tử Heli-4 đƣợc phép tồn tại ở cùng trạng thái lƣợng
tử nhƣ nhau. Einstein chứng minh rằng khi làm lạnh các nguyên tử boson đến
nhiệt độ rất thấp thì hệ này tích tụ lại (hay ngƣng tụ) trong trạng thái lƣợng tử
thấp nhất có thể và tạo lên trạng thái mới của vật chất.
Cho đến ngày nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã đƣợc
làm cho ngƣng tụ và mƣời trong số những ngƣng tụ này đã đƣợc tạo ra bởi mƣời
nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau [2].
Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC nhƣ là một cơ chế giải thích cho tính siêu chảy của 4He cũng nhƣ tính siêu dẫn ở nhiệt độ thấp của một
số vật liệu.
Năm 1995, khí ngƣng tụ đầu tiên đã đƣợc tạo ra bởi nhóm của Eric
Cornell và Carl Wieman ở phòng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ Tiêu
12
chuẩn Quốc gia (NIST) tại Đại học Colorado ở Boulder, khi họ làm lạnh khí
nguyên tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin (nK). Cũng trong thời gian này,
Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghệ Massachusetts tạo ra đƣợc ngƣng tụ
Bose – Einstein đối với nguyên tử Natri và duy trì đƣợc hệ 2000 nguyên tử này
trong thời gian lâu cho phép nghiên cứu những tính chất của hệ. Vì vậy mà
Cornell, Wieman, Ketterle đƣợc nhận giải Nobel Vật lý năm 2001. Tháng 11
năm 2010 trạng thái BEC của photon đã đƣợc quan sát thấy. Năm 2012, các nhà
vật lý đã phát triển lý thuyết BEC cho hệ photon.
Sự chuyển pha dẫn đến ngƣng tụ Bose Einstein xuất hiện ở dƣới nhiệt độ
giới hạn, đối với khí phân bố đều 3 chiều của hệ hạt không tƣơng tác mà không
có bậc tự do nội tại trong nó, đƣợc cho bởi công thức [2]:
là nhiệt độ giới hạn,
là mật độ hạt,
là khối lƣợng của từng boson,
là hằng số Planck thu gọn,
là hằng số Boltzmann,
là hàm zeta Riemann,
Các hạt trong vật lý đƣợc chia ra làm hai lớp cơ bản đó là lớp các boson
và lớp các fermion. Boson là những hạt với “spin nguyên” (0, 1, 2,...), fermion là
các hạt với “spin bán nguyên” (1/2, 3/2,...). Các hạt boson tuân theo thống kê
Bose – Einstein, còn các hạt fermion tuân theo thống kê Fermi – Dirac. Ngoài ra
các hạt fermion còn tuân theo nguyên lí ngoại trừ Pauli, “hai hạt fermion không
thể cùng tồn tại trên một trạng thái lƣợng tử”.
13
Hình 1.1: Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein của các boson, trong trường hợp
này là các nguyên tử rubiđi. Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyển động của các
nguyên tử theo từng vị trí. Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động nhanh, màu xanh
và trắng chỉ nguyên tử chuyển động chậm. Bên trái là trước khi xuất hiện ngưng
tụ Bose – Einstein. Ở giữa là ngay sau khi ngưng tụ. Bên phải là trạng thái
ngưng tụ xuất hiện rõ hơn. Ở trạng thái ngưng tụ, rất nhiều nguyên tử có cùng
vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm ở đỉnh màu trắng.
(Ảnh: Wikipedia)
Ta thấy ở nhiệt độ phòng khí Boson và khí Fermi đều phản ứng rất giống
nhau và giống hạt cổ điển tuân thủ theo gần đúng thống kê Maxwell - Boltzman
(bởi cả thống kê Bose – Einstein và thống kê Fermi – Dirac đều tiệm cận đến
thống kê Maxwell – Boltzman). Và có thể khẳng định rằng ở nhiệt độ thấp khí
Bose có tính chất khác hẳn khí Fermi (chẳng hạn nhƣ khí điện tử tự do trong
kim loại). Thật vậy, vì các hạt boson không chịu sự chi phối của nguyên lý cấm
Pauli nên ở nhiệt độ không tuyệt đối tất cả các hạt đều có năng lƣợng , do
vậy trạng thái cơ bản của tất cả chất khí là trạng thái có . Còn đối với khí
Fermi thì khác, ở nhiệt độ các hạt lần lƣợt chiếm các trạng thái có năng
14
lƣợng từ 0 đến mức Fermi, do đó năng lƣợng của cả hệ khác không ( ).
Việc áp dụng thống kê Bose – Einstein vào hệ hạt có spin nguyên hay
spin bằng không (ví dụ nhƣ các photon, các mezon, các nguyên tử trong đó các
electron và nucleon là chẵn, …) đƣợc gọi là các hạt boson hay khí Bose.
Ngƣng tụ Bose – Einstein theo quan điểm vĩ mô là tập hợp các hạt có spin
nguyên (các boson) trong trạng thái cơ bản tại nhiệt độ thấp và mật độ cao, đã
đƣợc quan sát trong một vài hệ vật lý. Đã bao gồm khí nguyên tử lạnh và vật lý
chất rắn chuẩn hạt. Tuy nhiên, đối với khí bose là phổ biến nhất. Bức xạ của vật
đen (bức xạ trong trạng thái cân bằng nhiệt trong một hố thế) không diễn ra sự
chuyển pha, bởi vì thế hóa của các photon bị triệt tiêu và khi nhiệt độ giảm, các
photon không xuất hiện trong hố thế. Các nghiên cứu về mặt lý thuyết đã coi số
photon bảo toàn trong các quá trình nhiệt, tiếp theo sử dụng tán xạ Compton cho
khí điện tử, hoặc tán xạ photon – photon trong mô hình cộng hƣởng phi tuyến để
tìm điều kiện tạo thành ngƣng tụ Bose – Einstein. Trong một số thí nghiệm gần
đây, ngƣời ta đã tiến hành nghiên cứu với khí photon hai chiều trong trạng thái
lấp đầy của các vi hốc. Ở đây, ngƣời ta đã mô tả lại ngƣng tụ Bose – Einstein
cho các photon. Dạng của vi hốc quyết định cả thế giam cầm và sự không ảnh
hƣởng bởi khối lƣợng các photon, làm cho hệ tƣơng đƣơng với một hệ khí hai
chiều. Khi tăng mật độ của photon, ta thấy dấu hiệu của ngƣng tụ Bose –
Einstein, năng lƣợng photon phân bố chủ yếu ở trạng thái cơ bản, chuyển pha
xuất hiện phụ thuộc vào cả giá trị khả dĩ và dạng hình học của hốc thế đƣợc dự
đoán từ trƣớc.
Các chất khí lƣợng tử siêu lạnh có những tính chất đặc biệt mang lại một
hệ lí tƣởng để nghiên cứu những hiện tƣợng Vật lý cơ bản. Với việc chọn ecbi,
đội nghiên cứu đứng đầu là Francesca Ferlaino thuộc Viện Vật lý thực nghiệm,
Đại học Innsbruck, đã chọn một nguyên tố rất lạ, đó là vì những tính chất đặc
15
biệt của nó mang lại những khả năng mới và hấp dẫn để nghiên cứu những câu
hỏi cơ bản trong lĩnh vực vật lý lƣợng tử. “ecbi tƣơng đối nặng và có từ tính
mạnh. Những tính chất này dẫn tới một trạng thái lƣỡng cực cực độ của các hệ
lƣợng tử”, Ferlaino cho biết.
Cùng với nhóm nghiên cứu của mình, bà đã tìm ra một phƣơng pháp đơn
giản đến bất ngờ để làm lạnh nguyên tố phức tạp này bằng phƣơng tiện laze và
kĩ thuật làm lạnh bay hơi. Ở những nhiệt độ gần độ không tuyệt đối, một đám
mây gồm khoảng 70.000 nguyên tử ecbi tạo ra một ngƣng tụ Bose – Einstein từ
tính. Trong một ngƣng tụ, các hạt mất đi tính chất cá lẻ của chúng và đồng bộ
hóa thành trạng thái của chúng. “Những thí nghiệm với ecbi cho phép chúng tôi
thu đƣợc kiến thức sâu sắc mới về những quá trình tƣơng tác phức tạp của
những hệ tƣơng quan mạnh và, đặc biệt, chúng mang lại những điểm xuất phát
mới để nghiên cứu từ tính lƣợng tử với những nguyên tử lạnh”, Ferancesca
Ferlaino nói.
Cesi, stronti và ecbi là ba nguyên tố hóa học mà các nhà Vật lý ở
Innsbruck đã cho ngƣng tụ thành công trong vài năm trở lại đây. Một đột phá
quan trọng đã đƣợc thực hiện bởi Rudolf Grimm và nhóm nghiên cứu của ông
hồi năm 2002 khi họ thu đƣợc sự ngƣng tụ của cesi, dẫn tới vô số những kết quả
khoa học trong những năm sau đó. Một ngƣời nhận tài trợ START khác, Florian
Schreck, một thành viên thuộc nhóm nghiên cứu của Rudolf Grimm, là ngƣời
đầu tiên hiện thực hóa một ngƣng tụ của stronti hồi năm 2009. Và nay Francesca
Ferlaino lập tiếp kì công này với nguyên tố ecbi.
Cho đến ngày nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã đƣợc
làm cho ngƣng tụ. Mƣời trong số những ngƣng tụ này đã đƣợc tạo ra bởi mƣời
nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau. Vào năm 2001, Eric Cornell, Wolfgang
Ketterle và Carl Wieman đã giành giải Nobel Vật lý cho việc tạo ra ngƣng tụ
16
Bose – Einstein đầu tiên. Ngƣng tụ mới của ecbi, lần đầu tiên đƣợc tạo ra ở
Innsbruck, là một mẫu tuyệt vời để bắt chƣớc những hiệu ứng phát sinh từ sự
tƣơng tác tầm xa. Loại tƣơng tác này là cơ sở của cơ chế động lực học phức tạp
có trong tự nhiên, ví dụ nhƣ xảy ra trong các xoáy địa vật lý, trong các chất lỏng
sắt từ hay trong protein khi gấp nếp.
1.2.2 Một số ứng dụng của ngƣng tụ Bose – Einstein
a – Chế tạo laze mới với bước sóng trong vùng tia X hoặc tia cực tím
Các nhà khoa học ngƣời Đức đã tạo ra bƣớc đột phá trong lĩnh vực Vật lý
khi cho ra đời một loại ánh sáng mới bằng cách làm lạnh các phân tử photon
sang trạng thái đốm màu.
Hình 1.2. Một “siêu photon” được tạo ra khi các hạt photon bị làm lạnh tới
một trạng thái vật chất được gọi tên là “ trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein”.
(Ảnh: LiveScience)
Ta vẫn biết mọi vật chất thƣờng tồn tại ở ba trạng thái: rắn, lỏng, khí; khám
phá mới thể hiện một trạng thái của vật chất. Với tên gọi “trạng thái ngƣng tụ
Bose – Einstein”. Các nhà khoa học từng tạo đƣợc trạng thái này vào năm 1995
ở các nguyên tử siêu lạnh của một chất khí, nhƣng quả thật, chƣa ai từng nghĩ có
thể đạt đƣợc trạng thái này ở các hạt photon (quang tử) – những đơn vị cơ bản
17
của ánh sáng. Tuy nhiên, bốn nhà Vật lý Jan Klars, Julian Schmitt, Frank
Vewinger và Martin Weitz thuộc Đại học Bonn ở Đức mới đây thông báo đã
làm đƣợc điều đó. Họ đặt tên cho các hạt mới là “các siêu photon”.
Các hạt trong một trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein truyền thống đƣợc
làm lạnh tới độ không tuyệt đối, cho tới khi chúng hòa vào nhau và trở nên
không thể phân biệt đƣợc, tạo thành một hạt khổng lồ. Các chuyên gia từng cho
rằng, các photon sẽ không thể đạt đƣợc trạng thái này vì việc vừa làm lạnh ánh
sáng vừa ngƣng tụ nó cùng lúc dƣờng nhƣ là bất khả thi. Do photon là các hạt
không có khối lƣợng nên chúng đơn giản có thể bị hấp thụ vào môi trƣờng xung
quanh và biến mất – đặc biệt khi chúng bị làm lạnh.
Bốn nhà Vật lý ngƣời Đức cuối cùng đã tìm đƣợc cách làm lạnh các hạt
photon mà không làm giảm số lƣợng của chúng. Để giam cầm các photon,
những nhà nghiên cứu này đã sáng chế ra một thùng chứa làm bằng những tấm
gƣơng đặt vô cùng sát nhau và chỉ cách nhau khoảng một phần triệu của một
mét (1 micrô). Giữa các gƣơng, nhóm nghiên cứu đặt các phân tử “thuốc
nhuộm” (về cơ bản chỉ có một lƣợng nhỏ chất nhuộm màu). Khi các photon va
chạm với những phân tử này, chúng bị hấp thu và sau đó đƣợc tái tạo.
Các tấm gƣơng đã “bẫy” các photon bằng cách giữ cho chúng nhảy tiến –
lui trong một trạng thái bị giới hạn. Trong quá trình đó, các hạt quang tử trao đổi
nhiệt lƣợng mỗi khi chúng va chạm với một phân tử thuốc nhuộm. Và cuối
cùng, chúng bị làm lạnh tới nhiệt độ phòng. Mặc dù mức nhiệt độ phòng không
thể đạt độ không tuyệt đối nhƣng nó đã đủ lạnh để các photon kết lại thành một
trạng thái ngƣng tụ Bose - Einstein.
Nhà vật lý James Anglin thuộc trƣờng Đại học Kỹ thuật Kaiserslautern
(Đức) đánh giá thử nghiệm trên là “một thành tựu mang tính bước ngoặt” trong
bài viết mới đây trên tạp chí Nature. Các tác giả của nghiên cứu này cho biết
18
thêm rằng, công trình của họ có thể mang lại những ứng dụng trong việc chế tạo
các loại laze mới, với khả năng sinh ra ánh sáng có bƣớc sóng vô cùng ngắn
trong các dải tia X hoặc tia cực tím.
b - Sự tồn tại của trạng thái ngƣng tụ polariton
Các nhà Vật lý Mỹ nói rằng họ chứng kiến một sự kết hợp độc đáo của một
trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein trong một hệ các giả hạt đƣợc làm lạnh đƣợc
gọi là polariton. Mặc dù những khẳng định tƣơng tự đã từng đƣợc công bố trƣớc
đó, nhƣng các nhà nghiên cứu khác trong lĩnh vực này vẫn hoài nghi rằng sự kết
hợp này là một hiệu ứng của chùm laze đƣợc dùng để tạo ra các polariton, có nghĩa
là hệ không chắc chắn là ngƣng tụ. Thí nghiệm mới này đã hoàn toàn loại bỏ những
nghi ngờ bằng cách tích lũy polariton từ các chùm laze (có thể xem chi tiết công
trình này trên Science 316, 1007).
Lần đầu tiên đƣợc tạo ra vào năm 1995 từ hơi nguyên tử rubiđi, trạng thái
ngƣng tụ Bose – Einstein (BEC) là một hệ mà trong đó một số lƣợng lớn các hạt
boson (các hạt có spin nguyên) chồng chập trong một trạng thái cơ bản giống
nhau. Điều này cho phép các boson biểu hiện các thuộc tính cổ điển ngẫu nhiên
của chúng và dịch chuyển nhƣ một trạng thái kết hợp, và rất có ý nghĩa cho các
nghiên cứu về hiệu ứng lƣợng tử ví dụ nhƣ siêu chảy trong một hệ vĩ mô. Điều
trở ngại ở đây là sự thay đổi trạng thái thƣờng chỉ xảy ra ở nhiệt độ rất thấp, gần
không độ tuyệt đối.
Tuy nhiên, các polariton – các boson bao gồm một cặp điện tử - lỗ trống và
một photon lại nhẹ hơn hàng ngàn lần so với nguyên tử rubiđi, do đó có thể tạo
ra trạng thái BEC ở tại nhiệt độ cao hơn nhiều. Khẳng định đầu tiên về sự ngƣng
tụ này đƣợc công bố vào năm 2006 khi mà Jacek Kasprzak (Đại học Tổng hợp
Joseph Fourier. Grenoble, Pháp) cùng với các đồng nghiệp Thụy Sĩ và Anh sử
dụng một chùm laze tăng một cách đều đặn mật độ của các polariton trong một
19
vi cầu chất bán dẫn đƣợc giữ ở nhiệt độ khá cao là 19K.
Họ quan sát thấy ở trên một mật độ tới hạn, các polariton bắt đầu biểu hiện
thuộc tính kết hợp của trạng thái BEC. Một số nhà nghiên cứu khác trong lĩnh
vực này lại nghi ngờ rằng các polariton dù ở trạng thái BEC thật, nhƣng bởi vì
thuộc tính này chỉ có thể quan sát thấy trong một vùng đƣợc kích thích bởi chùm
laze mà vốn tự nó đã kết hợp đƣợc rồi.
Hình 1.3: Sơ đồ bố trí của hệ bẫy các polariton (Science 316, 1007).
Và để giải quyết rắc rối này, nhóm của David Snoke ở Đại học Tổng hợp
Pittsburgh và các cộng sự ở Phòng thí nghiệm Bell (Mỹ) tạo ra một hệ tƣơng tự
mà trong đó các polariton đƣợc tạo ra bởi các tia laze sau đó di chuyển khỏi
vùng kích thích của laze. Điều này đƣợc thực hiện nhờ một ghim nhỏ chiều
ngang 50 micrômet, để tạo ra một ứng suất bất đồng nhất trên vi cầu, có nghĩa là
tạo ra nhƣ một bẫy để tích lũy các polariton. Và ở hệ này, trạng thái BEC vẫn
chỉ đạt đƣợc ở nhiệt độ thấp tới 4,2 K. Mặc dù ở nhiệt độ này thấp hơn nhiều so
với nhiệt độ 19 K mà nhóm của Kasprzak đã công bố, nhƣng Snoke đã nói trên
20
rằng sau khi xuất bản công trình này, nhóm đã tạo ra hiện tƣợng này ở nhiệt độ
cao tới 32 K: “Có hàng trăm nguyên nhân để hi vọng chúng tôi có thể đạt tới
nhiệt độ cao hơn, cao hơn nữa… dù không thể giả thiết có thể đạt tới nhiệt độ
phòng nhưng trên 100K không phải là không thể đạt được trong khả năng của
chúng tôi”.
Hơn nữa, các vi hốc – microcavity đƣợc tạo ra bởi vật liệu bán dẫn phổ
thông GaAs trong hệ bẫy tƣơng tự từng đƣợc dùng trong các khí nguyên tử mà
có thể dễ dàng chế tạo cho các nhóm nghiên cứu khác.
Hình 1.4: Phân bố xung lượng của các polariton (Science 316, 1007).
Tuy nhiên, cũng vẫn còn một số nghi ngờ là liệu có phải hệ của nhóm
Snoke là trạng thái BEC trong các xu hƣớng truyền thống hay không vì các
polariton có thời gian sống khá ngắn đến nỗi các hệ chỉ có thể đạt đƣợc trạng
thái chuẩn cân bằng. “Một số người muốn hạn chế việc sử dụng khái niệm BEC
cho một hệ ở trạng thái cân bằng thực sự” – Snoke nói – “Mặt khác, lại có một
số người khác muốn tổng quát hóa cùng trong một loại hệ hỗn hợp bao gồm cả
laze. Thực ra đó là một câu hỏi mang tính chất thuật ngữ thì đúng hơn”.
21
c – Chế tạo chất siêu dẫn mới
Mới đây, các nhà khoa học thuộc Viện Tiêu chuẩn và Công nghệ quốc gia
cùng phối hợp với trƣờng đại học Colorado (Mỹ) đã thành công trong việc tạo ra
một loại chất mới. Loại vật chất này là một dạng cô đặc của các hạt cơ bản:
electron, proton và neutron.
Đó còn là dạng vật chất thứ sáu đƣợc con ngƣời khám phá sau những dạng:
chất khí, chất rắn, chất lỏng, khí plasma và ngƣng tụ Bose – Einstein đã đƣợc
tạo ra từ năm 1995. Deborah Jin (đại học Colorado) cho biết, loại vật chất mà
các đồng nghiệp của bà vừa tạo ra là đột phá khoa học trong việc cung cấp một
kiểu mới cho hoạt động của cơ học lƣợng tử.
Loại vật chất mới này có khả năng tạo ra một mối liên kết giữa hai lĩnh vực
hoạt động khoa học là chất siêu dẫn và ngƣng tụ Bose – Einstein, tạo cơ sở phát
triển những ứng dụng thiết thực khác. Hiện nay, theo ƣớc tính có khoảng 10%
lƣợng điện ta sản xuất ra bị tiêu hao trên đƣờng chuyển tải, làm nóng đƣờng dây.
Nếu ứng dụng vật liệu chất siêu dẫn vào làm dây dẫn điện thì quá trình chuyển
tải điện không còn bị hao hụt bởi điện trở nữa. Ngoài ra, chất siêu dẫn còn cho
phép sáng chế ra những loại xe lửa bay trên đệm từ trƣờng dựa trên cơ sở nguồn
năng lƣợng hiện đang đƣợc sử dụng. Do đƣợc giải phóng khỏi ma sát, đoàn tàu
sẽ lƣớt đi theo đƣờng từ trƣờng ở tốc độ cao hơn.
Jin cùng với hai đồng nghiệp Eric Cornell và Carl Wieman đã đoạt giải
Nobel Vật lý năm 2001 cho phát minh ra vật chất Bose – Einstein cô đặc. Loại
vật chất này đƣợc tạo ra từ tập hợp của hàng nghìn phần tử cực lạnh tạo thành
trạng thái lƣợng tử đơn, tƣơng tự một siêu nguyên tử. Còn loại vật chất mới mà
nhóm nghiên cứu của bà vừa tạo ra khác với Bose – Einstein. Nó đƣợc tạo thành
từ những khối hạt vật chất là proton, electron và neutron trong môi trƣờng chân
không đƣợc làm lạnh xuống gần tới độ không tuyệt đối. Tại nhiệt độ đó, các
22
phần tử vật chất ngừng hoạt động. Sau đó, từ trƣờng và tia laze điều khiển để
những nguyên tử kết đôi lại với nhau. Loại nguyên tử mới này có sức hút mạnh
hơn những nguyên tử thông thƣờng, đem đến cho thế giới nhiều ứng dụng mới
thiết thực cho cuộc sống hàng ngày của con ngƣời.
d – Tạo ra hiệu ứng Hall trong sự ngƣng tụ Bose - Einstein
Các nhà nghiên cứu ở Viện Tiêu Chuẩn và Công nghệ Quốc gia Mỹ vừa
lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một chất khí gồm những nguyên tử
cực lạnh. Hiệu ứng Hall là một tƣơng tác quan trọng của từ trƣờng và dòng điện
thƣờng xảy ra với kim loại và chất bán dẫn. Các biến thể của hiệu ứng Hall đã
đƣợc sử dụng trong kĩ thuật và trong vật lý với các ứng dụng đa dạng từ những
hệ thống tự đánh lửa tự động cho đến những phép đo cơ bản của điện học. Khám
phá mới có thể giúp các nhà khoa học hiểu rõ hơn về cơ sở vật lý của các hiện
tƣợng lƣợng tử ví dụ nhƣ sự siêu chảy và hiệu ứng Hall lƣợng tử.
Bài báo của họ công bố trên số ra trực tuyến ngày 14 tháng 6, 2012, của tạp
chí Proceedings of the National Academy of Sciences.
Đƣợc Edwin Hall phát hiện ra vào năm 1879, hiệu ứng Hall dễ hình dung
nhất ở một chất dẫn điện hình chữ nhật nhƣ một tấm đồng khi có một dòng điện
chạy dọc theo chiều dài của nó. Một từ trƣờng đặt vuông góc với dòng điện
(vuông góc với tấm đồng) làm lệch đƣờng đi của các hạt mang điện trong dòng
điện (electron chẳng hạn) bằng cách gây cảm ứng một lực theo chiều thứ ba
vuông góc với cả từ trƣờng và dòng điện. Lực này đẩy các hạt mang điện về một
phía của tấm kim loại và gây ra một điện thế, hay “hiệu điện thế Hall”. Hiệu
điện thế Hall có thể dùng để đo những tính chất tiềm ẩn bên trong các hệ thống
điện, ví dụ nhƣ nồng độ hạt mang điện và dấu điện tích của chúng.
“Các hệ nguyên tử lạnh là một nền tảng quan trọng để nghiên cứu nền vật
lý phức tạp vì chúng gần nhƣ không có tạp chất gây cản trở, các nguyên tử
23
chuyển động chậm hơn nhiều so với các electron trong chất rắn, và các hệ cũng
đơn giản hơn nhiều”, phát biểu của nhà nghiên cứu NIST Lindsay LeBlanc.
“Thủ thuật là tạo dựng những điều kiện sẽ khiến các nguyên tử hành xử theo
kiểu thích hợp”.
Việc đo hiệu ứng Hall ở một ngƣng tụ Bose – Einstein xây dựng dựa trên
công trình NIST trƣớc đây tạo ra điện trƣờng và từ trƣờng nhân tạo. Trƣớc tiên,
nhóm nghiên cứu sử dụng laze buộc năng lƣợng của các nguyên tử với xung
lƣợng của chúng, đƣa hai trạng thái nội vào một liên hệ gọi là sự chồng chất.
Việc này làm cho các nguyên tử trung hòa điện tác dụng nhƣ thể chúng là những
hạt tích điện. Với đám mây gồm khoảng 20.000 nguyên tử tập trung thành một
quả cầu loãng, sau đó các nhà nghiên cứu cho lực bắt giữ biến thiên tuần hoàn –
đẩy các nguyên tử trong đám mây lại với nhau và rồi hút chúng ra xa – để mô
phỏng chuyển động của các hạt mang điện trong một dòng xoay chiều. Đáp lại,
các nguyên tử bắt đầu chuyển động theo kiểu giống hệt về mặt toán học với cách
các hạt tích điện chịu hiệu ứng Hall sẽ chuyển động, tức là vuông góc với cả
chiều của dòng “điện” và từ trƣờng nhân tạo.
Theo LeBlanc, việc đo hiệu ứng Hall đó mang lại một công cụ nữa dành cho
nghiên cứu cơ sở vật lý của sự siêu chảy, một điều kiện lƣợng tử nhiệt độ thấp
trong đó các chất lỏng chảy mà không có ma sát, cũng nhƣ cái gọi là hiệu ứng
Hall lƣợng tử, trong đó tỉ số của hiệu điện thế Hall và dòng điện chạy qua chất
liệu bị lƣợng tử hóa, cho phép xác định các hằng số cơ bản.
24
Chƣơng2
LÝ THUYẾT GROSS - PITAEVSKII
2.1 Gần đúng trƣờng trung bình
Để xây dựng lý thuyết, ta xét hệ ngƣng tụ Bose – Einstein thu đƣợc từ một
hệ các boson ở trạng thái cơ bản tại nhiệt độ thấp. Do đó, ta có thể tìm hiểu về
năng lƣợng của trạng thái cơ bản và sử dụng để nghiên cứu một hệ khí bất kì.
Toán tử Hamilton tổng quát mô tả hệ đƣợc cho bởi [6],
, (2.1)
ở đây, số hạng đầu tiên bên vế phải là động năng của hạt thứ , số hạng tiếp
theo mô tả tƣơng tác ngoài và số hạng cuối cùng mô tả tƣơng tác giữa hạt
trong hệ. Trạng thái cơ bản tƣơng ứng với năng lƣợng cực tiểu, và ta có thể tìm
năng lƣợng này bằng phƣơng pháp cực trị. Lƣu ý rằng, để thuận tiện ta sử dụng
khái niệm thế nhiệt động và nó rất có ích trong việc xác định trạng thái cân
bằng của hệ không cô lập. Sử dụng năng lƣợng tự do ta có đƣợc năng lƣợng
cần làm cực tiểu , ở đây là thế hóa và là năng lƣợng.
Toán tử Hamilton và hàm sóng , ta viết lại năng lƣợng nhƣ sau
, (2.2)
chúng ta có thể sử dụng biểu thức này để tìm cực tiểu của năng lƣợng tự do .
Trong ngƣng tụ đang xét có hạt, vì vậy ta có thể liên hợp hàm sóng với
mọi hàm sóng của các hạt trong hệ. Tuy nhiên, để thu đƣợc nghiệm cần thiết của
bài toán chúng ta dùng phƣơng pháp gần đúng trƣờng trung bình. Có nghĩa là
đối với một hạt không phân biệt trạng thái nghỉ và trạng thái độc lập và chúng
ta có thể bỏ đi chỉ số của hàm sóng.
25
Theo cách này, chúng ta cần cực tiểu hóa năng lƣợng tự do trong không
gian hàm sóng có dạng , ở đây mô tả tích tenxơ
và do đó là tích tenxơ của hàm sóng của các hạt trong hệ; chúng ta đang
xét bài toán trong điều kiện chuẩn hóa . Gần đúng đƣợc thỏa mãn nếu
ngƣng tụ không thực sự đặc; nói cách khác, tƣơng tác giữa các hạt lân cận gần
nhất mạnh hơn tƣơng tác của hạt với các hạt ở xa hơn về một biên.
Bài toán của ta đƣợc quy về tìm cực tiểu của .
Chúng ta đi tính từng số hạng trong biểu thức này. Đối với thành phần động
năng ta có
, (2.3)
ở đây, nhƣ đã xác định ở trên là tích tenxơ hàm sóng của hạt và là
hàm sóng của một hạt, chúng ta đã sử dụng tính chất hàm Green để thu đƣợc kết
quả cuối cùng trong công thức (2.3). Thành phần thế năng có thể dễ dàng viết
đƣợc nhƣ sau
.
(2.4)
Đối với số hạng mô tả tƣơng tác giữa các hạt trong hệ chúng ta có
26
(2.5)
Đối với số hạng cuối cùng trong công thức của năng lƣợng tự do
, (2.6)
chúng ta viết biểu thức nhƣ trên để thuận tiện cho việc tính toán.
Ta phải đi tìm cực tiểu của chúng từ các biểu thức ở trên. Nói cách khác, ta
sẽ đi xét biến thiên nhỏ của hàm sóng , nhƣng đáng lẽ phải xét sự biến thiên
của các thành phần thực và ảo của hàm sóng thì chúng ta coi nhƣ và độc
lập với các biến số. Do đó theo cách này, ta có thể dễ dàng thu đƣợc đạo hàm
cho các biểu thức (2.3) và (2.4). Trong trƣờng hợp của công thức (2.5), ta
có đạo hàm hai lần của hàm sóng , nhƣng có thể đổi vị trí nên có biểu thức
nhƣ sau:
. (2.7)
Tƣơng tự nhƣ trên, đối với thế hóa ta có
. (2.8)
Ta thay đồng thời các biểu thức trên vào biểu thức lấy đạo hàm của năng
lƣợng tự do đƣợc
27
(2.9)
và do đó, các đại lƣợng trong dấu ngoặc vuông của (2.9) bị triệt tiêu. Ta chọn
thế năng tƣơng tác có dạng
,
trong đó là độ dài tán xạ sóng , sử dụng gần đúng cuối cùng
chúng ta có
. (2.10)
Công thức (2.10) chính là phƣơng trình Gross-Pitaevskii độc lập với thời gian.
Chiều dài tán xạ đo cƣờng độ của tƣơng tác giữa các boson. Dấu trừ trong
công thức (2.10) thể hiện tƣơng tác hút hoặc tƣơng tác đẩy . Nhƣ
vậy, cực tiểu hóa năng lƣợng tƣơng ứng với cực tiểu hóa năng lƣợng tự do
, đây là biểu thức quan trọng của vật lý thống kê.
2.2 Trạng thái cơ bản của ngƣng tụ Bose – Einstein hai thành phần.
Bằng cách tƣơng tự, ta có thể xây dựng lý thuyết cho hệ hai thành phần. Hệ
ngƣng tụ BEC hai thành phần đƣợc mô tả bởi Lagrangian và hàm tác dụng
dƣới dạng [4],
(2.11)
với hàm mật độ Lagrange trong gần đúng trƣờng trung bình có dạng
(2.12)
Đại lƣợng trong (2.12) đƣợc gọi là mật độ Hamilton, có dạng
(2.13)
ở đây, với thành phần , là hàm sóng, đóng vai trò của tham số trật
28
tự; là khối lƣợng nguyên tử; là hằng số tƣơng
tác. Chúng đƣợc xác định qua là độ dài tán xạ sóng .
Bằng cách thực hiện phép biến thiên và cực tiểu hóa tác dụng
theo điều kiện ta thu đƣợc hệ phƣơng trình GP phụ thuộc thời gian
(2.14a)
(2.14b)
Bây giờ ta viết hàm sóng dƣới dạng
(2.15)
Thay (2.15) vào hệ (2.14) ta sẽ thu đƣợc phƣơng trình GP không phụ thuộc thời gian
(2.16a)
(2.16b)
Lúc này thế năng tƣơng tác của hệ có dạng
(2.17)
Khi các thành phần ngƣng tụ đƣợc phân bố dọc theo phƣơng và có tính
chất đối xứng tịnh tiến theo các phƣơng , thì (2.16) đƣợc viết lại nhƣ sau
(2.18a)
(2.18b)
Bây giờ chúng ta sẽ đƣa phƣơng trình trên về dạng không thứ nguyên bằng
29
các đƣa ra một số đại lƣợng sau:
Chiều dài đặc trƣng
Thời gian đặc trƣng
Hằng số tƣơng tác
Lúc này ta sử dụng các biến không thứ nguyên là tọa độ ,thời gian
,hàm sóng rút gọn với là mật độ khối của thành phần thì
hệ (2.18) có dạng
(2.19a)
(2.19b)
và thế năng tƣơng tác (2.17) đƣợc viết thành
(2.20)
Tùy thuộc vào giá trị của mà có thể xảy ra hai khả năng khác nhau: nếu
thì các thành phần không thể trộn lẫn vào nhau và ngƣợc lại.
Lƣu ý rằng để thực hiện các phép biến đổi trên chúng ta đã giới hạn khảo
sát hệ ở trạng thái cân bằng pha, tức là áp suất của hai thành phần bằng nhau
với . Mặt khác chúng ta cũng đang xét hệ theo phân bố chính
tắc lớn, tức là các thành phần ngƣng tụ đƣợc nối với một bể nhiệt để chúng có
thể trao đổi hạt với nhau, khi đó thế hóa của các thành phần ngƣng tụ nhận giá
30
trị không đổi
Tổng quát, ta không thể tìm đƣợc nghiệm giải tích của hệ (2.19). Tuy nhiên
có ba trƣờng hợp đặc biệt sau đây
- Khi hệ đối xứng và , Malomed và cộng sự [3] tìm đƣợc
- Khi hệ phản đối xứng , , Joseph và cộng sự [6] tìm đƣợc
- Khi hệ phân tách mạnh, tức là ,
(2.21)
31
CHƢƠNG 3
SÓNG MAO DẪN TRÊN MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƢNG TỤ
BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN
3.1 Hệ phƣơng trình Bogoliubov-de Gennes.
Khi hệ ở trạng thái BEC(s) tất cả các hạt của hệ ở trong cùng một trạng thái
lƣợng tử có năng lƣợng nhỏ nhất, hàm sóng của trạng thái cơ bản này là nghiệm
của GPE(s). Tuy nhiên trên thực tế vẫn có một số hạt ở trạng thái kích thích mà
nguyên nhân là do thăng giáng lƣợng tử hoặc thăng giáng nhiệt.
Để mô tả các kích thích này ta viết hàm sóng của hệ dƣới dạng
(3.1)
Thay (3.1) vào (2.14) và lấy đến bậc nhất của ta đƣợc
(3.2)
Giả thiết hệ phân bố dọc theo trục và có tính đối xứng tịnh tiến theo các
phƣơng , thì ta có thể khai triển các kích thích này dƣới dạng
(3.3)
trong đó . Thay (3.3) vào (3.2) ta thu đƣợc
(3.4)
Đƣa vào các hàm
(3.5)
và đƣa các đại lƣợng về dạng không thứ nguyên thì (3.4) đƣợc viết lại dƣới dạng
32
(3.6)
trong đó , , ,
Hệ phƣơng trình (3.4) và (3.6) đƣợc gọi là hệ phƣơng trình BdG. Hàm
riêng và trị riêng tƣơng ứng của nó chính là hàm sóng và năng lƣợng của các
kích thích bề mặt của BECs.
3.2 Gần đúng parabol kép
3.2.1 Sơ lƣợc về gần đúng parabol kép
Yêu cầu đặt ra đối với các nghiên cứu về BEC(s) là phải giải GPE(s) (2.19)
và các phƣơng trình BdG (3.6). Tuy nhiên, đây là hệ các phƣơng trình vi phân
bậc hai liên kết với nhau và tổng quát, ta không thể tìm đƣợc lời giải giải tích.
Một trong các phƣơng án đầu tiên đƣợc áp dụng là tính số. Tuy nhiên
phƣơng pháp này đòi hỏi hệ thống máy tính có cấu hình rất mạnh và quan trọng
là nếu chỉ đơn thuần kết quả số, chúng ta khó đƣa ra đƣợc các phán đoán vật lý.
Vì lý do này mà đã có một số gần đúng đƣợc đề xuất. Trong đề tài này chúng tôi
sử dụng gần đúng parabol kép đƣợc đƣa ra trong [6].
Để tìm hiểu về DPA chúng ta hãy xét BEC một thành phần bị giới hạn bởi
tƣờng quang (optical wall) tại vị trí . Khi đó thế GP (2.20) đƣợc viết lại
(3.7)
Ở gần tƣờng, hàm sóng của hệ giảm dần từ giá trị mật độ khối nên, trong
gần đúng bậc nhất, tham số trật tự có thể khai triển quanh giá trị mật độ khối
(3.8)
với là số thực dƣơng, nhỏ. Thay (3.8) vào (3.7) ta thu đƣợc
(3.9)
33
3.2.2 Trạng thái cơ bản trong gần đúng parabol kép
Trong luận văn này chúng ta sẽ nghiên cứu hệ BECs trong không gian vô
hạn và để thuận tiện, ta chọn gốc tọa độ tại mặt phân cách. Ta cũng giả
thiết thành phần 1 nằm phía bên phải mặt phân cách còn thành phần bên trái là
thành phần 2. Ta cũng quy ƣớc rằng các chỉ số đối với bên phải mặt
phân cách và ở phía bên trái mặt phân cách.
Đối với hệ vô hạn ta sử dụng điều kiện biên Dirichlet
(3.10)
Nhƣ đã nói ở trên, trong DPA ta khai triển tham số trật tự ở gần mặt phân
cách nhƣ sau
(3.11)
thay (3.11) vào (3.7) ta thu đƣợc
(3.12)
với , . Từ (3.12) ta thu đƣợc phƣơng trình Euller-Lagrange
(3.13)
Nhƣ vậy hệ GPEs liên kết (2.19) đƣợc chuyển thành hai phƣơng trình vi phân
không liên kết (3.13).
Kết hợp (3.13) với các điều kiện biên (3.10) ta tìm đƣợc nghiệm
(3.14)
Chú ý rằng để thu đƣợc (3.14) ta đã yêu cầu tham số trật tự và đạo hàm bậc nhất
của nó liên tục tại mặt phân cách.
34
Khi hệ phân tách mạnh, tức là thì tham số trật tự (3.14) có dạng
(3.15)
3.3 Sóng mao dẫn trong gần đúng parabol kép.
Với việc đƣa vào các tham số không thứ nguyên nhƣ trên, trong khuôn khổ
DPA, ta có thể đƣa phƣơng trình (3.4) về dạng
(3.16)
trong đó và
Trong trƣờng hợp ta đang xét, mặt phân cách là mặt phẳng nằm tại ,
nhƣ trên đã đề cập, ta có thể viết . Thay (3.1) dƣới dạng
không thứ nguyên vào (3.4) ta thu đƣợc
(3.17)
Trong lý thuyết nhiễu loạn thì pha là rất nhỏ vì nên trong gần đúng
bậc nhất theo ta có thể viết
Với phép gần đúng này hệ phƣơng trình BdG (3.17) đƣợc đƣa về dạng
(3.18)
Sử dụng các biến số không thứ nguyên thì phƣơng trình (3.3) có dạng
(3.19)
Thay (3.19) vào (3.17) và sử dụng định nghĩa (3.5) ta có
(3.20a)
35
(3.20b)
(3.20c)
(3.20d)
Xét gần đúng bậc 0, ta có để đơn giản ta quay lại với các hàm
và . Lúc này hệ phƣơng trình (3.20) có dạng [9]
(3.21a)
(3.21b)
(3.21c)
(3.21d)
với . Các phƣơng trình (3.21) dễ dàng đƣợc giải đƣợc. Dựa trên yêu
cầu là và liên tục tại . Phân tích (3.21) ta đƣợc
(3.22a)
(3.22b)
và
(3.23a)
(3.23b)
với A, B, C, D là hằng số và (3.24)
Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng các kết quả ở trên để nghiên cứu Nambu-
36
Goldstone mode, đƣợc gọi là sóng mao dẫn trên mặt phân cách của ngƣng tụ
Bose-Einstein hai thành phần phân tách mạnh. Để đơn giản, ta sẽ xét thành phần
đầu tiên của . Trong giới hạn , hàm và có thể đƣợc viết
lại nhƣ sau
(3.25a)
(3.25b)
Với ripplon điều kiện giới hạn đặt vào là điều kiện biên Robin
(3.26)
với để và để . Điều kiện này dẫn đến
(3.27)
với hệ số
(3.28)
Với hàm chúng ta yêu cầu tính liên tục của đạo hàm bậc nhất ở trên bề mặt
(3.29)
Kết hợp (3.25) và (3.29) ta đƣợc
(3.30)
với các hệ số
37
(3.31)
Để có nghiệm không tầm thƣờng cho (3.27) và (3.30), chúng phải thoải mãn
(3.32)
Thay (3.28) và (3.31) vào (3.32) ta đƣợc
hoặc ở trong chuỗi năng lƣợng của ,
(3.33)
Phƣơng trình (3.33) đƣợc hiểu là thứ nguyên của . Đây là một đặc tính
của ripplon. Hệ thức tán xạ có dạng
(3.34)
Đối chiếu với (3.34) chúng ta thấy
Cuối cùng chúng ta nói về điều kiện biên cho hàm sóng của chuỗi hạt. Đầu
tiên chúng ta áp dụng điều kiện biên Robin (3.26) cho trên mặt phân cách,
có nghĩa là ripplon truyền dọc theo phƣơng vuông góc với trục . Cuối cùng
nhƣng không kém phần quan trọng, đòi hỏi sự liên tục cho trên mặt phân
cách, nó dựa trên thực tế là vận tốc của hai thành phần là nhƣ nhau trên mặt
phân cách, nó liên quan đến sự ổn định trên mặt phân cách.
38
KẾT LUẬN
Luận văn “Các kích thích Ripplon trên bề mặt của ngưng tụ Bose –
Einstein hai thành phần ”đã làm đƣợc các kết quả chính sau đây
- Hệ phƣơng trình Bogoliubov-de Gennes tổng quát và chuyển nó sang
dạng gần đúng DPA.
- Tìm đƣợc trạng thái cơ bản của ngƣng tụ Bose-Einstein hai thành phần
trong gần đúng parabol kép.
- Các kích thích Ripplon trên bề mặt của ngƣng tụ Bose – Einstein hai
thành phần.
39
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Vũ Thanh Khiết (1988), Vật lý thống kê, NXB Giáo dục, Hà Nội.
[2] www.wikipedia.org.
Tiếng Anh
[3] B.A.Malomed, A.A.Nepomnyashchy, and M.I.Tribelsky, Phys. Rev. A42,
7244 (1990).
[4] C. J. Pethick, H. Smith (2008), Bose – Einstein condensate in dilute gases,
Cambridge University Press, New York.
[5] D. A.Takahashi, M. Kobayashi, M. Nitta (2015), Nambu Goldstone modes
propagating along topological defects Kelvin and ripple mode from small
to large system, Phys. Rev. B 91, 184501.
[6] J. O. Indekeu, C. Y. Lin, N. V. Thu, B. V. Schaeybroeck, T. H. Phat (2015),
Static interfacial properties of Bose – Einstein condensate mixtures, Phys.
Rev. A91, 033615.
[7] L.Pitaevskii, S. Stringari (2003), Bose – Einstein condensation, Clarendon
Press. Oxford, New York.
[8] Nguyen Van Thu, Capillary wave at the interface of two component Bose-
Einstein condensates in double parabola approximation, Tạp chí khoa học,
Tạp chí khoa học Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội 2, đã đƣợc chấp nhận
đăng vào năm 2017
