Luận văn Thạc sĩ: Nghiệm mạnh của phương trình ELLIPTIC

Luận văn này giới thiệu khái niệm nghiệm mạnh cho phương trình elliptic tuyến tính cấp 2, đồng thời nghiên cứu tính chất trơn của các nghiệm này. Nghiệm mạnh được định nghĩa là hàm có đạo hàm cấp 2 bình phương khả tích, thỏa mãn phương trình gần như khắp nơi, khác biệt với nghiệm cổ điển.

Luận văn hướng đến các sinh viên cao học, nghiên cứu sinh và các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực toán học ứng dụng, đặc biệt là lý thuyết phương trình đạo hàm riêng và giải tích hàm, những người quan tâm đến nghiệm mạnh và tính chất trơn của phương trình elliptic.

Luận văn này tập trung nghiên cứu nghiệm mạnh của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 và các tính chất liên quan. Cụ thể, công trình được cấu trúc thành hai chương chính. Chương 1 trình bày tổng quan về các không gian Sobolev cơ bản như Wk,p(Ω) và W0k,p(Ω), cùng với các định lý nhúng quan trọng áp dụng trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng. Chương 2 đi sâu vào định nghĩa nghiệm mạnh của phương trình elliptic, khác biệt với nghiệm cổ điển ở yêu cầu về tính khả vi và khả tích. Phần này cũng phân tích chi tiết độ trơn của nghiệm mạnh bên trong miền, bao gồm độ trơn L² và Lᵖ. Luận văn khẳng định rằng việc tăng độ trơn của các hệ số và vế phải của phương trình sẽ dẫn đến tăng độ trơn của nghiệm mạnh, từ đó nghiệm mạnh có thể trở thành nghiệm cổ điển.