ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------
ĐÀO THỊ BÍCH THẢO
PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - Năm 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------
ĐÀO THỊ BÍCH THẢO
PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG
Mã số: 60440107
Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS VŨ ĐỖ LONG
Hà Nội- Năm 2014
LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Vũ Đỗ Long đã tận tình
hướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi và thường xuyên động viên để tác giả hoàn
thành luận văn này.
Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo Bộ môn Cơ học, Trường đại học Khoa
học Tự nhiên, ĐHQGHN và các thầy, cô trong Khoa Toán – Cơ – Tin học đã quan
tâm, giúp đỡ và tạọ điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiên
cứu tại Khoa.
Tác giả xin cảm ơn các nhà khoa học, các thầy cô giáo trong seminar Cơ học
vật rắn biến dạng đã có những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện
luận văn.
Tác giả xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ Phòng Sau đại học, Trường Đại
học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình
nghiên cứu của tác giả.
Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và các bạn bè thân thiết của tác giả,
những người đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận
văn này.
Tác giả
Đào Thị Bích Thảo
MỤC LỤC TỔNG QUAN ......................................................................................................... 1
Chương 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ ..................................... 3
1.1 Một số khái niệm cơ bản ................................................................................ 3
1.2. Phép biến đổi tọa độ ...................................................................................... 5
1.2.1. Hệ tọa độ Đề các ........................................................................................ 5
1.2.2. Hệ tọa độ cong ........................................................................................... 7
1.2.3. Phép biến đổi tọa độ ................................................................................... 8
1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide ..................................................... 14
1.3. Thành phần vật lý của tenxơ ........................................................................ 20
1.3.1. Tenxơ hạng nhất ....................................................................................... 20
1.3.2. Tenxơ hạng hai ......................................................................................... 21
1.3.3. Khai triển cụ thể ....................................................................................... 21
1.4. Đạo hàm hiệp biến ....................................................................................... 23
1.4.1. Đạo hàm véctơ cơ sở ................................................................................ 23
1.4.2. Kí hiệu Christoffel .................................................................................... 25
1.4.3. Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất.................................................... 31
1.4.4. Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai ..................................................... 32
Chương 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ ........................... 33
2.1. Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động. ................ 33
2.2. Ứng dụng tenxơ xác định các thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị ...... 42
2.3. Ứng dụng tenxơ trong bài toán vỏ mỏng ...................................................... 48
2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi ......................................................... 48
2.3.2. Thành phần biến dạng của vỏ mỏng .......................................................... 49
2.3.3. Phương trình cân bằng .............................................................................. 52
2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu ...................................................................... 53
TỔNG QUAN
Tenxơ là một khái niệm trong toán học phục vụ cho việc thiết lập và giải quyết
các vấn đề vật lý trong nhiều lĩnh vực như cơ học môi trường liên tục, lý thuyết đàn
hồi, lý thuyết tương đối rộng… Tenxơ lần đầu tiên được nghiên cứu bởi các nhà
toán học Tullio Levi-Civita và Gregorio Ricci- Curbastro cùng một số nhà toán học
khác. Trong luận văn này tenxơ được sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ giữa các
tập véctơ hình học.
Để giải các bài toán trong lý thuyết đàn hồi người ta thường sử dụng hệ các
phương trình cân bằng, phương trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng -
chuyển vị. Việc thiết lập các phương trình đó dựa trên các hệ tọa độ cong như hệ tọa
độ trụ, hệ tọa độ cầu ,….là tương đối phức tạp. Vì vậy trong các bài báo hay các
giáo trình cơ học nói chung thường chỉ nêu ra trực tiếp phương trình cân bằng, hệ
thức Côsi mà không nói rõ các bước biến đổi để thu được kết quả.
Luận văn trình bày rõ ràng các khái niệm, phép tính cơ bản, các phép biến đổi
của tenxơ. Trên cơ sở đó vận dụng các phép tính của tenxơ để xác định các phương
trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, các phương trình cân bằng- chuyển động trong
hệ tọa độ cong bất kỳ. Từ kết quả trên sau khi biến đổi, tác giả đã thu được các
phương trình liên hệ biến dạng – chuyển vị cũng như hệ phương trình cân bằng
trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu.
Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chương, phần kết luận và tài
liệu tham khảo. Nội dung chính của luận văn bao gồm:
- Chương 1 trình bày khái niệm, thành phần vật lý của tenxơ, một số phép tính
của tenxơ và đạo hàm hiệp biến của ten xơ hạng nhất, hạng hai. Đồng thời
tác giả cũng trình bày cách biến đổi để thu được hệ véctơ cơ sở, tenxơ mêtric
hiệp biến và phản biến, các thành phần của kí hiệu Christoffel, hệ số Lamé
trong hệ tọa độ cong, cụ thể là hệ tọa độ trụ và cầu, từ đó giúp ích cho việc
xác định các phương trình cân bằng- chuyển động, phương trình liên hệ biến
1
dạng- chuyển vị ở chương 2.
- Chương 2 vận dụng các hệ thức cơ sở của phép tính tenxơ để xây dựng các
phương trình cân bằng- chuyển động và xây dựng các phương trình liên hệ
biến dạng- chuyển vị. Đồng thời cũng trình bày ứng dụng của tenxơ trong bài
toán vỏ mỏng, cụ thể hơn là áp dụng khai triển cho vỏ trụ và vỏ cầu.
2
Nội dung của luận văn sẽ được trình bày chi tiết dưới đây:
Chương 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ
1.1 Một số khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Tenxơ là trường hợp riêng của hệ thống phần tử, các thành phần của hệ là hằng số
hoặc là hàm số xác định trong hệ cơ sở đã cho, với phép biến đổi tuyến tính của hệ
cơ sở các thành thay đổi theo một quy luật xác định.
Hệ thống kí hiệu
Các kí hiệu trong hệ thống đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số trên và dưới.
Ví dụ như , , , . Theo quy ước: các chỉ số bằng chữ la tinh lấy cá giá trị 1,2,3. Ví dụ, nếu kí hiệu
nghĩa là biểu thị 1 trong 3 phần tử , , . biểu thị 1 trong 9 phần tử
, , , , , , , , .
Hạng của tenxơ
Hạng của tenxơ xác định bằng số lượng chỉ số trong kí hiệu tenxơ. Như phụ
thuộc vào một chỉ số nên là hệ thống hạng 1 bao gồm 3 hạng tử. phụ thuộc vào 2 chỉ số ( , ) nên là hệ thống hạng 2 bao gồm 3 = 9 phần tử. Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n chỉ số là hệ thống hạng n gồm 3 phần tử.
Quy ước về chỉ số
Chỉ số trong hệ thống tenxơ tuân theo quy ước: “ Trong một biểu thức, nếu chỉ số
lặp lại 2 lần , nó biểu thị tổng đó từ 1 đến 3”. Chỉ số như vậy là chỉ số câm nên nó
có thể thay bằng chữ khác.
Ví dụ: = = + + .
Hệ thống đối xứng
Xét hệ thống hạng hai
Nếu thay đổi chỗ của 2 chỉ số cho nhau, các thành phần của hệ thống không thay
đổi dấu giá trị thì hệ thống gọi là hệ thống đối xứng.
3
= .
Nếu thay đổi vị trí của 2 chỉ số cho nhau, thành phần của hệ thống chỉ thay đổi dấu
mà không thay đổi giá trị tuyệt đối thì hệ thống là hệ thống phản đối xứng.
= − .
Ví dụ hệ thống Kronecker
là hệ thống đối xứng = 1 , 0 , nếu = nếu ≠
Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số
Hệ thống đối xứng với hai chỉ số nào đấy, nếu thành phần của nó không thay đổi
khi đổi chỗ hai chỉ số đó cho nhau.
Ví dụ: Nếu hệ thống đối xứng theo 2 chỉ số ( , ) thì
= .
Hệ thống Levi-Civita là một hệ thống phản đối xứng hạng 3
=
0, 1, − 1,
khi 2 chỉ số bất kỳ bằng nhau khi , , là hoán vị chẵn của các số 1, 2, 3. khi , , là hoán vị lẻ của các số 1, 2, 3
Cụ thể: = = = 1 ,
= = = − 1,
Cách thành phần còn lại của = 0.
Loại tenxơ
Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) được xác định bởi vị trí của chỉ số.
Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ hiệp biến hạng hai.
gọi là tenxơ hỗn hợp hạng hai
Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ phản biến hạng hai.
4
Hệ thống hạng hai
1.2. Phép biến đổi tọa độ
1.2.1. Hệ tọa độ Đề các
Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc , , với véc tơ cơ sở { ⃗ , ⃗ , ⃗ } (Hình 1)
O
⃗= ⃗( , , ) là véctơ bán kính của
Hình 1.
điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác.
Véc tơ ⃗ được biểu diễn dưới dạng
(1.1) ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ = ⃗ ( = 1,2,3).
Xét điểm Q là lân cận của điểm P.
⃗ = ⃗= ( ⃗ )= ⃗ + ⃗ = ⃗ . ( ⃗ = 0)
là độ dài bình phương vô cùng nhỏ của ⃗
= ⃗. ⃗= ⃗ . ⃗ = ⃗ . ⃗
Do trong hệ tọa độ Đềcác hệ các véctơ cơ sở { ⃗ , ⃗ , ⃗ } là các véctơ đơn vị và
trực giao nên tích vô hướng ⃗ . ⃗ =0 nếu ≠ , ⃗ . ⃗ = 1 nếu = nên ⃗ . ⃗ = .
Suy ra:
= ⃗ . ⃗ = = = ( ) + ( ) + ( ) .
a. Các phép tính đối với tenxơ hạng nhất ( vectơ )
Xét một hệ thống ⃗ có các thành phần trong hệ cơ sở ⃗ . Phép cộng
⃗+ ⃗= ⃗ + ⃗ = ( + ) ⃗ = ( + ) ⃗ + ( + ) ⃗ + ( + ) ⃗ .
5
Nhân với một số
⃗ = ( ⃗ )= ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ .
Nhân vô hướng
⃗. ⃗= ⃗ . ⃗ = ⃗ . ⃗ = = = + + .
Nhân véctơ
⃗× ⃗=
⃗ ⃗ ⃗
= ( − ) ⃗ + ( − ) ⃗ + ( − ) ⃗ .
Hay viết dưới dạng:
⃗ ⃗× ⃗= ⃗ × ⃗ = ⃗ × ⃗ =
= ⃗ − ⃗ − ⃗ − ⃗ + ⃗ + ⃗ = ( − ) ⃗ + ( − ) ⃗ + ( − ) ⃗ .
Tích hỗn hợp
⃗× ⃗ ⃗= ⃗ . ⃗ = ⃗ . ⃗ = = = − − + + −
= + + − − − .
Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ là ⊗ )
⃗⨂ ⃗= ⃗ ⊗ ⃗ = ⃗ ⨂ ⃗ = ⃗ ⨂ ⃗ + ⃗ ⨂ ⃗ + ⃗ ⨂ ⃗ + ⃗ ⨂ ⃗ + ⃗ ⨂ ⃗ + ⃗ ⨂ ⃗ + ⃗ ⨂ ⃗ + ⃗ ⨂ ⃗ + ⃗ ⨂ ⃗
b. Các phép tính đối với tenxơ hạng hai. Tenxơ hạng cao
Đối với tenxơ hạng hai và tenxơ hạng cao, các phép tính cũng được thực hiện tương
tự như đối với tenxơ hạng nhất.
Chú ý là phép tính cộng, trừ chỉ áp dụng được với các tenxơ cùng hạng và cùng
loại. Phép nhân có thể thực hiện với hai tenxơ có hạng bất kỳ.
6
Ví dụ: xét tenxơ hạng hai : = ⃗ ⃗
Phép cộng
⃗ ⃗ + ⃗ ⃗ = + ⃗ ⃗ .
Phép trừ
⃗ ⃗ − ⃗ ⃗ = − ⃗ ⃗ .
Phép nhân vô hướng
⃗ ⃗ . ⃗ = ⃗ ⃗ . ⃗
= ⃗ = ⃗ .
⃗ ⃗ . ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ ⃗ . ⃗
= ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ .
Tích tenxơ
⃗ ⃗ ⊗ ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ ⊗ ⃗ ⃗
= ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ .
Phép nhân( tích tenxơ) của các ten xơ dẫn đến tenxơ hạng cao hơn với chú ý sau các
phép cộng và nhân tenxơ, chỉ số dưới vẫn là chỉ số dưới, chỉ số trên vẫn là chỉ số
trên.
1.2.2. Hệ tọa độ cong
Hệ tọa độ cong , , với hệ véc
tơ cơ sở { ⃗ , ⃗ , ⃗ } (Hình 2).
⃗= ⃗( , , ) là véctơ bán kính
⃗
⃗
của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ
cong.
O
Biểu diễn véc tơ ⃗ dưới dạng :
⃗
Hình 2
⃗= ⃗ + ⃗ + ⃗ = ⃗ . (1.2)
Lấy điểm ( + ) là lân cận của điểm ( ).
7
⃗ = ⃗ = ⃗ .
Độ dài bình phương của véc tơ vô cùng nhỏ ⃗ được xác định bằng
= ⃗. ⃗= ⃗ ⃗
= ⃗ . ⃗ = .
Trong đó = ⃗ . ⃗ .
Phép tính đối với vectơ
Cho hai véctơ ⃗ = ⃗ = ⃗ và ⃗= ⃗ = ⃗ Phép cộng, trừ
⃗± ⃗= ( ± ) ⃗ = ( ± ) ⃗ .
Tích vô hướng
⃗. ⃗= ⃗ . ⃗ = ⃗ . ⃗ = = ⃗ . ⃗ = ⃗ . ⃗ = .
1.2.3. Phép biến đổi tọa độ
Bán kính ⃗ của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác ( , ⃗ , ⃗ , ⃗ ) biểu diễn dưới dạng:
⃗= ⃗= ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ .
Với các véc tơ cơ sở ⃗ là không đổi. Trong tọa độ cong , , bất kỳ, các biến liên hệ với tọa đồ Đề các trong
miền đang xét bằng phép biến đổi thuận nghịch liên tục vi phân được, đơn trị.
= ( , , ) và = ( , , ).
Jacôbiên của 2 phép biến đổi thuẩn nghịch đều khác không.
= ≠ 0 ; ̅= ≠ 0.
Ta có:
= ∙ + ∙ + ∙ . =
Suy ra 2 ma trận ∙ ; = là nghịch đảo của nhau.
8
Ta kí hiệu :
⃗ = ⃗ ; ⃗ = ⃗
(1.3) hay ⃗ =
⃗ ; ⃗ = ⃗ = ⃗, . Các véctơ ⃗ = ⃗ ( ) = ⃗ ( , , ) thay đổi từ điểm này sang điểm khác gọi là
hệ véctơ cơ sở hiệp biến của hệ tọa độ cong. Trong đó ⃗ là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ ; ⃗ là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ ; ⃗ là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ . Cùng với hệ véctơ cơ sở ⃗ , ta đưa vào hệ véctơ cơ sở phản biến ⃗ liên hệ theo hệ thức sau
⃗ . ⃗ =
(1.4)
Nếu xét một lân cận vô cùng nhỏ của điểm P trong tọa độ cong, thì chuyển dịch vô
cùng nhỏ từ ( ) tới điểm ( + ) cho ta vi phân vô cùng nhỏ của véc tơ bán
kính ⃗ của điểm .
⃗ ≈ ⃗= ⃗ + ⃗ + ⃗
= ⃗ + ⃗ + ⃗ = ⃗ .
Vậy véctơ ⃗ được biểu diễn dưới dạng: ⃗= ⃗ . Phép biến đổi đơn trị, thuận nghịch vi phân được từ hệ tọa độ cong này ( , , ) sang hệ tọa độ cong khác ; ; .
(1.5) = ∙
. Ta kí hiệu ⃗ là các rêpe địa phương trong hệ tọa độ cong ; ; . Do đó ⃗ sẽ được xác định từ biểu thức:
=
(1.6) ⃗ ⃗ =
⃗ ∙ Thay ⃗ ở (1.3) vào ( 1.6), biểu thức trở thành:
= ⃗
9
⃗ = ∙ ⃗ ; ≠ 0. (1.7)
Khai triển cụ thể sẽ được kết quả:
=
⃗
=
⃗
=
⃗ ∙ ⃗ + ∙ ⃗ + ∙ ⃗ + ∙ ⃗ + ∙ ⃗ + ∙ ⃗ + ∙ ⃗ ∙ ⃗ (1.8) ∙ ⃗ .
Ngược lại, nếu biến đổi từ hệ tọa độ cong ; ; sang hệ tọa độ cong
( , , ).
. (1.9)
⃗ = ⃗ = = ∙ ⃗ ⃗ ∙
+
+
⃗ =
+
+
(1.10)
⃗ =
+
+
⃗ = Khai triển cụ thể (1.9) ∙ ⃗ ∙ ⃗ ∙ ⃗ ∙ ⃗ ∙ ⃗ ∙ ⃗ ∙ ⃗ ∙ ⃗ ∙ ⃗ .
Xét một véctơ (tenxơ hạng nhất) bất kỳ ⃗( , , ). Có thể biểu diễn véc tơ ⃗
dưới dạng:
⃗ = ⃗ = ⃗ .
Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác, véctơ ⃗ không đổi.
Biểu diễn ⃗ với các thành phần phản biến
⃗ = . ⃗ ⃗
= . ⃗ = ∙ =
⃗ . = ⃗ ∙
Suy ra:
= ∙ (1.11)
10
Khai triển (1.11) cho biểu thức sau:
=
=
= + + + (1.12) ∙
+ + + Biểu diễn ⃗ với các thành phần hiệp biến
⃗ =
⃗ =
⃗ = ⃗ . ⃗ ⃗ = ⃗ = ⃗ . ⃗ ⃗
=
=
từ đó suy ra
∙ (1.14)
=
Biểu diễn cụ thể (1.14) như sau
=
=
+ + + + + + , , (1.15) .
Đối với tenxơ hạng hai
⃗ ⃗ .
Một tenxơ hạng hai bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng:
= ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ =
Trong đó là các thành phần 2 lần phản biến của tenxơ.
là các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến của tenxơ.
là các thành phần 2 lần hiệp biến của tenxơ.
Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác với cơ sở
; ⃗
; ⃗
tenxơ hạng 2 sẽ được biểu diễn trong hệ cơ sở mới với các thành
⃗
11
phần 2 lần phản biến như sau:
= ⃗ ⃗
⃗
.
⃗ = ⃗ ∙ = ∙
= ⃗ ⃗ = ⃗ ∙ ∙ ∙ ⃗
⃗ ∙
Suy ra:
= ∙
. (1.16) bao gồm 9 thành phần: , , , , , , , , .
=
+
+ Ví dụ nếu khai triển chi tiết thành phần ta sẽ được + + + ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
+ = + + + + +
2 ∙ ∙ ∙ ∙ + 2 + 2 . ∙
∙ Tượng tự với 8 thành phần còn lại của với chú ý là = ; =
; = .
Nếu biểu diễn dưới dạng các thành phần hiệp biến, tenxơ bậc 2 sẽ có dạng:
. ⃗
⃗
. ⃗ . ⃗ . ⃗
. ⃗
. ⃗ . ⃗ =
= = ⃗ . ⃗ = . ⃗ . ⃗
.
= . ∙ ∙ ′ ⃗ ∙ ′ ⃗ .
Vậy:
=
gồm có 9 phần tử
,
,
,
,
12
Hệ thống ∙ , . (1.17) , , ,
=
=
;
.
= ; Ví dụ, ta khai triển chi tiết 1 phần tử sẽ được:
trong đó
=
+ + +
2 + 2 ∙ ∙ ∙ + .
. ⃗
⃗ =
Biểu diễn tenxơ hạng 2 với các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến:
⃗ ⃗ ⃗
⃗
⃗ ⃗ = ⃗
=
. ⃗ =
⃗ .
= ∙
∙ ′ ⃗ .
⃗ ∙
∙ ⃗ = ∙ ∙ ∙ ⃗ = ∙ ′ ⃗
=
Vậy:
∙ . (1.18)
Tương tự đối với tenxơ hạng cao ta có:
=
=
. .
′ ∙ = ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ .
Tenxơ kết hợp
Do các véc tơ ⃗ ; ⃗ đều là các véctơ cơ sở nên véctơ ⃗ có thể biểu diễn thông qua
hệ véctơ cơ sở ⃗ và ngược lại. Ví dụ: ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ , (1.19) Nhân cả hai vế của (1.19) với ⃗ ta được
13
⃗ . ⃗ = ⃗ . ⃗ + ⃗ . ⃗ + ⃗ . ⃗ , ⇔ = ⃗ . ⃗ + ⃗ . ⃗ + ⃗ . ⃗ (1.20) Vì ⃗ ⊥ ( ⃗ , ⃗ ) nên ⃗ . ⃗ = ⃗ . ⃗ = 0 (1.21 )
Thay (1.21) và ( 1.20) có
= . Làm tương tự, ta nhân hai vế của ( 1.19) với ⃗
⃗ . ⃗ = ⃗ . ⃗ + ⃗ . ⃗ + ⃗ . ⃗ ⇔ = .
Tương tự tính được = . Thay các ; ; vào ( 1.19) suy ra
⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ ⇒ ⃗ = ⃗ . ( 1.22)
Ngược lại véc tơ ⃗ có thể biểu diễn qua các cơ sở ⃗ . Ví dụ
⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ ( 1.23)
Nhân cả 2 vế của ( 1.23) với ⃗ sẽ được
⃗ . ⃗ = ⃗ ⃗ + ⃗ ⃗ + ⃗ ⃗ ⇔ = .
Do ⃗ ⊥ ( ⃗ , ⃗ ) nên ⃗ . ⃗ = ⃗ . ⃗ = 0; ⃗ . ⃗ = 1. Thực hiện tương tự, nhân hai vế của ( 1.23) với ⃗ sẽ có
= .
Nhân 2 vế của ( 1.23) với ⃗
= .
Thay , , vào ( 1.23)
⃗ = . ⃗ + . ⃗ + . ⃗
Hay
⃗ = . ⃗ (1.24 )
Từ ( 1.22) và ( 1.24) ta có phép nâng, hạ chỉ số như sau:
⃗ = ⃗ . ( phép nâng chỉ số) ⃗ = . ⃗ . ( phép hạ chỉ số)
1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide
14
a. Tenxơ mêtric hiệp biến
Xét trong hệ tọa độ Đềcác. Gọi là độ dài bình phương của véctơ vô cùng nhỏ là
⃗
= ⃗. ⃗= ⃗ . ⃗ = ⃗. ⃗ = ( 1.25) = ( ) + ( ) + ( ) .
Xét trong tọa độ cong ( , , )
= ⃗. ⃗= ⃗ ⃗ = ⃗ . ⃗ = . ( 1.26)
Trong đó = ⃗ . ⃗ là tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cong.
Từ biểu thức ( 1.25) ta biến đổi
= = ∙
= ∙ ( 1.27)
Đồng nhất (1.26) với (1.27) nhận được
=
= ∙ ∙ + (1.28) ∙ ∙ +
Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến như sau
, + + =
, + + =
+ + , (1.29) =
=
15
= ∙ ∙ + + ∙ ∙ ∙ ∙ + + , ,
= + ∙ + ∙ .
∙ b. Xác định tenxơ mêtric phản biến.
- tenxơ Kronecker
Hệ véctơ cơ sở phản biến ⃗ liên hệ với các véctơ cơ sở hiệp biến qua biểu thức
⃗ . ⃗ =
Với hệ cơ sở ⃗ , ⃗ , ⃗ đã biết ta xác định được
= ⃗ ( ⃗ × ⃗ ) hay = .
Đặt:
⃗ = ; ⃗ = ; ⃗ = . (1.30) ⃗ × ⃗ ⃗ × ⃗ ⃗ × ⃗
Hoặc
⃗ × ⃗ ⃗ × ⃗ ⃗ × ⃗ . ⃗ = ; ⃗ = ; ⃗ =
Trong đó :
1 . = ⃗ ( ⃗ × ⃗ ) =
Nếu trong hệ tọa độ cong trực giao ( ⃗ ⊥ ( ⃗ , ⃗ ); ⃗ ⊥ ( ⃗ ; ⃗ )), các véc tơ cơ sở ⃗ , ⃗ trùng nhau về hướng nhưng độ lớn khác nhau. Thật vậy, ta có ⃗ × ⃗ = ⃗ mà
⃗ × ⃗ ⃗ = ⃗ =
Suy ra : ⃗ , ⃗ cùng hướng, khác nhau về độ lớn. Tương tự các cặp ⃗ , ⃗ ; ⃗ , ⃗ cũng cùng chiều và khác độ lớn.
Trong trường hợp này: = ⃗ . ⃗ = 0 ( ≠ )
= ⃗ . ⃗ = 0 ( ≠ )
= = = 0 0 0 0 0 0
= .
16
Sử dụng biểu thức (1.4) thay vào phép tính ta được:
= ⃗ . ⃗ . ⃗ . ⃗ = ⃗ .1. ⃗ = 1
⇒ = 1
Thực hiện tương tự ta cũng nhận được
= ; = . 1 1
= ⃗ . ⃗ = ( ⃗ ) ⇒ ⃗ =
Giống như trên ta có thể suy ra ⃗ = .
⃗ = ; ⃗ = ; ⃗ = ,
⃗ = ; ⃗ = ; ⃗ = .
c. Ví dụ:
Hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu là hai hệ tọa độ cong trực giao. Ta đi xác định tenxơ
metric trong hai hệ tọa độ này.
Tọa độ trụ ( , , ) = ( , , )
z
( Hình 3.)
P
Phép biến đổi tọa độ
= = ,
= = ,
Hình 3.
= = .
Ta tính được
= ; = ; = 0
= − ; = ; = 0 (1.31)
= 0 ; = 0 ; = 1 = = = = = = = = =
Suy ra từ công thức (1.31)
17
⃗ = ( , , 0) ,
⃗ = (− , , 0) , (1.32) ⃗ = (0,0,1) .
Thay (1.31) vào (1.29) ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa
độ trụ
= + = 1 = + = = 1 = = .(− )+ . = 0
= = 0
= = 0
Vậy:
0 0 1 = 0 0 = 1 0 0
Suy ra = .
Thay (1.32) vào (1.30) ta sẽ thu được các thành phần của tenxơ metric phản biến
trong hệ tọa độ trụ
Suy ra : ⃗ = ( ; ;0) ,
⃗ = − ; 0 , ;
⃗ × ⃗ = ( ; ;0) ⃗ × ⃗ = (− ; ;0) ⃗ × ⃗ = ( 0 ; 0 ; ) ⃗ = (0 ;0 ;1). Vậy:
,
= 1, = 1 , =
= = = = = = 0.
Trong hệ tọa độ cầu (Hình 4)
( , , )= ( , , )
Phép biến đổi tọa độ: = = .
= = ,
18
= = ,
=
Hình 4.
Ta tính được các đạo hàm riêng
= , = − , = ,
= , = , = , (1.33)
= , = 0 , = − .
Vậy từ (1.3) ta có
⃗ = ( , , ) ⃗ = (− , , 0) (1.34) ⃗ = ( , , − )
Thay (1.33) vào (1.29) ta có các thành phần tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ
cầu
= + + = 1 , = + = , = + + = = = = = = = 0 .
0 = . 1 0 = 0 0 0 0
19
= .
Từ (1.34) ta tính được
⃗ × ⃗ = (− ; − ; − ), ⃗ × ⃗ = ( ;− ;0 ), (1.35) ⃗ × ⃗ = (− ; − ; ).
Vậy theo (1.30) ta có:
⃗ = (− ; − ; − ) ,
⃗ = ; − ;0 , (1.36)
⃗ = − , − , .
Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric phản biến trong tọa độ cong.
= 1, = , = 1 1 ,
= = = = = = 0.
1.3. Thành phần vật lý của tenxơ
1.3.1. Tenxơ hạng nhất Xét véctơ ⃗ ( tenxơ hạng nhất )
⃗ = ⃗= ⃗ ∗ ⃗ là các véctơ phản biến và hiệp biến đơn vị Gọi các véc tơ ∗ ⃗ ,
∗ ⃗=
⃗ ∗ ⃗= . ; ⃗
∗ ⃗ = ∗ ⃗ .
Suy ra: ⃗ =
∗ .
Nếu trong hệ tọa độ cong trực giao, ⃗ , ⃗ trùng nhau về hướng, khác nhau về độ
∗ ⃗ trùng nhau. Vậy = =
∗ là thành phần vật lý của tenxơ hạng nhất.
lớn nên các véc tơ ∗ ⃗ ,
Ta gọi Kí hiệu:
20
= 1 , =
gọi là hệ số Lamé. Thành phần vật lý của véctơ ⃗ có dạng :
∗ = = =
. ( không tổng theo i )
1.3.2. Tenxơ hạng hai
∗
Một tenxơ hạng 2 bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng:
∗ ⃗
= ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗
∗ =
∗ ⃗
∗ = ⃗
∗ ⃗
⃗ ∗ ⃗ ∗ . = ⃗ 1 1
Suy ra:
∗ = =
∗ là thành phần vật lý của tenxơ hạng hai.
( không tổng theo , ) 1 1
Tương tự như trên ta có thể xác định được thành phần vật lý của tenxơ hạng bất kỳ.
1.3.3. Khai triển cụ thể
1 1 1 , , , = = = = = =
∗ =
∗ =
∗ =
, , . (1.37)
∗ = ( ) , ∗ = , (1.38) ∗ = .
∗ = ( ) , ∗ = , ∗ = ,
∗ = ( ) , ∗ = , ∗ = , Áp dụng đối với hệ tọa độ trụ ( , , )
= 1 , = , = 1 .
Đối với hệ tọa độ cầu ( , , )
21
= 1 , = , = .
Tổng kết lại ta có bảng giá trị sau:
Tọa độ trụ ( , , ). (Hình 3). Tọa độ cầu ( , , ). (Hình 4).
= . = . = . = . = . = .
⃗ = ( , , ) , ⃗ = (− , , 0) , ⃗ = ( , , − ).
⃗ = ( , , 0) , ⃗ = (− , , 0) , ⃗ = (0,0,1) .
⃗= (− ;− ;− ),
⃗ = − ; ; 0 , ⃗= ; ;0 , ⃗ = ( ; ;0) , −
⃗ = (0 ;0 ;1) . ⃗= − ;− . ;
= 1 , = 1 ,
= = 0 , = = 0.
= = 0 , = , = = 0.
= 1.
22
= . = = 0. = . = = 0. = . = .
= 1, = 1 ,
= = 0 , = = 0 ,
= = 0 , = = 0 ,
= = , 1
1 , = = 0 , = = 0 ,
= 1 . = 1 .
= 1, = 1, = , = , = 1 . = .
Bảng 1.
1.4. Đạo hàm hiệp biến
1.4.1. Đạo hàm véctơ cơ sở
Sử dụng công thức (1.3) thu được đạo hàm hiệp biến của véctơ cơ sở
⃗ = ⃗ , = ⃗,
⃗ = Γ ⃗ = Γ ⃗ (1.39)
Ta biểu thị ⃗ , qua các véctơ cơ sở như sau :
, Γ là hệ số liên quan hay Christoffel loại 1 và loại 2.
⃗ , = Γ = Γ . (1.40) Vậy : Γ
Các đại lượng Γ
Để xác định các thành phần của Christoffel ta dựa trên công thức biến đổi hệ véctơ
cơ sở. Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc với hệ véctơ cơ sở ( ⃗ , ⃗ , ⃗ ) Ta có:
23
1 ⃗ = [ ⃗ × ⃗ ]= ⃗ √
Trong đó √ = ⃗ .[ ⃗ × ⃗ ]= ⃗
= | ⃗ |= 1 ⃗ =
⃗ = ⃗ = ⃗ .
Xét
⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗
= ⃗ + ⃗ + ⃗ (1.41) Nhân 2 vế của (1.41) với ⃗ . Do hệ cong trực giao nên ⃗ . ⃗ = ⃗ . ⃗ = 0, nên ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ =
Suy ra:
= ⃗ ⃗ =
= ⃗ ⃗ ∙ ⃗ ∙
=
= + ⃗ ⃗
= ⃗ ∙ ⃗ + ⃗
⃗ ⃗ + ⃗ + , Tiến hành tương tự, ta nhân lần lượt hai vế của (1.41) với ⃗ , ⃗ sẽ thu được
= ⃗ . ⃗ =
= ⃗ . ⃗ = , .
Suy ra:
⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ ∙
Công thức tổng quát là
⃗ = ⃗ = ⃗ = ⃗ (1.42)
24
Suy ra
⃗ = ⃗ = ⃗ . (1.43)
⃗ , Đạo hàm ⃗ theo biến
⃗ , = ⃗ = ⃗ (1.44)
∙ ⃗ từ (1.42) vào (1.44)
Ta thay ⃗ =
⃗ , = ∙ ∙ ⃗ (1.45)
1.4.2. Kí hiệu Christoffel
Kí hiệu Christoffel đã được xuất hiện ở biểu thức (1.39). Và trong mục này sẽ đi
vào xác định các thành phần của kí hiệu đó thông qua tenxơ mêtríc và đạo hàm
véctơ cơ sở. Theo biểu thức (1.39): ⃗ , = Γ ⃗
Ta đồng nhất (1.45) và (1.39) rút ra được:
Γ = ∙ . (1.46)
a. Xác định biểu thức Γ qua tenxơ mêtríc .
nên Ta có: = = ∙ ∙ .
Suy ra:
, = ∙ = ∙ + ∙
Tương tự ta tính được :
, =
, = ∙ ∙ = = ∙ ∙ + + ∙ ∙
Vậy có
, + , − , = 2 ∙ = 2Γ
25
Suy ra:
Γ = , + , − , . (1.47) 1 2
Đạo hàm véctơ cơ sở phản biến
Để xác định đạo hàm véctơ cở sở phản biến ta xuất phát từ biểu thức (1.22):
. ⃗ + . ⃗ , (1.48)
⃗ = ⃗ suy ra
= ,
⃗,
Trong đó: ⃗ = ⃗ ; ⃗ , = Γ . ⃗ (1.49)
. ⃗ + .Γ . ⃗
Thay (1.49) vào (1.48), (1.48) trở thành:
= ,
. + .Γ (1.50)
⃗,
= ⃗ ,
. + .Γ + Γ
. + .Γ + Γ
= ,
. + Γ + Γ (1.51)
Xét tổng ,
= ,
Với:
Γ + Γ =
= ∙
= ( )= , . (1.52) ∙
. + . ,
= ,
. + .Γ + Γ , ), . = ( . ), = (
+ ∙ + ∙ = ∙ Thay (1.52) vào (1.51) cho kết quả
=
Lại có:
. = 0 ( ≠ ) 1 ( = )
), = 0.
= 0
⇒ (
. + .Γ + Γ
. + .Γ (1.53)
Vậy ,
= ,
Hay: − Γ
(1.54)
Thay (1.53) vào (1.50) ta nhận được:
= − ⃗ Γ
26
⃗,
Biểu thức (1.54) là biểu thức xác định thành phần của đạo hàm véctơ cơ sở phản
biến.
b. Biểu thức liên hệ giữa các thành phần Γ và đạo hàm của véctơ cơ sở
Do ta đã xác định được biểu thức
⃗ , =
⇒ ⃗ , . ⃗ = ∙ ⃗ = ⃗ , ; ⃗ = ∙ ⃗ ∙ ⃗ = ∙ ⃗ ∙
∙ = Γ = Γ .
.
⃗ . ⃗ , = ⃗ Để xét ⃗ , . ⃗ ta thay ⃗ , ở biểu thức (1.45) vào tích ⃗ . ⃗ , sẽ có ∙
⃗ = ( ⃗ . ⃗ ) = Γ
Γ + Γ = ∙ = .Γ = Γ + ∙ = ∙
= ∙ = , .
= ⃗ . ⃗ , = ⃗ . ⃗ , , (1.55)
Vậy tổng hợp 3 biểu thức trên ta được kết quả như sau:
Γ = Γ = ⃗ , . ⃗ = ⃗ , . ⃗ , = Γ Γ
Γ + Γ = , .
Trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc các véctơ cơ sở ⃗ không đổi, ≡ Suy ra:
= 0
∙ Hay Γ = 0. (∀ , , ) (1.56)
Trong hệ tọa độ cong trực giao, với ≠ ≠ thì ⃗ ⊥ ⃗ ⊥ ⃗
Suy ra = = = 0 ( ≠ ≠ ).
= 0. ( ≠ ≠ ≠ )
Thay vào công thức (1.47) suy ra: Γ = 0 ( ≠ ≠ ≠ ) (1.57)
27
Thay Γ = 0 vào biểu thức (1.40) suy ra Γ
Sử dụng biểu thức (1.47) tính được các hạng tử
Γ = , + , − , = , + , − , 1 2 1 2
= − , ( = 0), 1 2
= Γ . = Γ . = − Γ
, . 1 2
= − , , ( ≠ ) 1 2
Γ = , + , − , = , , (1.58)
Γ = , + , − , = , , 1 2 1 2 1 2 1 2
= Γ . = Γ . = Γ
= , ∙ ∙ , , 1 2
= Γ . = Γ . = Γ
= , ∙ ∙ , . 1 2 1 1 1 2 1 2
c. Ví dụ
Để tính các thành phần của kí hiệu Christoffel trong hệ tọa độ trụ và cầu, ta sử dụng
bảng giá trị ở bảng 1, ta tính ra được các ⃗ , ; ⃗ , rồi thay vào (1.58) sẽ cho ta
kết quả.
= Γ
Trong hệ tọa độ trụ,cầu có 27 thành phần Γ nhưng do tính chất Γ = Γ ; Γ
)
(9 cặp) nên ta chỉ cần tính 18 thành phần Christoffel.
Trong hệ tọa độ trụ ( Christoffel loại hai Γ
Do = = 1; = = ; = = 0
⃗ = ⃗ = ( , , 0); ⃗ = ⃗ = (− , , 0)
⃗ = ⃗ = (0,0,1).
Nên:
, = , = 0 ; , = 0 ; , = , = 0 ; , = 2 ;
28
⃗ , = ⃗ , = (0;0;0), ⃗ , = (− sinφ ;cosφ ;0),
⃗ , = (− sinφ ;cosφ ;0), ⃗ , = (− rcosφ ;− rsinφ ;0); ⃗ , = (0;0;0)
⃗ , = (0;0;0); ⃗ , = (0;0;0); ⃗ , = (0;0;0).
=
Từ (1.58) suy ra:
= Γ Γ
= − Γ
=
, = 0 , , = 0 ,
= Γ Γ
= − Γ
=
, = 0 , , = 0 , 1 2 1 2 1 2 1 2
= Γ Γ
=
=
, , = 1 2 ∙2 = 1 1 2
= Γ Γ
= Γ Γ
= −
, = 0 , , = 0 , 1 2 1 2
= − Γ
=
= − Γ
, = 0 , , = 0 , Γ 1 2
= Γ Γ
= ⃗ . ⃗ , = ⃗ . ⃗ , = 0 ,
= ⃗ . ⃗ , = ⃗ . ⃗ , = 0 ,
, = 0 , , = 0 , 1 2 1 2 1 2
= Γ Γ = ⃗ . ⃗ , = 0, Γ
Theo (1.55) ta có = ⃗ . ⃗ , = 0 , Γ = Γ Γ
= ⃗ . ⃗ , Γ
; 0 ∙(− rcosφ ;− rsinφ ;0) = 0, = − ;
= Γ Γ = (0,0,1)∙(− sinφ ;cosφ ;0) = 0,
= ⃗ . ⃗ , = ⃗ . ⃗ ,
= − Γ
∙2 = − . , = − 1 2 1 2
. ; Γ
=
Vậy trong hệ tọa độ trụ chỉ có 3 thành phần của kí hiệu Christoffel khác không. ; Γ Γ
= − , Γ Γ
= Γ
29
. 1
)
Trong hệ tọa độ cầu (Christoffel loại 2 Γ Ta có = = 1; = = ; = = ,
⃗ = ( , , ) , ⃗ = (− , , 0), ⃗ = ( , , − ).
suy ra , = , = , = 0; , = 2 ; , = 2 ; , = 2 .
⃗ , = (0,0,0) ; ⃗ , = (− , − , 0)
⃗ , = (− , − , − ).
= ⃗ . ⃗ , = 0, Γ
Vậy
= ⃗ . ⃗ , = Γ
; ;0 .(− , − , 0) −
= − + + 0 = 0, = ⃗ . ⃗ , Γ
= − ;− .(− , − , − ) ;
= + − = 0,
= − Γ
∙2 = − , , = − 1 2
= − Γ
=
∙2 = − , , = − 1 2 1 2 1 2
= Γ Γ
=
∙2 = , , = 1 2 1
= Γ Γ
=
∙2 = = , , = 1 2
= Γ Γ
, , = 1 1 2 1 2 1 2
= − Γ
, = − 1 2 ∙2 = 1 2 ∙2 = − , 1 2
30
Các thành phần khác bằng 0.
1.4.3. Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất Trong hệ tọa độ cong với các véctơ cơ sở ⃗ tạo thành rêpe địa phương thay đổi tại từng điểm.
Xét véctơ ⃗ có các thành phần phản biến ( , , )
⃗ = ⃗ .
Lấy vi phân biểu thức của véctơ ⃗
. ⃗ suy ra
⃗ = ( ⃗ ) = . ⃗ + . ⃗ . (1.59)
. ⃗ . (1.60)
Sử dụng biểu thức , = Γ
⃗ = Γ
. ⃗
Thay (1.60) vào (1.59), biểu thức (1.59) trở thành
= ⃗ . (1.61)
⃗ = . ⃗ + Γ
= ⃗ + Γ
=
, + Γ
Trong đó :
.
, + Γ
. (1.62)
= + Γ =
, + Γ
Kí hiệu: ∇ =
Vậy: = ∇ . (1.63) Biểu thức (1.63) là đạo hàm hiệp biến của tenxơ phản biến hạng nhất đối với
biến số trong hệ tọa độ cong.
= 0 suy ra ∇ =
, .
gọi là vi phân tuyệt đối của thành phần của véctơ ⃗.
Trong trường hợp rêpe cố định ⃗ = 0, ⇒ Γ
Xét véctơ ⃗ với các thành phần hiệp biến .
⃗ = ⃗ .
Lấy vi phân hai vế của véctơ ⃗
⃗ = ( ⃗ ) = . ⃗ + . ⃗ (1.64)
⃗ .
, = − Γ
⃗ ⇒ ⃗ = − Γ ⃗ = ⃗ + Γ
Sử dụng biểu thức (1.54):
31
⃗ = . ⃗ − Γ = ⃗ , + Γ
. (1.65)
(1.66)
= ⃗ , + Γ
Đặt: ∇ = , + Γ là đạo hàm biệp biến của ten xơ hạng nhất a . Vậy:
∂ ⃗ ∂ = ∇ a . ⃗ = ∇ ⃗ . (1.67)
1.4.4. Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai
Xét đạo hàm hiệp biến của các thành phần phản biến của tenxơ hạng hai = ⃗ ⃗ . (1.68)
Lấy vi phân hai vế biểu thức (1.68)
⃗ ⃗ ,
= . ⃗ . ⃗ = . ⃗ ⃗ + . ⃗ . ⃗ + . ⃗ . ⃗ , (1.69) ở số hạng thứ 2: . ⃗ . ⃗ , ta thế ⃗ ở biểu thứ (1.60) và thay = ; = ; = thì số hạng thứ 2 trở thành:
⃗ = Γ
. ⃗ . ⃗ = ⃗ Γ
ở số hạng thứ 3, sử dụng biểu thức (1.60) và thay các chỉ số = ; = ; =
,
thì số hạng thứ 3 trở thành:
⃗ ⃗ + Γ
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ . (1.70)
. ⃗ . ⃗ = . ⃗ . ⃗ Γ Thay các số hạng số 2, 3 vừa biểu diễn ở trên vào biểu thức (1.69) nhận được
+ Γ
= ⃗ ⃗ + Γ = + Γ
. (1.71)
Vậy vi phân tuyệt đối của các thành phần của tenxơ có dạng
+ Γ
= + Γ
. (1.72)
Và đạo hàm hiệp biến
, + Γ
+ Γ
32
∇ =
Chương 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ
2.1. Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động.
Trong phần này bài luận văn sử dụng kết quả của véctơ ứng suất, công thức
Ostrogradsky- Gauss, định lý về động lượng và thành phần vật lý của tenxơ.
Giả sử tại thời điểm ta xét một vật có thể tích giới hạn bởi mặt của môi trường
liên tục chuyển động.
S
V
Vật chuyển động với vận tốc ⃗, chịu ⃗ tác động của lực khối ⃗, tại một điểm
bất kỳ trên mặt chịu tác dụng của ⃗
.
O
véctơ ứng suất ⃗ = ∗
Động lượng tổng cộng của môi trường chứa trong được kí hiệu là xác định bởi
biểu thức
= ⃗ .
Theo định lý về động lượng: biến thiên động lượng của miền nào đấy trong môi
trường liên tục bằng tổng các lực tác dụng lên môi trường đó.
⃗ . + ⃗ . (2.1) = ⃗
Áp dụng công thức Ostrogradsky- Gauss, ta đưa biểu thức tích phân mặt trong (2.1)
thành biểu thức tích phân thể tích
. (2.2) ⃗ . = ⃗∗ ⃗∗ =
33
Xét vế trái của (2.1), ta sử dụng công thức tính đạo hàm vật chất của tích phân khối
⃗ = ( ⃗)+ ⃗
= + ⃗ + ⃗ ⃗
= ⃗ + ⃗ + ⃗
= + ⃗ + ⃗
Theo định luật bảo toàn khối lượng : khối lượng của phần môi trường vật chất giữ
nguyên, không đổi trong quá trình chuyển động. Do đó
= = + . = 0
Thể tích được chọn tùy ý nên
+ = 0.
Từ đó ta có
⃗ = . (2.3) ⃗
Thay (2.2), (2.3) vào (2.1) thu được biểu thức
= + ⃗ ⃗ ⃗∗
⇔ = 0. (2.4) ⃗∗ + ⃗− ⃗
Do thể tích V là tùy ý nên biểu thức (2.4) tương đương
34
= 0 , ⃗∗ + ⃗− ⃗
hay
= ⃗ . (2.5) ⃗∗ + ⃗= ⃗
Các phương trình ở (2.5) là các phương trình chuyển động của môi trường liên tục.
= ⃗ và áp dụng biểu thức đạo hàm hiệp biến đối với tenxơ
Trong đó, do ⃗∗
hạng hai ta có thể biểu diễn
= ∇ ⃗ ⃗∗ = ⃗
= = + ∇ ,
nên (2.5) được viết như sau
∇ ⃗ + ⃗= ⃗.
Viết dưới dạng toàn phần
∇ ⃗ + ⃗ = ⃗
⇔ ∇ + = . (2.6) Các phương trình ở (2.6) là các phương trình chuển động của môi trường liên tục
khi chiếu lên các trục tọa độ.
Biểu thức (2.6) có thể biểu diễn chi tiết bởi 3 phương trình
∇ + ∇ + ∇ + = , ∇ + ∇ + ∇ + = , ∇ + ∇ + ∇ + = .
Nếu vận tốc của vật thể bằng không thì ⃗= 0 ⃗ phương trình (2.5) có dạng
∇ ⃗ + ⃗= 0. (2.7)
Phương trình (2.7) là phương trình cân bằng của môi trường liên tục.
Xác định phương trình chuyển động trong hệ tọa độ trụ ( , , ).
∗ = ,
∗ = ,
∗ = ,
∗ = , ∗ =
∗ = ∗ = ,
∗ = ∗ = .
35
Trong tọa độ trụ ( , , ) = ( , , )
Áp dụng biểu thức đạo hàm hiệp biến của ten xơ hạng hai (1.72) ta có
.
+ Γ
=
(2.8) ∇ = + Γ
= − , Γ
= Γ
) là Trong hệ tọa độ trụ chỉ có 3 thành phần Christoffel (Γ
khác không, còn lại là bằng không.
= Γ
Ta sử dụng kết quả đã thống kê trong bảng 1: = 1; = ; = 1. sẽ thu đượ c Từ đó ta thay i, j=1 vào (2.8) với lưu ý = , Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
∇ =
+ 2Γ
+ 2Γ
=
)
+ Γ
+ Γ
= + Γ + 2Γ + 2(Γ
Áp dụng thành phần vật lý của tenxơ hạng hai:
∗
= nên
∗
∗
∗ + Γ
∇ = + Γ
∗ + 2 Γ ∗ =
= ,
Thay i=2, j=1 vào (2.8) và thay thành phần vật lý của tenxơ hạng hai như trên ta có
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
∇ =
+ Γ
=
∗ + Γ
∗
= + Γ
= + −
= + , 1 −
36
+ Γ + Γ ∗ 1 Thay i=3, j=1 vào (2.8) thu được
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
∇ =
∗
= = , + Γ =
Thay i=1, j=2 vào (2.8)
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
∇ =
=
∗
∗
= + Γ
= + = − + 1 ∙ 1
, = + Γ + Γ 1
Áp dụng tương tự ta tính được các giá trị còn lại
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
∇ =
=
∗
=
∗ + 2Γ 1
= + = ∙ 2 ,
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
∇ =
=
∗
= , =
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
∇ =
∗
=
, =
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
37
∇ = + Γ + 2Γ 1 + 2 ∙ + Γ = 1 + Γ = + Γ
=
∗
∗
= + Γ
+ + = = , 1 1 1
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
)
∇ =
+ Γ
+ Γ
=
∗
=
, = + Γ + Γ + 2(Γ =
Thay các giá trị của ∇ vào phương trình đầu của (2.6), thay các giá trị ∇ vào phương trình thứ 2 và các giá trị ∇ vào phương trình thứ 3 ta được kết quả
+ + + + = , 1
+ + + =
⇔ + + + + = , 1 − 2 + 2 1
+ + + + = . 1 1 1 1
Vậy phương trình chuyển động trong hệ tọa độ trụ được biểu diễn bởi các phương
trình
+ + + + = ,
+ + + + = , (2.9) − 2
+ + + + = . 1 1 1 1
Với cách làm tương tự như trên ta có thể viết được phương trình chuyển động trong
∗ = ,
∗ = , ∗ =
38
hệ tọa độ cầu ( , , ) = ( , , )
∗ = ,
∗ = ,
∗ = ∗ = , ∗ = ∗ = .
khác không, còn lại bằng không.
Trong hệ tọa độ cầu có = 1; = ; = .
= − Γ
=
=
= Γ Γ
= Γ Γ
Có 9 thành phần của ký hiệu Christoffel Γ
= − Γ
=
= − . Γ
= Γ Γ Ta cũng áp dụng biểu thức (2.8) tính được
1 1
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
∇ =
+ 2Γ
+ 2Γ
=
∗
=
= ,
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
∇ =
+ Γ
+ Γ
=
∗
∗ + Γ
∗ + Γ
= + Γ
= − + + + Γ + 2Γ = + Γ + Γ ∗ 1 1
= + + − , 1
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
39
∇ = 1 + Γ
=
+ Γ
∗
∗
= + Γ
∗ + Γ
, = + + − − 1 1 = 1
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
∇ =
=
∗
∗
= + Γ
= + + Γ + Γ + Γ 1
= − . + 1
= , 1 ∙
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
∇ =
)
+ Γ
=
∗
∗
= + Γ
= + 2 + + Γ + 2(Γ ∗ + 2 Γ 1 1 ∙
= + 2 + , 1 ∙
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
∇ =
=
+ Γ
∗
∗
∗
= + Γ + Γ
= + + 1 ∙ + Γ + Γ 1
40
= ∙ + − ∙ + 1 1 ∙ 1
= + + − 1 ∙
= + , ∙
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
∇ =
=
∗
= + Γ
∗ 1
+ = = + 1 ∙
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
∇ =
+ Γ
+ Γ
=
= + Γ + Γ
∗ ∙
∗ sinφ cosφ
= + + 1 + Γ + Γ + Γ + Γ ∗ 1 1 tanφ
∗ + Γ σ r − ∙ cotφ
− , + = + σ r tanφ ∙
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
∇ =
=
∗
∗ + 2Γ
=
= + 2 = 1 + Γ + 2Γ σ r + 2 , 1
+ + + − + + − + = 1 ∙ ∙ Ta thay các ∇ lần lượt vào các phương trình của (2.6) như sau 1 1 1 1
⇔ + + + 2 − − + + 1 1 1
41
= ,
+ + 2 + + 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙
+ + =
⇔ + + 2 + + + + = , 1 ∙ . 1 ∙
⇔ + + + 3 + 2 + = , 1 ∙ 1 ∙
+ + − + + 2 1 + 1 ∙ + σ r tanφ cotφ 1 ∙
+ =
+ + + 4 + ⇔ σ − σ + ρ ∙ 1 1 ∙
= ρ
+ + + ⇔ 4 + σ − σ σ + ρ 1 ∙ 1 ∙ 1
= ρ .
Vậy ta xác định được các phương trình chuyển động trong hệ tọa đồ cầu
+ + + 2 − − + + = , 1 1 1
+ + + 3 + 2 + = , (2.10) 1 ∙ 1 ∙
+ + + 4 + σ − σ σ + ρ 1 ∙ 1 ∙ 1
= ρ .
Như vậy qua các phép tính toán như trên ta đã xác định được các phương trình
chuyển động trong hệ tọa độ trụ và cầu tương ứng với các phương trình ở (2.9) và
(2.10) như trên.
2.2. Ứng dụng tenxơ xác định các thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị
42
Tenxơ biến dạng nhỏ trong hệ tọa độ cong bất kỳ được cho bởi biểu thức
= ∇ + ∇ . (2.11) 1 2
Thay biểu thức đạo hàm đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất (1.60) vào (2.11) ta
thu được
,
+ , − Γ
= , − Γ
(2.12)
= , + , − Γ 1 2 1 2
Trong hệ trực giao, áp dụng biểu thức (1.58) ở chương 1 vào (2.12) để thiết lập các
thành phần vật lý của tenxơ biến dạng.
Với ta thay = 1, = 1, = 1, 2, 3 vào (2.12) biểu thức trở thành
= , − Γ
= , − Γ ) ( +
− Γ ) (
=
∗ =
= + + 1 2
( ) ∗ ,
∗ =
(2.13) ( ) , ∗ 1 2 ∗ + ∗ 1 +
( ) + ( ) ∗ + ∗ . + = 0) vào (2.12) thu được Với ta thay = 2, = 2, = 1,2, 3 (Γ
= , − Γ
= , − Γ ) ( +
− Γ ) (
=
∗ =
= + + 1 2
∗ =
( ) ∗ ,
= 0) vào (2.12) có biểu thức
1 2 ∗ + ∗ + ( ) , . (2.14) 1
( ) + ( ) ∗ + ∗ ∗ + Với ta thay = 3, = 3, = 1, 2,3 (Γ
= , − Γ
− Γ
43
= , − Γ
) ( +
) (
=
∗ +
∗ =
= + + 1 2
∗ =
( ) ∗ ,
= 0) vào (2.12)
1 2 ∗ + ∗ + ( ) , ∙ (2.15) 1 ( ) + ( ) ∗ ∗ +
Với ta thay = 1, = 2, = 1, 2 (vì hệ trực giao nên Γ
nhận được
= , + , − Γ
− Γ
=
= , − , 1 2 1 2 1 2 1 2
) ∂(A
= 1 2 1 2A
= 1 2 −
∗ =
∗
− Γ 1 − 2 − − ( + + + + + ∗) ( 1 2
∗ −
∗
=
∗ =
=
) ∂(A − . ∗ − ∗ − ∗ , ∗ ,
1 2 1 2 1 2
∗ =
∗ + ∗ − ∗ ∗ − ∗
+ . (2.16) 1 2 1 2A ∗) − ∗ ∗ + + ∗ ∗ − + ∗ 1 − + ∗ 1
Với , ta thay = 1;2, = 3, = 1, 3; 2, 3 vào (1.30), chú ý vì hệ trực giao
= Γ
= 0 và làm tương tự ta có
44
nên Γ
∗ =
(2.17) + . 1 2
∗ =
∗ ∗
∗ ∗
(2.18) + . 1 2
Tổng hợp các công thức (2.13)-(2.18) thu được các thành phần vật lý của tenxơ biến
∗ =
∗ =
∗ =
dạng
∗ =
(2.19) , + 1 1 1 1 2
∗ =
, + 1 2
∗ =
∗ ∗ ∗
∗ + ∗ + ∗ +
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
. + 1 2 + + + , , , ∗ ∗ ∗
∗ = , ∗ = ∗ = ,
∗ = , ∗ = , ∗ = ,
Xét trong hệ tọa độ trụ ( , , ) = ( , , ) ∗ = , ∗ = , ∗ = ,
Theo bảng 1 ở chương 1, ta có
= 1, = , = 1,
Ta thay các giá trị
∗ , tương ứng vào biểu thức (2.19) sẽ được ∗ , 1 1 1
+ = + = 1 1
45
+ + = + , = 1 1
+ + = , = 1 1 1
+ = 1 2 1 1 1
= ∙ − + 1 1 2
+ − , = 1 1 1 2
+ = 1 2 1 1 1
+ , = 1 1 2
∗ =
+ 1 1 1
+ . = 1 1 1 1 2 1 2
Các tenxơ trên là các tenxơ biến dạng trong hệ tọa độ trụ, ta có thể viết gọn lại như
sau
+ + = = 1 1 1 1 1
+ + = + , = 1 1
, (2.30) + + = = 1 1 1
+ − , = 1 2 1
+ , = 1 2 1
∗ =
+ . 1 2
Với cách tính như trong hệ tọa trụ, ta hoàn toàn có thể áp dụng được đối với hệ tọa
độ cầu.
46
Xét trong hệ tọa độ cầu ( , , ) = ( , , )
∗ = , ∗ = , ∗ = ,
∗ = , ∗ = , ∗ = ,
∗ = , ∗ = , ∗ = .
Theo bảng 1 ở chương 1, ta có
= 1, = , = .
∗ ,
Ta thay các giá trị
∗ , tương ứng vào biểu thức (2.19) sẽ được
+ , = + = 1 1 1 1
+ + = 1 ( ) ( )
= + + , 1
+ + = + , = 1 1
+ = 1 2 1 1 1
= ∙ − + 1 1 2 1
= − + , 1 2 1
+ = 1 2
= + ∙ − 1 2 1 1
= + − , 1 2 1 1
+ = 1 2 1 1 1
= + ∙ − 1 2 1 1
47
= + − . 1 2 1
Tổng hợp các biểu thức trên ta được các thành phần của tenxơ biến dạng trong hệ
tọa độ cầu
+ + = , = 1 1 1 1
+ + = , 1
, + = 1
− + , (2.31) = 1 2 1
+ − = , 1 2 1 1
+ − . = 1 2 1
2.3. Ứng dụng tenxơ trong bài toán vỏ mỏng
2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi
Vỏ mỏng là vật thể giới hạn bởi hai mặt cong, độ dày của vỏ nhỏ so với các kích
thước khác.
Mặt chia đôi độ dày của vỏ gọi là mặt giữa. Tùy thuộc vào dạng của mặt giữa chúng
ta phân biệt vỏ cầu, vỏ nón,v v… Ở đây chỉ xét vỏ có độ dày không đổi.
+
Vectơ bán kính điểm ⃗= ⃗ của mặt
P
giữa là hàm ( , ). Trong đó
, là hai thông số tạo thành hệ tọa
+
⃗
độ cong của các điểm trên mặt. Ta có
⃗+ ⃗
O
⃗= + . ⃗ ⃗
Hình 5
. (2.32)
Khi đó phần tử đường được xác định bởi công thức
+ 2 +
48
= ⃗. ⃗=
Với
= , = , = . (2.33) ⃗ ⃗ ∙ ⃗ ⃗ ∙ ⃗ ⃗ ∙
2.3.2. Thành phần biến dạng của vỏ mỏng
Vỏ mỏng đàn hồi sử dụng các giả thiết
Đoạn thẳng vật chất giao với mặt giữa trước khi biến dạng sẽ vẫn thẳng và trực giao
với mặt giữa sau khi biến dạng ( giả thiết pháp tuyến thẳng của Kirchhoff).
Thành phần ứng suất theo pháp tuyến với mặt giữa nhỏ so với các thành phần ứng
suất khác nên có thể bỏ qua.
= 1
=
= 2
Chọn hệ trục tọa độ như sau trục
= trực giao với mặt giữa, trục = , = hướng theo đường chính khúc ( đường có tiếp tuyến tại
mỗi điểm trùng với phương chính) của
Hình 6 mặt giữa( Hình 6).
Ta sử dụng công thức (2.19) để xác định thành phần biến dạng của vỏ mỏng.
+
Vỏ có độ dày nhỏ nên
∗ ≡ ≈
+
,
∗ ≡ ≈
.
∗ ≡ ≈
là chuyển dịch của điểm trên mặt giữa, tức là với = 0.
, (2.34)
,
∗ = 0 tại = 0.
∗ trong (2.19 )
Trong đó Theo giả thiết thứ nhất “ đoạn thẳng vật chất trực giao với mặt giữa trước khi biến
∗ ở công thức (2.34) vào các giá trị
∗ ,
∗,
∗,
dạng sẽ vẫn trực giao với mặt giữa sau khi biến dạng” dẫn đến biến dạng trượt ∗ = Thay các giá trị
49
ta suy ra
∗ =
+ = 0, 1 2 (2.35)
∗ =
+ = 0, 1 2
hay
∗ =
− + = 0, 1 2 1 (2.36)
∗ =
− + = 0. 1 2 1
Hệ số nhân biến đổi của mặt song song và cách mặt giữa một khoảng có dạng
; = 1; = 1 − (2.37)
; = 1 −
Trong đó: , là hệ số nhân biến đổi tọa độ trong biểu thức phần tử đường mặt
giữa.
, là bán kính chính khúc.
Sử dụng công thức (2.37) thay vào công thức (2.36) và cho = 0 ta xác định được
= − − , 1 (2.38)
= − − . 1
Thay các giá trị ở (2.38) vào (2.34) ta nhận được thành phần chuyển dịch theo các
−
hướng , .
−
, + = 1 (2.39)
. + =
∗ = 0.
, thay (2.39) và (2.37) vào (2.19 ) với , Do ≪ , nên bỏ qua số hạng nhỏ 1
∗ =
∗ =
50
chú ý
−
−
∗ =
+ + + 1 1 1 1
+ −
= + − 1
−
− + + + , 1 1 1 1
∗ =
+ 1 1
−
+ + + − 1
+ − = 1 1
− + + + , 1 1 1 1
−
∗ =
+ 1 2 1 1
−
+ + 1 1
= + 1 2
− + + + . 2 1 1
Có thể viết dưới dạng đơn giản
− , − , − .
∗ = ∗ = ∗ =
51
(2.40)
Với
=
+ − , 1
=
+ − , 1
=
+ , 1 2
+ + + , (2.41) = 1 1 1 1
+ + + , = 1 1 1 1
biểu thị biến dạng mặt giữa,
+ + + . = 1 1
1 2 , , là chuyển dịch mặt giữa, , Trong đó ,
, , là biến thiên của độ cong mặt giữa,
, là hệ số nhân biến đổi tọa độ trong biểu thức phần tử đường của mặt
giữa,
, là bán kính chính khúc.
2.3.3. Phương trình cân bằng
Để khảo sát các thành phần cân bằng, ta khảo sát các thành phần lực tác dụng vào
phần tử vỏ. lấy trục , hướng theo tiếp tuyến với các đường cong tọa độ , .
Tổng các lực theo trục = 0.
+ − + − + = 0. (2.42) ( ) ( )
Tổng các lực theo trục = 0.
+ − + − + = 0 . (2.43) ( ) ( )
52
Tổng các lực theo trục = 0.
+ + + + = 0. (2.44) ( ) ( )
Mômen đối với trục
− − + + + = 0. (2.45) ( ) ( )
Mômen đối với trục
− − − + + = 0. (2.46) ( ) ( )
Momen đối với trục
= 0. (2.46 ) + − −
2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu
a. Vỏ trụ
Đối với vỏ trụ tròn ta chọn hệ tọa độ như sau ( Hình 7)
Chọn đường tọa độ trùng với đường sinh của trụ tròn, đường trùng với đường
tròn trong mặt phẳng thẳng góc với trục. Bán kính của trụ tròn là , khi đó phần tử
đường có dạng
x
ds
a
Hình 7
( ) = ( ) + ( ) ,
suy ra
= 1, = , = ∞, (2.47) = . = .
53
= . Các thành phần biến dạng của vỏ trụ xác định theo công thức (2.40).
Thay các đại lượng ở (2.47) vào công thức (2.41) ta thu được kết quả sau
=
,
=
, −
=
+ , (2.48) 1
=
+ = 1 ,
. = 1 1 2 , 1 1 2
∗ =
Vậy ta có các thành phần biến dạng của vỏ trụ
∗ =
−
∗ =
− − + 1 , 1 1 , (2.49)
+ − . 1 2 1 1 2
Phương trình cân bằng của vỏ trụ tròn được xác định theo các công thức (2.42)-
(2.46).
Thay các đại lượng ở (2.47) vào các công thức (2.42)-(2.46) và chú ý =
+ + = 0,
+ − + = 0,
+ + + = 0, (2.50)
+ + = 0 ,
54
+ − = 0. , = , = , = , = .
b. Vỏ cầu
r
Chọn hệ trục tọa độ như sau (Hình 8)
ds
Trục là tiếp truyến với đường cong
tọa độ .
R
Trục là tiếp tuyến của đường cong
tọa độ .
Bán kính vỏ cầu , khi đó phần tử
Hình 8
đường có dạng
= + ,
suy ra
= , = , = , (2.51) = . = . = .
Các thành phần biến dạng của vỏ cầu được xác định theo công thức (2.40). Ta thay
các đại lượng ở (2.51) vào (2.41) thu được
=
+ − , 1
=
− , 1
=
− , (2.52) + 1 2 1 1
+ + = 1 ,
+ =
+ + 2 + 2 . = 1 + 1 1 2 1 , +
55
Vậy các thành phần tenxơ biến dạng của hệ tọa độ cầu
∗ =
+ − 1
− + + 1 ,
∗ =
− − + 1 + 1 1 , (2.52)
=
+ − 1 2 1 1
− + + 2 + 2 . 1 +
Các phương trình cân bằng của vỏ cầu mỏng được xác định theo công thức (2.42)-
(2.46) với chú ý = , = , = , = , = , = ,
=
+ + + − + = 0,
+ + − − + = 0,
+ + + + + = 0 , (2.53)
+ − + − = 0,
− + + + = 0.
56
Mômen đối với trục là đại lượng nhỏ bậc cao nên bỏ qua.
Kết luận
Luận văn trình bày các khái niệm, phép tính cơ bản, các phép biến đổi của tenxơ.
Trên cơ sở đó vận dụng các phép tính của tenxơ để xác định các phương trình liên
hệ biến dạng - chuyển vị, các phương trình cân bằng- chuyển động trong hệ tọa độ
cong bất kỳ. Từ kết quả trên sau khi biến đổi đã thu được các phương trình tính biến
dạng – chuyển vị cũng như hệ phương trình cân bằng trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa
độ cầu.
Luận văn đã đạt được một số kết quả sau:
i. Trình bày các phép biến đổi để thu được
- Các véctơ cơ sở hiệp biến, phản biến của hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu.
- Các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu.
- Các thành phần của tenxơ mêtric phản biến trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu.
- Các hệ số Lamé trong hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu.
- Dẫn ra được các biểu thức liên hệ giữa các thành phần Christoffel và đạo hàm
của véctơ cơ sở.
- Xác định được các thành phần của kí hiệu Christoffel trong hệ tọa độ trụ và hệ
tọa độ cầu.
- Dẫn ra được biểu thức đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất và đạo hàm hiệp
biến của tenxơ hạng hai.
ii. Trình bày được phương trình chuyển động trong hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu,
iii. Tính được các thành phần của tenxơ biến dạng trong hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu.
iv. Vận dụng các phép tính cơ sở của tenxơ vào bài toán vỏ trụ tròn, vỏ cầu.
Những hướng nghiên cứu tiếp theo:
i. Giải gần đúng bằng phương pháp số một số bài toán đặt tải đơn giản của vỏ trụ,
vỏ cầu theo các phương pháp đã thiết lập.
ii. Giải gần đúng bằng phương pháp số một số bài toán đàn hồi cho bản chữ nhật và
57
bản tròn theo các phương trình đã thiết lập.
Tài liệu tham khảo
[1]. Đào Huy Bích(2000), Lý thuyết đàn hồi, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[2]. Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích(2003), Cơ học môi trường liên tục, NXB
Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[3]. A. W. Joshi (1995), Matrices and Tensors in Physics, 3rd ed. Wiley.
[4]. D.A Danielson(2003), Vectors and Tensor In Engineering And Physics:
Second Edition, Westview Press.
[5]. Bernard Schutz (1980), Geometrical Methods of Mathematical Physics,
Cambridgr University Press.
[6]. Gantmacher FR (1959), The Theory of Matric, Chelsea Publishing Company,
New York.
[7]. Halmos PR (1958) Finite- Dimensional Vecctor Space, Van Nostrand, New
York.
[8]. I.N. Broustein, K.A. Semendyayev, G. Musiol,H. Muehlig (2004), Handbook
of Mathematics, Spinger, Berlin Heidelberg New York.
[9]. J.H. Heinbocked (2001), Introduction to Tensor Calculus and Continuum
Mechanics, Trafford Publishing.
[10]. Mikhail Itskow, Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers, Spinger
Dordrecht Heidelberg London New York.
[11]. Ralph Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu (1988), Tensor Analysis, and
Applications, 2nd ed, Springer-Verlag, New York.
[12]. R.Bishop, S.Goldberg (1980), Tensor Analysis on Manifolds, New York:
Dover.
[13]. R.Aris (1989), Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics,
New York: Dover.
[14]. Sokolnikoff IS (1964), Tensor Analysis, Theory and Applications to Geometry
58
and Mechanics of Continua, John Wiley & Sons, New York.
